디리클레 L-함수

1. 개요

디리클레 L-함수는 디리클레 지표를 사용하여 정의되는 복소 변수의 특수한 형태의 L-함수이다. 오일러 곱으로 표현되며, 원시 지표와 비원시 지표 간의 관계를 통해 분석된다. L-함수는 함수 방정식을 만족하며, 이를 통해 복소 평면 전체에서 해석적 연속성을 갖는다. 또한, 허위츠 제타 함수와의 관계를 통해 표현될 수 있으며, 특정 값에서 특수한 값을 갖는다. 모듈러 형식 및 푸리에 급수와 연관성을 가지며, 다양한 수학 분야에서 중요한 역할을 한다.

2. 오일러 곱

디리클레 지표 χ는 완전 곱셈적 함수이므로, 해당 L-함수는 절대 수렴하는 반평면에서 오일러 곱으로 표현 가능하다. 여기서 곱은 모든 소수에 대해 이루어진다.

2.1. 오일러 곱 표현

Re^영어(s) > 1인 영역에서 디리클레 L-함수는 다음과 같이 표현된다. 여기서 곱은 모든 소수 p에 대해 이루어진다.

:$L(s,\backslash chi)=\backslash prod\_p\backslash left(1-\backslash chi(p)p^\{-s\}\backslash right)^\{-1\}$

3. 원시 지표

디리클레 L-함수에 대한 결과는 지표가 원시적이라고 가정하면 더 간단하게 표현되는 경우가 많지만, 일반적인 경우에는 사소한 복잡성을 통해 비원시적 지표로 확장될 수 있다. 비원시적 지표의 L-함수는 원시 지표의 L-함수와 유한 개의 인수의 곱으로 나타낼 수 있기 때문이다.

3.1. 원시 지표와 비원시 지표의 관계

비원시적 지표 \(\chi\)와 이를 유도하는 원시 지표 \(\chi^\star\)의 관계는 다음과 같다. (여기서 \(q\)는 \(\chi\)의 법이다.)

:\(\chi(n) = \begin{cases} \chi^\star(n), & \gcd(n,q) = 1일\, 때 \\ 0, & \gcd(n,q) \ne 1일\, 때 \end{cases}\)

오일러 곱을 적용하면 해당 \(L\)-함수 간의 관계를 알 수 있다.

:\(L(s,\chi) = L(s,\chi^\star) \prod_{p \,|\, q}\left(1 - \frac{\chi^\star(p)}{p^s} \right)\)

(이 공식은 오일러 곱이 Re(\(s\)) > 1일 때만 유효하지만, 해석적 연속성에 의해 모든 \(s\)에 대해 성립한다.) 이 공식은 \(\chi\)의 \(L\)-함수가 \(\chi\)를 유도하는 원시 문자의 \(L\)-함수에 유한 개의 인수를 곱한 것과 같음을 보여준다.

특별한 경우로, 법 \(q\)를 갖는 주 문자 \(\chi_0\)의 \(L\)-함수는 리만 제타 함수로 표현될 수 있다.

:\(L(s,\chi_0) = \zeta(s) \prod_{p \,|\, q}(1 - p^{-s})\)

3.2. L-함수의 관계

위 관계를 통해 다음이 성립한다.

비원시적 문자 $\backslash chi$와 이를 유도하는 원시적 문자 $\backslash chi^\backslash star$ 간의 관계는 다음과 같다.

:$$
\chi(n) =
\begin{cases}
\chi^\star(n), & \mathrm{if} \gcd(n,q) = 1 \\
0, & \mathrm{if} \gcd(n,q) \ne 1
\end{cases}


(여기서 q는 χ의 법이다.)

이러한 관계는 오일러 곱을 통해 해당 L-함수 간의 관계로 이어진다.

:$$
L(s,\chi) = L(s,\chi^\star) \prod_{p \,|\, q}\left(1 - \frac{\chi^\star(p)}{p^s} \right)


(이 공식은 오일러 곱이 Re(s) > 1일 때만 유효하지만, 해석적 연속에 의해 모든 s에 대해 성립한다.)

이 공식은 χ의 L-함수가 χ를 유도하는 원시 문자의 L-함수에 유한 개의 인수를 곱한 것과 같음을 보여준다.

특별한 경우로, 법 q를 갖는 주 문자 $\backslash chi\_0$의 L-함수는 리만 제타 함수로 표현될 수 있다.

:$$
L(s,\chi_0) = \zeta(s) \prod_{p \,|\, q}(1 - p^{-s})

4. 함수 방정식

디리클레 L-함수는 함수 방정식을 만족하며, 이는 복소 평면 전체에서 해석적으로 계속할 수 있는 방법을 제공한다. 함수 방정식은 $L(s,\backslash chi)$의 값과 $L(1-s,\; \backslash overline\{\backslash chi\})$의 값을 관련시킨다.

함수 방정식을 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:$\backslash Lambda(s,\backslash chi)\; =\; q\; ^\{s/2\}\; \backslash pi^\{-(s+\backslash delta)/2\}\; \backslash operatorname\{\backslash Gamma\}\backslash left(\backslash frac\{s+\backslash delta\}\{2\}\backslash right)\; L(s,\backslash chi).$

이때, 함수 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다:

:$\backslash Lambda(s,\backslash chi)\; =\; W(\backslash chi)\; \backslash Lambda(1-s,\backslash overline\{\backslash chi\}).$

일반화에 대해서는 함수 방정식 (L-함수)를 참조할 수 있다.

4.1. 함수 방정식 표현 1

χ가 q > 1인 원시 지표일 때, 함수 방정식을 표현하는 한 가지 방법은 다음과 같다.

:$L(s,\backslash chi)\; =\; W(\backslash chi)\; 2^s\; \backslash pi^\{s-1\}\; q^\{1/2-s\}\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; (s\; +\; \backslash delta)\; \backslash right)\; \backslash Gamma(1-s)\; L(1-s,\; \backslash overline\{\backslash chi\}).$

여기서 Γ는 감마 함수를 나타내고,

:$\backslash chi(-1)=(-1)^\{\backslash delta\}$ 이며

:$W(\backslash chi)\; =\; \backslash frac\{\backslash tau(\backslash chi)\}\{i^\{\backslash delta\}\; \backslash sqrt\{q\}\}$ 이다.

여기서 τ( χ)는 가우스 합이다:

:$\backslash tau(\backslash chi)\; =\; \backslash sum\_\{a=1\}^q\; \backslash chi(a)\backslash exp(2\backslash pi\; ia/q).$

가우스 합의 속성에 따르면 |τ ( χ) | = q^1/2이므로 |W ( χ) | = 1이다.

4.2. 함수 방정식 표현 2

디리클레 L-함수는 함수 방정식을 만족하며, 이는 복소 평면 전체에서 해석적으로 계속할 수 있는 방법을 제공한다. 함수 방정식은 $L(s,\backslash chi)$의 값과 $L(1-s,\; \backslash overline\{\backslash chi\})$의 값을 관련시킨다. χ가 q > 1인 원시 지표라고 할 때, 함수 방정식을 표현하는 한 가지 방법은 다음과 같다.

:$L(s,\backslash chi)\; =\; W(\backslash chi)\; 2^s\; \backslash pi^\{s-1\}\; q^\{1/2-s\}\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; (s\; +\; \backslash delta)\; \backslash right)\; \backslash Gamma(1-s)\; L(1-s,\; \backslash overline\{\backslash chi\}).$

이 방정식에서 Γ는 감마 함수를 나타내고,

:$\backslash chi(-1)=(-1)^\{\backslash delta\}$이며,

:$W(\backslash chi)\; =\; \backslash frac\{\backslash tau(\backslash chi)\}\{i^\{\backslash delta\}\; \backslash sqrt\{q\}\}$이다.

여기서 τ ( χ)는 가우스 합이다.

:$\backslash tau(\backslash chi)\; =\; \backslash sum\_\{a=1\}^q\; \backslash chi(a)\backslash exp(2\backslash pi\; ia/q).$

가우스 합의 속성에 따르면 |τ ( χ) | = q^1/2이므로 |W ( χ) | = 1이다.

4.3. 함수 방정식의 의미

함수 방정식은 $L(s,\backslash chi)$가 s의 전체 함수임을 의미한다. (이는 q > 1인 원시 지표 χ를 가정한다. q = 1이면 $L(s,\backslash chi)\; =\; \backslash zeta(s)$는 s = 1에서 극점을 갖는다.)

5. 영점

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디리클레 L-함수의 영점은 크게 자명한 영점과 비자명한 영점으로 나뉜다. 자명한 영점은 특정 음의 정수에서 나타나며, 비자명한 영점은 임계 띠 안에 존재한다.

Re(s) > 1인 영역에는 L(s, χ)의 영점이 존재하지 않는다.

5.1. 자명한 영점

χ를 q > 1인 법 q에 대한 원시 지표라고 하자.

Re(s) < 0인 경우, 특정 음의 정수 s에서 영점이 존재한다.
* χ(−1) = 1이면, Re(s) < 0인 L(s, χ)의 유일한 영점은 -2, -4, -6, ....에서의 단순 영점이다. (s = 0에서도 영점이 있다.) 이것들은 $\backslash textstyle\; \backslash Gamma(\backslash frac\{s\}\{2\})$의 극점에 해당한다.
* χ(−1) = −1이면, Re(s) < 0인 L(s, χ)의 유일한 영점은 -1, -3, -5, ....에서의 단순 영점이다. 이것들은 $\backslash textstyle\; \backslash Gamma(\backslash frac\{s+1\}\{2\})$의 극점에 해당한다.
이것들을 자명한 영점이라고 한다.

5.2. 비자명한 영점

χ를 q > 1인 법 q에 대한 원시 지표라고 하자. 나머지 영점들은 임계 띠 0 ≤ Re(s) ≤ 1에 위치하며, 임계선 Re(s) = 1/2에 대해 대칭이다. 즉, $L(\backslash rho,\backslash chi)=0$이면 함수 방정식 때문에 $L(1-\backslash overline\{\backslash rho\},\backslash chi)=0$도 성립한다. χ가 실수 지표이면 비자명한 영점들은 실수 축에 대해서도 대칭이지만, χ가 복소수 지표인 경우에는 그렇지 않다. 일반화된 리만 가설은 모든 비자명한 영점들이 임계선 Re(s) = 1/2 위에 놓인다는 추측이다.

지겔 영점의 존재 가능성을 제외하고, 리만 제타 함수의 경우와 유사하게 Re(s) = 1의 선을 포함하고 그 너머까지 영점이 없는 영역이 모든 디리클레 L-함수에 대해 존재한다는 것이 알려져 있다. 예를 들어, q를 법으로 하는 비실수 지표 χ에 대해,

:

여기서 β + iγ는 비실수 영점이다.

5.3. 영점이 없는 영역

χ를 q > 1인 법 q에 대한 원시 지표라고 하자.

Re(s) > 1인 L(s, χ)의 영점은 없다. 지겔 영점의 존재 가능성을 제외하고, 리만 제타 함수의 경우와 유사하게 Re(s) = 1의 선을 포함하고 그 너머까지 영점이 없는 영역이 모든 디리클레 L-함수에 대해 존재한다는 것이 알려져 있다. 예를 들어, q를 법으로 하는 비실수 지표 χ에 대해,

:

여기서 β + iγ는 비실수 영점이다.

6. 허위츠 제타 함수와의 관계

디리클레 L-함수는 유리수 값에서 허위츠 제타 함수의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 정수 k ≥ 1을 고정하면, 법 k에 대한 지표에 대한 디리클레 L-함수는 상수 계수를 갖는 ζ(s,a)의 선형 결합으로 표현할 수 있는데, 여기서 a = r/k이고 r = 1, 2, ..., k이다. 이는 유리수 a에 대한 허위츠 제타 함수가 디리클레 L-함수와 밀접하게 관련된 해석적 성질을 갖는다는 것을 의미한다.

6.1. 선형 결합 표현

χ를 법 k에 대한 지표라고 할 때, 디리클레 L-함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$L(s,\backslash chi)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash chi(n)\}\{n^s\}$
= \frac{1}{k^s} \sum_{r=1}^k \chi(r) \operatorname{\zeta}\left(s,\frac{r}{k}\right).

7. 다른 함수와의 연관성

디리클레 L-함수는 모듈러 함수, 푸리에 급수 등과 깊은 연관성을 갖는다. 히다 하루조, 다카기 사다지, 스에츠나 조이치 등이 이와 관련된 연구를 했다.

7.1. 모듈러 함수, 푸리에 급수와의 연관성

모듈러 함수와 푸리에 급수의 연관성은 다음과 같다.

:$f(\backslash tau)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; c(n)e^\{2\backslash pi\; i\; \backslash tau\; n\}\; =\; c(0)+\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; c(n)e^\{2\backslash pi\; i\; \backslash tau\; n\}$

:$f\; \backslash left(\; \backslash right)\; =\; (c\; \backslash tau\; +d)^k\; f(\backslash tau)$

:는 모듈러 군의 감마$(\backslash Gamma)$ 멤버이다.

8. 특수값

디리클레 L-함수는 특정 값에서 다음과 같은 특수한 값을 갖는다.

:$L\_\{-8\}(1)=\; \{\backslash pi\; \backslash over\; 2\backslash sqrt\{2\}\}$
:$L\_\{-7\}(1)=\; \{\backslash pi\; \backslash over\; \backslash sqrt\{7\}\}$
:$L\_\{-3\}(1)=\; \{1\backslash over9\}\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{3\}\}$
:$L\_\{+5\}(1)=\; \{2\backslash over5\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\; \backslash ln\; \backslash phi$
:$L\_\{+8\}(1)=\; )\}\backslash over\{\backslash sqrt\{2\}\}\; \}$
:$L\_\{+12\}(1)=\; )\}\backslash over\{\backslash sqrt\{3\}\}\; \}$
:$L\_\{+13\}(1)=\; \{2\; \backslash over\; \{\backslash sqrt\{13\}\}\}\; \backslash ln\; \backslash left(\; \}\backslash over\{2\}\; \}\backslash right)$
:$L\_\{-4\}(2)=\; K$
:$L\_\{-3\}(2)=\; \{1\backslash over9\}\backslash left(\; \backslash psi\_1\; \{\backslash left(\; \{1\backslash over3\}\backslash right)\}\; -\backslash psi\_1\{\; \backslash left(\; \{2\backslash over3\}\backslash right)\}\; \backslash right)$
:$L\_\{+1\}(2)=\; \{1\backslash over6\}\; \backslash pi^2$

여기서 $K$는 카탈랑 상수, $\backslash psi$는 트리감마 함수이다.

9. 관련 서적

* T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1976.
* 히다 하루조, 《L-함수와 아이젠슈타인 급수의 기초 이론》, 케임브리지 대학교 출판부, ISBN 0-521-43569-2 (1993년).
* 다카기 사다지, 《초등 정수론 강의 제2판》, 쿄리츠 출판, ISBN 978-4-320-01001-7 (1971년 10월 15일). 부록 §59. "산술 수열 속의 소수".
* 스에츠나 조이치, 《해석적 정수론》, 이와나미 서점 (1950년 2월 10일). 제3장 "디리클레 L-함수".