트로미노

1. 개요

트로미노는 세 개의 정사각형으로 구성된 도형으로, 회전과 반사를 고려하지 않는 자유 트로미노는 I형과 L형 두 가지가 있다. 트로미노는 렙타일의 일종으로, L형 트로미노는 재귀적으로 분할하여 비주기적 타일링을 만들 수 있으며, 솔로몬 W. 골롬은 이를 바탕으로 2ⁿ × 2ⁿ 체스판에서 임의의 정사각형을 제거하면 L-트로미노로 덮을 수 있다는 골롬의 트로미노 정리를 제시했다. 트로미노를 이용한 직사각형 만들기 문제와 체스판 채우기 문제 등이 있으며, I형 트로미노를 사용할 경우 빈칸의 위치가 제한된다.

2. 종류

트로미노는 연결된 세 개의 정사각형으로 구성된 도형이다. 회전과 반사를 서로 다른 도형으로 간주하지 않는 자유 트로미노는 "I"와 "L"(또는 "V") 두 가지가 있다. 두 자유 트로미노 모두 반사 대칭을 가지므로, 단면 트로미노 또한 I형과 L형 두 가지이다. 회전을 서로 다른 것으로 간주하는 고정 트로미노는 I형 2가지, L형 4가지로 총 6가지이다. I형은 180도 회전 대칭이지만, L형은 회전 대칭이 아니다.

3. 대칭성

두 가지 자유 트로미노는 I형과 L형("V"라고도 불린다)이 있으며, 모두 반사 대칭을 갖는다. 따라서 유일한 두 개의 일면 트로미노(반사를 서로 다른 것으로 간주하는 트로미노)이기도 하다. I형 트로미노는 180도 회전 대칭이지만, L형 트로미노는 회전 대칭이 아니다.

4. 렙타일과 타일링

트로미노는 렙타일(rep-tile)이다. 즉, n > 1인 모든 정수 n에 대해 n²개의 더 작은 같은 모양 트로미노로 분할될 수 있다.

5. 골롬의 트로미노 정리

솔로몬 W. 골롬(Solomon W. Golomb)은 손상된 체스판 문제에서 영감을 받아 골롬의 트로미노 정리를 제시했다. 골롬의 트로미노 정리에 따르면, 2ⁿ × 2ⁿ 체스판에서 임의의 정사각형 하나를 제거하면, 나머지 보드는 L-트로미노로 완전히 덮을 수 있다. 이는 수학적 귀납법으로 증명할 수 있는데, 보드를 제거된 정사각형을 포함하는 2ⁿ⁻¹ × 2ⁿ⁻¹ 크기의 4분의 1 보드와, 나머지 세 개의 4분의 1 보드로 형성된 큰 트로미노로 분할하는 방식으로 증명한다. 트로미노는 재귀적으로 단위 트로미노로 분할될 수 있으며, 하나의 정사각형이 제거된 4분의 1 보드의 분할은 귀납적 가설에 의해 가능하다.

이와 대조적으로, 같은 크기의 체스판에서 하나의 정사각형이 제거되면, 나머지 정사각형을 I-트로미노로 덮는 것이 항상 가능한 것은 아니다. I형 트로미노를 놓는 경우, 빈칸의 위치는 한정되며, 이 빈칸의 위치를 구하는 문제는 헝가리의 수학 경시대회에서 출제된 적이 있다.

6. 트로미노 문제 (일본어판 내용 추가)

폴리오미노에서 일반적인 "세트를 모두 한 번씩 사용하여 모양을 만든다"는 문제는 조각 수가 적기 때문에 트로미노의 경우 출제되지 않는다.

==== 직사각형 만들기 ====
단면 유향 트로미노 6종류로 직사각형을 만드는 것은 가능하다. 트로미노 2세트를 사용하여 3×4나 2×6의 직사각형을 만들 수 있다.

한 종류의 조각을 여러 개 사용하여 직사각형을 만드는 문제는 I형의 경우 자명하다. L형도 2조각으로 2×3의 직사각형을 만들 수 있으므로 간단하다. 아시가하라 노부유키는 이 2×3 직사각형의 사용을 금지한 문제를 출제했다.

==== 체스판 채우기 ====
2가지 트로미노는 모두 렙타일이기 때문에 1보다 큰 모든 정수 n에 대하여 n²개의 더 작은 같은 모양으로 채울 수 있다.

6.1. 직사각형 만들기

단면 유향 트로미노 6종류로 직사각형을 만드는 것은 가능하다. 트로미노 2세트를 사용하여 3×4나 2×6의 직사각형을 만들 수 있다.

한 종류의 조각을 여러 개 사용하여 직사각형을 만드는 문제는 I형의 경우 자명하다. L형도 2조각으로 2×3의 직사각형을 만들 수 있으므로 간단하다. 아시가하라 노부유키는 이 2×3 직사각형의 사용을 금지한 문제를 출제했다.

6.2. 체스판 채우기

2가지 트로미노는 모두 렙타일이기 때문에 1보다 큰 모든 정수 n에 대하여 n²개의 더 작은 같은 모양으로 채울 수 있다.

7. 관련 문서

* 도미노
* 테트로미노