프로토타일
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1. 개요
프로토타일은 테셀레이션에서 사용되는 타일 집합의 일종으로, 이 집합 내의 모든 타일은 서로 합동이 아니며, 테셀레이션에 사용된 모든 타일은 프로토타일 집합 내의 타일과 합동이다. 프로토타일 집합은 여러 개를 선택할 수 있으며, 프로토타일의 개수는 잘 정의된다. 프로토타일 개수가 1개뿐인 테셀레이션을 일면 테셀레이션이라고 한다. 프로토타일 집합으로 만들 수 있는 모든 테셀레이션이 비주기적이면 해당 프로토타일을 비주기적이라고 하며, 2차원 비주기적 일면 테셀레이션의 존재 여부는 오랫동안 미해결 문제(아인슈타인 문제)였으나, 2023년 데이비드 스미스 등에 의해 해결되었다. 3차원에서는 슈미트-콘웨이-댄저 타일이 비주기적 일면 프로토타일로 존재한다.
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| 프로토타일 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
| 유형 | 기하학적 도형 |
| 정의 | 평면을 채우는 데 사용되는 기본 모양 |
| 상세 정보 | |
| 특징 | 반복적인 패턴을 만드는 데 사용됨 |
| 관련 개념 | 테셀레이션 |
2. 정의
테셀레이션은 '타일'이라고 하는 닫힌 모양으로 평면 등의 공간을 채우는 것을 말하는데, 이때 타일은 내부가 서로소여야 한다. 즉, 겹치지 않아야 한다. 다른 타일과 합동인 타일도 있을 수 있다. 테셀레이션에서 쓰인 타일 집합을 S라 하자. 그러면 프로토타일의 집합 R에서는 어느 두 도형도 서로 합동인 것이 없고, S에 있는 모든 타일은 R에 있는 타일 하나와 항상 합동이어야 한다.[6][2]
어떤 프로토타일 집합으로 만들 수 있는 모든 테셀레이션이 비주기적 테셀레이션이 된다면, 그 프로토타일은 비주기적이라고 한다. 고차원에서는 이 문제가 더 일찍 해결되었는데, 슈미트-콘웨이-댄저 타일은 3차원 유클리드 공간을 주기적으로 채울 수 없고 비주기적으로만 채우는 일면 프로토타일이다.
테셀레이션에서 다양한 프로토타일 집합 중에서 선택해서 쓸 수 있다. 프로토타일 중 어느 하나를 평행, 회전, 대칭 이동시키면 프로토타일 집합이 달라질 수 있기 때문이다. 하지만 프로토타일 집합은 모두 크기가 같아서, 프로토타일의 개수는 잘 정의된다. 테셀레이션에서 프로토타일 개수가 1개뿐이면 '''일면'''(monohedral영어) 테셀레이션이라고 한다.
3. 비주기성
3. 1. 아인슈타인 문제와 해결
어떤 프로토타일 집합으로 만들 수 있는 모든 테셀레이션이 비주기적 테셀레이션이 된다면, 프로토타일이 비주기적이라고 한다. 2차원에서 비주기적 일면 테셀레이션이 존재하는지는 오랫동안 미해결 문제(아인슈타인 문제)였다. 2010년에 발견된 소콜라-테일러 타일은 2차원 비주기적 일면 프로토타일이지만 그 모양이 연결집합이 아니다.
2023년에 구드먼스트라우스, 스미스, 마이어스, 캐플런이 연결집합인 비주기적 일면 프로토타일을 발견함으로써 이 문제는 해결되었다.
프로토타일 집합은 해당 프로토타일을 사용한 모든 타일링이 비주기적 타일링일 경우 비주기적이라고 한다. 2023년 3월, 차임 굿맨-스트라우스, 데이비드 스미스, 조셉 새뮤얼 마이어스, 크레이그 S. 캐플런 등 4명의 연구원이 비주기적 단면 프로토타일(모노타일)을 발견하고, 데이비드 스미스가 발견한 타일이 비주기적 모노타일, 즉 오랫동안 해결되지 않은 아인슈타인 문제의 해답임을 증명했다고 발표했다.[3][4]
고차원에서 이 문제는 더 일찍 해결되었는데, 슈미트-콘웨이-댄저 타일은 3차원 유클리드 공간을 주기적으로 채울 수 없고 비주기적으로만 채우는 일면 프로토타일이다.
3. 2. 고차원에서의 비주기성
어떤 프로토타일 집합으로 만들 수 있는 모든 테셀레이션이 비주기적 테셀레이션이 된다면, 그 프로토타일은 비주기적이라고 한다. 2차원에서 비주기적 일면 테셀레이션이 존재하는지는 오랫동안 미해결 문제(아인슈타인 문제)였다. 2010년에 발견된 소콜라-테일러 타일은 2차원 비주기적 일면 프로토타일이지만 그 모양이 연결집합이 아니다. 2023년에 구드먼스트라우스, 스미스, 마이어스, 캐플런이 연결집합인 비주기적 일면 프로토타일을 발견함으로써 이 문제는 해결되었다.
고차원에서 이 문제는 더 일찍 해결되었는데, 슈미트-콘웨이-댄저 타일은 3차원 유클리드 공간을 주기적으로 채울 수 없고 비주기적으로만 채우는 일면 프로토타일이다. 프로토타일 집합은 해당 프로토타일을 사용한 모든 타일링이 비주기적 타일링일 경우 비주기적이라고 한다. 2023년 3월, 차임 굿맨-스트라우스, 데이비드 스미스, 조셉 새뮤얼 마이어스, 크레이그 S. 캐플런 등 4명의 연구원이 비주기적 단면 프로토타일(모노타일)을 발견하고, 데이비드 스미스가 발견한 타일이 비주기적 모노타일, 즉 오랫동안 해결되지 않은 아인슈타인 문제의 해답임을 증명했다고 발표했다.[3][4]
더 높은 차원에서는 이 문제가 더 일찍 해결되었다. 슈미트-콘웨이-댄저 타일은 3차원 유클리드 공간의 단면 비주기적 타일링의 프로토타일이며, 공간을 주기적으로 타일링할 수 없다.
참조
[1]
서적
A Course in Modern Geometries
https://books.google[...]
Springer-Verlag
[2]
서적
Introductory Tiling Theory for Computer Graphics
https://books.google[...]
Morgan & Claypool Publishers
[3]
뉴스
Elusive 'Einstein' Solves a Longstanding Math Problem
https://www.nytimes.[...]
2023-06-02
[4]
논문
An aperiodic monotile
[5]
서적
A Course in Modern Geometries
https://books.google[...]
Springer-Verlag
[6]
서적
Introductory Tiling Theory for Computer Graphics
https://books.google[...]
Morgan & Claypool Publishers
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