C* 대수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

C* 대수는 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조가 호환되도록 주어진 복소수 벡터 공간으로, 다양한 방식으로 정의될 수 있다. C* 대수는 복소수체 위의 바나흐 대수이며, 대합 사상이 C* 항등식 $\|x^*x\|=\|x\|\|x^*\|$ 또는 B* 항등식 $\|x\|=\|x^*\|$ 을 만족하는 복소수 바나흐 대수로 정의될 수 있다. C* 대수는 겔판트와 나이마르크에 의해 추상적으로 특징지어졌으며, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 표현될 수 있는 복소수 바나흐 대수로 구체적으로 정의되기도 한다. C* 대수는 기술적으로 편리한 여러 성질을 가지며, 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수 공간으로 표현될 수 있다. C* 대수는 양자장론, 비가환 기하학, 양자역학, 양자통계역학, 양자 정보 이론 등 다양한 분야에 응용된다.

C* 대수

C*-대수

개요

분야	함수 해석학
정의	복소수 바나흐 대수
추가 구조	딸림 연산
관련 개념	폰 노이만 대수 작용소 대수 C*-다양체

예시

유계 작용소 대수	힐베르트 공간 위의 모든 유계 작용소들의 대수
컴팩트 작용소 대수	힐베르트 공간 위의 모든 컴팩트 작용소들의 대수
함수 대수	국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간 위의 소멸하는 연속 함수의 대수
군 C*-대수	국소적으로 컴팩트한 위상군의 군 C*-대수

성질

젤판트-나이마르크 정리	모든 C*-대수는 어떤 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수와 동형이다.

일반적인 표기

기호	C*

📚 더 읽어볼만한 페이지

연산자 이론 - 힐베르트 공간
힐베르트 공간은 내적 공간이면서 내적으로부터 유도된 거리 함수에 대해 완비 거리 공간을 이루는 공간으로, 다양한 함수 공간의 예시를 가지며 푸리에 해석, 양자역학 등 여러 분야에 응용된다.
연산자 이론 - 폰 노이만 대수
폰 노이만 대수는 C* 대수 또는 복소 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 C* 대수로 정의되며, 약하게 닫힌 *-대수, 이중 가환자, 쌍대 공간을 갖는 C*-대수 등으로 정의될 수 있고, 폰 노이만 인자로 분류되며 매듭 이론, 통계 역학 등 다양한 분야에 응용된다.
대수 - 미분 등급 대수
미분 등급 대수는 체 위의 등급 대수와 미분의 순서쌍으로, 대수적 위상수학 및 호모토피 이론에서 활용되며, 등급 대수에 차수, 라이프니츠 규칙, 멱영성을 만족하는 미분을 추가하여 정의됩니다.
대수 - 폰 노이만 대수
폰 노이만 대수는 C* 대수 또는 복소 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 C* 대수로 정의되며, 약하게 닫힌 *-대수, 이중 가환자, 쌍대 공간을 갖는 C*-대수 등으로 정의될 수 있고, 폰 노이만 인자로 분류되며 매듭 이론, 통계 역학 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 정의

C* 대수의 개념은 여러 방식으로 정의될 수 있다. 추상적으로는 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조가 서로 호환되게 주어진 복소수 벡터 공간으로 볼 수 있다. 또한, 복소수 바나흐 공간 구조가 복소수 대합 대수 구조로부터 정의될 수 있으므로, 순수하게 대수학적인 관점에서 특별한 형태의 복소수 대합 대수로 정의할 수도 있다. 구체적으로는 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 표현될 수 있는 복소수 바나흐 대수로 정의하기도 한다. 이러한 다양한 정의 방식들은 모두 서로 동치이다.

기본적으로 C* 대수는 복소수 체 위의 대수 구조에 특정 조건을 만족하는 노름과 대합 연산( $x \mapsto x^*$ )이 주어진 수학적 대상이다. 특히, 노름과 대합 연산 사이의 중요한 관계식인 C* 항등식( $\|x^*x\| = \|x\|^2$ )을 만족해야 한다. 이 항등식은 C* 대수의 구조를 결정하는 핵심적인 역할을 하며, C* 노름이 대수적 구조에 의해 유일하게 결정된다는 강력한 성질을 내포한다.

역사적으로 C* 대수와 밀접하게 관련된 개념으로 B*-대수가 있다. B*-대수는 1946년 C. E. 리카트가 특정 조건( $\lVert x x^* \rVert = \lVert x \rVert ^2$ )을 만족하는 바나흐 *-대수를 지칭하기 위해 도입한 용어이다. 이 조건은 C* 항등식과 동치임이 밝혀졌으며, 현재는 C*-대수라는 용어가 더 널리 사용된다. 'C*-대수'라는 용어 자체는 1947년 I. E. 시걸이 힐베르트 공간 상의 유계 작용소 대수 중 노름 위상에서 닫힌(closed) 부분 대수를 지칭하면서 처음 사용했다.

C* 대수의 구체적인 정의 방식과 성질에 대한 자세한 내용은 아래 하위 섹션들에서 다룬다.

2.1. 추상적 정의

C* 대수는 복소수 체 위의 대수 $A$ 에 다음과 같은 구조들이 주어진 것이다.

# $A$ 는 대합이라 불리는 사상 $*\colon A \to A, a\mapsto a^*$ 을 가지며, 이는 다음 성질들을 만족시킨다. (이러한 구조를 갖춘 대수를 *-대수라고 한다.)
#* 모든 $a, b \in A$ 와 $\lambda, \mu \in \mathbb{C}$ 에 대해 $(\lambda a + \mu b)^* = \bar{\lambda} a^* + \bar{\mu} b^*$
#* 모든 $a, b \in A$ 에 대해 $(ab)^* = b^*a^*$
#* 모든 $a \in A$ 에 대해 $(a^*)^* = a$
# $A$ 는 노름 $\|\cdot\|$ 을 가지며, 이 노름에 대해 완비이고 모든 $a, b \in A$ 에 대해 곱셈 부등식 $\|ab\| \le \|a\|\|b\|$ 를 만족시킨다. (이러한 구조를 갖춘 대수를 바나흐 대수라고 한다.)
# 모든 $a \in A$ 에 대해 다음 C* 항등식이 성립한다.
#* $\|a^*a\| = \|a\|^2$ (또는 동등하게 $\|aa^*\| = \|a\|^2$ )

즉, C* 대수는 위의 C* 항등식을 만족시키는 바나흐 *-대수이다. C* 항등식 $\|x^*x\| = \|x\|^2$ 은 다음 두 조건과 동치이다.

* (C* 항등식 C* identity^영어) $\Vert x^*x\Vert=\Vert x\Vert\Vert x^*\Vert$
* (B* 항등식 B* identity^영어) $\Vert x\Vert=\Vert x^*\Vert$

C* 항등식( $\Vert x^*x\Vert=\Vert x\Vert\Vert x^*\Vert$ )이 B* 항등식( $\Vert x\Vert=\Vert x^*\Vert$ )을 함의하는 것은 비교적 명확하지만, 그 역을 보이는 것은 자명하지 않다.

일반적으로 C* 대수의 정의에서 곱셈에 대한 항등원의 존재를 가정하지는 않지만, 항등원을 가지는 C* 대수는 단위적(unital)이라고 불린다.

2.2. 대수적 정의

C* 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
* 추상적으로, 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조가 서로 호환되게 주어진 복소수 벡터 공간으로 여길 수 있다.
* 복소수 바나흐 공간 구조는 복소수 대합 대수 구조로부터 정의될 수 있으므로, C* 대수를 순수하게 대수학적으로 특별한 형태의 복소수 대합 대수로 정의할 수도 있다.
* 구체적으로, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 표현될 수 있는 복소수 바나흐 대수로 여길 수 있다.

이 정의들은 모두 서로 동치이다.

복소수체 $\mathbb{C}$ 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수 $(A,^*)$ 가 다음 조건을 만족하면 C* 대수라고 한다.
* $a\mapsto\sup\operatorname{sp}(a^*a)$ 는 $A$ 위의 노름을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
* 임의의 $a\in A$ 에 대하여, 스펙트럼 $\operatorname{sp}(a^*a)\subseteq\mathbb C$ 는 유계 집합이다.
* 임의의 $a\in A\setminus\{0\}$ 에 대하여, $1+\lambda a^*a$ 가 가역원이 아니게 만드는 복소수 $\lambda\in\mathbb C$ 가 존재한다.
* (삼각 부등식) 임의의 $a,b\in A$ 에 대하여, $\sup\operatorname{sp}((a+b)^*(a+b)) \le (\sqrt{\sup\operatorname{sp}(a^*a)} + \sqrt{\sup\operatorname{sp}(b^*b)})^2$ 이다. (이는 $\sup\operatorname{sp}(a^*a+b^*b+a^*b+b^*a)\le \sup\operatorname{sp}(a^*a)+\sup\operatorname{sp}(b^*b)+2\sqrt{\sup\operatorname{sp}(a^*a)\sup\operatorname{sp}(b^*b)}$ 와 동치이다.)
* $a\mapsto\sqrt{\sup\operatorname{sp}(a^*a)}$$ 는 완비 노름을 이룬다. (즉, $\|a\| = \sqrt{\sup\operatorname{sp}(a^*a)}$ 로 정의된 노름에 대해 완비이다.)

1943년 겔판트와 나이마르크가 제시한 정의에 따르면, C* 대수 A는 복소수 체 위의 바나흐 대수이며, $x \mapsto x^*$ 로 표시되는 사상(대합)이 존재하고 $x\in A$ 에 대해 다음 성질을 만족한다.

* 모든 A의 x에 대해 대합이다: $(x^*)^* = x$
* 모든 A의 x, y에 대해: $(x + y)^* = x^* + y^*$ , $(x y)^* = y^* x^*$
* 모든 복소수 $\lambda\in\mathbb{C}$ 와 모든 A의 x에 대해: $(\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^*$
* 모든 A의 x에 대해 C* 항등식이 성립한다: $\|x^* x \| = \|x\|^2$ (이는 $\|xx^*\| = \|x\|^2$ 와 동치이며, $\|x^*\|=\|x\|$ 임을 함의한다).

처음 세 조건은 A가 *-대수임을 의미한다. 마지막 C* 항등식은 매우 강력한 조건으로, 스펙트럼 반경 공식을 통해 C* 노름이 대수적 구조만으로 유일하게 결정됨을 보여준다:
$\|x\|^2 = \|x^* x\| = \sup\{|\lambda| : x^* x - \lambda \,1 \text{ 은 가역적이지 않다} \}.$

정리하면, 집합 A가 다음 구조를 가질 때 C*-대수라고 불린다.

👆

좌우로 밀어서 보기

조건	설명
1	A는 복소수체 $\mathbb{C}$ 위의 대수이다.
2	대합 $\ast\colon a\mapsto a^$ 이 존재하며, 이는 반선형이고 반동형이며 대합적이다 ( $(a^)^*=a$ ).
3	A는 [[노름]] $\>\cdot\\|$ 을 가지는 바나흐 공간이며, 대수 곱셈은 노름에 대해 연속이다 ( $\\|ab\\| \le \\|a\\|\\|b\\|$ ). 즉, 바나흐 대수이다.
4	C* 항등식이 성립한다: $\>a^*a\\| = \\|a\\|^2$

조건 1, 2를 만족하는 대수를 *-대수 (대합 대수), 조건 1, 3을 만족하는 대수를 바나흐 대수, 조건 1, 2, 3을 만족하는 대수를 바나흐 *-대수라고 한다. 따라서 C*-대수는 C* 항등식을 만족하는 바나흐 *-대수이다. C* 항등식

\|a^*a\| = \|a\|^2

은 때때로 B* 항등식이라고도 불리며, 이 항등식을 만족하는 바나흐 *-대수를 B*-대수라고도 하는데, 이는 C*-대수와 동치인 개념으로 역사적인 명칭이다. 일반적인 C*-대수는 곱셈의 항등원

1

을 가질 필요는 없지만, 항등원을 가지는 C*-대수는 단위적(unital)이라고 불린다.

C* 대수 A와 B 사이의 준동형 사상

\pi : A \to B

가 대합 작용

*

을 보존하면(

\pi(x^*) = \pi(x)^*

), 즉 *-준동형 사상이면,

\pi

는 자동으로 축소 사상 (

\|\pi(x)\| \le \|x\|

)이 되어 연속이다. 또한, 단사적인 *-준동형 사상은 등거리 사상 (

\|\pi(x)\| = \|x\|

)이다. 이는 C* 항등식의 결과이다. 전단사적인 *-준동형 사상은 C*-동형 사상이라고 하며, 이 경우 A와 B는 동형이라고 한다. 주어진 C*-대수에 대해 그 *-구조와 양립하는 노름은 유일하게 존재한다.

2.3. 구체적 정의

C* 대수는 구체적으로 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 표현될 수 있는 복소수 바나흐 대수로 정의할 수 있다. 이 정의 방식에서는 복소수 힐베르트 공간 위의 *-표현이 정의의 일부로 간주되지는 않는다.

복소수 대합 대수 $A$ 의 *-표현(*-representation^영어)은 복소수 힐베르트 공간 $\mathcal H$ 와, 유계 작용소들의 복소수 바나흐 대수 $\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)$ 로 가는 단사 복소수 대합 대수 준동형 $\iota\colon A\hookrightarrow \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)$ 로 구성된다. 즉, $\iota$ 는 단사 함수이며, 복소수 선형 변환이고, (항등원을 보존하는) 환 준동형이며, 대합 연산을 보존한다 ( $\iota(a^*) = \iota(a)^*$ ). 여기서 우변의 $*$ 는 유계 작용소의 에르미트 수반이다. 어떤 복소수 대합 대수가 그 상이 (작용소 노름으로 정의되는 거리 위상에 대하여) 닫힌집합인 *-표현을 가질 때, 이를 C* 대수라고 부른다.

겔판트-나이마르크 정리(Gelfand–Naimark theorem^영어)는 임의의 추상적으로 정의된 C* 대수 $A$ 가 실제로는 어떤 복소수 힐베르트 공간 $\mathcal H$ 위의 유계 작용소 대수와 등거리적으로 *-동형임을 보여준다. 즉, $\iota\colon A\to\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)$ 와 같은 단사 함수이자 복소수 선형 변환이며 등거리 변환이고, 수반 연산 $*$ 을 보존하는 준동형 사상이 존재하며, 그 상은 구체적인 C* 대수의 정의에 부합한다. 이 정리는 1943년 겔판트와 나이마르크의 논문에서 제시된 추상적 정의와 구체적 정의가 동치임을 증명한다.

추상적인 정의에 따르면, C* 대수 $A$ 는 다음 조건들을 만족하는 복소수 체 위의 바나흐 대수이다.
# $A$ 는 복소수 위의 대수이다.
# 대합이라 불리는 사상 $\ast\colon A \to A, a\mapsto a^*$ 가 존재하며, 다음을 만족한다:
#* 임의의 $a, b \in A$ 와 $\lambda, \mu \in \mathbb{C}$ 에 대해 $(\lambda a + \mu b)^* = \overline{\lambda} a^* + \overline{\mu} b^*$ (켤레 선형성)
#* 임의의 $a, b \in A$ 에 대해 $(ab)^* = b^* a^*$ (반-준동형)
#* 임의의 $a \in A$ 에 대해 $(a^*)^* = a$ (대합성)
# $A$ 에는 노름 $\|\cdot\|$ 이 주어져 바나흐 공간을 이루며, 임의의 $a, b \in A$ 에 대해 다음을 만족한다:
#* $\|ab\| \le \|a\| \|b\|$ (준곱셈적 노름)
# 임의의 $a \in A$ 에 대해 C* 항등식이라 불리는 다음 등식이 성립한다:
#* $\|a^*a\| = \|a\|^2$

조건 1, 2를 만족하는 대수를 *-대수라 하고, 조건 1, 3을 만족하는 대수를 바나흐 대수라 하며, 조건 1, 2, 3을 만족하는 대수를 바나흐 *-대수라고 부른다. 따라서 C* 대수는 C* 항등식을 만족하는 바나흐 *-대수이다. C* 항등식 $\|a^*a\| = \|a\|^2$ 은 $\|aa^*\| = \|a\|^2$ 와 동치이다. 이 C* 항등식은 매우 강력하여, 예를 들어 스펙트럼 반경 공식과 결합하면 C* 노름이 대수적 구조만으로 유일하게 결정됨을 알 수 있다.
:: $\|x\|^2 = \|x^* x\| = \sup\{|\lambda| : x^* x - \lambda \,1 \text{ 은 가역적이지 않다} \}.$

일반적으로 C* 대수는 곱셈의 단위원 $1$ 을 가질 필요는 없지만, 단위원을 가지는 C* 대수는 단위적(unital)이라고 불린다.

3. 성질

C* 대수는 기술적으로 편리한 여러 성질을 가지며, 이러한 성질 중 일부는 연속 함수 미적분을 사용하거나 가환 C* 대수로의 환원을 통해 증명될 수 있다. 후자의 경우, 가환 C* 대수의 구조가 겔판드 표현에 의해 완전히 결정된다는 사실을 이용한다.

1943년 겔판트와 나이마르크의 논문에서 제시된 C* 대수의 추상적 정의는 다음과 같다. C* 대수 A는 복소수 체 위의 바나흐 대수이며, 모든 $x \in A$ 에 대해 다음 성질을 만족하는 대합 연산 $x \mapsto x^*$ 을 갖는다.

* 모든 $x \in A$ 에 대해 $(x^*)^* = x$ (대합성)
* 모든 $x, y \in A$ 에 대해 $(x + y)^* = x^* + y^*$ 및 $(xy)^* = y^* x^*$ (선형성 및 반-곱셈성)
* 모든 $\lambda \in \mathbb{C}$ 와 모든 $x \in A$ 에 대해 $(\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^*$ (반-선형성)
* 모든 $x \in A$ 에 대해 $\|x x^* \| = \|x\|\|x^*\|$ (C* 항등식의 한 형태)

처음 네 가지 성질은 A가 *-대수임을 의미한다. 마지막 항등식은 C* 항등식이라고 불리며, $\|xx^*\| = \|x\|^2$ 와 동치이다. 이 C* 항등식은 매우 강력한 조건으로, 예를 들어 스펙트럼 반경 공식과 결합하여 C* 노름이 대수적 구조, 특히 원소 $x^*x$ 의 스펙트럼에 의해 유일하게 결정됨을 보여준다.
$\|x\|^2 = \|x^* x\| = \sup\{|\lambda| : x^* x - \lambda \,1 \text{ 은 가역적이지 않다} \}.$

B*-대수라는 용어는 1946년 C. E. 리카트가 $\lVert x x^* \rVert = \lVert x \rVert ^2$ (B*-조건)을 만족하는 바나흐 *-대수를 지칭하기 위해 도입했다. 이 조건은 자동으로 대합 연산이 등거리 사상( $\lVert x \rVert = \lVert x^* \rVert$ )임을 함의하며, 따라서 B*-대수는 C*-대수이다. 역으로 C*-조건이 B*-조건을 함의하는 것도 증명되었으므로, 현재는 B*-대수라는 용어 대신 C*-대수라는 용어가 주로 사용된다. C*-대수라는 용어 자체는 1947년 I. E. 시걸이 어떤 힐베르트 공간 H 상의 유계 작용소 대수 B(H)의 노름-닫힌 부분 대수를 가리키기 위해 도입했으며, 여기서 'C'는 '닫힌(closed)'을 의미했다. 시걸은 C*-대수를 "힐베르트 공간 상의 균일하게 닫힌, 자기 수반 유계 작용소 대수"로 정의했다.

C* 대수 A의 원소 중 $x = x^*$ 를 만족하는 원소를 자기 수반 원소라고 한다. $x^*x$ 형태의 원소 집합은 닫힌 볼록뿔을 형성하며, 이 뿔의 원소를 양의 원소 (또는 비음수 원소)라고 부른다. 양의 원소는 $xx^*$ 형태의 원소와 동일하다. A의 자기 수반 원소 집합은 자연스럽게 부분 순서 벡터 공간 구조를 가지며, 순서는 $x \ge y \iff x-y$ 가 양의 원소인 것으로 정의된다. 자기 수반 원소 $x$ 가 양의 원소일 필요충분조건은 $x$ 의 스펙트럼이 음이 아닌 실수 집합 $[0, \infty)$ 에 포함되는 것이다.

이 부분 순서 구조를 이용하여 C* 대수 위의 양의 선형 범함수를 정의할 수 있으며, 이는 다시 C* 대수의 상태를 정의하는 데 사용된다. 상태는 양의 원소를 양의 실수로 보내고 노름이 1인 연속 선형 범함수이다. (단위원을 갖지 않는 경우, 노름 1 조건으로 정의된다.) 상태 개념은 양자역학의 수학적 공식화에서 물리량의 기댓값을 나타내는 연산과 관련이 깊다. 모든 상태 $\phi$ 에 대해 GNS 구성을 통해 C* 대수 A의 힐베르트 공간 표현 $\pi_\phi$ 와 해당 힐베르트 공간 $H_\phi$ 를 구성할 수 있다. 이 표현은 C* 대수가 구체적인 작용소 대수로 표현될 수 있음을 보여주는 중요한 결과(겔판트-나이마르크 정리)의 핵심 요소이다.

C* 대수의 닫힌 양쪽 아이디얼은 그 자체가 C* 대수이며, 아이디얼에 의한 대수적 몫 또한 자연스러운 노름을 부여하면 C* 대수가 된다.

모든 C* 대수 A에 대해, 그 쌍대 공간의 쌍대 공간 $A^{$ }는 [[폰 노이만 대수|W*-대수]]의 구조를 가지며, 이를 A의 보편 포락 대수라고 부른다. A의 임의의 힐베르트 공간 표현 $\pi: A \to B(H)$ 에 대해, $\pi(A)$ 가 생성하는 폰 노이만 대수 $\pi(A)''$ 는 $A^{$ }의 (약한 위상으로 닫힌 아이디얼에 대한 몫 대수와) 동형이다.

3.1. C* 대수 사이의 사상

(항등원을 갖는) 두 C* 대수 $A$ , $B$ 와 항등원을 보존하는 복소수 대합 대수 준동형 $f\colon A\to B$ 가 주어졌다고 하자. 즉, $f$ 는 복소수 선형 변환이자 환 준동형이며, 대합 연산( $*$ )을 보존한다 ( $f(a^*)=f(a)^*\;\forall a\in A$ ).

이러한 준동형 $f$ 는 작용소 노름이 1 이하인 유계 작용소이다. 즉, 모든 $a \in A$ 에 대해 $\|f(a)\|_B \le \|a\|_A$ 가 성립한다. 이는 C* 항등식 $\|x\|^2 = \|x^*x\|$ 와 스펙트럼 반지름의 성질을 이용하여 증명할 수 있다. 구체적으로, $a^*a$ 는 음이 아닌 원소이므로 노름은 스펙트럼 반지름과 같고( $\|a^*a\|_A = \operatorname{sp\,rad}_A(a^*a)$ ), 스펙트럼은 준동형 사상 아래에서 포함 관계( $\operatorname{sp}_A(a^*a)\supseteq \operatorname{sp}_B(f(a^*a))$ )를 가지므로, $\|f(a)\|_B^2 = \|f(a^*a)\|_B = \operatorname{sp\,rad}_B(f(a^*a)) \le \operatorname{sp\,rad}_A(a^*a) = \|a^*a\|_A = \|a\|_A^2$ 가 성립하여 $\|f\| \le 1$ 임을 알 수 있다.

만약 준동형 $f$ 가 추가로 단사 함수라면, $f$ 는 등거리 변환이 된다. 즉, 모든 $a\in A$ 에 대해 $\|a\|_A=\|f(a)\|_B$ 가 성립한다.

따라서, C* 대수들과 그 사이의 복소수 대합 대수 준동형들은 구체적 범주 $\operatorname{C*Alg}$ 를 형성한다.

C* 대수 $A$ 와 $B$ 사이의 유계 선형 사상 $\pi \colon A \to B$ 가 다음 두 조건을 만족하면 *-준동형이라고 부른다.
* 모든 $x, y \in A$ 에 대해 $\pi(xy) = \pi(x)\pi(y)$ (곱셈 구조 보존)
* 모든 $x \in A$ 에 대해 $\pi(x^*) = \pi(x)^*$ (대합 구조 보존)

C* 대수의 경우, 두 C* 대수 사이의 모든 *-준동형 $\pi$ 는 축소 사상이다. 즉, 노름이 1 이하( $\|\pi\| \le 1$ )로 유계되어 있다. 또한, 두 C* 대수 사이의 단사적인 *-준동형은 등거리 사상이다. 이 성질들은 C* 항등식의 중요한 결과이다.

만약 *-준동형 $\pi$ 가 전단사적이라면, 이를 C*-동형 사상이라고 부른다. 이 경우 두 C* 대수 $A$ 와 $B$ 는 서로 동형이라고 한다.

3.2. 스펙트럼

C* 대수 $A$ 의 원소 $x\in A$ 의 스펙트럼 $\sigma(x)$ 는 복소수 $\lambda\in\mathbb C$ 중에서 $\lambda\cdot1-x$ 가 가역원이 되지 않게 하는 값들의 집합이다. 즉, $\sigma(x) = \{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lambda \cdot 1 - x \text{ 는 가역원이 아니다}\}$ 로 정의된다. 일반적으로, 원소 $x^*$ 의 스펙트럼은 $x$ 의 스펙트럼에 있는 각 원소의 켤레복소수로 이루어진 집합과 같다. 수식으로는 $\sigma(x^*) = \overline{\sigma(x)} = \{\bar\lambda \mid \lambda \in \sigma(x)\}$ 와 같이 표현할 수 있다.

C* 대수의 원소의 스펙트럼은 절대 공집합이 아니다. 스펙트럼은 원소의 종류에 따라 다음과 같은 특별한 성질을 가진다.

* 자기 수반 원소: 만약 $x$ 가 $x=x^*$ 를 만족하는 자기 수반 원소라면, $x$ 의 스펙트럼 $\sigma(x)$ 는 실수 집합 $\mathbb{R}$ 의 부분 집합이다. 즉, 자기 수반 원소의 스펙트럼 값은 모두 실수이다.
* 유니터리 원소: 만약 $x$ 가 $xx^*=x^*x=1$ 를 만족하는 유니터리 원소라면, $x$ 의 스펙트럼 $\sigma(x)$ 에 속하는 모든 원소 $\lambda$ 는 절댓값이 1이다 ( $|\lambda|=1$ ). 이는 유니터리 원소의 스펙트럼이 복소평면 상의 단위원 $\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}$ 의 부분 집합임을 의미한다.
* 음이 아닌 원소: 만약 $x$ 가 어떤 원소 $y \in A$ 에 대해 $x=y^*y$ 형태로 표현될 수 있다면, $x$ 를 음이 아닌 원소라고 한다. 음이 아닌 원소는 항상 자기 수반 원소이며, 그 스펙트럼은 음이 아닌 실수, 즉 $\sigma(x) \subseteq [0, \infty)$ 로 구성된다.

원소 $x$ 의 스펙트럼에 속하는 값들의 절댓값 중에서 가장 큰 값, 즉 상한 $\sup\{|\lambda| \mid \lambda \in \sigma(x)\}$ 를 $x$ 의 스펙트럼 반지름이라고 부르며, $\nu(x)$ 로 표기한다. 스펙트럼 반지름은 다음과 같은 극한 공식을 통해서도 계산할 수 있다.
$\nu(x) = \lim_{n\to\infty} \|x^n\|^{1/n}$
C* 대수의 중요한 특징 중 하나인 C* 항등식 $\|x\|^2 = \|x^*x\|$ 는 스펙트럼 반지름과 깊은 연관이 있다. 특히, 자기 수반 원소인 $x^*x$ 의 노름(크기)은 그 원소의 스펙트럼 반지름과 같다.
$\|x\|^2 = \|x^*x\| = \nu(x^*x) = \sup\{|\lambda| \mid \lambda \in \sigma(x^*x)\}$
이 관계는 C* 대수의 노름이 대수적인 구조, 특히 스펙트럼 정보에 의해 유일하게 결정된다는 중요한 사실을 보여준다.

3.3. 근사 항등원

모든 C* 대수 A는 근사 항등원을 갖는다. 구체적으로, 다음 조건을 만족하는 A의 자기 수반 원소들의 방향족족 {e_λ}_λ∈I가 존재한다.

* 모든 x ∈ A에 대해 $x e_\lambda \rightarrow x$ 이다. 즉, e_λ는 오른쪽에서 항등원처럼 작용하는 극한의 의미를 갖는다. (C* 대수에서는 $e_\lambda x \rightarrow x$ 도 성립하여 왼쪽에서도 마찬가지로 작용한다.)
* 만약 $\lambda \leq \mu$ 이면 $0 \leq e_\lambda \leq e_\mu \leq 1$ 이다. 여기서 1은 (만약 존재한다면) 대수의 항등원을 의미하며, 부등식은 C* 대수의 부분 순서를 따른다.

만약 C* 대수 A가 가분적이라면, A는 수열 형태의 근사 항등원, 즉 {e_n}_n∈ℕ 형태의 근사 항등원을 갖는다. 더 일반적으로, A가 수열 근사 항등원을 갖는 필요충분조건은 A가 [[상속 C*-부분 대수|엄밀히 양의 원소]](strictly positive element^영어)를 포함하는 것이다. 엄밀히 양의 원소란, 집합 hAh = { hah | a ∈ A } 가 A에서 조밀한 양의 원소 h를 의미한다.

4. 연산

C* 대수는 복소수 체 위의 바나흐 대수이며, $x \mapsto x^*$ 로 표시되는 대합 연산을 갖춘 *-대수이다. 이는 C* 대수 내에서 덧셈, (스칼라) 곱셈, 그리고 대합이라는 기본적인 연산들이 잘 정의되어 있음을 의미한다. 구체적으로, 모든 원소 $x, y$ 와 복소수 $\lambda$ 에 대해 다음의 연산 규칙들이 성립한다.
* 덧셈과 대합: $(x + y)^* = x^* + y^*$
* 곱셈과 대합: $(x y)^* = y^* x^*$
* 스칼라 곱셈과 대합: $(\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^*$
* 대합의 대합: $(x^*)^* = x$

이러한 기본적인 대수적 구조를 바탕으로, 기존의 C* 대수로부터 새로운 C* 대수를 구성하는 다양한 연산들이 가능하다. 예를 들어, 여러 개의 C* 대수를 결합하는 직합, 특정 조건을 만족하는 부분 공간인 아이디얼을 이용한 몫대수, 또는 C* 대수의 원소를 성분으로 하는 행렬 대수 등이 대표적이다. 이러한 연산들을 통해 만들어진 대수 역시 C* 대수의 성질을 만족하게 된다. 구체적인 연산 방식과 그 결과는 하위 섹션에서 더 자세히 살펴본다.

4.1. 직합

유한 또는 무한 개의 C* 대수 $(A_i)_{i\in I}$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간
: $\widehat\bigoplus_{i\in I}A_i \subseteq\prod_{i\in I}A_i$
: $a\in \widehat\bigoplus_{i\in I}A_i \iff \sup_{i\in I}\|a_i\|_{A_i}<\infty$
위에 균등 노름
: $\|a\|_{\widehat\bigoplus_i A_i}=\sup_{i\in I}\|a_i\|_{A_i}$
및 성분별 곱셈
: $(ab)_i=a_ib_i\qquad(i\in I)$
을 부여하면, 이는 C* 대수를 이룬다. 이 경우 항등원은
$1_{\widehat\bigoplus_iA_i}=(1_{A_i})_{i\in I}$
이다.

만약 $I$ 가 유한 집합이라면, 이는 단순히 직합 $\textstyle\bigoplus_{i\in I}A_i$ 과 같다.

4.2. 몫대수

C* 대수 $A$ 와 그 양쪽 아이디얼 $\mathfrak I$ 가 주어졌을 때, 만약 $\mathfrak I$ 가 닫힌집합이라면, 그 몫환 $A/\mathfrak I$ 역시 C* 대수를 이룬다.

이러한 성질은 근사 항등원 개념을 사용하여 증명할 수 있다.

덧붙여, C* 대수의 닫힌 양쪽 아이디얼 $\mathfrak I$ 는 그 자체로도 C* 대수가 된다.

4.3. 행렬 대수

C* 대수 $A$ 와 자연수 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해, $A$ 의 원소를 성분으로 가지는 $n \times n$ 정사각 행렬들의 행렬 대수 $\operatorname{Mat}(n;A)$ 역시 C* 대수를 이룬다.

만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 $V$ 에 대해 $A$ 가 $V$ 위의 유계 작용소들의 대수 $\operatorname{B}(V,V)$ 의 부분 대수라면 ( $A \subseteq \operatorname{B}(V,V)$ ), 행렬 대수 $\operatorname{Mat}(n;A)$ 는 $n$ 개의 $V$ 를 직합한 공간 $V^{\oplus n}$ 위의 유계 작용소들의 대수 $\operatorname{B}(V^{\oplus n}, V^{\oplus n})$ 의 부분 대수로 간주할 수 있다 ( $\operatorname{Mat}(n;A) \subseteq \operatorname{B}(V^{\oplus n}, V^{\oplus n})$ ).

만약 $n=0$ 이라면, 이는 자명환이 된다.

5. 예시

C* 대수의 대표적인 예시는 다음과 같다.

* 가환 C* 대수:
* 콤팩트 하우스도르프 공간 $\Omega$ 위의 복소수 값 연속 함수 공간 $C(\Omega)$ . 점별 곱셈, 켤레 복소수 대합, 균등 노름을 갖춘다.
* 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 $\Omega$ 위의 무한대에서 0으로 수렴하는 복소수 값 연속 함수 공간 $C_0(\Omega)$ . $\Omega$ 가 콤팩트하지 않으면 항등원은 없지만 가환 C* 대수이다.

* 비가환 C* 대수:
* 유계 작용소 대수: 힐베르트 공간 $H$ 위의 유계 선형 연산자들의 대수 $B(H)$ . 함수의 합성을 곱으로, 수반 연산자를 대합으로, 작용소 노름을 노름으로 갖춘다. 특히, $H$ 가 $n$ 차원 복소 벡터 공간일 경우, 이는 복소 행렬 대수 $M_n(\mathbb{C})$ 와 동형이다.
* 구체적인 C* 대수: $B(H)$ 의 부분 *-대수 중 작용소 노름으로 닫혀 있는 대수 $M$ . 콤팩트 작용소 대수 $K(H)$ 가 대표적인 예이다. 겔판트-나이마르크 정리에 따르면 모든 C* 대수는 어떤 힐베르트 공간 위의 구체적인 C* 대수와 동형이다.
* 축약 군 환: 이산 군 또는 국소 콤팩트 군 $G$ 로부터 구성되는 C* 대수 $C^*_\lambda G$ .

5.1. 자명한 C* 대수

한원소 집합 {•} 위의 유일한 환 구조인 자명환은 C* 대수를 이룬다. 이는 유일한 0차원 C* 대수이다.

5.2. 유한 차원 C* 대수

C* 대수 $A$ 와 자연수 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해, $A$ 의 원소를 성분으로 하는 $n \times n$ 정사각 행렬들의 집합인 행렬 대수 $\operatorname{Mat}(n, A)$ 역시 C* 대수를 이룬다. 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 $V$ 에 대해 $A$ 가 $V$ 위의 유계 작용소들의 대수 $\mathcal{B}(V)$ 의 부분 대수라면 ( $A \subseteq \mathcal{B}(V)$ ), $\operatorname{Mat}(n, A)$ 는 $\mathcal{B}(V^{\oplus n})$ 의 부분 대수로 생각할 수 있다 ( $\operatorname{Mat}(n, A) \subseteq \mathcal{B}(V^{\oplus n})$ ). $n=0$ 인 경우, 이는 자명환이다.

C 위의 $n \times n$ 행렬의 대수 $\operatorname{Mat}(n, \mathbb{C})$ 는 행렬을 유클리드 공간 $\mathbb{C}^n$ 에서의 선형 작용소로 보고, 작용소 노름 $\|\cdot\|$ 을 부여하면 C*-대수가 된다. 이때 인볼루션 연산( $*$ -연산)은 켤레 전치로 주어진다.

임의의 유한 차원 C* 대수 $A$ 는 행렬 대수들의 유한 직합으로 표현될 수 있다. 이는 자기 수반 조건( $A^* = A$ )이 유한 차원 C*-대수가 반단순 대수임을 의미하기 때문에 가능한 것이며, 아르틴-베더번 정리의 한 형태이다.

정리. 유한 차원 C*-대수 $A$ 는 다음과 같은 유한 직합과 표준적으로 동형이다.
: $A \cong \bigoplus_{i=1}^k \operatorname{Mat}(n_i, \mathbb{C})$
여기서 각 $\operatorname{Mat}(n_i, \mathbb{C})$ 는 복소수 성분의 $n_i \times n_i$ 행렬 대수이다.
더 구체적으로, 이 분해는 $A$ 의 중심에 속하는 최소 영사영들을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
: $A = \bigoplus_{e \in \min A } A e$
여기서 $\min A$ 는 $A$ 의 중심에 속하는 최소 영사영들 중 0이 아닌 자기 수반 원소들의 집합이다.

각각의 C*-대수

Ae

는 완전 행렬 대수

\operatorname{Mat}(\dim(e), \mathbb{C})

와 동형이다 (단, 이 동형사상은 표준적이지 않을 수 있다).

\min A

에 의해 인덱싱된 유한 수열

(\dim(e))_{e \in \min A}

를

A

의 차원 벡터라고 부른다. 이 벡터는 유한 차원 C*-대수의 동형류를 유일하게 결정한다. K-이론의 관점에서 보면, 이 벡터는

A

의

K_0

군의 양뿔(positive cone)에 해당한다.

†-대수 (또는 †-닫힌 대수)는 물리학 분야에서 유한 차원 C*-대수를 가리키는 용어로 가끔 사용된다. 대거 기호(†)는 물리학자들이 보통 에르미트 수반을 나타낼 때 이 기호를 사용하며, 무한 차원에서 발생할 수 있는 수학적 엄밀성을 덜 강조하기 때문에 사용된다. (수학에서는 보통 에르미트 수반을 별표(*)로 나타낸다.) †-대수는 양자역학, 특히 양자 정보 과학 분야에서 중요하게 다뤄진다.

유한 차원 C*-대수의 직접적인 일반화로는 근사 유한 차원 C*-대수가 있다.

5.3. 가환 C* 대수

(항등원을 갖는) 가환 C* 대수 A의 스펙트럼(spectrum^영어) $\hat A$ 는 A에서 복소수 집합 $\mathbb{C}$ 로 가는 모든 *-준동형 사상들의 집합 $\hom(A,\mathbb{C})$ 으로 정의된다. 이 스펙트럼 $\hat A$ 에 약한-* 위상을 부여하면, 바나흐-앨러오글루 정리에 의해 이는 콤팩트 하우스도르프 공간이 된다.

반대로, 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 X에 대해, X 위에서 정의된 모든 복소수 값 연속 함수들의 공간 $\mathcal{C}^0(X, \mathbb{C})$ (또는 간단히 C(X))를 생각할 수 있다. 여기에 함수 값의 상한으로 정의되는 노름( $\|f\|_\infty=\sup_{x\in X}|f(x)|$ )과 점별 덧셈, 점별 곱셈, 점별 켤레 복소수 연산을 부여하면, C(X)는 가환 C* 대수를 이룬다.

겔판트 표현 정리(Gelfand representation theorem^영어)는 이 두 개념 사이의 중요한 관계를 설명한다. 이 정리에 따르면, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 A는 자신의 스펙트럼 $\hat A$ 위의 연속 함수 공간 $\mathcal{C}^0(\hat A, \mathbb{C})$ 와 *-동형이다. 즉, 다음과 같은 관계가 성립한다.
: $A \cong \mathcal{C}^0(\hat A, \mathbb{C})$
이는 가환 C* 대수 A의 대수적 구조가 그 스펙트럼 $\hat A$ 라는 위상 공간의 구조와 깊이 연관되어 있음을 보여준다. 이 대응 관계는 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수의 범주와 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 (사상은 반대 방향) 사이에 범주의 동치 관계를 제공한다.

이 개념은 국소 컴팩트 하우스도르프 공간으로 확장될 수 있다. 국소 컴팩트 하우스도르프 공간 X에 대해, 무한대에서 0으로 수렴하는 연속 함수들의 공간 $C_0(X)$ 를 정의할 수 있다. 이 공간 역시 점별 연산과 상한 노름 하에서 가환 C* 대수를 이룬다. X가 콤팩트 공간이 아닐 경우 $C_0(X)$ 는 곱셈 항등원을 갖지 않지만, 근사 항등원은 갖는다. 겔판트 표현은 더 나아가 모든 가환 C* 대수가 어떤 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X에 대한 $C_0(X)$ 형태의 대수와 *-동형임을 보여준다.

또한, 두 공간 X와 Y에 대해 함수 대수 $C_0(X)$ 와 $C_0(Y)$ 가 C* 대수로서 동형이라면, 원래의 위상 공간 X와 Y는 서로 위상동형이라는 중요한 결과가 따른다. 이는 위상 공간의 성질을 함수 대수의 대수적 성질로 연구할 수 있게 하며, 비가환 위상 수학이나 비가환 기하학과 같은 분야의 중요한 동기가 된다.

구체적인 예시는 다음과 같다.
* $C(\Omega)$ : 콤팩트 하우스도르프 공간 $\Omega$ 위의 복소수 값 연속 함수 공간. 예를 들어 실수 닫힌 구간 $[0,1]$ 위의 연속 함수들이 있다. 점별 곱셈( $fg(s) = f(s)g(s)$ ), 켤레 복소수( $f^*(s) = \overline{f(s)}$ ), 균등 노름( $\|f\| = \sup \{|f(s)| \mid s \in \Omega\}$ )을 갖추면 상수 함수 $1$ 을 항등원으로 갖는 가환 C* 대수가 된다.
* $C_0(\Omega)$ : 국소 컴팩트 하우스도르프 공간 $\Omega$ 위의 무한대에서 0으로 수렴하는 복소수 값 연속 함수 공간. 즉, 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 $\{s \in \Omega \mid |f(s)| \ge \epsilon\}$ 이 콤팩트 집합인 함수 $f$ 들의 공간이다. 예를 들어 실수 전체 $\mathbb{R}$ 에서 $\lim_{|t| \to \infty} f(t) = 0$ 인 함수들이 있다. $C(\Omega)$ 와 유사한 노름과 대합을 가지며, $\Omega$ 가 콤팩트하지 않으면 항등원은 없지만 여전히 가환 C* 대수이다.

5.4. 유계 작용소 대수

복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 모든 유계 작용소들의 집합 $\operatorname B(V,V)$ 는 함수의 합성을 곱셈으로, 수반 연산자를 대합 연산(*)으로 삼을 때 C* 대수를 이룬다. 이는 C* 대수의 대표적인 예시 중 하나이다.

구체적으로, 힐베르트 공간 $H$ 위의 유계 선형 연산자의 대수 $B(H)$ 는 다음과 같은 구조를 가진다.
* 곱셈: 함수의 합성
* 대합: 각 연산자 $A \in B(H)$ 에 대해, 모든 $x, y \in H$ 에 대해 $(A^*x, y) = (x, Ay)$ 를 만족하는 수반 연산자 $A^*$ .
* 노름: 작용소 노름 $\|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|$ .
* 항등원: $H$ 위의 항등 작용소 $I$ .

이러한 연산과 노름 하에서 $B(H)$ 는 C* 대수가 된다.

특히, 힐베르트 공간이 유한 차원 복소수 공간 $V=\mathbb C^n$ 인 경우, 유계 작용소 대수 $\operatorname B(V,V)$ 는 $n \times n$ 복소수 행렬들의 대수 $M_n(\mathbb{C})$ 와 동형이다. 이 경우, 대합 연산은 행렬의 켤레 전치에 해당한다.

겔판트-나이마르크 정리에 따르면, 모든 추상적인 C* 대수 $A$ 는 어떤 적절한 힐베르트 공간 $H$ 에 대해 $B(H)$ 의 노름으로 닫힌 부분 *-대수(즉, 구체적인 C* 대수)와 *-동형이다. 이는 유계 작용소 대수가 C* 대수 이론에서 근본적인 역할을 한다는 것을 보여준다.

또한, $B(H)$ 의 부분 *-대수 $M$ 이 작용소 노름에 대해 닫혀 있다면, $M$ 자체도 C* 대수가 된다. 이러한 대수를 구체적인 C* 대수(concrete C*-algebra^영어)라고 부른다. 예를 들어, 콤팩트 작용소들의 집합 $K(H)$ 는 $B(H)$ 의 닫힌 부분 *-대수이므로 구체적인 C* 대수이다.

5.5. 콤팩트 작용소 대수

H를 분리 가능한 무한 차원 힐베르트 공간이라고 하자. H 위의 컴팩트 연산자들의 대수 K(H)는 B(H) (H 위의 유계 작용소들의 대수)의 노름 닫힌 부분 대수이다. 또한 수반 연산에 대해서도 닫혀 있으므로 C*-대수를 이룬다.

K(H)는 B(H)의 닫힌 양쪽 아이디얼이다. 특히, 분리 가능한 힐베르트 공간의 경우, K(H)는 B(H)의 유일한 (자명하지 않은) 닫힌 양쪽 아이디얼이다. 몫 대수 B(H) / K(H)는 칼킨 대수(Calkin algebra^영어)라고 불린다.

K(H)는 항등원을 갖지 않지만, 근사 항등원이라 불리는 수열을 가진다. 구체적으로, H를 제곱 가합 수열의 공간 l²와 동형이라고 가정할 수 있다. 각 자연수 n에 대해, H_n을 k ≥ n인 성분이 0이 되는 l²의 수열들로 이루어진 부분 공간이라 하고, e_n을 H_n 위로의 직교 사영이라 하자. 이 사영들의 수열 {e_n}_n은 K(H)의 근사 항등원을 이룬다.

컴팩트 연산자의 C*-대수는 유한 차원 C*-대수에 대한 Wedderburn의 정리와 유사한 분류 정리를 만족한다.

> 정리. A가 K(H)의 C*-부분 대수이면, 힐베르트 공간들의 집합 {H_i}_i∈I가 존재하여 다음이 성립한다.
> : $A \cong \bigoplus_{i \in I } K(H_i)$
> 여기서 (C*-)직합은 데카르트 곱 Π K(H_i)의 원소 (T_i) 중에서 노름이 0으로 수렴하는 것들(||T_i|| → 0)로 구성된다.

5.6. 칼킨 대수

임의의 복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 모든 유계 작용소들의 모임 $\operatorname B(V,V)$ 에서, 모든 콤팩트 작용소들의 집합 $\operatorname K(V,V)$ 는 $\operatorname B(V,V)$ 의 닫힌 양쪽 아이디얼을 이룬다.

대수학에서 아이디얼을 이용하여 몫환을 구성하는 것처럼, 유계 작용소 대수 $\operatorname B(V,V)$ 를 콤팩트 작용소 아이디얼 $\operatorname K(V,V)$ 로 나눈 몫환
: $\frac{\operatorname B(V,V)}{\operatorname K(V,V)}$
은 C* 대수를 이룬다. 이 C* 대수를 칼킨 대수(Calkin algebra^영어)라고 한다.

만약 $H$ 가 분리 가능한 무한 차원 힐베르트 공간이라면, 콤팩트 작용소들의 대수 $\operatorname K(H)$ 는 $\operatorname B(H)$ 안의 유일한 닫힌 양쪽 아이디얼이다. 따라서 이 경우 칼킨 대수는 $\operatorname B(H)$ 를 그 유일한 닫힌 아이디얼인 $\operatorname K(H)$ 로 나눈 결과이다.

5.7. 축약 군 환

이산 군 G가 주어졌을 때, 힐베르트 공간 l₂G와 그 위의 작용소 λ_g: δ_h → δ_gh가 얻어진다. l₂G 위의 C*-환으로 λ_g (g ∈ G)를 모두 포함하는 최소의 것은 G의 축약 군 환 C\*_λG라고 불린다. 이산 군이 아닌 국소 콤팩트 군에 대해서도 이 정의는 일반화된다.

6. 분류

모든 C* 대수는 겔판트-나이마르크 정리에 따라, 어떤 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소로 이루어진 C* 대수의 부분 대수로 표현될 수 있다. 특히, 주어진 C* 대수를 포함하는 가장 작은 폰 노이만 대수를 정의할 수 있으며, 원래의 C* 대수는 이 폰 노이만 대수 안에서 강한 연산자 위상에 대해 조밀하다. 폰 노이만 대수는 상대적으로 구조가 잘 연구되어 있어, 이를 이용해 C* 대수를 분류하는 데 도움을 받을 수 있다.

7. 다른 분야로의 응용

C* 대수는 수리물리에서의 역학계, 대수적 관점에서의 양자장론, 양자통계역학, 양자 정보 이론 등에 응용된다.

7.1. 비가환 기하학

겔판트 표현에 따르면, 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간과 대응 관계를 가진다. 만약 C* 대수가 항등원을 가져야 한다는 조건을 제외하면, 이는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응된다. 이러한 대응 관계를 바탕으로, 일반적인 (비가환일 수 있는) C* 대수 역시 일종의 ‘비가환 공간’으로 간주할 수 있는데, 이러한 아이디어를 연구하는 수학 분야를 비가환 기하학이라고 한다.

구체적으로, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 위에서 정의되고 '무한대에서 사라지는' 복소수 값 연속 함수들의 공간 $C_0(X)$ 는 점별 곱셈과 덧셈 연산 하에서 가환 C*-대수를 형성한다. 여기서 * 연산은 점별 켤레이다. $C_0(X)$ 는 $X$ 가 콤팩트 공간일 경우에만 곱셈에 대한 항등원을 가진다. 하지만 모든 C*-대수와 마찬가지로 $C_0(X)$ 는 근사 항등원을 갖는다. 이는 $X$ 의 콤팩트 부분 집합들의 방향 집합을 생각하고, 각 콤팩트 집합 $K$ 에 대해 $K$ 에서는 값이 1이고 $K$ 밖에서는 0으로 점차 감소하는 컴팩트 지지 함수 $f_K$ 를 구성함으로써 보일 수 있다. 이러한 함수는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 적용되는 티체 확장 정리에 의해 존재하며, 함수들의 시퀀스 $\{f_K\}$ 가 바로 근사 항등원이 된다.

겔판트 표현은 더 나아가, 모든 가환 C*-대수가 어떤 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 에 대한 함수 대수 $C_0(X)$ 와 *-동형 사상 관계에 있음을 보여준다. 이때 $X$ 는 해당 C*-대수의 지표들의 공간에 약한 위상을 부여한 것과 위상동형이다. 중요한 점은, 만약 두 공간 $X$ 와 $Y$ 에 대해 함수 대수 $C_0(X)$ 와 $C_0(Y)$ 가 C*-대수로서 동형 사상이라면, 원래 공간 $X$ 와 $Y$ 역시 위상동형이라는 것이다. 이러한 강력한 대응 관계는 공간의 성질을 대수의 성질로 번역할 수 있게 해주며, 비가환 위상 수학 및 비가환 기하학 연구의 중요한 동기가 된다. 즉, 비가환 C*-대수를 '비가환 공간'으로 여기고 그 기하학적 성질을 탐구하는 것이다.

7.2. 양자장론 및 양자역학

C* 대수 이론은 양자장론을 수학적으로 엄밀하게 정의하려는 시도에 사용된다. 대표적으로 국소 양자장론의 하그-캐슬러 공리화에서는 민코프스키 시공간의 모든 열린 집합에 C*-대수를 연관시키는 방식으로 접근한다.

양자역학에서도 C*-대수는 중요한 역할을 한다. 일반적으로 물리적 시스템은 단위 원소를 갖는 C*-대수 A로 기술한다. 이때 A의 자기 수반 원소( $x^* = x$ 를 만족하는 원소 x)는 시스템에서 측정 가능한 물리량, 즉 관측 가능량으로 해석한다.

시스템의 상태는 C*-대수 A 위에 정의된 특정 종류의 함수, 즉 양의 선형 범함수 $\phi : A \rightarrow \mathbb{C}$ 로 나타낸다. 이 함수는 두 가지 조건을 만족해야 한다. 첫째, 모든 원소 u ∈ A에 대해 $\phi(u^*u) \geq 0$ 이어야 한다(양의 성질). 이는 C* 대수 A의 원소 중 $x^*x$ 형태로 쓸 수 있는 양의 원소를 항상 양의 실수 또는 0으로 보내는 것을 의미한다. 둘째, $\phi(1) = 1$ 이어야 한다(규격화 조건). 단위적 C* 대수 A 위의 선형 범함수 $\phi$ 가 상태가 될 필요충분조건은 $\|\phi\| = \phi(1) = 1$ 이다.

물리적으로 상태 $\phi$ 는 시스템이 특정 상태에 있을 확률 분포를 나타낸다고 볼 수 있다. 시스템이 상태 $\phi$ 에 있을 때, 관측 가능량 x를 측정했을 때 얻게 될 기댓값은 $\phi(x)$ 로 주어진다. 이처럼 C*-대수의 상태 개념은 양자역학의 수학적 공식화에서 특정 상태 하에서의 물리량 측정 기댓값을 계산하는 연산과 직접적으로 연결되며, 이것이 "상태"라는 용어의 기원이 되었다.

7.3. 양자통계역학 및 양자 정보 이론

C* 대수는 수리물리에서의 역학계, 대수적 관점에서의 양자장론, 양자통계역학, 양자 정보 이론 등에 응용된다.

8. 역사

C* 대수에 대한 논의는 1943년 겔판트와 나이마르크가 제시한 추상적 특징에서 시작되었다.

B*-대수라는 용어는 1946년 C. E. 리카트에 의해 특정 조건을 만족하는 바나흐 *-대수를 설명하기 위해 도입되었다. 이 조건은 주어진 B*-대수 내 모든 x에 대해 노름(norm)이 `||xx*|| = ||x||²`를 만족하는 B*-조건이다.

이 조건은 자동으로 *-인볼루션이 등거리 사상, 즉 `||x|| = ||x*||`임을 의미한다. 따라서 `||xx*|| = ||x|| ||x*||`가 성립하며, 이는 B*-대수가 C*-대수임을 보여준다. 반대로, C*-조건 역시 B*-조건을 함축한다. 이러한 이유로 현재는 B*-대수라는 용어 대신 'C*-대수'라는 용어가 주로 사용된다.

C*-대수라는 용어는 1947년 I. E. 시걸이 힐베르트 공간 H 상의 유계 작용소 공간 B(H)의 노름-닫힌 부분 대수를 설명하기 위해 처음 사용했다. 여기서 'C'는 'closed'(닫힌)를 의미했다. 시걸은 그의 논문에서 C*-대수를 "힐베르트 공간 상의 균일하게 닫힌, 자기 수반 유계 작용소 대수"라고 정의했다.