포크트 윤곽

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 포크트 함수 (Voigt Functions)
- 4.1. 정의
- 4.2. 포크트 프로파일과의 관계
5. 수치적 근사
6. 역사 및 응용
참조

1. 개요

포크트 윤곽은 가우시안 프로파일과 로렌츠 프로파일의 컨볼루션으로 정의되는 함수로, 분광학에서 선 넓어짐 현상을 모델링하는 데 사용된다. 이 함수는 파데예바 함수를 통해 표현되며, 누적 분포 함수, 미분 등을 계산할 수 있다. 포크트 윤곽은 가우시안 넓어짐과 로렌츠 넓어짐의 조합으로 나타나며, 유사 포크트 함수를 통해 근사될 수 있다. 분광학 및 분말 회절 등 다양한 분야에서 활용되며, 두 가지 넓어짐 메커니즘의 컨볼루션으로 인해 나타난다.

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포크트 윤곽
명칭
한국어 명칭	폭트 프로파일, 폭트 함수, 폭트 선 모양
로마자 표기	Pokteu Peuropail, Pokteu Hamsu, Pokteu Seon Moyang
영어 명칭	Voigt profile, Voigt function, Voigt line shape
일본어 명칭	フォークト関数 (Fōkuto kansū)
개요
종류	확률 분포
형태	밀도 함수
설명	폭트 함수는 가우스 함수와 로렌츠 함수의 컨볼루션으로, 이 두 함수의 특징을 결합한 확률 분포 또는 선 모양을 나타낸다.
파라미터
감마 (γ)	감마 > 0
시그마 (σ)	시그마 > 0
정의역
x	-∞ < x < ∞
확률 밀도 함수 (PDF)
수식	Re[w(z)] / (σ√(2π)), 여기서 z = (x + iγ) / (σ√2)이고 w(z)는 복소 오차 함수이다.
설명	폭트 함수는 가우스 함수 G(x; σ)와 로렌츠 함수 L(x; γ)의 컨볼루션으로 표현될 수 있다.
여러 경우에 대한 중심화된 폭트 프로파일의 플롯. 각 경우는 거의 3.6의 반치전폭(FWHM)을 갖는다. 검은색과 빨간색 프로파일은 각각 가우스 (γ = 0) 및 로렌츠 (σ = 0) 프로파일의 극한 경우이다.
누적 분포 함수 (CDF)
중심화된 폭트 CDF.
활용
분광학	분광학에서 선 모양 분석에 사용된다.
기타	플라즈마 물리학, 레이저 분광학 등 다양한 분야에서 활용된다.

2. 정의

일반성을 잃지 않고, 0에서 최고점을 이루는 중심 프로파일만 고려할 수 있다. 그러면 포크트 윤곽은 다음과 같다.

: $V(x;\sigma,\gamma) \equiv \int_{-\infty}^\infty G(x';\sigma)L(x-x';\gamma)\, dx',$

여기서 ''x''는 선 중심으로부터의 이동 거리이고, $G(x;\sigma)$ 는 중심 가우시안 프로파일이다.

: $G(x;\sigma) \equiv \frac{e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\,\sigma},$

그리고 $L(x;\gamma)$ 는 중심 로렌츠 프로파일이다.

: $L(x;\gamma) \equiv \frac{\gamma}{\pi(\gamma^2+x^2)}.$

정의 적분은 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $V(x;\sigma,\gamma)=\frac{\operatorname{Re}[w(z)]}{\sqrt{2 \pi}\,\sigma},$

여기서 Re[''w''(''z'')]는 파데예바 함수의 실수 부분이며, 다음 값에 대해 계산된다.

: $z=\frac{x+i\gamma}{\sqrt{2}\, \sigma}.$

$\sigma=0$ 및 $\gamma =0$ 의 극한의 경우, $V(x;\sigma,\gamma)$ 는 각각 $L(x;\gamma)$ 및 $G(x;\sigma)$ 로 단순화된다.

2. 1. 기본 정의

중심 주파수를 0으로 설정했을 때, 포크트 윤곽은 다음과 같이 정의된다.

:

V(x;\sigma,\gamma) \equiv \int_{-\infty}^\infty G(x';\sigma)L(x-x';\gamma)\, dx',

여기서 ''x''는 선 중심으로부터의 이동 거리이고,

G(x;\sigma)

는 중심 가우시안 프로파일이다.

:

G(x;\sigma) \equiv \frac{e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\,\sigma},

그리고

L(x;\gamma)

는 중심 로렌츠 프로파일이다.

:

L(x;\gamma) \equiv \frac{\gamma}{\pi(\gamma^2+x^2)}.

정의 적분은 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

V(x;\sigma,\gamma)=\frac{\operatorname{Re}[w(z)]}{\sqrt{2 \pi}\,\sigma},

여기서 Re[''w''(''z'')]는 파데예바 함수의 실수 부분이며, 다음 값에 대해 계산된다.

:

z=\frac{x+i\gamma}{\sqrt{2}\, \sigma}.

2. 2. 파데예바 함수를 이용한 표현

포크트 윤곽은 파데예바 함수(파데예바 함수/Faddeeva function^영어)

w(z)

를 사용하여 표현할 수 있다. 정의 적분은 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

V(x;\sigma,\gamma)=\frac{\operatorname{Re}[w(z)]}{\sqrt{2 \pi}\,\sigma},

여기서 Re[''w''(''z'')]는 파데예바 함수의 실수 부분이며, 다음 값에 대해 계산된다.

:

z=\frac{x+i\gamma}{\sqrt{2}\, \sigma}.

2. 3. 극한

3. 성질

포크트 윤곽은 정규화되어 있다. 즉, 전체 구간에 대한 적분값은 1이다. 이는 정규화된 윤곽의 합성곱이기 때문이다. 로렌츠 윤곽은 0차 모멘트를 제외하고는 모멘트가 없으므로, 모멘트 생성 함수는 코시 분포에 대해 정의되지 않는다. 따라서 포크트 윤곽 또한 모멘트 생성 함수를 갖지 않지만, 특성 함수는 코시 분포에 대해 잘 정의되어 있으며, 정규 분포의 특성 함수도 마찬가지이다. (중심화된) 포크트 윤곽의 특성 함수는 두 함수의 곱이 된다.

: $\varphi_f(t;\sigma,\gamma) = E(e^{ixt}) = e^{-\sigma^2t^2/2 - \gamma |t|}.$

정규 분포와 코시 분포는 안정 분포이므로, 각각 합성곱에 대해 닫혀 있으며 (스케일 변경까지), 포크트 분포 역시 합성곱에 대해 닫혀 있다.

3. 1. 누적 분포 함수

패데예바 함수(스케일된 복소수 오차 함수)의 정의를 사용하여, 포크트 함수의 누적 분포 함수(CDF)를 구하면 다음과 같다.

:

F(x;\mu,\sigma)=\operatorname{Re}\left[\frac{1}{2}+\frac{\operatorname{erf}(z)}{2}+\frac{iz^2}{\pi}\,_2F_2\left(1,1;\frac{3}{2},2;-z^2\right)\right].

여기서

{}_2F_2

는 초기하 함수이다.

3. 2. 중심화된 포크트 프로파일

가우스 프로파일이 ${\displaystyle \mu _{G}}$에, 로렌츠 프로파일이 ${\displaystyle \mu _{L}}$에 중심을 둔다면, 컨볼루션은 ${\displaystyle \mu _{V}=\mu _{G}+\mu _{L}}$에 중심을 둔다. 확률 밀도 함수는 중심 프로파일에서 ${\displaystyle \mu _{V}}$만큼 오프셋된다.

최빈값과 중앙값은 모두 ${\displaystyle \mu _{V}}$에 위치한다.

3. 3. 미분

포크트 프로파일의 미분은 파데예바 함수를 사용하여 표현할 수 있다. 이는 비선형 최소 자승법 등을 이용한 스펙트럼 피팅에 활용될 수 있다.

z

와

x_{c}=x-\mu_{V}

를 사용하면, 첫 번째 및 두 번째 도함수는 Faddeeva 함수의 관점에서 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial x} V(x_{c};\sigma,\gamma) &=

\frac{\operatorname{Re}\left[z ~w(z)\right]}{\sigma^2\sqrt{\pi}}

= -\frac{x_{c}}{\sigma^2} \frac{\operatorname{Re}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2\pi}}+\frac{\gamma}{\sigma^2} \frac{\operatorname{Im}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2\pi}} \\&= \frac{1}{\sigma^{3}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\gamma\cdot\operatorname{Im}\left[w(z)\right]-x_{c}\cdot\operatorname{Re}\left[w(z)\right]\right)\end{aligned}

그리고

:

\begin{aligned}\frac{\partial^2}{\left(\partial x\right)^2} V(x_{c};\sigma,\gamma)&= \frac{x_{c}^{2}-\gamma^2-\sigma^2}{\sigma^4} \frac{\operatorname{Re}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2\pi}}

\frac{2 x_{c} \gamma}{\sigma^4} \frac{\operatorname{Im}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2\pi}}

+\frac{\gamma}{\sigma^4}\frac{1}{\pi} \\&= -\frac{1}{\sigma^{5}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\gamma\cdot\left(2x_{c}\cdot\operatorname{Im}\left[w(z)\right] - \sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right) + \left(\gamma^{2} + \sigma^{2} - x_{c}^{2}\right)\cdot\operatorname{Re}\left[w(z)\right]\right),\end{aligned}

와 같이 나타낼 수 있다.

종종, 하나 또는 여러 개의 포크트 프로필 및/또는 해당 도함수를 비선형 최소 자승법을 사용하여, 예를 들어, 분광법에서 측정된 신호에 맞출 필요가 있다. 이때, 추가 편도함수를 사용하여 계산을 가속화할 수 있다. 매개변수

\mu_{V}

,

\sigma

, 및

\gamma

에 대한 야코비 행렬을 유한 차분법을 이용하여 근사하는 대신, 해당 분석 표현식을 적용할 수 있다.

\operatorname{Re}\left[w(z)\right] = \Re_{w}

및

\operatorname{Im}\left[w(z)\right] = \Im_{w}

로 표시하면, 다음과 같다.

:

\begin{align}\frac{\partial V}{\partial \mu_{V}} = -\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{1}{\sigma^{3}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(x_{c}\cdot\Re_{w} - \gamma\cdot\Im_{w}\right)\end{align}

:

\begin{align}\frac{\partial V}{\partial \sigma} = \frac{1}{\sigma^{4}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\left(x_{c}^{2} - \gamma^{2}-\sigma^{2}\right)\cdot\Re_{w} - 2x_{c}\gamma\cdot\Im_{w} + \gamma\sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right)\end{align}

:

\begin{align}\frac{\partial V}{\partial \gamma} = -\frac{1}{\sigma^{3}\sqrt{2\pi}}\cdot\left(\sigma\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}} - x_{c}\cdot\Im_{w} - \gamma\cdot\Re_{w}\right)\end{align}

원래 포크트 프로필

V

에 대해, 1차 편도함수

V' = \frac{\partial V}{\partial x}

와 2차 편도함수

V'' = \frac{\partial^{2} V}{\left(\partial x\right)^{2}}

에 대한 편미분 공식도 유도할 수 있다.

4. 포크트 함수 (Voigt Functions)

'''포크트 함수'''(Voigt functions) 또는 '''분광선 확장 함수'''(line broadening function) ''U'', ''V'', 그리고 ''H''는 다음과 같이 정의된다.^[1]

:U(x,t)+iV(x,t) = 루트 π/4t/√ π/4t^영어 e^z² erfc(z) = 루트 π/4t/√ π/4t^영어 w(iz),

:H(a,u) = U(u/a,1/4a²)/(√πa),

여기서,

:z = (1-ix)/2√t,

erfc는 상보 오차 함수이며, ''w''(''z'')는 파데예바 함수이다.

4. 1. 정의

'''포크트 함수'''(Voigt functions) 또는 '''분광선 확장 함수'''(line broadening function)

U

,

V

,

H

는 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

U(x,t)+iV(x,t) = \sqrt \frac{\pi}{4t} e^{z^2} \text{erfc}(z) = \sqrt \frac{\pi}{4t} w(iz)

:

H(a,u) = \frac{U(u/a,1/4 a^2)}{a\sqrt \pi}

여기서

z=

이며,

\text{erfc}

는 오차함수이고

w(z)

는 Faddeeva 함수이다.

4. 2. 포크트 프로파일과의 관계

포크트 프로파일은 포크트 함수 ''H''를 사용하여 표현할 수 있다. 여기서 가우스 시그마 관련 변수는

u = \frac{x}{\sqrt 2\, \sigma}

이며

a = \frac{\gamma}{\sqrt 2\,\sigma}

이다.

5. 수치적 근사

'''의사-보이트 함수''' (또는 '''의사-보이트 프로파일''')는 가우시안 함수 ''G''(''x'')와 코시 분포 ''L''(''x'')의 컨볼루션 대신, 이들의 선형 결합을 사용하여 보이트 프로파일 ''V''(''x'')을 근사한 것이다.

의사-보이트 함수는 실험적인 스펙트럼 선 모양의 계산에 자주 사용된다.

정규화된 의사-보이트 프로파일의 수학적 정의는 다음과 같다.

:V_p(x,f) = η · L(x,f) + (1 - η) · G(x,f) with 0 < η < 1.

η는 반치폭 (FWHM) 매개변수의 함수이다.

η 매개변수에 대해 몇 가지 가능한 선택 사항이 있다.^[4]^[5]^[6]^[7] 1% 정확도의 간단한 공식은 다음과 같다.^[8]^[9]

:η = 1.36603 (f_L/f) - 0.47719 (f_L/f)² + 0.11116(f_L/f)³,

여기서 η는 로렌츠(f_L), 가우시안(f_G) 및 총(f) 반치폭 (FWHM) 매개변수의 함수이다. 총 FWHM(f) 매개변수는 다음과 같이 설명된다.

:f = [f_G⁵ + 2.69269 f_G⁴ f_L + 2.42843 f_G³ f_L² + 4.47163 f_G² f_L³ + 0.07842 f_G f_L⁴ + f_L⁵]^1/5.

η는 로렌츠 함수(f_L), 가우시안 함수(f_G) 및 총(f) 반치폭(FWHM) 매개변수의 함수로, 다음과 같이 결정된다.^[8]^[9]

:η = 1.36603 (f_L/f) - 0.47719 (f_L/f)² + 0.11116(f_L/f)³,

총 FWHM(f) 매개변수는 다음과 같이 주어진다.

:f = [f_G⁵ + 2.69269 f_G⁴ f_L + 2.42843 f_G³ f_L² + 4.47163 f_G² f_L³ + 0.07842 f_G f_L⁴ + f_L⁵]^1/5.

비대칭 의사 포크트(마르티넬리) 함수는 분할 정규 분포와 유사하며, 피크 위치의 각 측면에 서로 다른 폭을 갖는다.^[13] 이는 다음과 같이 표현된다.

:V_p(x,f) = η · L(x,f) + (1 - η) · G(x,f)

여기서 0 < η < 1는 로렌지안의 가중치이고, 폭 f는 분할 함수(x<0일 때 f=f₁이고 x≥0일 때 f=f₂)이다. f₁ → f₂의 극한에서 마르티넬리 함수는 대칭 의사 포크트 함수로 돌아간다. 마르티넬리 함수는 공명 비탄성 X선 산란 장치에서 탄성 산란을 모델링하는 데 사용되었다.^[13]

반치폭(FWHM)은 관련된 가우스 및 로렌츠 폭에서 찾을 수 있다. 가우스 프로파일의 FWHM은 f_G = 2σ√(2ln(2))이다. 로렌츠 프로파일의 FWHM은 f_L = 2γ이다.

보이트, 가우스, 로렌츠 프로파일의 폭 사이의 대략적인 관계는 다음과 같다.

:f_V ≈ f_L/2 + √(f_L²/4 + f_G²).

이 표현식은 순수한 가우스 또는 로렌츠에 대해 정확하다. 0.02%의 정확도를 갖는 더 나은 근사는 다음과 같다.

:f_V ≈ 0.5346 f_L + √(0.2166f_L² + f_G²).

이 표현식은 순수한 가우스 또는 로렌츠에 대해 정확하다.

5. 1. 의사 포크트 함수 (Pseudo-Voigt Function)

'''의사-보이트 함수''' (또는 '''의사-보이트 프로파일''')는 가우시안 함수 ''G''(''x'')와 코시 분포 ''L''(''x'')의 컨볼루션 대신, 이들의 선형 결합을 사용하여 보이트 프로파일 ''V''(''x'')을 근사한 것이다.

의사-보이트 함수는 실험적인 스펙트럼 선 모양의 계산에 자주 사용된다.

정규화된 의사-보이트 프로파일의 수학적 정의는 다음과 같다.

:

V_p(x,f) = \eta \cdot L(x,f) + (1 - \eta) \cdot G(x,f)

with

0 < \eta < 1

.

\eta

는 반치폭 (FWHM) 매개변수의 함수이다.

\eta

매개변수에 대해 몇 가지 가능한 선택 사항이 있다.^[4]^[5]^[6]^[7] 1% 정확도의 간단한 공식은 다음과 같다.^[8]^[9]

:

\eta = 1.36603 (f_L/f) - 0.47719 (f_L/f)^2 + 0.11116(f_L/f)^3,

여기서

\eta

는 로렌츠(

f_L

), 가우시안(

f_G

) 및 총(

f

) 반치폭 (FWHM) 매개변수의 함수이다. 총 FWHM(

f

) 매개변수는 다음과 같이 설명된다.

:

f = [f_G^5 + 2.69269 f_G^4 f_L + 2.42843 f_G^3 f_L^2 + 4.47163 f_G^2 f_L^3 + 0.07842 f_G f_L^4 + f_L^5]^{1/5}.

5. 1. 1. $\eta$ 결정

\eta

는 로렌츠 함수(

f_L

), 가우시안 함수(

f_G

) 및 총(

f

) 반치폭(FWHM) 매개변수의 함수로, 다음과 같이 결정된다.^[8]^[9]

:

\eta = 1.36603 (f_L/f) - 0.47719 (f_L/f)^2 + 0.11116(f_L/f)^3,

총 FWHM(

f

) 매개변수는 다음과 같이 주어진다.

:

f = [f_G^5 + 2.69269 f_G^4 f_L + 2.42843 f_G^3 f_L^2 + 4.47163 f_G^2 f_L^3 + 0.07842 f_G f_L^4 + f_L^5]^{1/5}.

5. 2. 비대칭 의사 포크트 함수 (Asymmetric Pseudo-Voigt Function)

비대칭 의사 포크트(마르티넬리) 함수는 분할 정규 분포와 유사하며, 피크 위치의 각 측면에 서로 다른 폭을 갖는다.^[13] 이는 다음과 같이 표현된다.

:

V_p(x,f) = \eta \cdot L(x,f) + (1 - \eta) \cdot G(x,f)

여기서

0 < \eta < 1

는 로렌지안의 가중치이고, 폭

f

는 분할 함수(

x<0

일 때

f=f_1

이고

x\geq 0

일 때

f=f_2

)이다.

f_1 \rightarrow f_2

의 극한에서 마르티넬리 함수는 대칭 의사 포크트 함수로 돌아간다. 마르티넬리 함수는 공명 비탄성 X선 산란 장치에서 탄성 산란을 모델링하는 데 사용되었다.^[13]

5. 3. 포크트 프로파일의 폭

반치폭(FWHM)은 관련된 가우스 및 로렌츠 폭에서 찾을 수 있다. 가우스 프로파일의 FWHM은 ${\displaystyle f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2)}}}$이다. 로렌츠 프로파일의 FWHM은 ${\displaystyle f_{\mathrm {L} }=2\gamma }$이다.

보이트, 가우스, 로렌츠 프로파일의 폭 사이의 대략적인 관계는 다음과 같다.

:

f_\mathrm{V}\approx f_\mathrm{L}/2+\sqrt{f_\mathrm{L}^2/4+f_\mathrm{G}^2}.

이 표현식은 순수한 가우스 또는 로렌츠에 대해 정확하다. 0.02%의 정확도를 갖는 더 나은 근사는 다음과 같다.

:

f_\mathrm{V}\approx 0.5346 f_\mathrm{L}+\sqrt{0.2166f_\mathrm{L}^2+f_\mathrm{G}^2}.

이 표현식은 순수한 가우스 또는 로렌츠에 대해 정확하다.

6. 역사 및 응용

분광학에서 포크트 윤곽은 두 가지 넓어짐 메커니즘의 컨볼루션으로 인해 발생하며, 그 중 하나만으로 가우스 프로파일을 생성하고 (일반적으로 도플러 넓어짐의 결과로), 다른 하나는 로렌츠 프로파일을 생성한다. 포크트 프로파일은 분광학 및 분말 회절의 여러 분야에서 흔히 사용된다. 파데예바 함수를 계산하는 데 비용이 많이 들기 때문에 포크트 프로파일은 때때로 유사 포크트 프로파일을 사용하여 근사된다. 포크트 함수는 파데예바 함수를 사용하여 정의할수 있다.

참조

_[1] 간행물 Voigt function
_[2] 논문 Voigt profile fitting to quasar absorption lines: an analytic approximation to the Voigt-Hjerting function 2006
_[3] 웹사이트 List of citations found in the SAO/NASA Astrophysics Data System (ADS) https://ui.adsabs.ha[...]
_[4] 논문 Determination of the Gaussian and Lorentzian content of experimental line shapes 1974
_[5] 논문 The Use of the Pseudo-Voigt Function in the Variance Method of X-ray Line-Broadening Analysis 1997-08
_[6] 논문 Simple empirical analytical approximation to the Voigt profile 2001
_[7] 논문 The Voigt Profile as a Sum of a Gaussian and a Lorentzian Functions, when the Weight Coefficient Depends Only on the Widths Ratio 2012
_[8] 논문 Extended pseudo-Voigt function for approximating the Voigt profile 2000
_[9] 논문 Rietveld refinement of Debye-Scherrer synchrotron X-ray data from Al₂O₃ 1987
_[10] 논문 An empirical approximation to the Voigt profile 1968-06
_[11] 논문 Empirical fits to the Voigt line width: A brief review 1977-02
_[12] 논문 New approximation to the Voigt function with applications to spectral-line profile analysis 1973
_[13] arXiv Decoupled static and dynamical charge correlations in La2−xSrxCuO4 2024
_[14] 서적 表面分析の基礎 (5)

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