프라임 제타 함수

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1. 개요

프라임 제타 함수는 리만 제타 함수와 관련된 함수로, 소수와 관련된 수열을 이용하여 정의된다. 프라임 제타 함수는 오일러 곱, 뫼비우스 반전 공식, 아르틴 상수 등과 관련되며, 특정 값에서의 근사값을 구할 수 있다. 프라임 제타 함수의 적분과 미분 또한 정의되며, 일반화된 형태로 거의 소수 제타 함수와 법 소수 제타 함수가 존재한다.

프라임 제타 함수

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1. 개요
2. 정의 및 성질
3. 프라임 제타 함수 수치
4. 미분과 적분
- 4.1. 적분
- 4.2. 도함수
5. 일반화
- 5.1. 거의 소수 제타 함수 (Almost-prime zeta functions)
- 5.2. 법 소수 제타 함수 (Prime modulo zeta functions)

2. 정의 및 성질

소수 제타 함수는 리만 제타 함수의 오일러 곱과 뫼비우스 반전 공식을 통해 정의될 수 있으며, s가 1로 수렴할 때의 행동은 디리클레 밀도 정의에 사용된다.

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s	근사값 P(s)
2	$0.45224\ 74200\ 41065\ 49850 \ldots$
3	$0.17476\ 26392\ 99443\ 53642 \ldots$
4	$0.07699\ 31397\ 64246\ 84494 \ldots$
5	$0.03575\ 50174\ 83924\ 25713 \ldots$
6	$0.01707\ 00868\ 50636\ 51295 \ldots$
7	$0.00828\ 38328\ 56133\ 59253 \ldots$
8	$0.00406\ 14053\ 66517\ 83056 \ldots$
9	$0.00200\ 44675\ 74962\ 45066 \ldots$

* s = 1 일때,

\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{11} + \cdots \to \infty.

2.1. 오일러 곱

리만 제타 함수 ζ(s)에 대한 오일러 곱은 다음과 같다.
: $\log\zeta(s)=\sum_{n>0} \frac{P(ns)} n$

뫼비우스 반전 공식에 의해 다음과 같다.
: $P(s)=\sum_{n>0} \mu(n)\frac{\log\zeta(ns)} n$

s가 1로 갈 때, $P(s)\sim \log\zeta(s)\sim\log\left(\frac{1}{s-1} \right)$ 이다. 이는 디리클레 밀도의 정의에 사용된다.

이는 $\Re(s) > 0$ 에서 P(s)의 해석적 연장을 제공하며, 여기서 무한히 많은 로그 특이점이 존재한다. 여기서 ns가 극점(n이 1 이상인 제곱수가 아닌 수일 때만 ns = 1) 또는 리만 제타 함수 ζ(.)의 영점이다. $\Re(s) = 0$ 선은 특이점이 이 선의 모든 점 근처에 모이므로 자연 경계이다.

다음과 같이 수열을 정의하면,
: $a_n=\prod_{p^k \mid n} \frac{1}{k}=\prod_{p^k \mid \mid n} \frac 1 {k!}$

다음이 성립한다.
: $P(s)=\log\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}.$

소수 제타 함수는 아르틴 상수와 다음 관계가 있다.
: $\ln C_{\mathrm{Artin}} = - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(L_n-1)P(n)}{n}$

여기서 L_n은 n번째 루카스 수이다.

특정 값은 다음과 같다.

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s	근사값 P(s)
1	$\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{11} + \cdots \to \infty.$
2	$0{.}45224\text{ }74200\text{ }41065\text{ }49850 \ldots$
3	$0{.}17476\text{ }26392\text{ }99443\text{ }53642 \ldots$
4	$0{.}07699\text{ }31397\text{ }64246\text{ }84494 \ldots$
5	$0{.}03575\text{ }50174\text{ }83924\text{ }25713 \ldots$
6	$0{.}01707\text{ }00868\text{ }50636\text{ }51295 \ldots$
7	$0{.}00828\text{ }38328\text{ }56133\text{ }59253 \ldots$
8	$0{.}00406\text{ }14053\text{ }66517\text{ }83056 \ldots$
9	$0{.}00200\text{ }44675\text{ }74962\text{ }45066 \ldots$

2.2. 해석적 연속

뫼비우스 반전 공식에 의해 다음이 성립한다.

: $P(s)=\sum_{n=0} \mu(n)\frac{\log\zeta(ns)} n$

이는 $\Re(s) > 0$ 에서 P(s)의 해석적 연장을 제공하며, 무한히 많은 로그 특이점이 존재한다. 여기서 ns가 극점(n이 1 이상인 제곱수가 아닌 수일 때만 ns = 1) 또는 리만 제타 함수 ζ(.)의 영점이다. $\Re(s) = 0$ 선은 특이점이 이 선의 모든 점 근처에 모이므로 자연 경계이다.

2.3. 특이점

뫼비우스 반전 공식에 의해 다음이 성립한다.

: $P(s)=\sum_{n>0} \mu(n)\frac{\log\zeta(ns)} n$

이는 $\Re(s) > 0$ 에서 P(s)의 해석적 연장을 제공하며, 여기서 무한히 많은 로그 특이점이 존재한다. 특이점은 ns가 극점 (n이 1 이상인 제곱수가 아닌 수일 때만 ns = 1) 또는 리만 제타 함수의 영점일 때 발생한다. $\Re(s) = 0$ 인 직선은 특이점이 이 선의 모든 점 근처에 모이므로 자연 경계이다.

2.4. 다른 함수와의 관계

소수 제타 함수는 아르틴 상수와 다음 관계를 맺고 있다.

: $\ln C_{\mathrm{Artin}} = - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(L_n-1)P(n)}{n}$

여기서 L_n은 n번째 루카스 수이다.

특정 값은 다음과 같다.

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s	근사값 P(s)	OEIS
2	$0.45224\ 74200\ 41065\ 49850 \ldots$	OEIS:A085548
3	$0.17476\ 26392\ 99443\ 53642 \ldots$	OEIS:A085541
4	$0.07699\ 31397\ 64246\ 84494 \ldots$	OEIS:A085964
5	$0.03575\ 50174\ 83924\ 25713 \ldots$	OEIS:A085965
6	$0.01707\ 00868\ 50636\ 51295 \ldots$	OEIS:A085966
7	$0.00828\ 38328\ 56133\ 59253 \ldots$	OEIS:A085967
8	$0.00406\ 14053\ 66517\ 83056 \ldots$	OEIS:A085968
9	$0.00200\ 44675\ 74962\ 45066 \ldots$	OEIS:A085969

3. 프라임 제타 함수 수치

Prime zeta function^영어 P(s)의 수치는 다음과 같이 근사값으로 주어진다.

👆

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s	근사값 P(s)	OEIS
1	$\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{11} + \cdots \to \infty.$
2	$0{.}45224\text{ }74200\text{ }41065\text{ }49850 \ldots$	A085548
3	$0{.}17476\text{ }26392\text{ }99443\text{ }53642 \ldots$	A085541
4	$0{.}07699\text{ }31397\text{ }64246\text{ }84494 \ldots$	A085964
5	$0{.}03575\text{ }50174\text{ }83924\text{ }25713 \ldots$	A085965
6	$0{.}01707\text{ }00868\text{ }50636\text{ }51295 \ldots$	A085966
7	$0{.}00828\text{ }38328\text{ }56133\text{ }59253 \ldots$	A085967
8	$0{.}00406\text{ }14053\text{ }66517\text{ }83056 \ldots$	A085968
9	$0{.}00200\text{ }44675\text{ }74962\text{ }45066 \ldots$	A085969

4. 미분과 적분

소수 제타 함수의 미분과 적분은 소수와 관련된 급수 형태로 표현된다.

1차 도함수는 다음과 같다.

: $P'(s) \equiv \frac{d}{ds} P(s) = - \sum_p \frac{\log p}{p^s}$

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s	근사값 $P'(s)$
2	$-0.493091109\ldots$
3	$-0.150757555\ldots$
4	$-0.060607633\ldots$
5	$-0.026838601\ldots$

프라임 제타 함수의 적분은 일반적으로 무한대에 고정된다. 이는

s=1

에서의 극이 복소 평면에서 가지 절단에 대한 논의 없이, 어떤 유한 정수에서 좋은 하한을 정의하는 것을 막기 때문이다.

:

\int_s^\infty P(t) \, dt = \sum_p \frac 1 {p^s\log p}

4.1. 적분

프라임 제타 함수의 적분은 일반적으로 무한대에 고정된다. 이는 $s=1$ 에서의 극이 복소 평면에서 가지 절단에 대한 논의 없이, 어떤 유한 정수에서 좋은 하한을 정의하는 것을 막기 때문이다.

: $\int_s^\infty P(t) \, dt = \sum_p \frac 1 {p^s\log p}$

주목할 만한 값은 다시 합이 천천히 수렴하는 값이다.

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s	근사값 $\sum _p 1/(p^s\log p)$	OEIS
1	$1.63661632\ldots$	A137245
2	$0.50778218\ldots$	A221711
3	$0.22120334\ldots$
4	$0.10266547\ldots$

4.2. 도함수

1차 도함수는 다음과 같다.

: $P'(s) \equiv \frac{d}{ds} P(s) = - \sum_p \frac{\log p}{p^s}$

흥미로운 값들은 다시 합이 느리게 수렴하는 값들이다.

👆

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s	근사값 $P'(s)$
2	$-0.493091109\ldots$
3	$-0.150757555\ldots$
4	$-0.060607633\ldots$
5	$-0.026838601\ldots$

5. 일반화

소수 제타 함수는 다양한 방식으로 일반화될 수 있다. 그중 하나는 k-소수를 이용하는 것이다. k-소수는 서로 같지 않아도 되는 k개의 소수의 곱으로 이루어진 정수를 의미한다. 이러한 k-소수를 이용해 소수 제타 함수를 일반화할 수 있다.

다른 방법으로는 같은 법 클래스에 속하는 소수만을 대상으로 합을 구성하는 것이 있다. 이 방법을 사용하면 디리클레 L-함수를 축소한 추가적인 종류의 무한 급수를 생성할 수 있다.

5.1. 거의 소수 제타 함수 (Almost-prime zeta functions)

리만 제타 함수가 정수의 역 거듭제곱의 합이고, 소수 제타 함수가 소수의 역 거듭제곱의 합인 것처럼, k-소수(서로 같지 않아도 되는 k개의 소수의 곱인 정수)는 일종의 중간 합을 정의한다.

: $P_k(s)\equiv \sum_{n: \Omega(n)=k} \frac 1 {n^s}$

여기서 $\Omega$ 는 소인수의 총 개수이다.

👆

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$k$	$s$	근사값 $P_k(s)$
2	2	$0.14076043434\ldots$
2	3	$0.02380603347\ldots$
3	2	$0.03851619298\ldots$
3	3	$0.00304936208\ldots$

리만 제타 함수

\zeta

의 분모에 있는 각 정수는 지수

k

의 값으로 분류할 수 있으며, 이는 리만 제타 함수를

P_k

의 무한 합으로 분해한다.

:

\zeta(s) = 1+\sum_{k=1,2,\ldots} P_k(s)

디리클레 급수 (어떤 형식 매개변수 u에서)가 다음을 만족한다는 것을 알고 있으므로

:

P_{\Omega}(u, s) := \sum_{n \geq 1} \frac{u^{\Omega(n)}}{n^s} = \prod_{p \in \mathbb{P}} \left(1-up^{-s}\right)^{-1},

우리는 오른쪽 변수의 생성 함수가 있는 대칭 다항식 변형에 대한 공식을 사용할 수 있다. 즉, 시퀀스가

x_j := j^{-s} \chi_{\mathbb{P}}(j)

에 해당할 때

P_k(s) = [u^k] P_{\Omega}(u, s) = h(x_1, x_2, x_3, \ldots)

라는 계수별 동일성이 있다. 여기서

\chi_{\mathbb{P}}

는 소수의 특성 함수를 나타낸다. 뉴턴 항등식을 사용하면 다음 일반 공식이 주어진다.

:

P_n(s) = \sum_ \left[\prod_{i=1}^n \frac{P(is)^{k_i}}{k_i! \cdot i^{k_i}}\right] = -[z^n]\log\left(1 - \sum_{j \geq 1} \frac{P(js) z^j}{j}\right).

특수한 경우의 명시적 확장은 다음과 같다.

:

\begin{align}P_1(s) & = P(s) \\ P_2(s) & = \frac{1}{2}\left(P(s)^2+P(2s)\right) \\ P_3(s) & = \frac{1}{6}\left(P(s)^3+3P(s)P(2s)+2P(3s)\right) \\ P_4(s) & = \frac{1}{24}\left(P(s)^4+6P(s)^2 P(2s)+3 P(2s)^2+8P(s)P(3s)+6P(4s)\right).\end{align}

5.2. 법 소수 제타 함수 (Prime modulo zeta functions)

법에 따라 같은 클래스에 속하는 소수만을 대상으로 합을 구성하면 디리클레 L-함수를 축소한 추가적인 종류의 무한 급수가 생성된다.