리만 제타 함수

1. 개요

리만 제타 함수는 복소수 s에 대해 정의되는 디리클레 수열로, 소수와의 깊은 관계를 가지며 오일러 곱으로 표현된다. 이 함수는 해석적 연속성을 가지며, 함수 방정식과 자명하지 않은 영점을 갖는다. 리만 가설은 이 함수의 모든 비자명 영점이 임계선 위에 있다는 주장이며, 이는 현대 수학의 주요 난제 중 하나이다. 리만 제타 함수는 특수한 값과 일반화된 형태로 존재하며, 통계학, 물리학, 음악 튜닝 등 다양한 분야에 응용된다. 수치 계산을 위한 여러 알고리즘이 개발되었으며, 한국 수학계에서도 연구가 진행되고 있다.

2. 정의

리만 제타 함수는 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 $s\; (\backslash in\; \backslash mathbb\; C)$에 대해, 다음과 같은 디리클레 수열로 정의된다.
:$\backslash zeta(s)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infin\; \backslash frac\{1\}\{n^s\}$
이 무한급수는 $\backslash Re(s)\; >\; 1$의 영역에서 수렴하고, 위 식은 정칙함수를 정의한다. 리만은 제타 함수가 s ≠ 1인 모든 점에서 정의된 유리형 함수로 유일하게 해석적 연속이 가능하다는 것을 알았으며, 리만 가설에 등장하는 제타 함수는 확장된 리만 제타 함수를 뜻한다.

레온하르트 오일러는 1740년에 $s$의 양의 정수 값에 대해 위 급수를 고려했고, 이후 파프누티 체비쇼프는 정의를 $\backslash operatorname\{Re\}(s)\; >\; 1$로 확장했다.

위 급수는 $s$가 $\backslash sigma\; >\; 1$인 경우 절대 수렴하여 해석 함수로 수렴하고, 다른 모든 $s$ 값에서는 발산 급수인 전형적인 디리클레 급수이다. 리만은 반평면 수렴에서 급수로 정의된 함수가 모든 복소수 값 $s\; \backslash ne\; 1$로 해석적으로 확장될 수 있음을 보였다. $s=1$의 경우, 이 급수는 조화 급수이며 $+\backslash infty$로 발산하고,
$$\backslash lim\_\{s\; \backslash to\; 1\}\; (s\; -\; 1)\backslash zeta(s)\; =\; 1.$$
따라서 리만 제타 함수는 전체 복소 평면에서 유형 함수이며, $s=1$의 단순 극점을 제외한 모든 곳에서 정칙 함수이며, 잉여는 1이다.

3. 해석적 연속

리만 제타 함수는 $s\; \backslash neq\; 1$인 모든 복소수 영역에서 정의되며, 해석적 연속을 통해 다른 복소수 값에 대해서도 정의된다. 여기서 $s\; =\; \backslash sigma\; +\; it$이며, $\backslash sigma$와 $t$는 실수이다. $\backslash operatorname\{Re\}(s)\; =\; \backslash sigma\; >\; 1$일 때, 이 함수는 다음과 같은 수렴하는 합 또는 적분으로 표현할 수 있다.

:$\backslash zeta(s)\; =\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{1\}\{n^s\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma(s)\}\; \backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{x\; ^\; \{s-1\}\}\{e\; ^\; x\; -\; 1\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\backslash ,,$

여기서 $\backslash Gamma(s)\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; x^\{s-1\}\backslash ,e^\{-x\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x$는 감마 함수이다.

레온하르트 오일러는 $s$의 양의 정수 값에 대해 위 급수를 고려했고, 이후 파프누티 체비쇼프는 정의를 $\backslash operatorname\{Re\}(s)\; >\; 1$로 확장했다.

위 급수는 $s$가 $\backslash sigma\; >\; 1$인 경우 절대 수렴하여 해석 함수로 수렴하고, 다른 모든 $s$ 값에서는 발산 급수인 전형적인 디리클레 급수이다. 리만은 반평면 수렴에서 급수로 정의된 함수가 모든 복소수 값 $s\; \backslash neq\; 1$로 해석적으로 확장될 수 있음을 보였다. $s\; =\; 1$의 경우, 이 급수는 조화 급수이며 $+\backslash infty$로 발산하고,

:$\backslash lim\_\{s\; \backslash to\; 1\}\; (s\; -\; 1)\backslash zeta(s)\; =\; 1.$

따라서 리만 제타 함수는 전체 복소 평면에서 유형 함수이며, $s\; =\; 1$의 단순 극점을 제외한 모든 곳에서 정칙 함수이며, 잉여는 1이다.

다음과 같이 야코비 세타 함수를 정의한다.

:$\backslash theta(\backslash tau)=\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; e^\{\backslash pi\; i\; n^2\backslash tau\}$

이를 이용하여 다음과 같은 자이 함수($\backslash xi$ function)를 정의할 수 있다.

:$\backslash xi(s)=\backslash pi^\{-s/2\}\backslash Gamma(s/2)\backslash zeta(s)\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; (\backslash frac\{\backslash theta(it)-1\}\{2\})t^\{\backslash frac\{s\}\{2\}\}\; \backslash frac\{dt\}\{t\}$

이 함수를 통해 제타 함수의 해석적 연속과 다음의 함수 방정식을 얻을 수 있다.

:$\backslash xi(s)\; =\; \backslash xi(1-s)$

3.1. 함수 방정식

리만 제타 함수는 다음 함수 방정식을 만족한다.

:$\backslash zeta(s)\; =\; 2^s\; \backslash pi^\{s-1\}\backslash \; \backslash sin\backslash left(\; \backslash frac\{\backslash pi\; s\}\{2\}\; \backslash right)\backslash \; \backslash Gamma(1-s)\backslash \; \backslash zeta(1-s)\backslash \; ,$

여기서 $\backslash Gamma(s)$는 감마 함수이다. 이 방정식은 복소 평면 전체에서 성립하는 유리형 함수의 등식이다. 이 방정식은 리만 제타 함수의 $s$와 $1-s$ 지점의 값을 연결하며, 특히 짝수 양의 정수와 홀수 음의 정수를 연결한다. 사인 함수의 영점 때문에, 함수 방정식은 $\backslash zeta(s)$가 각 짝수 음의 정수 $s\; =\; -2n$에서 단순 영점을 갖는다는 것을 의미하며, 이는 $\backslash zeta(s)$의 자명한 영점으로 알려져 있다. $s$가 짝수 양의 정수일 때, 우변의 곱 $\backslash sin\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\; s\}\{2\}\backslash right)\; \backslash Gamma(1-s)$는 0이 아닌데, 이는 $\backslash Gamma(1-s)$가 단순한 극점을 가지며, 이 극점이 사인 인자의 단순 영점을 상쇄하기 때문이다.

이 함수 방정식은 베른하르트 리만이 1859년 논문 "주어진 크기보다 작은 소수의 개수에 대하여"에서 확립했으며, 처음부터 해석적 연속을 구성하는데 사용되었다.

4. 성질

리만 제타 함수는 -2, -4, ...에서 영점을 갖는다. 이들을 자명한 영점(trivial zero^영어)이라고 하는데, 함수 방정식에서 사인^한국어 πs/2^한국어가 0이라는 사실로부터 그 존재를 증명하는 것이 상대적으로 쉽기 때문이다. 비자명 영점은 그 분포가 덜 이해될 뿐만 아니라, 소수와 수론에서 관련된 대상에 대한 중요한 결과를 산출하기 때문에 훨씬 더 많은 관심을 받는다. 모든 비자명 영점이 임계띠(critical strip^영어)라고 불리는 열린 띠 안에 있다는 것이 알려져 있다. 집합 $\backslash \{s\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}\; :\; \backslash operatorname\{Re\}(s)\; =\; 1/2\backslash \}$를 임계선(critical line^영어)이라고 한다. 리만 가설은 모든 비자명 영점이 임계선 위에 있다고 주장하며, 수학에서 가장 위대한 미해결 문제 중 하나로 여겨진다. 1989년, 코레이(Conrey)는 리만 제타 함수의 비자명 영점의 40% 이상이 임계선 위에 있다는 것을 증명했다.

임계선상의 리만 제타 함수에 대해서는 Z 함수를 참조하라.

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4.1. 오일러 곱

레온하르트 오일러는 리만 제타 함수가 소수와 다음과 같은 관계가 있다는 것을 알아냈다.

:$\backslash zeta(s)\; =\; \backslash prod\_\{p\}\; \backslash frac\{1\}\{1-p^\{-s\}\}$

이 식은 오일러의 곱셈 공식이라 불리며, 등비급수와 산술의 기본 정리로부터 유도할 수 있다. 그 증명은 다음과 같다.

:$\backslash zeta(s)\; =\; \{1\; \backslash over\; 1^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^s\}\; +\; \backslash cdots$

양변에 $\{1\; \backslash over\; 2^s\}$를 곱하면

:$\{1\; \backslash over\; 2^s\}\backslash cdot\; \backslash zeta(s)=\; \{1\; \backslash over\; (2\backslash cdot1)^s\}+\{1\; \backslash over\; (2\backslash cdot2)^s\}+\{1\; \backslash over\; (2\backslash cdot3)^s\}+\{1\; \backslash over\; (2\backslash cdot4)^s\}+\; \backslash cdots$

$\{1\; \backslash over\; 2^s\}$를 곱하기 전의 식과 곱한 후의 식을 서로  빼면,

:$\backslash zeta(s)-\backslash left(\backslash frac\; 1\{2^s\}\; \backslash cdot\; \backslash zeta(s)\backslash right)\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{5^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{7^s\}\; +\; \backslash cdots$

:$\backslash zeta(s)\backslash left(1-\backslash frac\; 1\{2^s\}\backslash right)\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{5^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{7^s\}\; +\; \backslash cdots$

우변의 분모에서 2의 배수가 모두 사라진다. 같은 방법으로 반복하면,

:$\backslash zeta(s)\backslash left(1-\backslash frac\; 1\{2^s\}\backslash right)\backslash left(1-\backslash frac\; 1\{3^s\}\backslash right)\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{5^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{7^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{11^s\}\; +\; \backslash cdots$

우변의 분모에서 3의 배수가 모두 사라진다.

위와 같은 절차를 거쳐 우변의 모든 소수의 배수를 없애면, 특정 합성수는 항상 소수의 곱으로 나타낼 수 있다는 산술의 기본 정리에 따라 분모가 합성수 또는 소수인 수가 모두 사라지고 마지막에는 1만 남는다. 즉,

:$\backslash zeta(s)\; \backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(\; 1\; -\; \{1\; \backslash over\; \{p^\{s\}\}\}\; \backslash right)\; =\; 1$

:$\backslash zeta(s)\; \backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(\; 1\; -\; p^\{-s\}\; \backslash right)\; =\; 1$

:$\backslash therefore\backslash ;\backslash zeta(s)\; =\; \backslash prod\_\{p\}\; \backslash frac\{1\}\{1\; -\; p^\{-s\}\}$

따라서,

:$\backslash zeta(s)=\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^s\}\; =\backslash prod\_\{p\}\; \backslash frac\{1\}\{1-p^\{-s\}\}$

리만 제타 함수는 모든 자연수에 대한 무한급수로 정의되어 있으므로, 여러 방법으로 성질을 탐구할 수 있다. 이 함수는 오일러 곱을 통해 소수와 연결된다. 따라서 이 식을 이용하면 소수의 비밀을 수학적으로 파헤칠 수 있기에, 중요하게 이용된다.

1737년, 오일러는 소수와 제타 함수의 관계를 발견하고, 다음 등식을 증명했다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{1\}\{n^s\}\; =\; \backslash prod\_\{p\; \backslash text\{\; prime\}\}\; \backslash frac\{1\}\{1-p^\{-s\}\}$

여기서 좌변은 $\backslash zeta(s)$로 정의되고, 우변의 무한 곱은 모든 소수 $p$에 걸쳐 확장된다. 이러한 표현을 오일러 곱이라고 부른다.

:$\backslash prod\_\{p\; \backslash text\{\; prime\}\}\; \backslash frac\{1\}\{1-p^\{-s\}\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{1-2^\{-s\}\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{1-3^\{-s\}\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{1-5^\{-s\}\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{1-7^\{-s\}\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{1-11^\{-s\}\}\; \backslash cdots\; \backslash frac\{1\}\{1-p^\{-s\}\}\; \backslash cdots$

오일러 등식의 증명은 등비수열 공식과 산술의 기본 정리만을 사용한다. $s=1$ 일 때 얻어지는 조화급수가 발산하므로, 오일러 공식은 무한히 많은 소수가 있음을 의미한다.

오일러 곱 공식은 $s$개의 임의로 선택된 정수가 서로소일 점근 확률을 계산하는 데 사용할 수 있다. 임의의 단일 숫자가 소수 $p$로 나누어질 확률은 $\backslash frac\{1\}\{p\}$이다. 따라서 $s$개의 숫자가 모두 이 소수로 나누어질 확률은 $\backslash frac\{1\}\{p^s\}$이고, 그 중 적어도 하나가 '아닌' 확률은 $1\; -\; \backslash frac\{1\}\{p^s\}$이다. 서로 다른 소수에 대해, 이러한 가분성 사건들은 상호 독립적이다. 왜냐하면 후보 제수들이 서로소이기 때문이다. 따라서 $s$개의 숫자가 서로소일 점근 확률은 모든 소수에 대한 곱으로 주어진다.

:$\backslash prod\_\{p\; \backslash text\{\; prime\}\}\; \backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{p^s\}\backslash right)\; =\; \backslash left(\; \backslash prod\_\{p\; \backslash text\{\; prime\}\}\; \backslash frac\{1\}\{1-p^\{-s\}\}\; \backslash right)^\{-1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash zeta(s)\}.$

4.2. 영점

함수 방정식에 따라, 리만 제타 함수는 음의 짝수에서 영점을 가진다. 이 영점들을 자명한 영점(trivial zero^영어)이라고 한다.

리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들은 임계 구역(critical strip^영어)에 존재한다.
:

임계 구역에서 임계 직선(critical line^영어)은 다음과 같다.
:$\backslash \{s\backslash in\backslash mathbb\; C\backslash colon\backslash operatorname\{Re\}s=1/2\backslash \}$

임계 직선 위에는 무한히 많은 영점들이 존재한다는 사실이 알려져 있다. 현재까지 계산된 모든 비자명 영점들은 임계 직선 위에 존재하고 있지만, 모든 영점들이 실제로 임계 직선 위에 있는지 여부는 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 이는 리만 가설로, 현대 수학의 주요 난제 중 하나이다.

리만 제타 함수의 영점들은 해석적 수론에서 소수의 분포에 대한 연구에 매우 중요하다. 예를 들어, 소수 정리는 리만 제타 함수의 영점들에 대한 명제로 바뀌어 증명될 수 있다.

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4.3. 특수한 값

리만 제타 함수는 짝수 양의 정수에서 π의 거듭제곱과 유리수의 곱으로 표현된다. 예를 들어 ζ(2) = π²/6이다. 홀수 양의 정수에서의 값은 일반적으로 초월수로 추정되지만, ζ(3)은 무리수임이 증명되었다(아페리 상수). 음의 정수에서의 값은 베르누이 수와 관련되어 있다.

작은 수에 대한 제타 함수의 값은 다음과 같다:

* $\backslash zeta(-1)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{12\}$
* $\backslash zeta(0)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}$
* $\backslash zeta\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\; \backslash approx\; -1.4603545$
* $\backslash zeta(1)\; =\; \backslash infty$ (조화급수)
* $\backslash zeta\backslash left(\backslash frac\{3\}\{2\}\backslash right)\; \backslash approx\; 2.612$ (보스-아인슈타인 응축에서 임계 온도를 계산하는데 사용된다.)
* $\backslash zeta(2)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$ (원주율의 근사값을 구하기 위해 종종 사용된다.)
* $\backslash zeta(3)\; =\; 1.202\backslash cdots$ (아페리 상수)
* $\backslash zeta(4)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^4\}\{90\}$ (플랑크 법칙으로부터 슈테판-볼츠만 법칙을 도출하는 적분 과정에서 사용된다.)
* $\backslash zeta(5)\; =\; 1.036\backslash cdots$
* $\backslash zeta(6)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^6\}\{945\}$
* $\backslash zeta(7)\; =\; 1.0083\backslash cdots$
* $\backslash zeta(8)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^8\}\{9450\}$
* $\backslash zeta(9)\; =\; 1.0020\backslash cdots$
* $\backslash zeta(10)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^\{10\}\}\{93555\}$

모든 양의 짝수 정수 $2n$에 대해,
:$\backslash zeta(2n)\; =\; \backslash frac\{|B\_\{2n\}|(2\backslash pi)^\{2n\}\}\{2(2n)!\}$
여기서 $B\_\{2n\}$은 $2n$번째 베르누이 수이다. 홀수 양의 정수에 대해서는 그러한 간단한 표현이 알려져 있지 않다.

음이 아닌 정수 $n$에 대해서는,
:$\backslash zeta(-n)=\; -\backslash frac\{B\_\{n+1\}\}\{n+1\}$
이 성립한다.

특히, $\backslash zeta$는 음의 짝수 정수에서 0이 된다. 왜냐하면 $B\_m\; =\; 0$은 1을 제외한 모든 홀수 $m$에 대해서 성립하기 때문이다. 이것들은 제타 함수의 소위 "자명한 영점"이다.

해석적 연속을 통해,
:$\backslash zeta(-1)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{12\}$
임을 보일 수 있다. 이것은 발산하는 급수 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯에 유한한 값을 할당하는 구실을 제공하며, 끈 이론과 같은 특정 맥락(라마누잔 합)에서 사용되어 왔다.

값
:$\backslash zeta\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\; =\; -1.4603545\backslash cdots$
는 선형 운동 방정식의 운동 경계층 문제를 계산하는 데 사용된다.

비록
:$\backslash zeta(1)\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash infty$
이 발산하지만, 그 코시 주치
:$\backslash lim\_\{\backslash varepsilon\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash zeta(1+\backslash varepsilon)+\backslash zeta(1-\backslash varepsilon)\}\{2\}$
는 존재하며 오일러-마스케로니 상수 $\backslash gamma\; =\; 0.5772\backslash cdots$와 같다.

:$\backslash zeta(2)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$
의 증명은 바젤 문제로 알려져 있다. 이 합의 역수는 "임의로 선택된 두 개의 숫자가 서로소일 확률은 얼마인가?"라는 질문에 대한 답이다.

값
:$\backslash zeta(3)\; =\; 1.2020569\backslash cdots$
는 아페리 상수이다.

실수를 통해 $s\; \backslash rightarrow\; +\backslash infty$의 극한을 취하면 $\backslash zeta\; (+\backslash infty)\; =\; 1$을 얻는다.

리만 제타 함수에 정수를 대입한 값을 리만 제타 값 또는 단순히 제타 값이라고 한다. 임의의 양의 짝수 $2n$에 대해,
:$\backslash zeta\; (2n)\; =\; \backslash frac\{(-1)^\{n+1\}\; (2\backslash pi)^\{2n\}\; B\_\{2n\}\}\{2\; (2n)!\}$
로 나타낼 수 있다. 여기서, $B\_\{2n\}$은 $2n$번째 베르누이 수이다.

또한 $n\; \backslash ge\; 1$일 때,
:$\backslash zeta\; (-n)=\backslash frac\{(-1)^n\; B\_\{n+1\}\}\{n+1\}$
이 성립한다.

그러나 복소수 $s$가 음의 짝수이면 $\backslash zeta(s)\; =\; 0$이며, 이것들을 리만 제타 함수의 자명한 영점이라고 부른다. 구체적으로,
* $\backslash zeta\; (0)=-\backslash frac\{1\}\{2\}$
* $\backslash zeta\; (2)=\{\backslash pi^2\; \backslash over\; 6\}\; =1.6449\backslash dots$ (바젤 문제)
* $\backslash zeta\; (4)=\{\backslash pi^4\; \backslash over\; 90\}\; =1.0823\backslash dots$
* $\backslash zeta\; (6)=\{\backslash pi^6\; \backslash over\; 945\}\; =1.0173\backslash dots$
* $\backslash zeta\; (8)=\backslash frac\{\backslash pi^8\}\{9450\}\; =1.00407\backslash dots$
* $\backslash zeta\; (10)=\backslash frac\{\backslash pi^\{10\}\}\{93555\}\; =1.000994\backslash dots$
* $\backslash zeta\; (12)=\backslash frac\{691\backslash pi^\{12\}\}\{638512875\}\; =1.000246\backslash dots$
* $\backslash zeta\; (14)=\backslash frac\{2\backslash pi^\{14\}\}\{18243225\}\; =1.0000612\backslash dots$
이 성립한다. 여기서,
:$\backslash zeta\; (2n)\; =\; \backslash eta\_n\; \backslash pi^\{2n\}$
라고 하면,
* $\backslash eta\_1\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}$
* $\backslash eta\_n\; =\backslash sum\_\{\backslash ell=1\}^\{n-1\}\; (-1)^\{\backslash ell-1\}\; \backslash frac\{\backslash eta\_\{n-\backslash ell\}\}\{(2\backslash ell+1)!\}\; +(-1)^\{n+1\}\; \backslash frac\{n\}\{(2n+1)!\}$
이 성립한다. 이 점화식은 베르누이 수의 점화식으로부터 유도된다.

$s\; =\; 2n+1$ ($n$은 양의 정수), 즉 3 이상의 양의 홀수인 경우, 적분 표현을 하면 다음과 같다. ($B\_\{2n+1\}(x)$는 베르누이 다항식)
:$\backslash zeta\; (2n+1)=\backslash dfrac\{(-1)^\{n+1\}(2\backslash pi)^\{2n+1\}\}\{2\backslash cdot(2n+1)!\}\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\backslash dfrac\{\; B\_\{2n+1\}(x)\}\{\backslash tan(\backslash pi\; x)\}\backslash mathrm\{d\}\; x$

또한 슈리니바사 라마누잔 등은 그가 만들어낸 보형 형식에 의해 다음과 같은 표현식을 얻고 있다. ($B\_n$은 베르누이 수)
* $\backslash zeta\; (4n-1)=\backslash frac\{(2\backslash pi)^\{4n-1\}\}\{2\}\; \backslash sum^\{2n\}\_\{k=0\}\; (-1)^\{k+1\}\; \backslash frac\{B\_\{2k\}\}\{(2k)!\}\; \backslash frac\{B\_\{4n-2k\}\}\{(4n-2k)!\}\; -2\; \backslash sum^\{\backslash infin\}\_\{k=1\}\; \backslash frac\{k^\{-4n+1\}\}\{e^\{2\backslash pi\; k\}-1\}$
* $\backslash zeta\; (4n+1)=\backslash frac\{(2\backslash pi)^\{4n+1\}\}\{2^\{4n+1\}-2\}\; \backslash sum^\{2n+1\}\_\{k=0\}\; (-1)^\{k+1\}\; \backslash frac\{2^\{2k\}B\_\{2k\}\}\{(2k)!\}\; \backslash frac\{B\_\{4n+2-2k\}\}\{(4n+2-2k)!\}\; -\backslash frac\{2^\{4n+1\}\}\{2^\{4n\}-1\}\; \backslash sum^\{\backslash infin\}\_\{k=1\}\; \backslash frac\{k^\{-4n-1\}\}\{e^\{\backslash pi\; k\}+(-1)^\{k\}\}$

작은 양의 홀수에 대해,
* $\backslash zeta(1)=\backslash infty$ (조화 급수)
* $\backslash zeta\; (3)=\; 1.20205\backslash dots$ (아페리 상수)
* $\backslash zeta\; (5)=\; 1.03692\backslash dots$
* $\backslash zeta\; (7)=\; 1.00834\backslash dots$
* $\backslash zeta\; (9)=\; 1.002008\backslash dots$
등이 수치적으로 성립하고 있다.

아페리 정리에 따르면 $\backslash zeta(3)$는 무리수이다(1978년, 로제 아페리). 또한, $\backslash zeta(5),\; \backslash zeta(7),\; \backslash zeta(9),\; \backslash zeta(11)$ 중 적어도 1개는 무리수라는 것, $\backslash zeta(2n+1)$ 중 무한 개는 무리수라는 것도 증명되었다.

제타 함수를 적절히 조합하면, 다양한 수론적 함수를 계수로 하는 디리클레 급수의 모함수를 얻을 수 있다.

예를 들어, 제타 함수의 역수는 뫼비우스 함수 $\backslash mu(n)$를 사용하여
:$\backslash frac\{1\}\{\backslash zeta\; (s)\}\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash mu\; (n)\}\{n^s\}$
로 나타낼 수 있다. 이 식과 $\backslash zeta(2)$의 값으로부터, 분포가 균등하다는 가정 하에 임의로 추출한 두 정수가 서로소일 확률은 $\backslash frac\{6\}\{\backslash pi^2\}$임을 증명할 수 있다.

자연수 $n$의 (양의) 약수의 개수와 모든 약수의 합은 모두 약수 함수로 정의되며, 각각 $d(n)$과 $\backslash sigma(n)$으로 나타낼 수 있다. 이때,
:$\{\backslash zeta\; (s)\}^2\; =\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{d(n)\}\{n^s\}$
:$\{\backslash zeta\; (s)\}\{\backslash zeta\; (s-1)\}\; =\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash sigma\; (n)\}\{n^s\}$
가 성립하며, 또한 $n$과 서로소인 $n$ 이하의 자연수의 개수를 오일러의 φ 함수 $\backslash varphi(n)$로 나타낼 때,
:$\backslash frac\{\backslash zeta\; (s-1)\}\{\backslash zeta\; (s)\}\; =\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash varphi\; (n)\}\{n^s\}$
등도 성립한다.

5. 일반화

리만 제타 함수를 일반화한 몇 가지 제타 함수가 있다. 그중 가장 간단한 것은 후르비츠 제타 함수이며 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash zeta(s,q)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; (k+q)^\{-s\}$

이 함수는 $q\; =\; 1$일 때 리만 제타 함수가 된다.

리만 제타 함수의 일반화로 간주될 수 있는 여러 관련 제타 함수가 있다. 여기에는 허위츠 제타 함수(수렴하는 급수 표현은 1930년 헬무트 하세에 의해 제공되었다.)가 포함된다. 이 함수는 q=1일 때 리만 제타 함수와 일치한다(허위츠 제타 함수의 합산 하한은 1이 아닌 0). 이외에도 디리클레 L-함수 및 데데킨트 제타 함수등이 존재한다. 다른 관련 함수는 제타 함수 및 L-함수 문서를 참조하면 된다.

폴리로그는 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{Li\}\_s(z)\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{z^k\}\{k^s\}$

이는 z=1일 때 리만 제타 함수와 일치한다.

레르히 초월 함수는 다음과 같다.
:$\backslash Phi(z,\; s,\; q)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\backslash frac\; \{\; z^k\}\; \{(k+q)^s\}$
이는 z=1 및 q=1일 때 리만 제타 함수와 일치한다(레르히 초월 함수의 합산 하한은 1이 아닌 0).

다중 제타 함수는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash zeta(s\_1,s\_2,\backslash ldots,s\_n)\; =\; \backslash sum\_\{k\_1>k\_2>\backslash cdots>k\_n>0\}\; \{k\_1\}^\{-s\_1\}\{k\_2\}^\{-s\_2\}\backslash cdots\; \{k\_n\}^\{-s\_n\}.$

이러한 함수를 n차원 복소 공간으로 해석적으로 연장할 수 있다. 이러한 함수가 양의 정수 인수를 취하는 특수한 값은 수론가에 의해 다중 제타 값이라고 불리며 수학과 물리학의 여러 분야와 연결되어 있다.

6. 응용

리만 제타 함수는 지프의 법칙, 지프-만델브로 법칙, 로트카의 법칙을 포함한 응용 통계학에 나타난다.

제타 함수 정규화는 양자장론에서 발산 급수와 발산 적분의 정규화의 한 가지 방법으로 사용된다. 한 가지 주목할 만한 예로, 카시미르 효과를 계산하는 한 가지 방법에서 리만 제타 함수가 명시적으로 나타난다. 제타 함수는 또한 동역학계의 분석에도 유용하다. 음악 튜닝 이론에서, 제타 함수는 옥타브의 동음 분할 (EDOs)을 찾아 조화 급수의 음정을 근사하는 데 사용될 수 있다. 12, 19, 53과 같은 일반적인 선택이 있다.

7. 수치 계산

고전적인 알고리즘은 1930년경 이전에 사용되었으며, 오일러-매클로린 공식을 적용하여 양의 정수 n과 m에 대해 다음과 같이 계산한다.

:$\backslash zeta(s)\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{n-1\}j^\{-s\}\; +\; \backslash tfrac12\; n^\{-s\}\; +\; \backslash frac\{n^\{1-s\}\}\{s-1\}\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^m\; T\_\{k,n\}(s)\; +\; E\_\{m,n\}(s)$

여기서 $B\_\{2k\}$는 베르누이 수를 나타내며,

:$T\_\{k,n\}(s)\; =\; \backslash frac\{B\_\{2k\}\}\{(2k)!\}\; n^\{1-s-2k\}\backslash prod\_\{j=0\}^\{2k-2\}(s+j)$

오차는 다음을 만족한다.

:

여기서 σ = Re(s)이다.

현대적인 수치 알고리즘으로는 오딜리츠코-쇤하게 알고리즘이 있다.