프로토타일

1. 개요

프로토타일은 테셀레이션에서 사용되는 타일 집합의 일종으로, 이 집합 내의 모든 타일은 서로 합동이 아니며, 테셀레이션에 사용된 모든 타일은 프로토타일 집합 내의 타일과 합동이다. 프로토타일 집합은 여러 개를 선택할 수 있으며, 프로토타일의 개수는 잘 정의된다. 프로토타일 개수가 1개뿐인 테셀레이션을 일면 테셀레이션이라고 한다. 프로토타일 집합으로 만들 수 있는 모든 테셀레이션이 비주기적이면 해당 프로토타일을 비주기적이라고 하며, 2차원 비주기적 일면 테셀레이션의 존재 여부는 오랫동안 미해결 문제(아인슈타인 문제)였으나, 2023년 데이비드 스미스 등에 의해 해결되었다. 3차원에서는 슈미트-콘웨이-댄저 타일이 비주기적 일면 프로토타일로 존재한다.

2. 정의

테셀레이션은 '타일'이라고 하는 닫힌 모양으로 평면 등의 공간을 채우는 것을 말하는데, 이때 타일은 내부가 서로소여야 한다. 즉, 겹치지 않아야 한다. 다른 타일과 합동인 타일도 있을 수 있다. 테셀레이션에서 쓰인 타일 집합을 S라 하자. 그러면 프로토타일의 집합 R에서는 어느 두 도형도 서로 합동인 것이 없고, S에 있는 모든 타일은 R에 있는 타일 하나와 항상 합동이어야 한다.

테셀레이션에서 다양한 프로토타일 집합 중에서 선택해서 쓸 수 있다. 프로토타일 중 어느 하나를 평행, 회전, 대칭 이동시키면 프로토타일 집합이 달라질 수 있기 때문이다. 하지만 프로토타일 집합은 모두 크기가 같아서, 프로토타일의 개수는 잘 정의된다. 테셀레이션에서 프로토타일 개수가 1개뿐이면 일면(monohedral^영어) 테셀레이션이라고 한다.

3. 비주기성

어떤 프로토타일 집합으로 만들 수 있는 모든 테셀레이션이 비주기적 테셀레이션이 된다면, 그 프로토타일은 비주기적이라고 한다. 고차원에서는 이 문제가 더 일찍 해결되었는데, 슈미트-콘웨이-댄저 타일은 3차원 유클리드 공간을 주기적으로 채울 수 없고 비주기적으로만 채우는 일면 프로토타일이다.

3.1. 아인슈타인 문제와 해결

어떤 프로토타일 집합으로 만들 수 있는 모든 테셀레이션이 비주기적 테셀레이션이 된다면, 프로토타일이 비주기적이라고 한다. 2차원에서 비주기적 일면 테셀레이션이 존재하는지는 오랫동안 미해결 문제(아인슈타인 문제)였다. 2010년에 발견된 소콜라-테일러 타일은 2차원 비주기적 일면 프로토타일이지만 그 모양이 연결집합이 아니다.

2023년에 구드먼스트라우스, 스미스, 마이어스, 캐플런이 연결집합인 비주기적 일면 프로토타일을 발견함으로써 이 문제는 해결되었다.

프로토타일 집합은 해당 프로토타일을 사용한 모든 타일링이 비주기적 타일링일 경우 비주기적이라고 한다. 2023년 3월, 차임 굿맨-스트라우스, 데이비드 스미스, 조셉 새뮤얼 마이어스, 크레이그 S. 캐플런 등 4명의 연구원이 비주기적 단면 프로토타일(모노타일)을 발견하고, 데이비드 스미스가 발견한 타일이 비주기적 모노타일, 즉 오랫동안 해결되지 않은 아인슈타인 문제의 해답임을 증명했다고 발표했다.

고차원에서 이 문제는 더 일찍 해결되었는데, 슈미트-콘웨이-댄저 타일은 3차원 유클리드 공간을 주기적으로 채울 수 없고 비주기적으로만 채우는 일면 프로토타일이다.

3.2. 고차원에서의 비주기성

어떤 프로토타일 집합으로 만들 수 있는 모든 테셀레이션이 비주기적 테셀레이션이 된다면, 그 프로토타일은 비주기적이라고 한다. 2차원에서 비주기적 일면 테셀레이션이 존재하는지는 오랫동안 미해결 문제(아인슈타인 문제)였다. 2010년에 발견된 소콜라-테일러 타일은 2차원 비주기적 일면 프로토타일이지만 그 모양이 연결집합이 아니다. 2023년에 구드먼스트라우스, 스미스, 마이어스, 캐플런이 연결집합인 비주기적 일면 프로토타일을 발견함으로써 이 문제는 해결되었다.

고차원에서 이 문제는 더 일찍 해결되었는데, 슈미트-콘웨이-댄저 타일은 3차원 유클리드 공간을 주기적으로 채울 수 없고 비주기적으로만 채우는 일면 프로토타일이다.

프로토타일 집합은 해당 프로토타일을 사용한 모든 타일링이 비주기적 타일링일 경우 비주기적이라고 한다. 2023년 3월, 차임 굿맨-스트라우스, 데이비드 스미스, 조셉 새뮤얼 마이어스, 크레이그 S. 캐플런 등 4명의 연구원이 비주기적 단면 프로토타일(모노타일)을 발견하고, 데이비드 스미스가 발견한 타일이 비주기적 모노타일, 즉 오랫동안 해결되지 않은 아인슈타인 문제의 해답임을 증명했다고 발표했다.

더 높은 차원에서는 이 문제가 더 일찍 해결되었다. 슈미트-콘웨이-댄저 타일은 3차원 유클리드 공간의 단면 비주기적 타일링의 프로토타일이며, 공간을 주기적으로 타일링할 수 없다.