피타고라스 콤마

3. 크기

4. 5도권과 이명동음 변화

피타고라스 콤마는 5도권에서 이명동음(예: F와 G) 사이의 작은 간격으로 시각적으로 나타난다. 순정 간격으로 5도권을 순회할 때, 피타고라스 콤마만큼의 콤마 펌프가 발생한다.

12개의 완전 5도를 쌓으면 7옥타브를 초과하는 피타고라스 콤마가 발생하므로, 이 차이를 무시하면 이명동음적 변환이 일어난다. 평균율에서는 각 5도를 피타고라스 콤마의 1/12만큼 줄여서(약 2센트) 이 문제를 해결한다.

피타고라스 콤마는 12개의 순정 조율된 완전 5도 (3:2 비율)와 7개의 옥타브 (2:1 비율) 사이의 불일치로 생각할 수도 있다.

:$\backslash frac\{\backslash hbox\{12개의\; 5도\}\}\{\backslash hbox\{7개의\; 옥타브\}\}$

=\left(\tfrac32\right)^{12} \!\!\Big/\, 2^{7}

= \frac{3^{12}}{2^{19}}

= \frac{531441}{524288}

= 1.0136432647705078125

\!

5. 역사

유클리드는 531441:524288의 비율을 처음으로 언급했는데, 그는 9:8 비율의 피타고라스 조율의 완전 음정과 2:1 비율의 옥타브, 그리고 A = 262144를 기본으로 사용했다. 유클리드는 이 숫자를 여섯 개의 완전 음정만큼 올리면 옥타브(A의 두 배)만큼 올린 것보다 더 큰 값인 G (531441)가 나온다고 결론지었다.^[6]

G 계산:

:262144 * (9/8)^6 = 531441

A의 두 배 계산:

:262144 * (2/1)^1 = 524288

중국 수학자들은 이미 기원전 122년경에 피타고라스 콤마를 알고 있었다. (''회남자''에 계산이 자세히 나와 있다.) 기원전 50년경 경방은 완전 5도의 순환을 12도를 넘어 53도까지 계속하면, 53번째 음과 시작 음 사이의 차이가 피타고라스 콤마보다 훨씬 작다는 것을 발견했다. 이 훨씬 작은 음정은 나중에 메르카토르 콤마라고 명명되었다.

조지 러셀의 ''리디안 색채 조성 개념''(1953)에서, 그의 변형된 장조와 단조 보조 감소 블루스 음계에서 리디안 으뜸음과 2 사이의 반음은 이론적으로 피타고라스 콤마를 기반으로 한다.^[7]

참조

_[1] 서적 Harvard Dictionary of Music 1969
_[2] 간행물 Scripta Mathematica 2003
_[3] 서적 The Tuning of Place: Sociable Spaces and Pervasive Digital Media 2010
_[4] 서적 The Harpsichord Owner's Guide 1992
_[5] 웹사이트 Complete Overview of Compositions with Seven Accidentals http://www.cisdur.de[...]
_[6] 서적 Katatome kanonos
_[7] 서적 Lydian Chromatic Concept of Tonal Organization 2001
_[8] 서적 '"Maximum Clarity" and Other Writings on Music' University of Illinois Press 2006
_[9] 서적 Harvard Dictionary of Music 1969
_[10] 간행물 Scripta Mathematica 2003
_[11] 서적 The Harpsichord Owner's Guide 1992
_[12] 문서
_[13] 서적 Harvard Dictionary of Music 1969
_[14] 간행물 Scripta Mathematica 2003
_[15] 서적 The Harpsichord Owner's Guide 1992