비주기적 테셀레이션

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 수학적 구성 방법
5. 준결정과의 관계
6. 용어 관련 혼란
참조

1. 개요

비주기적 테셀레이션은 평행 이동만으로는 반복되지 않으면서 무한히 확장될 수 있는 타일링을 의미한다. 1960년대 하오 왕의 연구를 통해 개념이 처음 등장했으며, 로버트 버거는 비주기적 프로토타일 집합을 찾았다. 비주기적 테셀레이션은 매칭 규칙, 치환 및 확장 규칙, 절단 및 투영 방법 등 다양한 수학적 구성 방법을 통해 만들어진다. 펜로즈 타일링은 비주기적 테셀레이션의 대표적인 예시이며, 준결정 연구와 연결되어 실제 결정 구조와 관련된 개념으로 발전했다. 비주기적 테셀레이션은 타일링과 관련된 수학 문헌에서 다양한 의미로 사용되며, 용어 사용에 혼란이 있을 수 있다.

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비주기적 테셀레이션 - 펜로즈 테셀레이션
펜로즈 테셀레이션은 로저 펜로즈가 발견한 비주기적 테셀레이션으로, 유한한 종류의 프로토타일로 평면을 채울 수 있으며, 초기 6개에서 2개로 줄어든 프로토타일을 사용하고 황금비와 관련되어 현대 건축 및 디자인에서 활용된다.

비주기적 테셀레이션
비주기적 테셀레이션
유형	테셀레이션
특징	비주기성
관련 개념	주기적 테셀레이션, 결정, 황금비
역사
발견	로저 펜로즈(1970년대)
예시
유형	펜로즈 타일링 에인슈타인 (타일)

2. 정의

단위 정사각형 격자의 주기적 테셀레이션을 생각할 수 있다. (마치 격자 종이처럼 보인다) 이제 한 정사각형을 두 개의 직사각형으로 나눈다. 이렇게 얻은 테셀레이션은 평행이동을 시켜서 이 테셀레이션과 같도록 할 수 없기 때문에 비주기적이다. 하지만 이 예시는 펜로즈 테셀레이션보다 덜 흥미롭다. 이러한 예시를 제외하기 위해, 비주기적 테셀레이션을 임의의 큰 주기적인 부분을 포함하지 않는 테셀레이션으로 정의할 수 있다.^[42]

어떤 테셀레이션이 비주기적 테셀레이션만 생성(생성)하면 비주기적이라고 한다. 테셀레이션의 생성 $T \subset \R^d$ 는 ''T''를 평행이동한 가능한 모든 ''T+x''를 포함하는데, 이들을 ''T''의 평행이동으로 생각할 수 있다. 형식적으로 이것은 국소 위상수학에서 집합 $\{ T+x \, : \, x \in \R^d \}$ 의 닫힌 부분 집합이다.^[42] 국소 위상수학(각각에 대응되는 행렬)에서 두 테셀레이션이 $\varepsilon$ 보다 덜 평행이동했을 때 지름 $1/\varepsilon$ 의 구간에서 일치하면 $\varepsilon$ 에 대해 닫혀 있다고 한다.

이보다 더 쉬운 예시를 들면, 직선 모양의 1차원 테셀레이션 ''T''를 생각할 수 있다. 여기서 ''a''는 길이 1의 간격을 나타내고, ''b''는 길이 2의 간격을 나타낸다. 그래서 이 테셀레이션 ''T''는 무수히 많은 ''a''들과 한 개의 ''b''로 만들어지는데, ''b''를 중심 0이라고 하자. ''T''의 모든 평행이동은 ''b''가 어딘가 있고 나머지는 모두 ''a''일 것이다. ''b''가 $1, 2, 4, \ldots, 2^n, \ldots$ 에 중심이 있을 때 테셀레이션의 순서는 ''a''로만 이루어진 주기적인 테셀레이션과 국소 위상수학에서 합동이다. 따라서 ''T''는 주기적 테셀레이션을 부분집합으로 가지기 때문에 주기적 테셀레이션이 아니다.^[42]

잘 정의된 테셀레이션(예를 들어 유한하게 많은 국소 패턴으로 구성되는 테셀레이션)에 대해서, 주기적이지 않고 반복되는 테셀레이션(각 타일이 고르게 밀집하게 테셀레이션에서 모여 있음)은 비주기적 테셀레이션이다.^[42]

3. 역사

1960년대 하오 왕이 도미노 문제가 결정 가능한지 연구하면서 비주기적 타일링의 개념이 처음 등장했다. 결정 가능하다는 것은 유한한 프로토타일 집합이 주어졌을 때, 이것이 평면을 테셀레이션할 수 있는지 결정하는 알고리즘이 존재한다는 것이다. 왕은 평면을 채울 수 없는 타일 집합과 주기적으로 채울 수 있는 평면 집합을 찾으려고 알고리즘을 발견했다. 이로써 평면을 채울 수 있는 유한한 프로토타일 집합 각각이 주기적 테셀레이션도 만들 수 있다면 이 결정 알고리즘이 존재한다는 걸 보였다.^[43]^[44] 1964년 로버트 버거는 테셀레이션 문제가 사실 결정 가능하지 않다는 것을 보여서 비주기적 프로토타일 집합을 찾았다. 이 증명에 버거가 쓴 집합은 왕 타일 20,426개가 필요했는데, 나중에 104개로 개수를 줄였다. 한스 레우히리는 40개 왕 타일만 필요한 비주기 집합을 찾았다.^[45]

1971년에 래피얼 미셸 로빈슨이 왕 타일 6개로 된 더 간단한 비주기적 집합을 발견했다.^[46] 로저 펜로즈는 1973년과 74년에 3개의 집합을 추가로 발견했는데, 2개의 타일만으로 가능했다. 로버트 애먼은 1977년에 몇 개의 집합을 더 찾았다.^[45]

비주기적인 펜로즈 테셀레이션은 비주기적인 프로토타일 집합뿐 아니라 대체하기(subtitution)나 잘라서 사영하기(cut-and-project) 방법도 써서 만들 수 있다. 준결정이 연구된 이후 물리학자와 수학자들이 비주기적 테셀레이션을 열심히 연구했다. 펜로즈 테셀레이션에 쓰이는 니콜라스 호베르트 드 브뢰인의 잘라서 사영하기 방법이 마이어 집합 이론의 예라는 게 결국 밝혀졌다.^[47]^[48] 현재 비주기적 테셀레이션에 대한 여러 문헌이 있다.^[42]

4. 수학적 구성 방법

비주기적 타일링을 만드는 여러 방법들이 연구되었다.

어떤 테셀레이션이 비주기적 테셀레이션만 생성(hull)하면 비주기적이라고 한다. 테셀레이션의 생성은 ''T''를 평행이동한 가능한 모든 경우를 포함한다.

잘 정의된 테셀레이션(예를 들어 유한하게 많은 국소 패턴으로 구성되는 테셀레이션)에 대해서, 주기적이지 않고 반복되는 테셀레이션(각 타일이 고르게 밀집하게 테셀레이션에서 모여 있음)은 비주기적 테셀레이션이다.^[42]

비주기적 테셀레이션을 만드는 몇 가지 방법이 알려져 있다. 그 중 일부는 무한한 비주기적 타일 집합을 사용한다.^[49]^[50] 비주기적인 계층 구조를 주로 써서 만들 수 있다. 그러나 도미노 문제의 비결정성에 따라서 무한히 많은 만드는 원리가 있을 것이고, 비주기적이라는 걸 증명할 수 없는 비주기적 테셀레이션도 존재한다.

2023년까지 유한한 원형 타일 집합에 주로 사용된 세 가지 구성 원리가 있다.^[17]

매칭 규칙
치환 및 확장 규칙
절단 및 투영 방법

일부 테셀레이션의 경우 해당 테셀레이션을 생성하는 구성 방식은 하나만 알려져 있다. 다른 테셀레이션은 세 가지 고전적인 방법, 예를 들어 펜로즈 타일링을 통해 구성할 수 있다.

굿먼-스트라우스(Goodman-Straus)는 치환 규칙에 의해 생성되고 기술적 조건을 만족하는 모든 테셀레이션은 매칭 규칙을 통해 생성될 수 있음을 증명했다. 이 기술적 조건은 완화되어 있으며, 실제로는 일반적으로 충족된다. 타일은 치환 테셀레이션이 ''자매-가장자리-대-가장자리''가 되도록 ''세습적인 가장자리'' 집합을 허용해야 한다.

이 외에도 야르코 카리는 타일이 직선으로 암호화된 실수에 2 또는 2/3을 곱해 비주기적 왕 타일들을 만들었다.^[61] 샤하르 모제스는 비주기적 테셀레이션을 구성하는 여러 가지 대안을 찾았다.^[63] 블록과 와인버거는 종순 다양체이 아닌 모든 비주기적 테셀레이션을 만드려고 호몰로지 방법을 썼다.^[64] 조슈아 소콜라도 대안 조건에 대해서 비주기성을 만들 다른 방법을 찾았다.^[65]

4. 1. 계층적 구조

일부 비주기적 타일링은 계층적인 구조를 가진다. 로빈슨 타일링은 계층적 구조를 보여주는 대표적인 예시이다.^[42]

이런 타일로 만든 테셀레이션은 사각형 격자 계층만 만들 수 있는데, 임의의 주황색 사각형 중심은 더 큰 주황색 사각형의 중심이 되고, 이는 무한히 반복된다. 어떻게 평행이동을 해도 이동한 거리보다 더 큰 정사각형이 있으므로, 원래와 같아질(invariant) 수 없다.^[18]

로빈슨은 타일들이 서로 맞아서 원래의 타일보다 더 큰 블록을 만들어내는 걸 계속할 것이라고 구조를 귀납적으로 증명했다. 어느 테셀레이션이 계층적인 구조를 가질 수밖에 없다는 이 아이디어를 비주기적 테셀레이션을 만들 때 많이 사용한다.

4. 2. 대체 (Substitution)

타일 대체하기 방법은 비주기적 타일링을 생성하는 강력한 도구이다. 의자 테셀레이션은 대체하기 방법으로 생성되는 비주기적 타일링의 예시이다.^[49]^[50]

삼엽충과 가위 테셀레이션은 의자 대체하기 구조를 합쳐 놓았다. 의자 구조가 나타나도록 테셀레이션을 허용하기 때문에 비주기적이다.

^[51]

펜로즈 타일과 애먼의 타일 몇 개가 대체하기 테셀레이션 구조를 명쾌하게 합쳐놓은 첫 번째 예시였다.^[52] 이후 조슈아 소콜라,^[53]^[54] 로저 펜로즈,^[55] 루트비히 단체,^[56]와 체임 굿맨-스트러스^[38]가 타일을 발견했다. 샤하르 모제스는 모든 1차원 대체하기가 규칙을 통해 합쳐질 수 있다는 걸 보이면서 최초로 일반적으로 테셀레이션을 구성했다.^[57] 찰스 래딘은 콘웨이 바람개비 대체 테셀레이션을 합치는 규칙을 찾아냈다.^[58] 1998년 체임 굿맨-스트러스는 약한 조건에서 모든 테셀레이션 대체하기 구조에서 국소적으로 대응시키는 규칙을 찾을 수 있다는 걸 보였다.^[38]

치환 테셀레이션 시스템은 비주기적 테셀레이션의 풍부한 원천을 제공한다. 치환 구조가 나타나도록 하는 타일 집합은 치환 구조를 '''강제'''한다고 한다. 예를 들어, 아래에 표시된 의자 타일은 치환을 허용하며, 치환 테셀레이션의 일부가 오른쪽에 표시되어 있다. 이러한 치환 테셀레이션은 위에서 설명한 것과 정확히 동일한 방식으로 반드시 비주기적이지만, 의자 타일 자체는 비주기적이지 않다. 기하학적 일치 조건을 만족하는 표시되지 않은 의자 타일로 주기적 테셀레이션을 쉽게 찾을 수 있다.

그러나 아래에 표시된 타일은 의자 치환 구조가 나타나도록 강제하며, 따라서 그 자체로 비주기적이다.^[19]

펜로즈 타일과 그 직후 암만의 여러 다른 타일 세트는 치환 테셀레이션 구조의 명시적인 강제를 기반으로 한 최초의 예시였다. 조슈아 소콜라,^[21]^[22] 로저 펜로즈,^[23] 루드비히 단저,^[24] 및 차임 굿맨-스트라우스^[1]는 그 후 여러 세트를 발견했다. 샤하르 모제스는 최초의 일반적인 구성을 제공하여, 1차원 치환 시스템의 모든 곱이 일치 규칙에 의해 강제될 수 있음을 보여주었다.^[25] 찰스 라딘은 컨웨이-핀휠 치환 테셀레이션 시스템을 강제하는 규칙을 발견했다.^[26] 1998년, 굿맨-스트라우스는 몇 가지 가벼운 조건을 충족하는 모든 치환 테셀레이션 구조를 강제하기 위해 지역 일치 규칙을 찾을 수 있음을 보여주었다.^[1]

4. 3. 잘라 사영하기 (Cut-and-project)

비주기적 테셀레이션은 고차원 구조를 저차원 공간으로 투영하여 만들 수 있다. 어떤 경우에는 이러한 비주기적 구조를 강제하는 타일이 존재할 수 있으며, 따라서 비주기적이다. 드 브라운의 선구적인 연구에서 처음 언급된 펜로즈 타일이 이러한 현상의 첫 번째이자 가장 유명한 예시이다.^[27]

잘라 사영하기 방법으로 만들어진 테셀레이션 일부이다. 자르는 단면은 펜로즈 테셀레이션(셋째 줄 왼쪽에서 4번째)을 정의할 때와 평행하다. 이 테셀레이션은 동형군이 모두 달라서 국소적으로 구별 가능하다.

대응하는 규칙으로 합쳐서 테셀레이션을 잘라 사영하는 대수적인 완전한 정의는 아직 없지만, 수많은 필요 조건 또는 충분 조건이 알려져 있다.^[28]

4. 4. 기타 방법

야르코 카리는 타일이 직선으로 암호화된 실수에 2 또는 2/3을 곱해 비주기적 왕 타일들을 만들었다. (암호화는 비티 수열의 항의 차이로 만들어진 스튀름 순서와 관련이 있다) 이는 2ⁿ/3^m이 양의 정수 m, n에 대해 절대 1이 될 수 없다는 사실을 토대로 만든 것이다.^[61] 이 방법은 나중에 굿맨-스트러스가 쌍곡면 위의 강하게 비주기적인 테셀레이션을 하기 위해 사용했다.^[62]

샤하르 모제스는 비주기적 테셀레이션을 구성하는 여러 가지 대안을 찾았는데, 준-단순(semi-simple) 리군에서처럼 색다른 조건에서도 찾았다.^[63] 블록과 와인버거는 종순 다양체이 아닌 모든 비주기적 테셀레이션을 만드려고 호몰로지 방법을 썼다.^[64]

조슈아 소콜라도 대안 조건에 대해서 비주기성을 만들 다른 방법을 찾았다.^[65] 이 방법으로 만든 타일은 대체하기로 만든 것보다 보통 훨씬 작다.

5. 준결정과의 관계

1984년 물리학자 단 셰흐트만이 알루미늄-망간 합금에서 뚜렷한 5회 대칭을 보이는 준결정을 발견하면서, 비주기적 테셀레이션은 수학적 개념에서 실제 결정 구조와 관련이 있는 것으로 밝혀졌다.^[1] 1975년에 로버트 암만은 이미 펜로즈 타일링을 3차원 정이십면체 구조로 확장한 바 있다.

준결정 발견 이후, 물리학자와 수학자들은 비주기적 테셀레이션을 활발히 연구하였다. 펜로즈 타일링에 사용된 니콜라스 호베르트 드 브뢰인의 잘라서 사영하기 방법은 마이어 집합 이론의 예시로 밝혀졌다.^[47]^[48] 폴 스테인하르트는 굼멜트의 겹치는 십각형을 통해 비주기적 테셀레이션과 준결정 구조 사이의 관계를 제시하였다.^[34]

비주기적 테셀레이션은 한 방향으로는 비주기적이고 다른 두 방향으로는 주기적인 광학 장치에 응용될 수 있다. 또한, Cd-Te 준결정 구조는 원자가 평면 비주기적 패턴으로 배열된 원자층으로 구성되어 있다. 비주기적 패턴은 간섭 현상과도 관련이 있는 것으로 제안된다.^[36]

6. 용어 관련 혼란

'비주기적'이라는 용어는 타일링에 관한 수학 문헌에서 매우 다양한 방식으로 사용되어 왔다. 타일링과 관련하여 비주기적이라는 용어는 때때로 비주기적이라는 용어와 동의어로 사용되기도 했다. '비주기적' 타일링은 단순히 비자명한 평행 이동에 의해 고정되지 않는 타일링이다. 때로는 이 용어가 비주기적 프로토타일 세트에 의해 생성된 타일링을 암시적 또는 명시적으로 설명하기도 했다. 비주기적이라는 용어는 물리적 비주기적 고체, 즉 준결정 또는 일종의 전체적인 질서를 가진 비주기적인 것을 언급하면서 고려 중인 구조를 모호하게 설명하는 데 사용되기도 한다.^[37]

'타일링'이라는 단어의 사용은 명확한 정의에도 불구하고 문제점이 있다. 예를 들어, 단 하나의 펜로즈 타일링만 있는 것은 아니다. 펜로즈 롬버스는 무한히 많은 타일링을 허용한다(지역적으로 구별할 수 없음). 일반적인 해결책은 기술적인 글쓰기에서 용어를 신중하게 사용하려 노력하지만, 비공식적인 용어의 광범위한 사용을 인식하는 것이다.

참조

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