펜로즈 테셀레이션

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

펜로즈 테셀레이션은 비주기적 테셀레이션의 한 종류로, 평면을 겹치거나 빈틈없이 채울 수 있지만 주기적인 패턴을 가지지 않는 특징이 있다. 1960년대 하오 왕의 연구를 시작으로, 로저 펜로즈에 의해 1974년 처음 소개되었다. 펜로즈 테셀레이션은 정오각형과 황금비와 관련된 모양을 가지며, P1, P2, P3 등 다양한 종류가 존재한다. 이 타일링은 수학적 특징뿐만 아니라 예술 및 건축 분야에서도 활용되며, 특히 이슬람 기하학적 무늬와의 연관성이 주목받고 있다. 또한, 펜로즈 타일은 퍼즐, 건축 디자인, 상품 디자인 등 다양한 분야에서 활용되고 있다.

더 읽어볼만한 페이지

수학과 예술 - 시드니 오페라 하우스
시드니 오페라 하우스는 오스트레일리아 시드니에 위치한 종합 공연장으로, 조개껍데기 모양의 독특한 지붕 디자인과 콘서트홀, 오페라 극장 등을 갖춘 20세기 건축의 대표작이자 유네스코 세계유산이다.
수학과 예술 - 사그라다 파밀리아
스페인 바르셀로나에 건설 중인 사그라다 파밀리아는 안토니 가우디가 설계한 가톨루냐 모더니즘 건축의 대표작으로, 예수의 탄생, 수난, 영광을 상징하는 파사드와 첨탑으로 구성될 가톨릭 대성당이며, 관광객 입장료와 기부금으로 건설되고 유네스코 세계문화유산으로 등재된 바르셀로나의 상징이다.
테셀레이션 - 준결정
준결정은 주기적인 결정 구조가 아닌 규칙적인 회절 패턴을 보이는 고체 물질이며, 댄 셰흐트만이 발견하여 2011년 노벨 화학상을 수상했으며, 다각형과 이코사헤드럴의 두 가지 유형이 존재하고, 높은 열 및 전기 저항 등의 특성을 나타낸다.
테셀레이션 - 프로토타일
프로토타일은 평면을 겹침이나 빈틈없이 채우는 테셀레이션을 생성하는 타일들의 집합으로, 일면 테셀레이션과 비주기적 테셀레이션을 만들 수 있으며, 비주기적 프로토타일 집합은 결정 구조의 비주기성을 모델링하는 데 사용된다.

펜로즈 테셀레이션
개요
펜로즈 마름모 타일링의 예
유형	비주기적 타일링
발명가	로저 펜로즈
발표 연도	1974년
구성 요소	마름모 (연, 화살, 팽이, 별, 데카곤 등 다양한 변형 존재) 둔각 마름모 예각 마름모
특징	비주기성 자기 유사성 국소적 제약
상세 정보
비주기성	펜로즈 타일링은 평면을 채우지만, 어떤 방향으로도 병진 대칭을 가지지 않음.
자기 유사성	펜로즈 타일링은 더 작은 펜로즈 타일로 분할될 수 있으며, 이러한 과정은 무한히 반복될 수 있음.
국소적 제약	펜로즈 타일링은 타일 간의 연결 규칙을 통해 전체 구조가 결정되는 국소적 제약을 가짐.
역사
발견	1970년대 로저 펜로즈에 의해 발견됨.
초기 연구	정오각형을 기반으로 하는 타일링 연구에서 시작됨.
응용	건축, 디자인, 재료 과학 등 다양한 분야에서 영감을 제공.
구성 요소별 설명
마름모 타일	펜로즈 타일링의 가장 기본적인 형태. 두 종류의 마름모(둔각, 예각)로 구성됨.
연과 화살 타일	마름모 타일과 동등하지만, 특정 연결 규칙을 통해 비주기성을 보장함.
팽이, 별, 데카곤 타일	펜로즈 타일링의 변형된 형태로, 더 복잡한 패턴을 생성하는 데 사용됨.
수학적 특징
황금비	펜로즈 타일링의 구성 요소들의 비율은 황금비와 밀접하게 관련됨.
5회 회전 대칭	펜로즈 타일링은 전체적으로는 비주기적이지만, 국소적으로 5회 회전 대칭을 가짐.
콰지 결정	펜로즈 타일링은 콰지 결정 구조의 수학적 모델로 사용됨.
응용 분야
건축 및 디자인	독특한 패턴으로 인해 건축물의 외관이나 실내 디자인에 활용됨.
재료 과학	콰지 결정 구조를 가진 신소재 개발에 영감을 제공.
예술 및 공예	다양한 예술 작품이나 공예품의 디자인 요소로 사용됨.

2. 배경 및 역사

1960년대 논리학자 하오 왕은 결정 문제와 테셀레이션의 관계에 주목하면서 비주기적 타일링에 관심을 갖게 되었다.^[5] 왕은 각 변에 색이 칠해진 정사각형 모양의 왕 도미노를 도입하고, 주어진 왕 도미노 집합으로 인접한 도미노 모서리의 색을 일치시키면서 평면을 채울 수 있는지 알아보는 도미노 문제를 제안했다. 그는 이 문제가 결정 불가능하다면 비주기적인 왕 도미노 집합이 존재해야만 한다는 것을 알았다. 당시에는 이것이 불가능해 보였기 때문에 왕은 그러한 집합이 존재할 수 없다고 추측했다.

로버트 버거는 1964년 논문에서 도미노 문제가 결정 불가능하다는 것을 증명했고(즉 왕의 추측은 틀렸다),^[6] 20,426개의 왕 도미노로 구성된 비주기적 집합을 얻었다.^[7] 이후 도널드 커누스는 버거의 집합을 수정하여 92개의 도미노만 필요한 집합을 제시했다.^[9]

왕 도미노를 이용한 타일링에서 색상 일치를 강제하는 것은, 직소 퍼즐 조각처럼 타일의 가장자리를 수정하여 정해진 모양대로만 결합하도록 함으로써 쉽게 달성할 수 있다.^[10] 라파엘 로빈슨은 1971년 논문^[11]에서 버거의 방법과 결정 불가능성 증명을 단순화하여 단 6개의 프로토타일만으로 구성된 비주기적 집합을 제시했다.^[12]

최초의 펜로즈 타일링(P1 테셀레이션)은 6개의 프로토타일로 만들어졌고, 로저 펜로즈가 1974년 논문에 소개했다.^[146] 여기서 정사각형이 아닌 정오각형을 사용했는데, 정오각형으로 평면을 채우면 틈이 생기지만 요하네스 케플러가 1619년 저서 《세계의 조화》에서 오각별, 정십각형 등과 관련된 도형으로 이 틈을 채울 수 있음을 보였다.^[147] 케플러는 주기적인 패턴을 찾지 못했지만, 펜로즈는 케플러의 연구를 바탕으로 비주기적 타일링을 만드는 연결 규칙을 발견했다.^[150]

18세기 초반에 정오각형과 길쭉한 마름모로 만든 펜로즈 타일링이 아닌 테셀레이션이다. 체코 공화국의 즈댜르 나트 사자보우에 있는 성 얀 네포쿠츠기 순례 교회에 있다.

이후 펜로즈는 카이트와 다트 테셀레이션(P2)과 마름모 테셀레이션(P3)을 발견하여 프로토타일의 개수를 2개로 줄였다.^[151] 마름모 테셀레이션은 로버트 애먼이 1976년에 독립적으로 발견했다.^[152] 존 호턴 콘웨이와 펜로즈는 펜로즈 타일링의 대체 특성이 계층 구조를 설명한다는 것을 발견했고, 이는 1977년 1월 《사이언티픽 아메리칸》의 "수학 게임"에 기재되었다.^[153]

1981년, 니콜라스 호버트 데 브라윈은 펜로즈 타일링을 만드는 두 가지 방법을 제시했다.

2. 1. 주기적 테셀레이션과 비주기적 테셀레이션

테셀레이션 또는 타일링은 평면을 기하학적인 모양인 '타일'로 겹치거나 빈틈없이 덮는 것을 말한다. 모서리가 서로 맞닿는 정사각형 모양의 바닥 타일링은 주기적 테셀레이션의 한 예시이다. 이 정사각형 테셀레이션을 타일의 변과 평행하게 밀었을 때, 밀기 전과 모양이 겹친다. 이렇게 모양이 보존되는 평행 이동을 테셀레이션의 '주기'라고 한다. 두 가지 방향으로 평행 이동했을 때 주기를 가지는 테셀레이션을 '주기적'(periodic)이라고 한다.^[133]

정사각형 테셀레이션의 타일은 모양이 한 가지뿐이며, 다른 테셀레이션에서도 일반적으로 타일 모양의 개수는 유한하다. 이런 타일 모양을 '프로토타일'이라고 하며, 이런 모양만으로 평면을 덮을 수 있다면 프로토타일의 집합이 '테셀레이션을 허용한다' 또는 '평면을 타일링한다'고 말한다. 즉 테셀레이션에 사용된 각 타일은 프로토타일 중 하나와 합동인 것이다.^[134]

주기가 없는 테셀레이션을 '비주기적'(aperiodic)이라고 한다. 어떤 프로토타일의 집합이 만들 수 있는 모든 테셀레이션이 비주기적일 때 그 집합을 '비주기적'이라 하며, 이것들로 만들어진 테셀레이션을 비주기적 테셀레이션이라고 한다.^[135] 펜로즈 타일링은 유한한 개수의 프로토타일 집합으로 평면을 타일링할 수 있는 비주기적 테셀레이션으로 알려진 예시 중 하나다.^[133]

2. 2. 초기의 비주기적 타일링

1960년대 논리학자 하오 왕은 결정 문제와 테셀레이션의 관계에 주목하면서 비주기적 타일링이라는 주제가 관심을 받게 되었다.^[5] 왕은 각 변에 색이 칠해진 정사각형 모양의 왕 도미노를 도입하고, 주어진 왕 도미노 집합으로 인접한 도미노 모서리의 색을 일치시키면서 평면을 채울 수 있는지 결정하는 도미노 문제를 제안했다. 그는 이 문제가 결정 불가능하다면, 비주기적인 왕 도미노 집합이 존재해야만 한다는 것을 알았다. 당시에는 이것이 불가능해 보였기 때문에 왕은 그러한 집합이 존재할 수 없다고 추측했다.

왕의 제자 로버트 버거는 1964년 논문에서 도미노 문제가 결정 불가능하다는 것을 증명했고(즉 왕의 추측은 틀렸다),^[6] 20,426개의 왕 도미노로 구성된 비주기적 집합을 얻었다.^[7] 버거는 프로토타일 104개로 줄인 경우도 가능하다고 언급했지만, 출판된 논문에는 나타내지 않았다.^[8] 1968년에 도널드 커누스는 버거의 집합을 수정하여 92개의 도미노만 필요한 집합을 상세하게 설명했다.^[9]

왕 도미노를 이용한 타일링에서 색상 일치를 강제하는 것은, 직소 퍼즐 조각처럼 타일의 가장자리를 수정하여 정해진 모양대로만 결합하도록 함으로써 쉽게 달성할 수 있다.^[10] 라파엘 로빈슨은 1971년 논문^[11]에서 버거의 방법과 결정 불가능성 증명을 단순화하여 단 6개의 프로토타일만으로 구성된 비주기적 집합을 제시했다.^[12]

최초의 펜로즈 타일링(P1 테셀레이션)은 6개의 프로토타일로 만들어졌고, 로저 펜로즈가 1974년 논문에 소개했다.^[146] 여기서 정사각형이 아닌 정오각형을 사용했다. 정오각형으로 평면을 채우려고 시도하면 항상 빈틈이 생기지만, 요하네스 케플러는 1916년 저서 《세계의 조화》에서 이런 빈틈을 오각별, 정십각형 등과 관련된 도형으로 채울 수 있다는 것을 보였다.^[147] 케플러는 이 테셀레이션을 다각형 5개를 사용해 확장했는데 주기적인 패턴을 찾을 수 없었고, 확장을 할 때마다 새로운 성질이 생길 것이라고 이미 추측했다.^[148] (따라서 비주기적 테셀레이션이 만들어진다.) 이러한 생각은 알브레히트 뒤러의 작품에서도 찾아볼 수 있다.^[149] 케플러의 생각을 알게 된 펜로즈는 비주기적 집합을 만드는 타일에서 서로 연결되는 규칙을 찾았다. 이러한 연결 규칙은 왕 타일에서처럼 모서리를 색칠해서 만들어진다. 펜로즈의 테셀레이션은 케플러의 무한 'Aa' 패턴의 완성작이라고 볼 수 있다.^[150]

2. 3. 펜로즈 타일링의 발전

로저 펜로즈는 1970년대에 펜로즈 타일링을 개발했다. 초기의 펜로즈 타일링(P1)은 6개의 프로토타일로 구성되었으며, 1974년 논문에 소개되었다.^[146] 이 타일링은 정사각형이 아닌 정오각형을 사용했는데, 정오각형으로 평면을 채우면 틈이 생기지만 요하네스 케플러가 1619년 저서 《세계의 조화》에서 오각별, 십각형 등과 관련된 도형으로 이 틈을 채울 수 있음을 보였다.^[147] 케플러는 주기적인 패턴을 찾지 못했지만, 펜로즈는 케플러의 연구를 바탕으로 비주기적 타일링을 만드는 연결 규칙을 발견했다.^[150]

이후 펜로즈는 카이트와 다트 테셀레이션(P2)과 마름모 테셀레이션(P3)을 발견하여 프로토타일의 개수를 2개로 줄였다.^[151] 마름모 테셀레이션은 로버트 애먼이 1976년에 독립적으로 발견했다.^[152] 존 호턴 콘웨이와 펜로즈는 펜로즈 타일링의 대체 특성이 계층 구조를 설명한다는 것을 발견했고, 이는 1977년 1월 《사이언티픽 아메리칸》의 "수학 게임"에 기재되었다.^[153]

1981년, 니콜라스 호버트 데 브라윈은 펜로즈 타일링을 만드는 두 가지 방법을 제시했다. "다중격자 방법"은 평행한 직선 5그룹을 배치한 쌍대 그래프로 펜로즈 타일링을 얻는다. "잘라 사영하기 방법"은 5차원 초입방체 구조를 2차원으로 사영하여 펜로즈 타일링을 얻는다.^[154]

3. 펜로즈 타일링

펜로즈 타일링은 로저 펜로즈가 1970년대에 발견한 비주기적 타일링이다. 펜로즈 타일링은 몇 가지 종류가 있는데, 그중 대표적인 세 가지 유형(P1, P2, P3)은 다음과 같은 공통적인 특징을 가진다.^[155]^[24]

각 타일은 정오각형과 황금비와 관련된 모양에서 만들어진다.
비주기적으로 평면을 채우기 위해 '연결 규칙'이 필요하다. 이 규칙은 꼭짓점이나 모서리에 라벨을 붙이거나, 타일 면에 패턴을 그리거나, 모서리 모양을 변형하는 방식으로 적용된다.^[139]^[156]^[7]^[25]

펜로즈 타일링의 각 종류에 대한 자세한 내용은 하위 섹션을 참조하라.

3. 1. 첫 펜로즈 오각형 테셀레이션 (P1)

타일링 규칙을 적용하기 위해 원형 호와 노드를 겹쳐 놓은 펜로즈 P1 타일

펜로즈의 첫 번째 테셀레이션(타일링 P1)은 1974년 로저 펜로즈가 발표한 논문에서 도입한 것으로, 정오각형을 기반으로 한 6개의 프로토타일로 구성된 비주기적인 집합이다.^[14] 정오각형으로 평면을 타일링하려는 시도는 틈을 남기지만, 요하네스 케플러는 1619년 저서 ''세계의 조화(Harmonices Mundi)''에서 오각별, 십각형 등을 사용하여 틈을 채울 수 있음을 보였다.^[15] 펜로즈는 케플러에게서 영감을 받아 이러한 모양에 대한 매칭 규칙을 찾아 비주기적인 집합을 얻었다.^[18]

펜로즈의 첫 테셀레이션은 오각형 외에 "별"(오각별), "배"(별의 약 3/5), "다이아몬드"(얇은 마름모) 등 3가지 모양을 더 사용한다.^[157] 모든 테셀레이션이 비주기적이 되도록 타일이 만나는 방법을 정하는 연결 규칙이 있으며, 오각형 타일에는 세 종류의 연결 규칙이 있다. 이러한 세 종류의 오각형을 다른 프로토타일로 보면 총 프로토타일이 6개가 된다. 일반적으로 오른쪽 위 그림처럼 다른 세 종류의 오각형 타일을 다른 세 가지 색으로 칠한다.^[158]

3. 2. 카이트와 다트 테셀레이션 (P2)

펜로즈 P2 타일링(카이트와 다트)으로 채운 평면 중 일부분. '줄이기'를 적용해서 만들어졌다.

펜로즈의 두 번째 테셀레이션은 "카이트"와 "다트"라고 하는 연꼴을 쓴다. 둘을 붙이면 마름모를 만들 수 있으나, 연결 규칙은 이를 허용하지 않는다.^[159] 카이트와 다트 각각은 1975년 로빈슨이 언급한 로빈슨 삼각형이라는 2개의 삼각형으로 이루어져 있다.^[160]

'''카이트'''는 내각이 72°, 72°, 72°, 144°인 사각형이다. 대칭축으로 자르면 로빈슨 예각삼각형 (내각이 36°, 72°, 72°) 2개로 나눌 수 있다.
'''다트'''는 내각이 36°, 72°, 36°, 216°인 오목 사각형이다. 대칭축으로 자르면 로빈슨 둔각삼각형 (내각이 36°, 36°, 108°) 2개가 생기는데, 로빈슨 예각삼각형보다 작다.

연결 규칙은 몇 가지 방법으로 설명할 수 있다. 한 방법은 꼭짓점을 (검정색과 하얀색 같은 두 색으로) 색칠해서 맞닿은 타일의 꼭짓점 색이 같도록 하는 것이다.^[161] 다른 방법은 원호 패턴을 사용해서 (왼쪽에 초록색과 빨간색으로 표시된 것처럼) 타일의 위치를 정하는 것이다. 두 타일이 테셀레이션에서 모서리를 공유할 때, 패턴이 각 모서리에서 연결되어야 한다.^[151]

이 규칙은 특정한 타일의 배치를 결정하기도 한다. 예를 들어 임의의 다트의 오목한 꼭짓점은 반드시 2개의 카이트로 채워져야 한다. 이렇게 만들어진 모양을 콘웨이가 "에이스"라고 이름 붙였는데, 카이트를 확대한 듯하지만 카이트와는 타일링하는 방법이 다르다.^[162] 비슷하게 두 카이트가 짧은 모서리로 닿아 있을 때 생기는 오목한 꼭짓점은 두 개의 다트로 채워져야 한다. 실제로 타일이 한 꼭짓점에서 만나는 방법은 7가지만 가능한데, 그 중 2가지인 "별"과 "해"는 5차 이면 대칭(회전 및 반사 대칭)이 있다. 반면에 나머지는 한 축에 대한 반사 대칭밖에 없다.^[163] 에이스와 해를 제외하면 모든 꼭짓점 배치에는 타일이 추가적으로 배치되어야 한다.^[164]

3. 3. 마름모 타일링 (P3)

원호를 넣고 모서리를 변형해서 연결 규칙을 만족시키도록 한 펜로즈 마름모

세 번째 펜로즈 타일링은 변의 길이는 같지만 내각의 크기가 다른 한 쌍의 마름모를 사용한다.^[139] 일반적인 마름모 모양의 타일은 평면을 주기적으로 채울 수 있으므로, 타일이 연결되는 방법에 제한이 있어야 한다. 어느 두 타일도 평행사변형을 이루면 안 된다는 규칙을 추가하면 주기적인 배열을 막을 수 있다.

두 종류의 마름모 타일은 모두 로빈슨 삼각형으로 나누어질 수 있다.^[160]

얇은 마름모 '''t'''는 내각의 크기가 36°, 144°, 36°, 144°이다. '''t''' 마름모는 짧은 대각선으로 잘랐을 때 로빈슨 예각 삼각형 한 쌍이 생긴다.
굵은 마름모 '''T'''는 내각의 크기가 72°, 108°, 72°, 108°이다. '''T''' 마름모는 긴 대각선으로 잘랐을 때 둔각 로빈슨 삼각형 한 쌍이 생긴다.

타일의 변을 구별하여 정해진 방법으로만 놓이도록 하는 연결 규칙은 타일 면에 표시한 곡선이 변을 가로질러 색과 위치가 일치하도록 하거나, 변에 있는 올록볼록한 부분이 서로 맞도록 조합하는 두가지 방법으로 나타낼 수 있다.^[139]

한 꼭짓점에서 만나는 각의 합이 360°가 되는 54가지 조합이 있지만, 연결 규칙은 그 중 7가지만 허용한다.^[165]

내각과 굽은 모양을 통해 임의의 복잡한 타일을 만들 수 있는데, 예로 '펜로즈 닭'(penrose chicken)이 있다.^[166]

4. 특징 및 구성 방법

펜로즈 타일링은 겹치거나 틈이 없이 평면을 덮는 비주기적인 타일링이다. 펜로즈 타일링은 유한한 종류의 원형 타일만을 사용하며, 모든 펜로즈 타일링은 주기를 갖지 않는 비주기적 타일링이다.^[1] 펜로즈 타일링은 정오각형과 황금비와 관련된 모양에서 만들어지지만, 비주기적으로 만들기 위해 '연결 규칙'이 추가적으로 필요하다. 이 규칙은 꼭짓점, 모서리, 타일 면의 패턴과 관련이 있으며, 모서리 모양을 변형하여 적용할 수도 있다.^[139]^[156]

펜로즈 타일링의 세 가지 유형(P1–P3)은 모두 다음과 같은 공통적인 특징을 갖는다.^[24]

타일은 정오각형과 관련된 모양(따라서 황금비와 관련됨)으로 구성된다.
비주기적으로 타일링하기 위해 기본 타일 모양에 '일치 규칙'을 추가해야 한다.
일치 규칙은 레이블이 지정된 꼭짓점이나 가장자리, 또는 타일 면의 패턴을 사용하여 설명할 수 있다.
가장자리 프로필을 수정(예: 들여쓰기 및 돌출부)하여 비주기적 프로토타일 집합을 얻을 수 있다.^[7]^[25]

펜로즈 타일링은 '늘리기'와 '줄이기'라는 대체하기 규칙을 통해 만들어진다.^[139]^[153]^[170] 이 규칙은 각 타일을 더 작은 타일들로 분해하거나(줄이기), 더 작은 타일들을 결합하여 더 큰 타일을 만드는(늘리기) 방식으로 작동한다. 이러한 대체하기 규칙은 펜로즈 타일링이 자기유사성을 가지며, 펜타플레이크와 같은 과정을 통해 프랙탈로 생각할 수 있게 한다.^[171]

펜로즈 타일링은 비주기적이므로 평행 이동으로 전체 무늬를 똑같이 만들 수 없다. 하지만 크기와 관계없이 어떤 부분이든 타일링 안에서 무한히 반복된다. 서로 다른 펜로즈 타일링의 수는 비가산집합만큼 많으며, '위아래 세대', 애먼 도형, 펜타그리드, 잘라 사영하기 방법 등으로 타일링을 나타낼 수 있다.^[174]

4. 1. 황금비와 국소적(local) 정오각형 대칭

펜로즈 타일링은 황금비

\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

(대략 1.618)와 밀접한 관련이 있다.^[160]^[161] 황금비는 정오각형에서 변에 대한 대각선 길이의 비율로, ''φ'' = 1 + 1/''φ''를 만족한다.

굵은 마름모(밝은 회색), 예각 로빈슨 삼각형 2개(중간 회색), 작은 둔각 로빈슨 삼각형(어두운 회색)이 내접한 정오각형. 점선은 카이트와 다트의 모서리를 나타낸다.

이등변삼각형인 로빈슨 삼각형의 긴 변과 짧은 변의 길이비는 ''φ'':1이다. 카이트와 다트 타일 모두 긴 변과 짧은 변의 길이비는 ''φ'':1이며, 얇은 마름모 '''t'''에서 변과 짧은 대각선의 길이비, 굵은 마름모 '''T'''에서 긴 대각선과 변의 길이비도 같다. P2와 P3 테셀레이션 모두 큰 로빈슨 삼각형과 작은 로빈슨 삼각형의 넓이비가 ''φ'':1이므로, 카이트와 다트, 굵은 마름모와 얇은 마름모의 넓이비도 ''φ'':1이다. 왼쪽 그림의 오각형에서 맨 위 마름모 절반인 큰 둔각 로빈슨 삼각형과 아래의 어두운 작은 삼각형은 닮음비가 ''φ'':1이며 넓이비는 ''φ''²:1이다.

임의의 펜로즈 타일링은 타일의 대칭적인 배치로 둘러싸인 점이 있어 국소적으로 정오각형 대칭성을 갖는다. 이 배치는 중심점에서 5차 회전 대칭과 그 점을 지나는 5개 직선의 반사 대칭(이면군)을 이룬다. 이 대칭은 중심점 주변의 타일들만 보존되지만, 보존되는 부분이 매우 클 수 있다. 콘웨이와 펜로즈는 P2 또는 P3 테셀레이션에서 색이 있는 곡선이 닫힌 도형을 만들면 도형 내부가 정오각형 대칭임을 증명했다. 또한 어느 타일링에서든 닫히지 않는 곡선은 최대 2가지임을 증명했다.^[167]

전역적인 5차 대칭점은 최대 1개이다. 1개보다 많으면 한 점에 대해 다른 점을 회전시켰을 때 더 가까운 5차 대칭 중심점이 생겨 수학적으로 모순이다.^[168] 전체적으로 정오각형 대칭을 갖는 펜로즈 타일링은 유형마다 2개만 있는데, 카이트와 다트로 만든 P2 테셀레이션은 중심점이 "해" 또는 "별"의 꼭짓점이다.^[169]

4. 2. 늘리기와 줄이기

펜로즈 타일링은 '늘리기'(inflation)와 '줄이기'(deflation)라는 대체하기 규칙을 통해 만들어진다.^[139]^[153]^[170] 이 규칙은 각 타일을 더 작은 타일들로 분해하거나(줄이기), 더 작은 타일들을 결합하여 더 큰 타일을 만드는(늘리기) 방식으로 작동한다.

펜로즈는 처음에 P1 타일링을 발견했을 때, 정오각형을 6개의 작은 오각형(정십이면체 전개도의 절반)과 5개의 반 다이아몬드로 분해했다. 이 과정을 반복하면 오각형 사이의 틈이 스타, 다이아몬드, 보트 및 다른 오각형으로 채워지는 것을 발견했다.^[89] 펜로즈는 이 과정을 무한히 반복함으로써 오각형 대칭성을 갖는 P1 타일링을 만들었다.^[71]^[82]

이러한 대체하기 규칙은 펜로즈 타일링이 자기유사성을 가지며, 펜타플레이크와 같은 과정을 통해 프랙탈로 생각할 수 있게 한다.^[171]

4. 2. 1. 로빈슨 삼각형으로의 분해

P2와 P3 펜로즈 타일링은 모두 로빈슨 삼각형을 사용하여 나타낼 수 있다. P2 타일링에서 로빈슨 삼각형은 A-타일, P3 타일링에서는 B-타일이라고 불린다.^[160] 작은 A-타일(A_S)은 둔각 로빈슨 삼각형이고, 큰 A-타일(A_L)은 예각 삼각형이다. 작은 B-타일(B_S)은 예각 로빈슨 삼각형이고, 큰 B-타일(B_L)은 둔각삼각형이다.

A_S의 변 길이는 (1, 1, )이며, A_L은 (, , 1)이다. B-타일은 A-타일과 관련이 있는데, 두 가지 경우가 있다.

B_S가 A_L과 같은 크기일 때, B_L은 A_S를 배 확대한 A_S이며, 변 길이는 (, , ² = 1 + )이다. B_L은 A_L 타일과 A_S 타일이 길이가 1인 공통변을 가지도록 분해할 수 있다.
B_L이 A_S와 구별될 때, B_S는 A_L을 1/배 축소한 (1/)A_L이며, 변 길이는 (1/, 1/, 1)이다. B_S 타일과 B_L 타일을 길이가 1인 공통변을 가지도록 결합하면 A_L 타일을 얻는다.

로빈슨 삼각형은 이등변삼각형이므로 대칭축을 기준으로 거울상인 두 가지 방법으로 분해할 수 있다. 펜로즈 타일링에서는 연결 규칙에 따라 분해 방법이 정해져 있으며, 작은 삼각형들이 결합하여 큰 삼각형이 되는 방법도 결정된다.^[160]

P2와 P3 펜로즈 타일링은 '국소적으로 서로를 만들 수 있다'는 결론에 이르게 된다. 즉, 한 종류의 타일로 만든 테셀레이션은 다른 테셀레이션을 만드는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 카이트와 다트로 만든 테셀레이션은 A-타일들로 쪼갤 수 있고, 정해진 방법으로 결합해서 B-타일이 되어 마름모가 될 수 있다.^[145]

B-타일을 A-타일로 분해하는 과정은 다음과 같다.

: B_S = A_L, B_L = A_L + A_S

(B-타일이 더 크다는 가정 하에) 이를 행렬 방정식으로 나타내면 다음과 같다.^[173]

:

\begin{pmatrix} B_L \\ B_S\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_L \\ A_S\end{pmatrix}\, .

이 분해를 A-타일에서 B-타일로의 분해 과정과 합치면 다음을 얻는다.

:

\begin{pmatrix} \varphi A_L \\ \varphi A_S\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_L \\ B_S\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_L \\ A_S\end{pmatrix}\, ,

따라서 확대한 타일 A_L은 A_L 타일 2개와 A_S 타일 1개로 분해된다. 연결 규칙은 정해진 대체 방법만 허용한다. A_L에 있는 A_L 타일 2개는 카이트 1개를 만들어야 한다.^[174]^[175]

결합과 분해를 반복하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

\varphi^n\begin{pmatrix} A_L \\ A_S\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n\begin{pmatrix} A_L \\ A_S\end{pmatrix}\, .

''n''번째 반복했을 때 카이트와 다트의 개수는 대체하기 행렬의 ''n''제곱으로 결정할 수 있다.

:

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{2n+1} & F_{2n} \\ F_{2n} & F_{2n-1} \end{pmatrix}\, ,

여기서 ''F_n''은 ''n''번째 피보나치 수이다. 따라서 충분히 큰 P2 펜로즈 타일링 무늬에서 카이트 대 다트 수의 비율은 황금비 로 수렴한다.^[176] P3 펜로즈 타일링에서 굵은 마름모 대 얇은 마름모 수의 비율도 비슷한 결과가 나온다.^[174]

4. 2. 2. P2와 P3 타일링을 줄이기

P2와 P3 펜로즈 타일링은 로빈슨 삼각형을 이용하여 서로 연관지을 수 있다. P2 타일링의 카이트와 다트는 A-타일(둔각 로빈슨 삼각형 A_S와 예각 로빈슨 삼각형 A_L)로 나눌 수 있고, P3 타일링의 마름모는 B-타일(예각 로빈슨 삼각형 B_S와 둔각 로빈슨 삼각형 B_L)로 나눌 수 있다.^[160]

A_S의 변 길이는 (1, 1, )이고, A_L의 변 길이는 (, , 1)이다. B-타일은 A-타일과 다음과 같이 관련된다.

B_S는 A_L과 같은 크기이고, B_L은 A_S를 배 확대한 A_S이다. (변의 길이는 (, , ² = 1 + ))
B_L은 A_S와 구별되며, B_S는 A_L을 1/배 축소한 (1/)A_L이다. (변의 길이는 (1/,1/,1))

로빈슨 삼각형은 이등변삼각형이므로 대칭축을 기준으로 거울상인 두 가지 방법으로 분해될 수 있는데, 펜로즈 타일링에서는 연결 규칙에 따라 한 가지 방법만 허용된다.^[160]

P2와 P3 타일링은 서로 국소적으로 만들 수 있다. 예를 들어, 카이트와 다트 타일링은 A-타일로 쪼개고, 정해진 방법으로 결합하여 B-타일, 즉 마름모를 만들 수 있다.^[145]

B-타일을 A-타일로 분해하는 과정은 다음과 같다.

: B_S = A_L, B_L = A_L + A_S

이를 행렬 방정식으로 표현하면 다음과 같다.^[173]

:

\begin{pmatrix} B_L \\ B_S \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_L \\ A_S \end{pmatrix}\, .

이 분해를 A-타일에서 B-타일로의 분해 과정과 합치면 다음을 얻는다.

:

\begin{pmatrix} \varphi A_L \\ \varphi A_S \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_L \\ B_S \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_L \\ A_S \end{pmatrix}\, ,

즉, 확대된 타일 A_L은 A_L 타일 2개와 A_S 타일 1개로 분해된다. 연결 규칙에 따르면 A_L에 있는 A_L 타일 2개는 카이트 1개를 형성해야 하며, 카이트는 카이트 2개와 절반 다트 2개로, 다트는 카이트 1개와 절반 다트 2개로 분해되어야 한다.^[174]^[175]

결합과 분해를 반복하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

\varphi^n\begin{pmatrix} A_L \\ A_S \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n\begin{pmatrix} A_L \\ A_S \end{pmatrix}\, .

''n''번째 반복 후 카이트와 다트의 개수는 대체하기 행렬의 ''n''제곱으로 결정된다.

:

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{2n+1} & F_{2n} \\ F_{2n} & F_{2n-1} \end{pmatrix}\, ,

여기서 ''F_n''은 ''n''번째 피보나치 수이다. 따라서 충분히 큰 P2 펜로즈 타일링에서 카이트 대 다트 수의 비율은 황금비 에 수렴한다.^[176] P3 펜로즈 타일링에서 굵은 마름모 대 얇은 마름모 수의 비율도 같은 결과를 얻는다.^[174]

'줄이기'는 각 타일을 더 작은 타일들로 대체하는 과정이다. 줄이기의 한 세대에서 각 타일은 원래 타일링에서 사용된 더 작은 타일 2개 이상으로 대체된다. 새 타일은 대체하기 규칙에 따라 연결 규칙을 만족한다.^[174]

타일 분할 규칙은 대체하기 규칙이며 다음과 같다.

이름	처음 타일	1세대	2세대	3세대
카이트 절반	--	--	--	--
다트 절반	--	--	--	--
해	--	--	--	--
별	--	--	--	--

카이트 절반과 다트 절반은 더 큰 패턴(해 또는 별)을 분해할 때 의미가 있으며, 카이트나 다트에만 적용하면 결과가 달라진다. 대체하기 규칙만으로는 빈틈이 생길 수 있으므로 추가 규칙이 필요하다.

4. 2. 3. 순서 및 적용

펜로즈 타일링은 비주기적이어서 평행 이동으로 전체 무늬를 똑같이 만들 수 없다. 패턴을 밀어서 옮겨도 전체 평면을 덮을 때 원래 패턴과 정확히 일치하지 않는다. 하지만 크기와 관계없이 어떤 부분이든 타일링 안에서 무한히 반복된다. 따라서 크기가 유한한 부분만으로는 펜로즈 타일링 전체를 특정할 수 없고, 이 부분이 타일링의 어느 위치에 나타나는지도 결정할 수 없다.^[178]

이러한 특징 때문에 서로 다른 펜로즈 타일링의 수는 비가산집합만큼 많다. '위아래 세대'는 타일링을 나타내는 방법 중 하나이며, 이 외에도 애먼 도형, 펜타그리드, 잘라 사영하기 방법 등을 사용할 수 있다.^[174]

5. 관련 타일링과 주제

겹치거나 틈이 없이 평평한 표면("평면")을 기하학적 모양("타일")의 패턴으로 덮는 것을 타일링이라고 한다. 바닥을 모서리가 맞닿는 사각형으로 덮는 것과 같이 가장 익숙한 타일링은 주기적 타일링의 예이다. 이동을 통해 타일링을 보존하는 이동을 타일링의 ''주기''라고 하며, 타일링은 서로 다른 두 방향으로 이동시키는 주기를 가질 때 주기적이다.^[1]

사각형 타일링의 타일은 모양이 하나뿐이며, 다른 타일링도 유한 개의 모양만 갖는 것이 일반적이다. 이러한 모양을 ''원형 타일''이라고 하며, 이 모양만 사용하여 평면을 타일링할 수 있는 경우 ''타일링을 허용''하거나 ''평면을 타일링''한다고 말한다.^[2]

주기가 없는 타일링을 ''비주기적''이라고 한다. 원형 타일의 집합은 모든 타일링이 비주기적일 경우 ''비주기적''이라고 하며, 이 경우 해당 타일링을 비주기적 타일링이라고도 한다.^[3] 펜로즈 타일링은 유한 집합의 원형 타일로 평면을 타일링하는 가장 간단한 비주기적 타일링의 예 중 하나이다.^[1]

펜로즈 타일링의 세 가지 유형(P1–P3)의 타일은 황금비와 관련된 오각형 모양으로 구성되지만, 비주기적으로 타일링하려면 기본 타일 모양에 '일치 규칙'을 추가해야 한다. 이러한 규칙은 레이블이 지정된 꼭짓점이나 가장자리, 또는 타일 면의 패턴을 사용하여 설명할 수 있다. 또는 가장자리 프로필을 수정하여 비주기적 프로토타일 집합을 얻을 수 있다.^[7]^[25]

P1 타일링 내의 하나의 오각형 꼭짓점에 순서대로 1, 3, 5, 2, 4 번호를 부여하면, 모든 오각형 꼭짓점에 시계 방향 또는 시계 반대 방향으로 번호를 부여할 수 있다. 같은 번호를 가진 점에 의해 로빈슨 삼각형에 의한 타일링이 얻어지고, 그 타일링 위의 3번과 4번 점에 의해 나비넥타이 및 나베트 타일링이 얻어진다.^[116]

그 외에도 육각형, 보트, 별 타일링 및 미크라 로스 타일링 등과 같은 등가적이지 않은 관련 타일링이 있다. 마름모 타일링의 매칭 규칙을 변경하여 각 꼭짓점에서의 각도에 관한 제한을 가하면, 2개의 타일로 이루어진 타일링이 얻어진다.^[117] 이 타일링은 5회 대칭성을 가지지만 준결정이 아니다. 이 타일링은 원래 타일링의 마름모를 작은 마름모로 수정하는 방법, 또는 대입 규칙에 의해서도 얻어지지만, 드 브라윈의 절단 사영법으로는 얻어지지 않는다.^[118]

5. 1. 정십각형 덮기와 준결정

1996년, 독일 수학자 페트라 굼멜트는 두 종류의 겹치는 부분을 허용할 때, 단일 정십각형 타일로 펜로즈 타일링과 동등한 '덮기'(타일들이 겹치지 않는 '테셀레이션'과 구분하기 위한 용어)를 제시했다.^[180] 정십각형 타일에는 색칠된 부분이 있는데, 연결 규칙에 따라 색칠이 동일한 부분을 겹칠 수 있다. 이런 덮기를 적절히 카이트와 다트로 분해하면 펜로즈 (P2) 테셀레이션이 된다. 비슷하게 P3 테셀레이션은 각 정십각형에 굵은 마름모를 안에 넣고, 남은 부분을 얇은 마름모로 채울 때 얻을 수 있다.

이 덮기는 준결정의 성장을 보여주는 현실적인 모델로 여겨진다. 겹치는 정십각형은 결정이 만들어질 때의 단위 격자와 비슷한 '준단위 격자'라고 하며, 연결 규칙은 특정 원자 집단의 밀도를 본뜬 것이다.^[181] 덮기의 본질을 통해 전자 구조 같은 이론을 연구할 수 있는데, 블로흐의 정리가 없어서 어렵다. 하지만 준결정의 영역은 오류 제어를 통해 계산할 수 있다.^[182]

5. 2. 관련 테셀레이션

펜로즈 타일링과 국소적으로 서로를 만들어낼 수 있는 세 가지 변형이 있다. P1 테셀레이션에서 특정 꼭짓점을 선택하면 다른 비주기적 테셀레이션을 구성할 수 있다. 예를 들어 P1 테셀레이션의 정오각형 꼭짓점에 1, 3, 5, 2, 4 순서로 번호를 매기고 같은 번호로 표시된 점들을 연결하면 로빈슨 삼각형으로 구성된 테셀레이션을 얻을 수 있다. 또한 3과 4가 써 있는 점들은 나비넥타이와 나베트 테셀레이션을 이룬다.^[183]

이 외에도 '육각형-배-별' 테셀레이션과 '미쿨라-로스' 테셀레이션 등과 같이 펜로즈 타일링과 동일하지 않지만 관련 있는 테셀레이션들이 존재한다. 예를 들어 마름모 테셀레이션에서 각 꼭짓점에서 허용되는 각에 특정한 제한을 두는 방식으로 연결 규칙을 약화시키면, 두 개의 타일로 만들어진 테셀레이션이 나타난다.^[184] 이 테셀레이션은 5차 대칭성을 기반으로 하지만, 준결정이 아니다. 원래 마름모 타일링의 마름모를 더 작은 마름모로 채우거나 대체하는 규칙을 적용하여 얻을 수 있지만, 데 브라윈의 잘라서 사용하기 방법으로는 만들 수 없다.^[185]

준결정이 아닌 변형 타일링. 타일 연결 규칙을 만족하지 않아서 펜로즈 타일링이 아니다.

6. 예술 및 건축

펜로즈 타일링은 예술과 건축 분야에 큰 영향을 미쳤다. 드롭 시티의 예술가 클라크 리처트는 1970년에 마름모삼십면체를 평면에 투영하여 펜로즈 마름모를 예술 작품에 활용했다. 예술 역사학자 마틴 켐프는 알브레히트 뒤러가 마름모 테셀레이션과 비슷한 모티프를 스케치한 것을 발견했다.^[189]

6. 1. 기리 테셀레이션과의 연관성

테셀레이션의 미적 가치는 오랫동안 인정받아 왔으며, 이는 테셀레이션에 대한 관심을 불러일으키는 계기가 된다. 펜로즈 타일링의 겉모습은 이를 정의하는 형식적인 특성보다 더 많은 관심을 끈다. 북아프리카와 중동에서 쓰인 특정한 장식 무늬와의 유사성은 이미 알려져 있다.^[186]^[187] 물리학자 피터 제임스 루와 파울 슈타인하트는 펜로즈 타일링이 이스파한 다르브 이맘 묘의 기리 테셀레이션과 같은 중세 이슬람의 기하학적 무늬에 기초를 두었다는 증거를 제시했다.^[188]

드롭 시티 예술가인 클라크 리처트는 마름모삼십면체를 평면에 투영했을 때 굵은 마름모와 얇은 마름모 타일이 연결되어 비주기적 테셀레이션을 이루는 것을 관찰하여, 1970년에 펜로즈 마름모를 예술작품에 활용했다. 예술역사학자 마틴 켐프는 알브레히트 뒤러가 마름모 테셀레이션과 비슷한 모티프를 스케치한 것을 발견했다.^[189]

샌프란시스코의 22억달러 규모의 트랜스베이 운송 센터의 굴곡 있는 흰 금속 외부 표면에는 펜로즈 무늬로 구멍이 나 있다.^[190]

6. 2. 현대 건축 및 디자인

-는 22억달러 규모의 프로젝트로, 외벽은 흰색 알루미늄으로 만들어졌으며 펜로즈 타일링 패턴으로 구멍이 뚫려 있다.^[190]

인도 정보 기술 연구소는 2001년부터 '펜로즈 기하학'을 기반으로 건물을 디자인했는데, 이 건물 바닥에는 펜로즈 타일링으로 된 기하학적 무늬가 있다.^[193]

옥스퍼드 대학교 수학과 앤드루 와일스 건물 입구에는 2013년 10월부터 펜로즈 타일링이 사용되었다.^[194]^[195]

헬싱키 케스쿠스카투 거리의 보도는 2014년에 펜로즈 타일링 모양으로 포장되었다.^[196]

웨스턴오스트레일리아 대학교 베일리스 건물 안뜰에도 펜로즈 타일이 사용되었다.^[191]

1979년 마이애미 대학교는 수학통계학과 졸업자 광장 뜰을 펜로즈 타일링이 있는 인공 대리석으로 꾸몄다.^[192]

7. 상품

펜로즈 타일은 화장지 도안에 무단으로 사용되었으나, 재판 결과 펜로즈에 대한 불손을 이유로 사용이 금지되었다.^[130] 펜로즈 타일은 특허를 받아 펜타플렉스 사에서 퍼즐로 상품화하고 있다.^[131] 또한 최근에는 전기 면도기용 망날로 실용화되고 있다.^[132]

참조

_[1] 간행물 Gardner 1997
_[2] 간행물 Gardner 1997
_[3] 간행물 Grünbaum 1987
_[4] 간행물 Culik 1997
_[5] 간행물 Wang 1961
_[6] 문서 Robert Berger
_[7] 간행물 Austin 2005a
_[8] 간행물 Berger 1966
_[9] 간행물 Grünbaum 1987
_[10] 간행물 Gardner 1997
_[11] 간행물 Robinson 1971
_[12] 간행물 Grünbaum 1987
_[13] 간행물 Senechal 1996
_[14] 간행물 Penrose 1974
_[15] 간행물 Grünbaum 1987
_[16] 서적 The harmony of the world https://books.google[...] American Philosophical Society 1997
_[17] 간행물 Luck 2000
_[18] 간행물 Senechal 1996
_[19] 간행물 Gardner 1997
_[20] 간행물 Gardner 1997
_[21] 간행물 Gardner 1997
_[22] 간행물 de Bruijn 1981
_[23] 논문 PLANAR PATTERNS WITH FIVEFOLD SYMMETRY AS SECTIONS OF PERIODIC STRUCTURES IN 4-SPACE 1990-12
_[24] 간행물 Grünbaum 1987
_[25] 간행물 Grünbaum 1987
_[26] 간행물 Austin 2005a
_[27] 간행물 Gardner 1997
_[28] 간행물 Grünbaum 1987
_[29] 간행물 Senechal 1996
_[30] 간행물 Gardner 1997
_[31] 간행물 Gardner 1997
_[32] 간행물 Gardner 1997
_[33] 간행물 Senechal 1996
_[34] 웹사이트 The Penrose Tiles http://www.murderous[...] 2020-01-20
_[35] 간행물 Gardner 1997
_[36] 서적
_[37] 서적
_[38] 서적
_[39] 논문 On the fractal nature of Penrose tiling http://www.iisc.erne[...]
_[40] 서적
_[41] 서적
_[42] 서적
_[43] 서적
_[44] 서적
_[45] 서적
_[46] 서적
_[47] 서적
_[48] 서적
_[49] 웹사이트 A New Paradigm for the Structure of Quasicrystals http://www.physics.p[...]
_[50] 논문 How to Compute Spectra with Error Control https://www.reposito[...]
_[51] 논문 Penrose Sublattices
_[52] 서적
_[53] 웹사이트 Binary http://tilings.math.[...] Department of Mathematics, University of Bielefeld
_[54] 서적
_[54] 서적
_[55] 뉴스 The Tiles of Infinity http://www.saudiaram[...] Aramco Services Company 2010-02-22
_[56] 서적
_[57] 서적
_[58] 웹사이트 The Penrose Tiling at Miami University http://www.lib.miami[...] Mathematical Association of America 1997-10-24
_[59] 웹사이트 Indian Institute of Information Technology, Allahabad https://www.archnet.[...]
_[60] 웹사이트 Centenary: The University of Western Australia http://www.treasures[...]
_[61] 웹사이트 New Building Project http://www.maths.ox.[...] 2013-11-30
_[62] 웹사이트 Roger Penrose explains the mathematics of the Penrose Paving https://www.maths.ox[...] University of Oxford Mathematical Institute
_[63] 웹사이트 Keskuskadun kävelykadusta voi tulla matemaattisen hämmästelyn kohde https://www.hs.fi/ti[...] 2014-08-06
_[64] 논문 Check Out the Proposed Skin for the Transbay Transit Center http://sf.curbed.com[...] 2013-07-11
_[65] 서적
_[66] 서적
_[67] 서적
_[68] 서적
_[69] 문서 Wang 1961
_[70] 웹사이트 Robert Berger https://mathgenealog[...]
_[71] 논문
_[72] 논문
_[73] 논문
_[74] 논문
_[75] 논문
_[76] 논문
_[77] 논문
_[78] 논문
_[79] 논문
_[80] 서적 The harmony of the world American philosophical society 1997
_[81] 논문
_[82] 논문
_[83] 논문
_[84] 논문
_[85] 논문
_[86] 논문
_[87] 논문
_[88] 논문
_[89] 논문
_[90] 논문
_[90] 논문
_[91] 논문
_[92] 논문
_[93] 논문
_[94] 논문
_[95] 논문
_[96] 논문
_[97] 논문
_[98] 웹사이트 The Penrose Tiles http://www.murderous[...] 2023-07-04
_[99] 논문
_[100] 논문
_[101] 논문
_[102] 논문
_[103] 간행물 On the fractal nature of Penrose tiling http://www.iisc.erne[...]
_[104] 논문
_[105] 논문
_[106] 서적
_[107] 서적
_[108] 서적
_[109] 서적
_[110] 서적
_[111] 서적
_[112] 서적
_[113] 서적
_[114] 논문
_[115] 논문 How to Compute Spectra with Error Control https://www.reposito[...]
_[116] 논문 Penrose Sublattices
_[117] 서적
_[118] 서적
_[119] 서적
_[120] 뉴스 The Tiles of Infinity http://www.saudiaram[...] Aramco Services Company 2009-09-01
_[121] 서적
_[122] 서적
_[123] 웹사이트 The Penrose Tiling at Miami University http://www.lib.miami[...] 2017-08-14
_[124] 웹사이트 Indian Institute of Information Technology, Allahabad https://www.archnet.[...] 2023-09-22
_[125] 웹사이트 Centenary: The University of Western Australia https://www.treasure[...] 2023-09-22
_[126] 웹사이트 New Building Project http://www.maths.ox.[...] 2013-11-30
_[127] 웹사이트 Penrose Paving at the Mathematical Institute https://www.atlasobs[...] 2023-09-22
_[128] 웹사이트 Keskuskadun kävelykadusta voi tulla matemaattisen hämmästelyn kohde https://www.hs.fi/ti[...] 2014-08-06
_[129] 논문 Check Out the Proposed Skin for the Transbay Transit Center http://sf.curbed.com[...] 2013-07-11
_[130] 웹사이트 Pack of four rolls quilted toilet paper with Penrose tiling https://collection.s[...] 2023-09-23
_[131] 서적 ペンローズのねじれた四次元講談社
_[132] 웹사이트 ブラウンアクティベーター Xのマルチパターン網刃 http://www.braun.co.[...]
_[133] 서적
_[134] 서적
_[135] 서적
_[136] 서적
_[137] 서적
_[138] 문서 Robert Berger
_[139] 서적
_[140] 서적
_[141] 논문 1987
_[142] 논문 1997
_[143] 논문 1971
_[144] 논문 1987
_[145] 논문 1996
_[146] 논문 1974
_[147] 논문 1987
_[148] 서적 The harmony of the world https://books.google[...] American Philosophical Society 1997
_[149] 논문 2000
_[150] 논문 1996
_[151] 논문 1997
_[152] 논문 1997
_[153] 논문 1997
_[154] 논문 1981
_[155] 논문 1987
_[156] 논문 1987
_[157] 논문 1978
_[158] 논문 2005
_[159] 논문 1997
_[160] 논문 1987
_[161] 논문 1996
_[162] 논문 1997
_[163] 논문 1997
_[164] 논문 1997
_[165] 논문 1996
_[166] 웹인용 The Penrose Tiles http://www.murderous[...] 2020-01-20
_[167] 논문 1997
_[168] 논문 1997
_[169] 논문 1987
_[170] 논문 1987
_[171] 저널 On the fractal nature of Penrose tiling http://www.iisc.erne[...] 2022-07-16
_[172] 논문 1987
_[173] 논문 1996
_[174] 논문 2005
_[175] 논문 1996
_[176] 문헌
_[177] 문헌
_[178] 문헌
_[179] 문헌
_[180] 문헌
_[181] 문헌
_[181] 웹인용 A New Paradigm for the Structure of Quasicrystals http://www.physics.p[...] 2022-09-03
_[182] 저널 How to Compute Spectra with Error Control https://www.reposito[...]
_[183] 저널 Penrose Sublattices
_[184] 문헌
_[185] 문헌
_[185] 백과사전 Binary http://tilings.math.[...] Department of Mathematics, University of Bielefeld
_[186] 문헌
_[186] 문헌
_[187] 뉴스 The Tiles of Infinity http://www.saudiaram[...] Aramco Services Company 2010-02-22
_[188] 문헌
_[189] 문헌
_[190] 저널 Check Out the Proposed Skin for the Transbay Transit Center http://sf.curbed.com[...] 2013-07-11
_[191] 웹인용 Centenary: The University of Western Australia http://www.treasures[...]
_[192] 웹사이트 The Penrose Tiling at Miami University http://www.lib.miami[...] 2017-08-14
_[193] 웹인용 Indian Institute of Information Technology, Allahabad https://www.archnet.[...]
_[194] 웹인용 New Building Project http://www.maths.ox.[...] 2013-11-30
_[195] 웹인용 Roger Penrose explains the mathematics of the Penrose Paving https://www.maths.ox[...] 옥스퍼드 대학교 Mathematical Institute
_[196] 웹인용 Keskuskadun kävelykadusta voi tulla matemaattisen hämmästelyn kohde https://www.hs.fi/ti[...] 2014-08-06

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com