리만 제타 함수

3. 해석적 연속

리만 제타 함수는 $s\; \backslash neq\; 1$인 모든 복소수 영역에서 정의되며, 해석적 연속을 통해 다른 복소수 값에 대해서도 정의된다. 여기서 $s\; =\; \backslash sigma\; +\; it$이며, $\backslash sigma$와 $t$는 실수이다. $\backslash operatorname\{Re\}(s)\; =\; \backslash sigma\; >\; 1$일 때, 이 함수는 다음과 같은 수렴하는 합 또는 적분으로 표현할 수 있다.

:$\backslash zeta(s)\; =\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{1\}\{n^s\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma(s)\}\; \backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{x\; ^\; \{s-1\}\}\{e\; ^\; x\; -\; 1\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\backslash ,,$

여기서 $\backslash Gamma(s)\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; x^\{s-1\}\backslash ,e^\{-x\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x$는 감마 함수이다.

레온하르트 오일러는 $s$의 양의 정수 값에 대해 위 급수를 고려했고, 이후 파프누티 체비쇼프는 정의를 $\backslash operatorname\{Re\}(s)\; >\; 1$로 확장했다.^[3]

위 급수는 $s$가 $\backslash sigma\; >\; 1$인 경우 절대 수렴하여 해석 함수로 수렴하고, 다른 모든 $s$ 값에서는 발산 급수인 전형적인 디리클레 급수이다. 리만은 반평면 수렴에서 급수로 정의된 함수가 모든 복소수 값 $s\; \backslash neq\; 1$로 해석적으로 확장될 수 있음을 보였다. $s\; =\; 1$의 경우, 이 급수는 조화 급수이며 $+\backslash infty$로 발산하고,

:$\backslash lim\_\{s\; \backslash to\; 1\}\; (s\; -\; 1)\backslash zeta(s)\; =\; 1.$

따라서 리만 제타 함수는 전체 복소 평면에서 유형 함수이며, $s\; =\; 1$의 단순 극점을 제외한 모든 곳에서 정칙 함수이며, 잉여는 1이다.

다음과 같이 야코비 세타 함수를 정의한다.

:$\backslash theta(\backslash tau)=\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; e^\{\backslash pi\; i\; n^2\backslash tau\}$

이를 이용하여 다음과 같은 자이 함수($\backslash xi$ function)^[61]를 정의할 수 있다.

:$\backslash xi(s)=\backslash pi^\{-s/2\}\backslash Gamma(s/2)\backslash zeta(s)\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; (\backslash frac\{\backslash theta(it)-1\}\{2\})t^\{\backslash frac\{s\}\{2\}\}\; \backslash frac\{dt\}\{t\}$

이 함수를 통해 제타 함수의 해석적 연속과 다음의 함수 방정식을 얻을 수 있다.

:$\backslash xi(s)\; =\; \backslash xi(1-s)$

3. 1. 함수 방정식

4. 성질

리만 제타 함수는 -2, -4, ...에서 영점을 갖는다. 이들을 '''자명한 영점'''(trivial zero^영어)이라고 하는데, 함수 방정식에서 사인|sin^한국어 πs/2|π''s''/2^한국어가 0이라는 사실로부터 그 존재를 증명하는 것이 상대적으로 쉽기 때문이다. 비자명 영점은 그 분포가 덜 이해될 뿐만 아니라, 소수와 수론에서 관련된 대상에 대한 중요한 결과를 산출하기 때문에 훨씬 더 많은 관심을 받는다. 모든 비자명 영점이 '''임계띠'''(critical strip^영어)라고 불리는 열린 띠 안에 있다는 것이 알려져 있다. 집합 $\backslash \{s\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}\; :\; \backslash operatorname\{Re\}(s)\; =\; 1/2\backslash \}$를 '''임계선'''(critical line^영어)이라고 한다. 리만 가설은 모든 비자명 영점이 임계선 위에 있다고 주장하며, 수학에서 가장 위대한 미해결 문제 중 하나로 여겨진다. 1989년, 코레이(Conrey)는 리만 제타 함수의 비자명 영점의 40% 이상이 임계선 위에 있다는 것을 증명했다.^[8]

임계선상의 리만 제타 함수에 대해서는 Z 함수를 참조하라.

4. 1. 오일러 곱

4. 2. 영점

4. 3. 특수한 값

• $\backslash zeta(-1)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{12\}$
• $\backslash zeta(0)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}$
• $\backslash zeta\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\; \backslash approx\; -1.4603545$
• $\backslash zeta(1)\; =\; \backslash infty$ (조화급수)
• $\backslash zeta\backslash left(\backslash frac\{3\}\{2\}\backslash right)\; \backslash approx\; 2.612$ (보스-아인슈타인 응축에서 임계 온도를 계산하는데 사용된다.)
• $\backslash zeta(2)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$ (원주율의 근사값을 구하기 위해 종종 사용된다.)
• $\backslash zeta(3)\; =\; 1.202\backslash cdots$ (아페리 상수)
• $\backslash zeta(4)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^4\}\{90\}$ (플랑크 법칙으로부터 슈테판-볼츠만 법칙을 도출하는 적분 과정에서 사용된다.)
• $\backslash zeta(5)\; =\; 1.036\backslash cdots$
• $\backslash zeta(6)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^6\}\{945\}$
• $\backslash zeta(7)\; =\; 1.0083\backslash cdots$
• $\backslash zeta(8)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^8\}\{9450\}$
• $\backslash zeta(9)\; =\; 1.0020\backslash cdots$
• $\backslash zeta(10)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^\{10\}\}\{93555\}$

5. 일반화

리만 제타 함수를 일반화한 몇 가지 제타 함수가 있다. 그중 가장 간단한 것은 후르비츠 제타 함수이며 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash zeta(s,q)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; (k+q)^\{-s\}$

이 함수는 $q\; =\; 1$일 때 리만 제타 함수가 된다.

리만 제타 함수의 일반화로 간주될 수 있는 여러 관련 제타 함수가 있다. 여기에는 허위츠 제타 함수(수렴하는 급수 표현은 1930년 헬무트 하세에 의해 제공되었다.^[58])가 포함된다. 이 함수는 q=1일 때 리만 제타 함수와 일치한다(허위츠 제타 함수의 합산 하한은 1이 아닌 0). 이외에도 디리클레 L-함수 및 데데킨트 제타 함수등이 존재한다. 다른 관련 함수는 제타 함수 및 L-함수 문서를 참조하면 된다.

폴리로그는 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{Li\}\_s(z)\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{z^k\}\{k^s\}$

이는 z=1일 때 리만 제타 함수와 일치한다.

레르히 초월 함수는 다음과 같다.

:$\backslash Phi(z,\; s,\; q)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\backslash frac\; \{\; z^k\}\; \{(k+q)^s\}$

이는 z=1 및 q=1일 때 리만 제타 함수와 일치한다(레르히 초월 함수의 합산 하한은 1이 아닌 0).

다중 제타 함수는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash zeta(s\_1,s\_2,\backslash ldots,s\_n)\; =\; \backslash sum\_\{k\_1>k\_2>\backslash cdots>k\_n>0\}\; \{k\_1\}^\{-s\_1\}\{k\_2\}^\{-s\_2\}\backslash cdots\; \{k\_n\}^\{-s\_n\}.$

이러한 함수를 n차원 복소 공간으로 해석적으로 연장할 수 있다. 이러한 함수가 양의 정수 인수를 취하는 특수한 값은 수론가에 의해 다중 제타 값이라고 불리며 수학과 물리학의 여러 분야와 연결되어 있다.

6. 응용

리만 제타 함수는 지프의 법칙, 지프-만델브로 법칙, 로트카의 법칙을 포함한 응용 통계학에 나타난다.

제타 함수 정규화는 양자장론에서 발산 급수와 발산 적분의 정규화의 한 가지 방법으로 사용된다. 한 가지 주목할 만한 예로, 카시미르 효과를 계산하는 한 가지 방법에서 리만 제타 함수가 명시적으로 나타난다. 제타 함수는 또한 동역학계의 분석에도 유용하다.^[54] 음악 튜닝 이론에서, 제타 함수는 옥타브의 동음 분할 (EDOs)을 찾아 조화 급수의 음정을 근사하는 데 사용될 수 있다. 12, 19, 53과 같은 일반적인 선택이 있다.^[56]

7. 수치 계산

고전적인 알고리즘은 1930년경 이전에 사용되었으며, 오일러-매클로린 공식을 적용하여 양의 정수 ''n''과 ''m''에 대해 다음과 같이 계산한다.

:$\backslash zeta(s)\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{n-1\}j^\{-s\}\; +\; \backslash tfrac12\; n^\{-s\}\; +\; \backslash frac\{n^\{1-s\}\}\{s-1\}\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^m\; T\_\{k,n\}(s)\; +\; E\_\{m,n\}(s)$

여기서 $B\_\{2k\}$는 베르누이 수를 나타내며,

:$T\_\{k,n\}(s)\; =\; \backslash frac\{B\_\{2k\}\}\{(2k)!\}\; n^\{1-s-2k\}\backslash prod\_\{j=0\}^\{2k-2\}(s+j)$

오차는 다음을 만족한다.

:

여기서 ''σ'' = Re(''s'')이다.^[53]

현대적인 수치 알고리즘으로는 오딜리츠코-쇤하게 알고리즘이 있다.

참조

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