오차 함수

1. 개요

오차 함수는 확률 이론과 오차 이론과의 관련성 때문에 명명되었으며, 정규 분포의 누적 분포 함수와 밀접한 관련이 있다. 오차 함수는 기함수이며, 테일러 급수, 도함수, 적분, 역함수 등 다양한 성질을 갖는다. 표준 정규 분포의 누적 분포 함수, Q-함수, 프로빗 함수 등과 밀접한 관련이 있으며, 응용 분야로는 디지털 통신 시스템의 비트 오류율 계산, 열 방정식의 해, 장거리 상호작용의 분리 등이 있다. 또한, 상보 오차 함수, 허수 오차 함수, 그리고 이들의 반복 적분과 관련된 함수들이 존재하며, 다양한 수치적 근사 방법과 구현 방식이 존재한다.

2. 역사

"오차 함수"(error function)라는 이름과 그 약어 erf는 1871년 J. W. L. 글레이셔가 확률 이론, 특히 오차 이론과의 관련성 때문에 제안했다. 글레이셔는 같은 해 별도의 출판물에서 오차 함수 여집합에 대해서도 논의했다.

정규 분포에서 오차가 f(x)^영어 = (c^영어/π)1/2^영어 e^(-cx²) 와 같이 주어지는 "편의 법칙"에 대해, 글레이셔는 p와 q 사이에 있는 오차의 확률을 다음과 같이 계산했다.

: (c^영어/π)1/2^영어 ∫p^영어q^영어e^(-cx²) dx = ½(erf (q√c^영어}) - erf (p√c^영어}))

2.1. 이름의 기원

"오차 함수"라는 이름과 그 약어 erf는 1871년 J. W. L. 글레이셔가 "확률 이론, 특히 오차 이론"과의 관련성 때문에 제안했다. 글레이셔는 같은 해 별도의 출판물에서 오차 함수 여집합에 대해서도 논의했다.

정규 분포에서 오차가 다음과 같이 주어지는 "편의 법칙"에 대해

:f(x)^영어 = (c^영어/π)1/2^영어 e^(-cx²)

글레이셔는 p와 q 사이에 있는 오차의 확률을 다음과 같이 계산한다.

: (c^영어/π)1/2^영어 ∫p^영어q^영어e^(-cx²) dx = ½(erf (q√c^영어}) - erf (p√c^영어}))

3. 성질

오차 함수는 기함수이다. 즉, 임의의 복소수 z에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash operatorname\{erf\}\; (-z)\; =\; -\backslash operatorname\{erf\}\; (z)$

또한, 다음이 성립한다.

:$\backslash operatorname\{erf\}\; (z^\{*\})\; =\; \backslash operatorname\{erf\}(z)^\{*\}$

여기서 $z^\{*\}$는 $z$의 켤레 복소수이다.

피적분 함수 $f=\backslash exp\backslash left(-z^\{2\}\backslash right)$와 $f=\backslash operatorname\{erf\}\backslash left(-z\backslash right)$를 복소 $z\backslash operatorname\{-\}$평면에 나타낸 그림은 다음과 같다.

--
--

허수부 $f=\backslash operatorname\{Im\}\backslash left(f\backslash right)=0$이 되는 점을 연결한 선은 굵은 녹색 선으로 나타낸다. $f=\backslash operatorname\{Im\}\backslash left(f\backslash right)$가 음의 정수가 되는 점을 연결한 선은 굵은 붉은 선으로, 양의 정수가 되는 점을 연결한 선은 굵은 파란 선으로 나타낸다.

$f=\backslash operatorname\{Im\}\backslash left(f\backslash right)$가 정수와 정수의 중간인 일정한 값이 되는 점을 연결한 선은 가는 녹색 선으로 나타내고, 실수부 $f=\backslash operatorname\{Re\}\backslash left(f\backslash right)=0$가 일정한 값이 되는 점을 연결한 선은 양수의 경우 파란 가는 선, 음수의 경우 붉은 가는 선으로 나타낸다.

실수 축에서는 $z\backslash to\backslash infty$에서 $f=\backslash operatorname\{erf\}\backslash left(z\backslash right)$는 항등원(1)에 점근하고, $z\backslash to-\backslash infty$에서 항등원(-1)에 점근한다. 허수 축에서는 $\backslash pm\{\backslash rm\{i\}\}\backslash infty$가 된다.

오차 함수는 정함수이며, (무한대 외에는) 특이점을 갖지 않는다.

3.1. 테일러 급수

오차 함수는 다음과 같은 테일러 급수로 표현된다.

:$\backslash operatorname\{erf\}(z)=\; \backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^n\; z^\{2n+1\}\}\{n!\; (2n+1)\}\; =\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\; \backslash left(z-\backslash frac\{z^3\}\{3\}+\backslash frac\{z^5\}\{10\}-\backslash frac\{z^7\}\{42\}+\backslash frac\{z^9\}\{216\}-\backslash \; \backslash cdots\backslash right)$

이 급수는 모든 복소수 z에 대해 성립한다.

반복 계산을 위해서는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.

:$\backslash operatorname\{erf\}(z)=\; \backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash left(z\; \backslash prod\_\{k=1\}^n\{\backslash frac\{-(2k-1)\; z^2\}\{k\; (2k+1)\}\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{z\}\{2n+1\}\; \backslash prod\_\{k=1\}^\{n\}\; \backslash frac\{-z^2\}\{k\}$

3.2. 도함수 및 적분

오차 함수의 도함수는 정의로부터 직접적으로 유도된다.

* erf^영어 z의 도함수 = e^한국어
* erfi^영어 z의 도함수 = e^한국어

부분 적분법을 통해 구할 수 있는 오차 함수의 부정 적분은 다음과 같다.

* zerf^영어z + e^한국어/√π

3.3. 역함수

복소수 z에 대해, erf w = z를 만족하는 유일한 복소수 w는 존재하지 않으므로, 역 오차 함수는 다가 함수이다. 그러나 -1 < x < 1에 대해서는
$$\backslash operatorname\{erf\}\backslash left(\backslash operatorname\{erf\}^\{-1\}\; x\backslash right)\; =\; x.$$
를 만족하는 유일한 실수 erf⁻¹ x가 존재한다.

역 오차 함수는 일반적으로 정의역 (-1, 1)로 정의되며, 많은 컴퓨터 대수 시스템에서 이 정의역으로 제한된다. 그러나 매클로린 급수를 사용하여 복소 평면의 디스크 |z| < 1로 확장할 수 있다.

역 오차 함수는 다음과 같은 급수로 표현된다.
$$\backslash operatorname\{erf\}^\{-1\}\; z=\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\backslash frac\{c\_k\}\{2k+1\}\backslash left\; (\backslash frac\{\backslash sqrt\backslash pi\}\{2\}z\backslash right\; )^\{2k+1\},$$
여기서 c₀ = 1이고
$$\backslash begin\{align\}$$
c_k & =\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} \\[1ex]
&= \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\frac{4369}{2520},\frac{34807}{16200},\ldots\right\}.
\end{align}

따라서 다음과 같은 급수 전개를 얻을 수 있다(분자와 분모에서 공통 인수가 제거됨).
$$\backslash operatorname\{erf\}^\{-1\}\; z\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\{2\}\; \backslash left\; (z\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{12\}z^3\; +\; \backslash frac\{7\backslash pi^2\}\{480\}z^5\; +\; \backslash frac\{127\backslash pi^3\}\{40320\}z^7\; +\; \backslash frac\{4369\backslash pi^4\}\{5806080\}\; z^9\; +\; \backslash frac\{34807\backslash pi^5\}\{182476800\}z^\{11\}\; +\; \backslash cdots\backslash right\; ).$$

오차 함수의 ±∞에서의 값은 ±1과 같다.

|z| < 1에 대해 erf(erf⁻¹ z) = z가 성립한다.

역 여오차 함수는 다음과 같이 정의된다.
$$\backslash operatorname\{erfc\}^\{-1\}(1-z)\; =\; \backslash operatorname\{erf\}^\{-1\}\; z.$$

실수 x에 대해, erfi(erfi⁻¹ x) = x를 만족하는 유일한 실수 erfi⁻¹ x가 존재한다. 역 허수 오차 함수는 erfi⁻¹ x로 정의된다.

모든 실수 x에 대해, 뉴턴 방법을 사용하여 erfi⁻¹ x를 계산할 수 있으며, -1 ≤ x ≤ 1에 대해 다음 매클로린 급수가 수렴한다.
$$\backslash operatorname\{erfi\}^\{-1\}\; z\; =\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^k\; c\_k\}\{2k+1\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash sqrt\backslash pi\}\{2\}\; z\; \backslash right)^\{2k+1\},$$
여기서 c_k는 위와 같이 정의된다.

4. 정규 분포와의 관계

오차 함수는 정규 분포의 누적분포함수와 본질적으로 동일하며, 상수배 및 평행 이동을 통해 서로 변환 가능하다. 표준 정규 분포의 누적 분포 함수 Φ는 다음과 같이 오차 함수로 표현된다.

:$\backslash Phi(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left[1+\backslash mbox\{erf\}\backslash left(\backslash frac\{x\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash right)\backslash right]$

정규 분포가 확률론 및 통계학에서 자주 사용되므로 오차 함수 역시 자주 사용된다.

표준 정규 누적 분포 함수 Φ는 다음과 같이 표현 가능하다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\Phi(x)
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^\tfrac{-t^2}{2}\,\mathrm dt\\[6pt]
&= \frac{1}{2} \left(1+\operatorname{erf}\frac{x}{\sqrt 2}\right)\\[6pt]
&= \frac{1}{2} \operatorname{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt 2}\right)
\end{align}

erf와 erfc에 대해 재정렬하면 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\operatorname{erf}(x) &= 2 \Phi \left ( x \sqrt{2} \right ) - 1 \\[6pt]
\operatorname{erfc}(x) &= 2 \Phi \left ( - x \sqrt{2} \right ) \\ &=2\left(1-\Phi \left ( x \sqrt{2} \right)\right).
\end{align}

결과적으로, 오차 함수는 표준 정규 분포의 꼬리 확률인 Q-함수와 밀접하게 관련되어 있으며, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
Q(x) &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{erf} \frac{x}{\sqrt 2}\\
&= \frac{1}{2}\operatorname{erfc}\frac{x}{\sqrt 2}.
\end{align}

Φ의 역함수는 분위수 함수 또는 프로빗 함수로 알려져 있으며, 역 오차 함수를 사용하여 표현될 수 있다.

:$$\backslash operatorname\{probit\}(p)\; =\; \backslash Phi^\{-1\}(p)\; =\; \backslash sqrt\{2\}\backslash operatorname\{erf\}^\{-1\}(2p-1)\; =\; -\backslash sqrt\{2\}\backslash operatorname\{erfc\}^\{-1\}(2p).$$

표준 정규 누적 분포 함수는 확률론 및 통계학에서 더 자주 사용되며, 오차 함수는 다른 수학 분야에서 더 자주 사용된다.

5. 응용

오차 함수는 여러 분야에서 응용된다. 예를 들어 일련의 측정 결과가 정규 분포를 따르고 표준 편차가 σ이며 기댓값이 0일 때, 단일 측정의 오차가 -a와 a 사이에 있을 확률은 erf(a/(σ√2))이다. (여기서 a는 양수) 이는 디지털 통신 시스템의 비트 오류율을 결정하는 데 유용하게 사용된다.

또한, 오차 함수와 여오차 함수는 경계 조건이 헤비사이드 계단 함수로 주어질 때 열 방정식의 해를 구하는데 사용된다.

오차 함수는 쿨롱 힘과 같이 장거리 상호작용을 단거리 및 장거리 성분으로 분리할 때 사용될 수 있다. (에발트 방법)

5.1. 점근 전개

큰 $x$에 대한 상보 오차 함수(및 오차 함수)의 점근 전개는 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{erfc\}(x)\; =\; \backslash frac\{e^\{-x^2\}\}\{x\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\backslash left[1\; +\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; (-1)^n\; \backslash frac\{1\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cdot\; 5\; \backslash cdots\; (2n-1)\}\{(2x^2)^n\}\; \backslash right]\; =\; \backslash frac\{e^\{-x^2\}\}\{x\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; (-1)^n\; \backslash frac\{(2n)!\}\{n!\; (2x)^\{2n\}\}$

이 급수는 유한한 $x$에 대해서는 발산한다. 그러나 처음 몇 개의 항만으로 $\backslash operatorname\{erfc\}(x)$의 좋은 근사를 얻을 수 있으며, 테일러 전개보다 수렴이 빠르다.

6. 관련 함수

오차 함수는 정규 분포의 누적 분포 함수(CDF)와 기본적으로 같으며, 스케일과 해석이 다를 뿐이다. 표준 정규 분포에 대해 다음 관계가 성립한다.

:$\backslash Phi\backslash left(x\backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left[1+\backslash mbox\{erf\}\backslash left(\backslash frac\{x\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash right)\backslash right]=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ,\backslash mbox\{erfc\}\backslash left(-\backslash frac\{x\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash right)$

$\backslash operatorname\{erf\}$ 및 $\backslash operatorname\{erfc\}$에 대해 변형하면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\mathrm{erf}\left(x\right) &= 2 \Phi \left ( x \sqrt{2} \right ) - 1 \\
\mathrm{erfc}\left(x\right) &= 2 \left[ 1 - \Phi \left ( x \sqrt{2} \right )\right]
\end{align}

오차 함수는 정규 분포에서의 꼬리 확률인 Q 함수와도 밀접하게 관련되어 있으며, Q 함수는 오차 함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$
Q\left(x\right) =\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x}{\sqrt{2}} \Bigr)


$\backslash Phi\backslash ,$의 역함수는 표준 분위 함수 또는 프로빗 함수로 알려져 있으며, 역 오차 함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$
\operatorname{probit}(p) = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2p-1) = -\sqrt{2}\,\operatorname{erfc}^{-1}(2p)


확률론이나 통계학에서는 표준 정규 분포의 누적 분포 함수를 더 자주 사용하며, 오차 함수는 다른 수학 분야에서 사용되는 경향이 있다.

오차 함수는 미타그-레플러 함수의 특수한 경우이며, 합류형 초 기하 미분 방정식으로도 표현할 수 있다.

:$\backslash mathrm\{erf\}\backslash left(x\backslash right)=$
\frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right)

프레넬 적분을 사용한 단순한 표현법도 있다. 정규화 감마 함수$P$와 불완전 감마 함수를 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash operatorname\{erf\}\backslash left(x\backslash right)=\backslash operatorname\{sgn\}\backslash left(x\backslash right)\; P\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\},\; x^2\backslash right)=\{\backslash operatorname\{sgn\}\backslash left(x\backslash right)\; \backslash over\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\backslash gamma\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\},\; x^2\backslash right)$

$\backslash operatorname\{sgn\}\backslash left(x\backslash right)\; \backslash$는 부호 함수이다.

6.1. 상보 오차 함수

보완 오차 함수는 erfc^영어로 표시되며 다음과 같이 정의된다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\operatorname{erfc} x
& = 1-\operatorname{erf} x \\[5pt]
& = \frac{2}{\sqrt\pi} \int_x^\infty e^{-t^2}\,\mathrm dt \\[5pt]
& = e^{-x^2} \operatorname{erfcx} x,
\end{align}

이는 또한 erfcx^영어, 즉 확대 보완 오차 함수를 정의하며 (이것은 산술 언더플로를 피하기 위해 erfc^영어 대신 사용할 수 있다). erfc x^영어의 또 다른 형태는 x ≥ 0에 대해 Craig의 공식으로 알려져 있으며, 그 발견자의 이름을 따서 명명되었다:

:$$\backslash operatorname\{erfc\}\; (x\; \backslash mid\; x\backslash ge\; 0)$$
= \frac{2}{\pi} \int_0^\frac{\pi}{2} \exp \left( - \frac{x^2}{\sin^2 \theta} \right) \, \mathrm d\theta.

이 식은 x의 양수 값에 대해서만 유효하지만, 음수 값에 대한 erfc(x)^영어를 얻기 위해 erfc x {{=}} 2 − erfc(−x)^영어와 함께 사용할 수 있다. 이 형태는 적분 범위가 고정되고 유한하다는 점에서 유리하다. 두 개의 음수가 아닌 변수의 합에 대한 erfc^영어의 확장 표현은 다음과 같다:

:$$\backslash operatorname\{erfc\}\; (x+y\; \backslash mid\; x,y\backslash ge\; 0)\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash pi\}\; \backslash int\_0^\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash exp\; \backslash left(\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{\backslash sin^2\; \backslash theta\}\; -\; \backslash frac\{y^2\}\{\backslash cos^2\; \backslash theta\}\; \backslash right)\; \backslash ,\backslash mathrm\; d\backslash theta.$$

6.2. 허수 오차 함수

허수 오차 함수는 erfi^영어로 표기하며 다음과 같이 정의된다.

:erfi^영어 = -i erf^영어 = int_0^x e^t^2,mathrm dt^영어 = e^x^2 D(x)^영어

여기서 D(x)^영어는 Dawson 함수이다. "허수 오차 함수"라는 이름에도 불구하고, x가 실수일 때 erfi x^영어는 실수이다.

7. 수치적 근사

아브라모위츠와 스티건은 다양한 정확도를 가진 여러 근사식을 제공한다. 이를 통해 주어진 응용 분야에 적합한 가장 빠른 근사식을 선택할 수 있다.

* 다음은 정확도가 증가하는 순서대로 나열된 근사식들이다. (단, $x \geq 0$에 유효하며, 음의 $x$에 대해서는 $\operatorname{erf} x$가 홀함수라는 성질, 즉 $\operatorname{erf} x = -\operatorname{erf}(-x)$를 이용하여 계산한다.)

* 카라지아니디스와 리움파스(2007)는 $x \in [0, \infty)$에 대한 보완 오차 함수의 근사식을 제시했다. 이들은 $A=1.98$, $B=1.135$일 때, 모든 $x \geq 0$에 대해 좋은 근사치를 얻을 수 있음을 보였다.

:$\operatorname{erfc} x \approx \frac{\left(1 - e^{-Ax}\right)e^{-x^2}}{B\sqrt{\pi} x}$

* 세르게이 위니츠키는 "글로벌 파데 근사"를 사용하여 다음과 같은 근사식을 제시했다.

:$\operatorname{erf} x \approx \sgn x \cdot \sqrt{1 - \exp\left(-x^2\frac{\frac{4}{\pi} + ax^2}{1 + ax^2}\right)}$

:여기서 $a = \frac{8(\pi - 3)}{3\pi(4 - \pi)} \approx 0.140012$이다. 이 근사식은 0과 무한대 근처에서 매우 정확하며, 모든 실수 $x$에 대해 상대 오차가 0.00035 미만이다. $a \approx 0.147$을 사용하면 최대 상대 오차를 약 0.00013으로 줄일 수 있다.

8. 구현

POSIX 호환 운영체제에서 math.h 헤더는 `erf`와 `erfc` (배정밀도) 함수와 이에 대응하는 단정밀도 및 확장 정밀도 함수인 `erff`, `erfl`, `erfcf`, `erfcl`을 선언하며, libm 수학 라이브러리가 이를 제공한다.

GNU 과학 라이브러리는 `erf`, `erfc`, `log(erf)` 및 스케일링된 오차 함수를 제공한다.

[https://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf libcerf]는 복소 오차 함수를 위한 수치 C 라이브러리로, 패데예바 함수를 기반으로 하며, [http://ab-initio.mit.edu/Faddeeva MIT Faddeeva Package]에서 구현된 것처럼 `cerf`, `cerfc`, `cerfcx` 복소 함수와 `erfi`, `erfcx` 실수 함수를 제공하고, 약 13~14자리 정밀도를 갖는다.

C 언어의 경우, C99에서 헤더 파일 ``에 `double erf(double x)` 및 `double erfc(double x)` 함수가 선언되어 있다. `erff()`, `erfcf()` 함수 쌍은 `float`형 값을 처리하고, `erfl()`, `erfcl()` 함수 쌍은 `long double`형 값을 처리한다.

C++(C++)에서도 C++11에서 `<cmath>` 헤더 파일에 `erf` 및 `erfc`가 선언되어 있으며, `double`, `float` 및 `long double`형이 오버로드되어 있다.

FORTRAN에서는, 예를 들어 GFortran이 `ERF(X)`와 배정밀도의 `DERF(X)`를 제공한다.