하디 공간

1. 개요

하디 공간은 복소해석학에서 정의되는 함수 공간으로, 열린 단위 원판 또는 상반평면에서 정의된 정칙 함수들의 집합이다. 하디 공간은 함수 f의 노름이 유한한 정칙 함수들의 공간으로 정의되며, p 값에 따라 H^p로 표기된다. 하디 공간은 단위 원판, 단위 원, 상반평면 등 다양한 공간에서 정의되며, 0 < p ≤ q ≤ ∞일 때 H^q는 H^p의 부분 집합이다. 하디 공간은 베를링 인수분해, 르베그 공간과의 관계, 원자 분해 등의 성질을 가지며, 확률론에서는 마팅게일-H^p 개념으로 확장되어 사용된다. 하디 공간은 리스 프리제시에 의해 1923년에 처음 도입되었으며, 수학자 고드프리 해럴드 하디의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

양의 확장된 실수 $p\backslash in(0,\backslash infty]$가 주어졌을 때, 열린 단위 원판
:
위의 정칙 함수 $f\backslash colon\; Z\backslash to\backslash mathbb\; C$에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의한다.
:
:$\backslash |f\backslash |\_\{\backslash operatorname\; H^\backslash infty\}\; =\; \backslash sup\_\{z\backslash in\; Z\}|f(z)|\backslash in[0,\backslash infty]$
이 값이 유한한 정칙 함수들의 공간을 하디 공간이라고 하며, $\backslash operatorname\; H^p$로 표기한다.

하디 공간은 정의되는 영역에 따라 단위 원판, 단위 원, 상반 평면에서의 하디 공간 등으로 나눌 수 있다.

2.1. 단위 원판에서의 하디 공간

양의 확장된 실수 $p\backslash in(0,\backslash infty]$가 주어졌을 때, 열린 단위 원판
:
위의 정칙 함수 $f\backslash colon\; Z\backslash to\backslash mathbb\; C$에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의한다.
:
:$\backslash |f\backslash |\_\{\backslash operatorname\; H^\backslash infty\}\; =\; \backslash sup\_\{z\backslash in\; Z\}|f(z)|\backslash in[0,\backslash infty]$
이 값이 유한한 정칙 함수들의 공간을 하디 공간이라고 하며, $\backslash operatorname\; H^p$로 표기한다.

0 < p ≤ q ≤ ∞인 경우, $H^q$는 $H^p$의 부분 집합이며, $H^p$-노름은 p에 따라 증가한다. 이는 횔더 부등식의 결과이다.

단위 원판 위의 정칙 함수 공간에 대해, 하디 공간 $H^2$는 반지름 r의 원주상의 평균 제곱 값이 r → 1로 아래에서 접근할 때 유계가 되는 함수로 구성된 공간이 된다.

0 < p < ∞에 대한 하디 공간 $H^p$는 다음을 만족하는 열린 단위 원판 위의 정칙 함수 f의 집합이다.

:

이 $H^p$는 벡터 공간이다. 위 부등식 좌변의 수는 f에 대한 하디 공간의 p-노름이며, $\backslash |f\backslash |\_\{H^p\}$로 표기된다. 이것은 p ≥ 1일 때는 노름이지만, 0 < p < 1일 때는 노름이 되지 않는다.

2.2. 단위 원 위의 하디 공간

Hardy space^영어 $H^p(\backslash mathbb\{T\})$는 복소 $L^p$ 공간의 닫힌 부분 공간으로 볼 수 있다. $f\; \backslash in\; H^\{p\}$이고 $p\backslash geq\; 1$이면, 반경 방향 극한

:$\backslash tilde\; f\backslash left(e^\{i\backslash theta\}\backslash right)\; =\; \backslash lim\_\{r\backslash to\; 1\}\; f\backslash left(re^\{i\backslash theta\}\backslash right)$

은 거의 모든 $\backslash theta$에 대해 존재하고, $\backslash tilde\; f\; \backslash in\; L^\{p\}(\backslash mathbb\{T\})$이다. $g\backslash in\; H^p\backslash left(\backslash mathbb\{T\}\backslash right)$는 $g\backslash in\; L^p\backslash left(\backslash mathbb\{T\}\backslash right)$이고 모든 에 대해 $\backslash hat\{g\}\_\{n\}\; =0$인 경우와 동치이다. 여기서 $\backslash hat\{g\}\_\{n\}$은 $g$의 푸리에 계수이다.

단위 원 위의 실수 값 적분 가능 함수 $f$에 대해, 다음 명제들은 동치이다.

* 함수 f는 어떤 함수 g ∈ H^p(T)의 실수부이다.
* 함수 f와 그 켤레 H(f)는 L^p(T)에 속한다.
* 방사형 최댓값 함수 M f는 L^p(T)에 속한다.

2.3. 상반평면에서의 하디 공간

Hardy space^영어에서 상반평면 $\backslash mathbb\{H\}$에서의 하디 공간 $H^p(\backslash mathbb\{H\})$는 다음 유계 노름을 갖는 정칙 함수 $f$의 공간으로 정의된다.

:$\backslash |f\backslash |\_\{H^p\}\; =\; \backslash sup\_\{y>0\}\; \backslash left\; (\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}|f(x+\; iy)|^p\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\; \backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{p\}\}.$

뫼비우스 변환을 통해 단위 원판 D와 상반평면 H는 서로 매핑될 수 있지만, 하디 공간의 영역으로서는 상호 교환할 수 없다. 이러한 차이에 기여하는 요인은 단위 원이 유한한(1차원) 르베그 측도를 갖는 반면, 실수선은 그렇지 않다는 사실이다. 그러나 $H^2$의 경우, m : D → H가 다음 뫼비우스 변환을 나타낸다면,

:$m(z)=\; i\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1+z\}\{1-z\}.$

다음과 같이 정의된 선형 연산자 M : $H^2(\backslash mathbb\{H\})$ → $H^2(\backslash mathbb\{D\})$는 등거리 동형 사상이다.

:$(Mf)(z):=\backslash frac\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\{1-z\}\; f(m(z)).$

3. 성질

$1\backslash le\; p\backslash le\; \backslash infty$이면, $\backslash |-\backslash |\_\{\backslash operatorname\; H^p\}$는 노름이며, $\backslash operatorname\; H^p$는 복소수 바나흐 공간이다.

0 < p ≤ q ≤ ∞인 경우, H^q는 H^p의 부분 집합이며, H^p-노름은 p에 따라 증가한다. 이는 횔더 부등식의 결과이다.

단위 원 위의 모든 실수 삼각 다항식 u에 대해, 실수 공액 다항식 v는 다음과 같이 정의된다.

:$u(e^\{i\backslash theta\})\; =\; \backslash frac\{a\_0\}\{2\}\; +\; \backslash sum\_\{k\; \backslash ge\; 1\}\; a\_k\; \backslash cos(k\; \backslash theta)\; +\; b\_k\; \backslash sin(k\; \backslash theta)\; \backslash longrightarrow\; v(e^\{i\backslash theta\})\; =\; \backslash sum\_\{k\; \backslash ge\; 1\}\; a\_k\; \backslash sin(k\; \backslash theta)\; -\; b\_k\; \backslash cos(k\; \backslash theta).$

이 사상 u → v는, 1 < p < ∞일 때, L^p(T) 상의 유계 선형 작용소 H로 확장된다(스칼라 배를 제외하면 단위 원 위의 힐베르트 변환이다). H는 L¹(T)을 약-L¹(T)로도 보낸다.

1 ≤ p < ∞일 때, 단위 원 위의 실수 값 적분 가능 함수 f에 대해 다음은 동치이다.
* f는 어떤 함수 g ∈ H^p(T)의 실수부이다.
* f와 그 공액 H(f)는 L^p(T)에 속한다.
* 반경 극대 함수 M f는 L^p(T)에 속한다.

1 < p < ∞일 때, f ∈ L^p(T)이면 H(f)는 L^p(T)에 속하므로, 실수 하디 공간 H^p(T)는 이 경우 L^p(T)와 일치한다. p = 1일 때, 실수 하디 공간 H¹(T)은 L¹(T)의 진부분 공간이다.

L^∞ 함수의 극대 함수 M f는 항상 유계이며, 실수 H^∞가 L^∞와 같아지는 것은 바람직하지 않으므로, p = ∞의 경우에는 실수 하디 공간 정의에서 제외한다. 그러나 실수 값 함수 f에 대해 다음 두 가지 성질은 동치이다.
* f가 어떤 함수 g ∈ H^∞(T)의 실수부이다.
* f와 그 공액 H(f)가 L^∞(T)에 속한다.

3.1. 르베그 공간과의 관계

임의의 $p\backslash in(0,\backslash infty]$ 및 $f\backslash in\backslash operatorname\; H^p$에 대하여,
:$\backslash iota(f)(\backslash theta)=\backslash lim\_\{r\backslash to1\}f(r\backslash exp(\backslash mathrm\; i\backslash theta))$
는 거의 모든 $\backslash theta$에 대하여 존재한다. 이는 단사 포함 사상
:$\backslash iota\backslash colon\; \backslash operatorname\; H^p\backslash to\backslash operatorname\; L^p(\backslash mathbb\; S^1;\backslash mathbb\; C)$
를 정의한다. 여기서 $\backslash operatorname\; L^p(\backslash mathbb\; S^1;\backslash mathbb\; C)$는 원 위의 복소수 값 르베그 공간이다.

$p\backslash geq\; 1$이고 $f\; \backslash in\; H^\{p\}$ 이면, 반경 방향 극한
:$\backslash tilde\; f\backslash left(e^\{i\backslash theta\}\backslash right)\; =\; \backslash lim\_\{r\backslash to\; 1\}\; f\backslash left(re^\{i\backslash theta\}\backslash right)$
은 거의 모든 $\backslash theta$에 대해 존재하고 $\backslash tilde\; f\; \backslash in\; L^\{p\}(\backslash mathbb\{T\})$이다. 이때,
:$\{\backslash |\backslash tilde\; f\backslash |\}\_\{L^p\}\; =\; \{\backslash |f\backslash |\}\_\{H^p\}$이다.

H^p에서 f가 변할 때, 모든 극한 함수 $\backslash tilde\; f$로 구성된 L^p(T)의 벡터 부분 공간을 H^p(T)로 표기한다. p ≥ 1에 대해,
:
이 성립한다. 여기서 $\backslash hat\{g\}\_\{n\}$는 다음과 같이 정의된 푸리에 계수이다.
:$\backslash hat\{g\}\_\{n\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\; g\backslash left(e^\{i\backslash phi\}\backslash right)\; e^\{-in\backslash phi\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash phi,\; \backslash quad\; \backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}.$

H^p(T)는 L^p(T)의 닫힌 부분 공간이다. 1 ≤ p ≤ ∞에 대해 L^p(T)는 바나흐 공간이므로, H^p(T)도 바나흐 공간이다.

$p\; \backslash ge\; 1$ 이고 $\backslash tilde\; f\; \backslash in\; L^p\; (\backslash mathbf\; T)$ 이면, 푸아송 핵 P_r을 사용하여 단위 원판에서 조화 함수 f를 다시 얻을 수 있다.
:

$\backslash tilde\; f$가 H^p(T)에 속하면 f는 H^p에 속한다. $\backslash tilde\; f$가 H^p(T)에 속한다고 가정하면, 즉 모든 n < 0에 대해 a_n = 0인 푸리에 계수 (a_n)_n∈Z를 갖는 경우, H^p의 관련 정칙 함수 f는 다음과 같다.
:

0 < *p* < 1일 때, *H*^*p* 내의 함수 *F*는 단위 원상의 경계 극한 함수의 실수부로 재구성할 수 없다.
:
가 *H*^*p*에 속한다면, *c_n* = O(*n*^1/*p*–1)임이 증명된다. 푸리에 급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\{+\backslash infty\}\; c\_n\; e^\{in\; \backslash theta\}$
는 초함수 의미에서 단위 원상의 초함수 *f*에 수렴하고, *F*(*re*^*iθ*) = (*f* ∗ *P_r*)(θ)가 된다. *F*의 테일러 계수 *c_n*은 Re(*f*)의 푸리에 계수로부터 계산할 수 있으므로, 함수 *F* ∈ *H^p*는 단위 원상의 실수 초함수 Re(*f*)에 의해 재구성된다.

3.2. 실수 하디 공간

실수 벡터 공간 Rⁿ에서의 해석에서, 하디 공간 H^p (0 < p ≤ ∞)는 ∫Φ = 1을 만족하는 어떤 슈바르츠 함수 Φ에 대하여 극대 함수(maximal function, en)

:$(M\_\backslash Phi\; f)(x)=\backslash sup\_\{t>0\}|(f*\backslash Phi\_t)(x)|$

가 L^p(Rⁿ)에 속하는 완만 증가 초함수 f로 구성된다. 여기서 ∗는 합성곱을 나타내며, Φ_t(x) = t⁻ⁿΦ(x / t)이다. H^p 내의 초함수 f의 H^p-준노름 ||f ||_Hp는 M_Φf의 L^p 노름으로 정의된다(이것은 Φ의 선택에 의존하지만, 다른 슈바르츠 초함수 Φ를 선택해도 동치인 노름이 주어진다). H^p-준노름은 p ≥ 1일 때 노름이지만, p < 1일 때는 노름이 아니다.

1 < p < ∞이라면 하디 공간 H^p는 L^p와 같은 벡터 공간이며, 동치인 노름을 갖는다. p = 1일 때, 하디 공간 H¹은 L¹의 진부분 집합이다. 예를 들어, 실수 직선상의 다음 함수와 같이 L¹에서 유계이지만, H¹에서 비유계인 수열을 찾을 수 있다.

:$f\_k(x)\; =\; \backslash mathbf\{1\}\_\{[0,\; 1]\}(x\; -\; k)\; -\; \backslash mathbf\{1\}\_\{[0,\; 1]\}(x\; +\; k),\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; k\; >\; 0.$

L¹과 H¹의 노름은 H¹상에서 동치가 아니며, H¹은 L¹에서 닫혀 있지 않다. H¹의 쌍대 공간은 유계 평균 진동(bounded mean oscillation, en) 함수의 공간 BMO이다. BMO 공간은 비유계 함수를 포함한다(이것은 H¹이 L¹에서 닫혀 있지 않다는 것을 의미한다).

p < 1이라면, 하디 공간 H^p는 함수가 아닌 원소를 가지며, 그 쌍대 공간은 차수 n(1/p − 1)의 동차 립시츠 공간이다. p < 1일 때, H^p-준노름은 반가법적이지 않으므로, 노름이 아니다. p차의 멱 ||f ||_Hp^p는 p < 1일 때 반가법적이며, 하디 공간 H^p상에 거리를 정의한다. 그리고 이 거리는 위상을 정의하고, H^p을 완비 거리 공간으로 만든다.

3.3. 원자 분해

Hardy space^영어 H^p (0 < p ≤ 1)의 원소 f는 다음의 원자 분해를 갖는다.

:$f\; =\; \backslash sum\; c\_j\; a\_j$

여기서 $a\_j$는 H^p-원자이고, $c\_j$는 스칼라이며, 를 만족한다.

0 < p ≤ 1일 때, 컴팩트 지지(compact support)를 갖는 유계 가측 함수 f가 H^p-원자가 되기 위한 조건은 다음과 같다.

* 어떤 구 B에서 지지된다.
* |B|^−1/p로 경계가 지어진다. (|B|는 Rⁿ에서 B의 유클리드 부피)

이때, f의 모든 모멘트는 다음과 같이 사라져야 한다.

:$\backslash int\_\{\backslash mathbf\{R\}^n\}\; f(x)x\_1^\{i\_1\}\backslash ldots\; x\_n^\{i\_n\}\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\; =\; 0$

여기서 차수 i₁+ ... +i_n는 최대 n(1/p − 1)이다.

예를 들어, f ∈ H^p, 0 < p ≤ 1이 되려면 f의 적분값이 사라져야 하며, p > 인 경우에는 충분조건이 되기도 한다.

임의의 H^p-원자의 H^p-준노름(quasinorm)은 p와 슈바르츠 함수 Φ에만 의존하는 상수에 의해 제한된다.

예를 들어 직선에서, 디랙 델타 함수(Dirac distributions)의 차이인 f = δ₁−δ₀는 하르 함수의 급수로 표현될 수 있으며, 1/2 < p < 1일 때 H^p-준노름에서 수렴한다. (원에서는 0 < p < 1에 대해 해당 표현이 유효하지만, 직선에서는 하르 함수가 p ≤ 1/2일 때 H^p에 속하지 않는다.)

4. 베를링 인수분해

0 < *p* ≤ ∞에 대해, *H*^*p*에 있는 모든 0이 아닌 함수 *f*는 *G*가 외부 함수이고 *h*가 내부 함수인 곱 *f* = *Gh*로 쓸 수 있다. 이를 베어링 인수분해라고 하며, 이 분해를 통해 하디 공간은 내부 함수와 외부 함수의 공간으로 완전히 특징지을 수 있다.

외부 함수 *G*(*z*)는 다음과 같은 형식으로 정의된다.

:$G(z)\; =\; c\backslash ,\; \backslash exp\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash int\_\{-\backslash pi\}^\{\backslash pi\}\backslash frac\{e^\{i\backslash theta\}+z\}\{e^\{i\backslash theta\}-z\}\; \backslash log\backslash !\backslash left(\backslash varphi\backslash !\backslash left(e^\{i\backslash theta\}\; \backslash right)\backslash right)\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash theta\; \backslash right)$

여기서 *c*는 절댓값이 1인 복소수(|*c*| = 1)이고, $\backslash varphi$는 $\backslash log(\backslash varphi)$가 원에서 적분 가능한 양의 가측 함수이다. 특히, $\backslash varphi$가 원에서 적분 가능할 때, 위 식은 푸아송 핵의 형태를 취하므로, *G*는 *H*¹에 속한다. 이는 거의 모든 θ에 대해 다음이 성립함을 의미한다.

:$\backslash lim\_\{r\backslash to\; 1^-\}\backslash left|G\backslash left\; (re^\{i\backslash theta\}\; \backslash right)\backslash right|\; =\; \backslash varphi\; \backslash left(e^\{i\backslash theta\}\backslash right\; )$

내부 함수 *h*는 단위 원판에서 |*h*| ≤ 1 이고, 다음 극한

:$\backslash lim\_\{r\backslash to\; 1^-\}\; h(re^\{i\backslash theta\})$

이 거의 모든 곳에서 θ에 대해 존재하며 그 절댓값이 거의 모든 곳에서 1과 같을 때 정의된다. 특히, *h*는 *H*^∞에 속한다. 내부 함수는 블라슈케 곱을 포함하는 형태로 추가적으로 인수분해 될 수 있다.

*f* = *Gh*로 분해된 함수 *f*가 *H^p*에 속하기 위한 필요충분조건은 외부 함수 *G*의 표현에서 양의 함수 $\backslash varphi$가 *L^p*(T)에 속하는 것이다.

원 위의 함수 $\backslash varphi$에서 위와 같이 표현된 외부 함수 *G*를 생각해보자. $\backslash varphi$를 $\backslash varphi$^α (α > 0)으로 대체하면 다음 속성을 가진 외부 함수족 (*G*_α)가 얻어진다.

:G₁ = G, G_α+β = G_α G_β and |G_α| = |G|^α (단위 원에서 거의 모든 곳에서).

따라서 0 < *p*, *q*, *r* < ∞이고 1/*r* = 1/*p* + 1/*q*일 때, *H^r*에 있는 모든 함수 *f*는 *H^p*에 있는 함수와 *H^q*에 있는 함수의 곱으로 표현될 수 있다. 예를 들어, *H*¹에 있는 모든 함수는 *H*²에 있는 두 함수의 곱이며, *p* < 1인 *H^p*에 있는 모든 함수는 어떤 *q* > 1인 *H^q*에 있는 여러 함수의 곱으로 표현될 수 있다.

5. 마팅게일 <math>H^p</math>

(M_n)_n≥0를 어떤 확률 공간 (Ω, Σ, P) 위의, 증가하는 시그마-체 (Σ_n)_n≥0에 관한 마팅게일이라고 하자. 간단하게 하기 위해, Σ는 (Σ_n)_n≥0에 의해 생성되는 시그마-체와 같다고 가정한다. 마팅게일의 최대 함수는 다음과 같이 정의된다.

:$M^*\; =\; \backslash sup\_\{n\; \backslash ge\; 0\}\; \backslash ,\; |M\_n|.$

1 ≤ p < ∞라고 하자. 마팅게일 (M_n)_n≥0는 M* ∈ L^p일 때 마팅게일-H^p에 속한다.

만약 M* ∈ L^p이면, 마팅게일 (M_n)_n≥0는 L^p에서 유계이고, 따라서 마팅게일 수렴 정리에 의해 어떤 함수 f로 거의 확실하게 수렴한다. 또한, M_n는 지배 수렴 정리에 의해 L^p-노름에서 f로 수렴한다. 따라서 M_n은 Σ_n에 대한 f의 조건부 기대값으로 표현될 수 있다. 따라서 마팅게일-H^p는

:$M\_n\; =\; \backslash operatorname\; E\; \backslash bigl(\; f\; |\; \backslash Sigma\_n\; \backslash bigr)$

가 마팅게일-H^p에 속하는 그런 f들로 구성된 L^p(Ω, Σ, P)의 부분 공간과 동일시될 수 있다.

두브의 최대 부등식은 1 < p < ∞일 때 마팅게일-H^p가 L^p(Ω, Σ, P)와 일치함을 함축한다. 흥미로운 공간은 마팅게일-H¹이며, 그 쌍대 공간은 마팅게일-BMO이다.

Burkholder–Gundy 부등식(p > 1일 때)과 Burgess Davis 부등식(p = 1일 때)은 최대 함수의 L^p-노름을 마팅게일의 제곱 함수

:$S(f)\; =\; \backslash left(\; |M\_0|^2\; +\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; |M\_\{n+1\}\; -\; M\_n|^2\; \backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}.$

의 L^p-노름과 관련시킨다. 마팅게일-H^p는 S(f)∈ L^p라고 말함으로써 정의할 수 있다.

연속 시간 매개변수를 갖는 마팅게일도 고려할 수 있다. 복소 평면에서 점 z = 0에서 시작하여 시간 t = 0일 때의 복소 브라운 운동(B_t)을 통해 고전 이론과의 직접적인 연결이 얻어진다. τ는 단위 원의 도달 시간이라고 하자. 단위 원판에서 모든 정칙 함수 F에 대해,

:$M\_t\; =\; F(B\_\{t\; \backslash wedge\; \backslash tau\})$

는 마팅게일이며, F ∈ H^p인 경우에만 마팅게일-H^p에 속한다.

6. 역사

리스 프리제시가 1923년에 도입하였으며, 고드프리 해럴드 하디의 이름을 따 명명하였다.