프라임 제타 함수

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1. 개요
2. 정의 및 성질
3. 프라임 제타 함수 수치
4. 미분과 적분
- 4.1. 적분
- 4.2. 도함수
5. 일반화
- 5.1. 거의 소수 제타 함수 (Almost-prime zeta functions)
- 5.2. 법 소수 제타 함수 (Prime modulo zeta functions)
참조

1. 개요

프라임 제타 함수는 리만 제타 함수와 관련된 함수로, 소수와 관련된 수열을 이용하여 정의된다. 프라임 제타 함수는 오일러 곱, 뫼비우스 반전 공식, 아르틴 상수 등과 관련되며, 특정 값에서의 근사값을 구할 수 있다. 프라임 제타 함수의 적분과 미분 또한 정의되며, 일반화된 형태로 거의 소수 제타 함수와 법 소수 제타 함수가 존재한다.

2. 정의 및 성질

소수 제타 함수는 리만 제타 함수의 오일러 곱과 뫼비우스 반전 공식을 통해 정의될 수 있으며, ''s''가 1로 수렴할 때의 행동은 디리클레 밀도 정의에 사용된다.^[1]

s	근사값 P(s)
2	$0.45224\ 74200\ 41065\ 49850 \ldots$
3	$0.17476\ 26392\ 99443\ 53642 \ldots$
4	$0.07699\ 31397\ 64246\ 84494 \ldots$
5	$0.03575\ 50174\ 83924\ 25713 \ldots$
6	$0.01707\ 00868\ 50636\ 51295 \ldots$
7	$0.00828\ 38328\ 56133\ 59253 \ldots$
8	$0.00406\ 14053\ 66517\ 83056 \ldots$
9	$0.00200\ 44675\ 74962\ 45066 \ldots$

s = 1 일때, $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{11} + \cdots \to \infty.$ ^[2]

2. 1. 오일러 곱

리만 제타 함수 ''ζ''(''s'')에 대한 오일러 곱은 다음과 같다.^[1]

:

\log\zeta(s)=\sum_{n>0} \frac{P(ns)} n

뫼비우스 반전 공식에 의해 다음과 같다.^[1]

:

P(s)=\sum_{n>0} \mu(n)\frac{\log\zeta(ns)} n

''s''가 1로 갈 때,

P(s)\sim \log\zeta(s)\sim\log\left(\frac{1}{s-1} \right)

이다. 이는 디리클레 밀도의 정의에 사용된다.^[1]

이는

\Re(s) > 0

에서 ''P''(''s'')의 해석적 연장을 제공하며, 여기서 무한히 많은 로그 특이점이 존재한다. 여기서 ''ns''가 극점(''n''이 1 이상인 제곱수가 아닌 수일 때만 ''ns'' = 1) 또는 리만 제타 함수 ''ζ''('''.''')의 영점이다.

\Re(s) = 0

선은 특이점이 이 선의 모든 점 근처에 모이므로 자연 경계이다.^[1]

다음과 같이 수열을 정의하면,

:

a_n=\prod_{p^k \mid n} \frac{1}{k}=\prod_{p^k \mid \mid n} \frac 1 {k!}

다음이 성립한다.^[1]

:

P(s)=\log\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}.

소수 제타 함수는 아르틴 상수와 다음 관계가 있다.^[1]

:

\ln C_{\mathrm{Artin}} = - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(L_n-1)P(n)}{n}

여기서 ''L''_''n''은 ''n''번째 루카스 수이다.^[1]

특정 값은 다음과 같다.

s	근사값 P(s)
1	$\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{11} + \cdots \to \infty.$ ^[2]
2	$0{.}45224\text{ }74200\text{ }41065\text{ }49850 \ldots$
3	$0{.}17476\text{ }26392\text{ }99443\text{ }53642 \ldots$
4	$0{.}07699\text{ }31397\text{ }64246\text{ }84494 \ldots$
5	$0{.}03575\text{ }50174\text{ }83924\text{ }25713 \ldots$
6	$0{.}01707\text{ }00868\text{ }50636\text{ }51295 \ldots$
7	$0{.}00828\text{ }38328\text{ }56133\text{ }59253 \ldots$
8	$0{.}00406\text{ }14053\text{ }66517\text{ }83056 \ldots$
9	$0{.}00200\text{ }44675\text{ }74962\text{ }45066 \ldots$

2. 2. 해석적 연속

뫼비우스 반전 공식에 의해 다음이 성립한다.

:

P(s)=\sum_{n=0} \mu(n)\frac{\log\zeta(ns)} n

이는

\Re(s) > 0

에서 ''P''(''s'')의 해석적 연장을 제공하며, 무한히 많은 로그 특이점이 존재한다. 여기서 ''ns''가 극점(''n''이 1 이상인 제곱수가 아닌 수일 때만 ''ns'' = 1) 또는 리만 제타 함수 ''ζ''('''.''')의 영점이다.

\Re(s) = 0

선은 특이점이 이 선의 모든 점 근처에 모이므로 자연 경계이다.^[1]

2. 3. 특이점

뫼비우스 반전 공식에 의해 다음이 성립한다.

:

P(s)=\sum_{n>0} \mu(n)\frac{\log\zeta(ns)} n

이는

\Re(s) > 0

에서 ''P''(''s'')의 해석적 연장을 제공하며, 여기서 무한히 많은 로그 특이점이 존재한다. 특이점은 ''ns''가 극점 (''n''이 1 이상인 제곱수가 아닌 수일 때만 ''ns'' = 1) 또는 리만 제타 함수의 영점일 때 발생한다.

\Re(s) = 0

인 직선은 특이점이 이 선의 모든 점 근처에 모이므로 자연 경계이다.^[1]

2. 4. 다른 함수와의 관계

소수 제타 함수는 아르틴 상수와 다음 관계를 맺고 있다.

:

\ln C_{\mathrm{Artin}} = - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(L_n-1)P(n)}{n}

여기서 ''L''_''n''은 ''n''번째 루카스 수이다.^[1]

특정 값은 다음과 같다.

s	근사값 P(s)	OEIS
2	$0.45224\ 74200\ 41065\ 49850 \ldots$	OEIS:A085548
3	$0.17476\ 26392\ 99443\ 53642 \ldots$	OEIS:A085541
4	$0.07699\ 31397\ 64246\ 84494 \ldots$	OEIS:A085964
5	$0.03575\ 50174\ 83924\ 25713 \ldots$	OEIS:A085965
6	$0.01707\ 00868\ 50636\ 51295 \ldots$	OEIS:A085966
7	$0.00828\ 38328\ 56133\ 59253 \ldots$	OEIS:A085967
8	$0.00406\ 14053\ 66517\ 83056 \ldots$	OEIS:A085968
9	$0.00200\ 44675\ 74962\ 45066 \ldots$	OEIS:A085969

3. 프라임 제타 함수 수치

Prime zeta function^영어 ''P''(''s'')의 수치는 다음과 같이 근사값으로 주어진다.

s	근사값 P(s)	OEIS
1	$\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{11} + \cdots \to \infty.$ ^[2]
2	$0{.}45224\text{ }74200\text{ }41065\text{ }49850 \ldots$	A085548
3	$0{.}17476\text{ }26392\text{ }99443\text{ }53642 \ldots$	A085541
4	$0{.}07699\text{ }31397\text{ }64246\text{ }84494 \ldots$	A085964
5	$0{.}03575\text{ }50174\text{ }83924\text{ }25713 \ldots$	A085965
6	$0{.}01707\text{ }00868\text{ }50636\text{ }51295 \ldots$	A085966
7	$0{.}00828\text{ }38328\text{ }56133\text{ }59253 \ldots$	A085967
8	$0{.}00406\text{ }14053\text{ }66517\text{ }83056 \ldots$	A085968
9	$0{.}00200\text{ }44675\text{ }74962\text{ }45066 \ldots$	A085969

^[1]

4. 미분과 적분

소수 제타 함수의 미분과 적분은 소수와 관련된 급수 형태로 표현된다.

1차 도함수는 다음과 같다.

: $P'(s) \equiv \frac{d}{ds} P(s) = - \sum_p \frac{\log p}{p^s}$

s	근사값 $P'(s)$
2	$-0.493091109\ldots$
3	$-0.150757555\ldots$
4	$-0.060607633\ldots$
5	$-0.026838601\ldots$

프라임 제타 함수의 적분은 일반적으로 무한대에 고정된다. 이는 $s=1$ 에서의 극이 복소 평면에서 가지 절단에 대한 논의 없이, 어떤 유한 정수에서 좋은 하한을 정의하는 것을 막기 때문이다.

: $\int_s^\infty P(t) \, dt = \sum_p \frac 1 {p^s\log p}$

4. 1. 적분

프라임 제타 함수의 적분은 일반적으로 무한대에 고정된다. 이는

s=1

에서의 극이 복소 평면에서 가지 절단에 대한 논의 없이, 어떤 유한 정수에서 좋은 하한을 정의하는 것을 막기 때문이다.

:

\int_s^\infty P(t) \, dt = \sum_p \frac 1 {p^s\log p}

주목할 만한 값은 다시 합이 천천히 수렴하는 값이다.

s	근사값 $\sum _p 1/(p^s\log p)$	OEIS
1	$1.63661632\ldots$	A137245
2	$0.50778218\ldots$	A221711
3	$0.22120334\ldots$
4	$0.10266547\ldots$

4. 2. 도함수

1차 도함수는 다음과 같다.

:

P'(s) \equiv \frac{d}{ds} P(s) = - \sum_p \frac{\log p}{p^s}

흥미로운 값들은 다시 합이 느리게 수렴하는 값들이다.

s	근사값 $P'(s)$
2	$-0.493091109\ldots$
3	$-0.150757555\ldots$
4	$-0.060607633\ldots$
5	$-0.026838601\ldots$

5. 일반화

소수 제타 함수는 다양한 방식으로 일반화될 수 있다. 그중 하나는 k-소수를 이용하는 것이다. k-소수는 서로 같지 않아도 되는 k개의 소수의 곱으로 이루어진 정수를 의미한다. 이러한 k-소수를 이용해 소수 제타 함수를 일반화할 수 있다.^[1]

다른 방법으로는 같은 법 클래스에 속하는 소수만을 대상으로 합을 구성하는 것이 있다. 이 방법을 사용하면 디리클레 L-함수를 축소한 추가적인 종류의 무한 급수를 생성할 수 있다.^[1]

5. 1. 거의 소수 제타 함수 (Almost-prime zeta functions)

리만 제타 함수가 정수의 역 거듭제곱의 합이고, 소수 제타 함수가 소수의 역 거듭제곱의 합인 것처럼, ''k''-소수(서로 같지 않아도 되는 ''k''개의 소수의 곱인 정수)는 일종의 중간 합을 정의한다.

:

P_k(s)\equiv \sum_{n: \Omega(n)=k} \frac 1 {n^s}

여기서

\Omega

는 소인수의 총 개수이다.

$k$	$s$	근사값 $P_k(s)$
2	2	$0.14076043434\ldots$
2	3	$0.02380603347\ldots$
3	2	$0.03851619298\ldots$
3	3	$0.00304936208\ldots$

리만 제타 함수 $\zeta$ 의 분모에 있는 각 정수는 지수 $k$ 의 값으로 분류할 수 있으며, 이는 리만 제타 함수를 $P_k$ 의 무한 합으로 분해한다.

: $\zeta(s) = 1+\sum_{k=1,2,\ldots} P_k(s)$

디리클레 급수 (어떤 형식 매개변수 ''u''에서)가 다음을 만족한다는 것을 알고 있으므로

: $P_{\Omega}(u, s) := \sum_{n \geq 1} \frac{u^{\Omega(n)}}{n^s} = \prod_{p \in \mathbb{P}} \left(1-up^{-s}\right)^{-1},$

우리는 오른쪽 변수의 생성 함수가 있는 대칭 다항식 변형에 대한 공식을 사용할 수 있다. 즉, 시퀀스가 $x_j := j^{-s} \chi_{\mathbb{P}}(j)$ 에 해당할 때 $P_k(s) = [u^k] P_{\Omega}(u, s) = h(x_1, x_2, x_3, \ldots)$ 라는 계수별 동일성이 있다. 여기서 $\chi_{\mathbb{P}}$ 는 소수의 특성 함수를 나타낸다. 뉴턴 항등식을 사용하면 다음 일반 공식이 주어진다.

: $P_n(s) = \sum_ \left[\prod_{i=1}^n \frac{P(is)^{k_i}}{k_i! \cdot i^{k_i}}\right] = -[z^n]\log\left(1 - \sum_{j \geq 1} \frac{P(js) z^j}{j}\right).$

특수한 경우의 명시적 확장은 다음과 같다.

: $\begin{align}P_1(s) & = P(s) \\ P_2(s) & = \frac{1}{2}\left(P(s)^2+P(2s)\right) \\ P_3(s) & = \frac{1}{6}\left(P(s)^3+3P(s)P(2s)+2P(3s)\right) \\ P_4(s) & = \frac{1}{24}\left(P(s)^4+6P(s)^2 P(2s)+3 P(2s)^2+8P(s)P(3s)+6P(4s)\right).\end{align}$

5. 2. 법 소수 제타 함수 (Prime modulo zeta functions)

법에 따라 같은 클래스에 속하는 소수만을 대상으로 합을 구성하면 디리클레 L-함수를 축소한 추가적인 종류의 무한 급수가 생성된다.

참조

_[1] MathWorld Artin's Constant https://mathworld.wo[...]
_[2] 문서 divergence of the sum of the reciprocals of the primes

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