퇴플리츠 연산자

1. 개요

퇴플리츠 연산자는 단위 원 상의 함수에 연관된 연산자이다. 구체적으로, 유계 가측 함수 g에 대해 정의되며, 하디 공간으로의 투영과 곱셈 연산자를 결합하여 정의된다. 퇴플리츠 연산자는 행렬 표현이 상수 대각선을 가질 때만 특정 기저에서 퇴플리츠 연산자가 된다. 이 연산자는 프레드홀름 연산자와 밀접한 관련이 있으며, 연속 함수 g에 대해 T_g - λ가 λ가 g(S^1)에 속하지 않을 때만 프레드홀름 연산자라는 정리가 있다. 또한, 액슬러-창-새라슨 정리는 특정 조건 하에서 연산자 T_f T_g - T_{fg}가 콤팩트 연산자임을 밝힌다.

2. 정의

단위 원 $S^1$을 복소 평면 내의 단위 원으로 하고, 표준 르베그 측도를 갖는다고 하자. 그리고 $L^2(S^1)$을 복소수 값을 가지는 제곱 적분 가능 함수들의 힐베르트 공간이라고 하자. $S^1$ 상의 유계 가측 복소수 값 함수 $g$는 $L^2(S^1)$ 상에서 곱셈 연산자 $M\_g$를 정의한다. $P$를 $L^2(S^1)$에서 하디 공간 $H^2$로의 투영이라고 하자. "심볼 $g$를 갖는 퇴플리츠 연산자"는 다음과 같이 정의된다.

:$T\_g\; =\; P\; M\_g\; \backslash vert\_\{H^2\},$

여기서 " | "는 제한을 의미한다.

$H^2$ 상의 유계 연산자는, 그 기저 $\backslash \{z^n,\; z\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\},\; n\; \backslash geq\; 0\backslash \}$에서 행렬 표현이 상수 대각선을 가지는 경우에만 퇴플리츠 연산자이다.

3. 성질

4. 관련 정리

만약 $g$가 연속 함수이면, $T\_g\; -\; \backslash lambda$는 $\backslash lambda$가 집합 $g(S^1)$에 속하지 않을 경우에만 프레드홀름 연산자이다. 프레드홀름인 경우, 그 지수는 $g$가 원점에 대해 그리는 곡선의 회전수의 음수이다. 이 정리는 마르크 크레인, 해롤드 위돔, 앨런 데비나츠의 연구 결과이며, 아티야-싱어 지표 정리의 중요한 특수한 경우로 볼 수 있다.

액슬러-창-새라슨 정리에 따르면, 연산자 $T\_f\; T\_g\; -\; T\_\{fg\}$는 $H^\backslash infty[\backslash bar\; f]\; \backslash cap\; H^\backslash infty\; [g]\; \backslash subseteq\; H^\backslash infty\; +\; C^0(S^1)$일 경우에만 콤팩트 연산자이다. 여기서 $H^\backslash infty$는 해석 함수(음의 푸리에 계수가 사라지는 함수)의 $L^\backslash infty\; (S^1)$의 닫힌 부분 대수를 나타내고, $H^\backslash infty\; [f]$는 $f$와 $H^\backslash infty$에 의해 생성된 $L^\backslash infty\; (S^1)$의 닫힌 부분 대수이며, $C^0(S^1)$는 원 위의 연속 함수의 공간(대수적 집합으로)이다.

4.1. 프레드홀름 연산자와의 관계

$g$가 연속 함수이면, $T\_g\; -\; \backslash lambda$는 $\backslash lambda$가 집합 $g(S^1)$에 속하지 않을 경우에만 프레드홀름 연산자이다. 프레드홀름인 경우, 그 지수는 $g$가 원점에 대해 그리는 곡선의 회전수의 음수이다. 이 정리는 마르크 크레인, 해롤드 위돔, 앨런 데비나츠의 연구 결과이며, 아티야-싱어 지표 정리의 중요한 특수한 경우로 볼 수 있다.

연산자 $T\_f\; T\_g\; -\; T\_\{fg\}$는 $H^\backslash infty[\backslash bar\; f]\; \backslash cap\; H^\backslash infty\; [g]\; \backslash subseteq\; H^\backslash infty\; +\; C^0(S^1)$일 경우에만 콤팩트 연산자이다. 여기서 $H^\backslash infty$는 해석 함수(음의 푸리에 계수가 사라지는 함수)의 $L^\backslash infty\; (S^1)$의 닫힌 부분 대수를 나타내고, $H^\backslash infty\; [f]$는 $f$와 $H^\backslash infty$에 의해 생성된 $L^\backslash infty\; (S^1)$의 닫힌 부분 대수이며, $C^0(S^1)$는 원 위의 연속 함수의 공간(대수적 집합으로)이다.

4.2. 액슬러-창-새라슨 정리

액슬러-창-새라슨 정리에 따르면, 연산자 $T\_f\; T\_g\; -\; T\_\{fg\}$는 $H^\backslash infty[\backslash bar\; f]\; \backslash cap\; H^\backslash infty\; [g]\; \backslash subseteq\; H^\backslash infty\; +\; C^0(S^1)$일 경우에만 콤팩트이다.

여기서 $H^\backslash infty$는 해석 함수(음의 푸리에 계수가 사라지는 함수)의 $L^\backslash infty\; (S^1)$의 닫힌 부분 대수를 나타내고, $H^\backslash infty\; [f]$는 $f$와 $H^\backslash infty$에 의해 생성된 $L^\backslash infty\; (S^1)$의 닫힌 부분 대수이며, $C^0(S^1)$는 원 위의 연속 함수의 공간(대수적 집합으로)이다.

5. 응용