피타고라스 음률

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 한국 전통 음악과의 관련성
3. 방법
- 3.1. 계산
4. 음정
- 4.1. 이명동음
5. 한계와 현대적 사용
6. 관련 음반
참조

1. 개요

피타고라스 음률은 고대 메소포타미아 시대부터 사용된 음률 체계로, 완전 5도 음정의 3:2 비율을 반복하여 음을 구성한다. 이 음률은 옥타브와 완전 5도를 제외한 음정에서 미세한 음높이 차이, 즉 울프 음정을 발생시켜 모든 조성을 자유롭게 연주하는 데 한계가 있다. 오늘날에는 역사적 악기 연주나 특정 조성의 음악에 제한적으로 사용되며, 무반주 선율 악기 연주자들이 부분적으로 활용하기도 한다.

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피타고라스 음률
정의
정의	피타고라스 음률은 음정 비율을 사용하여 음계의 음 높이를 정의하는 음률 체계이다.
간격	대부분의 서양 음악에서 음정은 완전 5도(3:2)와 옥타브(2:1)의 조합을 사용하여 구성된다.
5도	5도는 C-G 간격으로 간주된다.
역사적 맥락
기원	피타고라스와 그의 추종자들이 음악적 조화의 수학적 비율을 발견했다는 믿음에서 유래되었다.
고대 그리스	고대 그리스에서 사용되었으며, 중세 시대에 유럽에서 널리 사용되었다.
철학적 중요성	우주의 질서와 조화를 반영하는 것으로 여겨졌다.
메소포타미아	기원전 1800년경 메소포타미아의 점토판에서 피타고라스 음률과 관련된 음계의 증거가 발견되었다.
특징
완전 5도	완전 5도는 정확히 3:2 비율로 조율된다.
3도	3도는 조화롭지 않게 들릴 수 있다.
늑대 5도	12개의 완전 5도를 쌓으면 원래 음높이보다 약간 높은 음에 도달하게 되어 '늑대 5도'라는 불협화음이 발생한다.
수학적 기초
비율	모든 음정은 간단한 수학적 비율로 표현된다.
계산	특정 음높이는 완전 5도의 비율(3:2)을 반복적으로 곱하거나 나누어 계산된다.
사용법
중세 음악	단선율 음악과 초기 다성 음악에 적합했다.
르네상스 음악	점차 다른 음률 체계로 대체되었다.
장점과 단점
장점	완전 5도의 순수한 조화 단순한 수학적 기초
단점	일부 3도의 불협화음 늑대 5도의 존재
대안
평균율	12개의 모든 음정을 동일하게 조율하여 모든 조성에서 조화로운 음악을 가능하게 한다.
정률	특정 조성에 최적화되어 있다.

2. 역사

피타고라스 음률 체계는 고대 메소포타미아 시대로 거슬러 올라가며, 5도와 4도의 교대로 구성되었다.^[1] 고대 그리스에서는 이 체계가 주로 피타고라스 (기원전 500년경)의 것으로 여겨졌으며, 현대 음악 이론가들도 그렇게 생각했다. 고대 그리스인들은 음계, 피타고라스 조율, 선법을 포함하여 메소포타미아에서 많은 음악 이론을 빌려왔다. 중국의 십이율 음계는 피타고라스 음계와 동일한 음정을 사용하며 기원전 600년에서 서기 240년 사이에 발명되었다.^[1]^[8]

12음 피타고라스 음정에서 울프 음정 때문에, 이 조율법은 오늘날 거의 사용되지 않지만, 널리 사용되었던 것으로 생각된다. 조를 자주 바꾸지 않거나, 화성적으로 크게 모험적이지 않은 음악에서는 울프 음정이 문제가 되지 않을 수 있다. 확장된 피타고라스 조율에서는 울프 음정이 없으며, 모든 완전 5도는 정확히 3:2이다.

12음 피타고라스 음정에서 대부분의 5도는 3:2의 단순한 비율을 가지기 때문에 매우 "부드럽고" 협화적으로 들린다. 반면에, 3도는 81:64 (장3도) 및 32:27 (단3도)의 비교적 복잡한 비율을 가지기 때문에, 악기에 따라 덜 부드럽게 들린다.^[9]

약 1510년 이후, 3도가 협화음으로 취급되면서, 중간율 조율, 특히 사분 콤마 중간율 조율 (3도를 5:4의 비교적 단순한 비율로 조율)이 건반 악기 조율에 가장 인기 있는 시스템이 되었다. 동시에, 신토닉-다이아토닉 순정률은 처음 라모스에 의해, 그리고 그 다음 찰리노에 의해 가수의 일반적인 조율법으로 제안되었다.

그러나 중간율 조율은 자체적인 화성적 과제를 제시했다. 그것의 울프 음정은 피타고라스 조율보다 훨씬 더 나쁜 것으로 드러났다. 결과적으로 중간율 조율은 모든 음악에 적합하지 않았다. 18세기 무렵부터 악기가 조를 바꿀 수 있고, 따라서 울프 음정을 피하고자 하는 욕구가 커지면서, 이는 잘 조율된 조율법과 결국 평균율의 광범위한 사용으로 이어졌다.

피타고라스 음정은 오늘날 현대 클래식 음악의 일부, 가수 및 바이올린족과 같이 고정된 조율이 없는 악기에서 여전히 들을 수 있다.

2. 1. 한국 전통 음악과의 관련성

한국 전통 음악의 십이율은 피타고라스 음률과 유사하게 완전5도를 기반으로 한 음계 체계를 갖는다.^[1] 십이율은 중국에서 기원하여 한국에 전래되었으며, 한국 전통 음악의 이론적 기초를 형성하는 데 중요한 역할을 했다.^[1] 십이율과 피타고라스 음률의 유사성은 동서양 음악 이론의 교류와 발전 과정을 보여주는 중요한 사례로 간주된다.^[1]

3. 방법

피타고라스 음률은 옥타브 다음으로 단순한 완전5도 음정의 비율인 3:2를 계속 쌓아 올려서 만들어진다.(2번에 한 번 한 옥타브 내림).^[6]

예를 들어 200 헤르츠로 조율된 라(D) 음의 완전 오도 위에 있는 가(A) 음의 주파수는 라의 3/2인 300 헤르츠이다. 가 음의 완전 오도 위에 있는 마(E) 음의 주파수는 450 헤르츠이고, 기준음과 같은 옥타브에 있어야 하기 때문에, 이를 한 옥타브 내리면 225 헤르츠가 된다. 이 과정을 라 음이 다시 나올 때까지 반복하면 된다.

하지만 3:2 비율을 아무리 쌓아올려도 옥타브에 맞지 않기 때문에, 오도권을 한 바퀴 돌고 난 라 음은 원래 라 음보다 1/8음가량 높게 된다.

12음 피타고라스 음률은 완전 5도 순서에 기초하며, 각 음정은 3:2 비율로 조율된다. 2:1(옥타브) 다음으로 가장 간단한 비율이다. 예를 들어 D에서 시작하면(''D 기반'' 조율), 3:2 비율을 여섯 번 위로 이동하여 다른 여섯 개의 음을 생성하고, 나머지 음들은 같은 비율로 아래로 이동하여 생성한다.

:E♭–B♭–F–C–G–'''D'''–A–E–B–F♯–C♯–G♯

12 평균율에서는 A♭과 G♯과 같은 이명동음은 실제로 완전히 같은 음이지만, 약 23.460 센트 (반음의 약 1/4)의 차이가 발생한다. 이 차이를 피타고라스 콤마라고 부른다.

반음계를 구성하기 위해, A♭을 제외하고 E♭부터 G♯까지의 12음을 사용한 경우, G♯에서 E♭로의 음정은 3:2 비율의 순정한 완전 5도(약 701.955센트)보다 피타고라스 콤마 하나만큼 좁은 음정(약 678.495센트)이 된다. 이 음정에 의한 화음은 현저한 울림을 발생시키므로, 늑대의 울음소리에 비유하여 울프의 5도라고 부른다.

동음이조 음인 A와 G는 평균율에서는 정확히 같은 음으로 간주되지만, 피타고라스 조율에서는 D에 대한 비율이 다르므로 주파수가 다르다. 이러한 문제를 해결하기 위해 피타고라스 조율은 12개의 음만 구성하고, 그 사이에 11개의 5도를 갖는다. 예를 들어, E♭에서 G♯까지 12개의 음만 사용할 수 있다. 이는 전체 반음계를 구성하는 데 11개의 정확한 5도만 사용됨을 의미한다. 나머지 간격(G♯에서 E♭까지의 감6도)은 조율에서 심하게 벗어나 있으며, 이 두 음을 결합하는 음악은 이 조율에서 연주할 수 없음을 의미한다. 이처럼 매우 조율에서 벗어난 간격을 ''울프 간격''이라고 한다. 피타고라스 조율의 경우, 모든 5도는 정확히 3:2 비율로 701.96센트 폭이지만, 울프 5도는 678.49센트 폭으로, 거의 반음보다 4분의 1 정도 낮다.

만약 G♯와 E♭ 음을 함께 연주해야 하는 경우, 울프 5도의 위치를 변경할 수 있다. 예를 들어 C 기반 피타고라스 조율은 D♭에서 F♯까지의 5도 스택을 생성하여 F♯-D♭을 울프 간격으로 만들 것이다. 그러나 피타고라스 조율에는 항상 하나의 울프 5도가 있으므로 모든 조에서 정확하게 조율하여 연주하는 것은 불가능하다.

3. 1. 계산

피타고라스 음률은 완전5도 음정 비율인 3:2를 기본으로 하여 음높이를 계산한다. 기준음(예: D)에서 완전5도씩 위아래로 이동하며 음을 얻는다.

예를 들어, 기준음 D(200 헤르츠)에서 시작하면 다음과 같다.

A (위): D의 3/2 = 300 헤르츠
E (위): A의 3/2 = 450 헤르츠. 옥타브 조정을 위해 1/2배 = 225 헤르츠

이 과정을 반복하여 12개의 음을 얻는다. 단, 옥타브 안에 음이 들어오도록 주파수를 조정(2배 또는 1/2배)한다.

이렇게 얻은 음들의 주파수 비율과 센트 값은 아래 표와 같다.

음이름	D로부터의 음정	계산식	비율	크기 (센트)	평균율과의 차이 (센트)
A♭	감5도	$\left( \frac{2}{3} \right) ^6 \times 2^4$	$\frac{1024}{729}$	style="text-align: right"\|	style="text-align: right"\|
E♭	단2도	$\left( \frac{2}{3} \right) ^5 \times 2^3$	$\frac{256}{243}$	style="text-align: right"\|	style="text-align: right"\|
B♭	단6도	$\left( \frac{2}{3} \right) ^4 \times 2^3$	$\frac{128}{81}$	style="text-align: right"\|	style="text-align: right"\|
F	단3도	$\left( \frac{2}{3} \right) ^3 \times 2^2$	$\frac{32}{27}$	style="text-align: right"\|	style="text-align: right"\|
C	단7도	$\left( \frac{2}{3} \right) ^2 \times 2^2$	$\frac{16}{9}$	style="text-align: right"\|	style="text-align: right"\|
G	완전4도	$\frac{2}{3} \times 2$	$\frac{4}{3}$	style="text-align: right"\|	style="text-align: right"\|
D	1도	$\frac{1}{1}$	$\frac{1}{1}$	0.000	0.000
A	완전5도	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{2}$	style="text-align: right"\|	style="text-align: right"\|
E	장2도	$\left( \frac{3}{2} \right) ^2 \times \frac{1}{2}$	$\frac{9}{8}$	style="text-align: right"\|	style="text-align: right"\|
B	장6도	$\left( \frac{3}{2} \right) ^3 \times \frac{1}{2}$	$\frac{27}{16}$	style="text-align: right"\|	style="text-align: right"\|
F♯	장3도	$\left( \frac{3}{2} \right) ^4 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^2$	$\frac{81}{64}$	style="text-align: right"\|	style="text-align: right"\|
C♯	장7도	$\left( \frac{3}{2} \right) ^5 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^2$	$\frac{243}{128}$	style="text-align: right"\|	style="text-align: right"\|
G♯	증4도	$\left( \frac{3}{2} \right) ^6 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^3$	$\frac{729}{512}$	style="text-align: right"\|	style="text-align: right"\|

위 표에서 보듯이, 3:2 비율을 계속 쌓아 올리면 옥타브에 정확히 맞지 않아 피타고라스 콤마라는 미세한 차이가 발생한다. 이 때문에 이명동음인 음들(예: A♭과 G♯)의 주파수가 달라진다.

4. 음정

피타고라스 음률에서 완전5도(약 701.96센트)는 3:2 비율로 매우 순정하게 울리지만, 장3도(약 407.82센트)는 순정 장3도(5:4, 약 386.31센트)보다 넓어 불협화음으로 들릴 수 있다.^[7] 오도권을 한 바퀴 돌 때 피타고라스 콤마만큼 좁아지는 늑대 음정(약 678.49센트)은 매우 거슬리는 소리가 난다.^[11]

피타고라스 음률의 주요 음정은 림마(단2도), 아포토메(증1도), 에포그돈(장2도), 반디톤(단3도), 디톤(장3도), 디아테사론(완전4도), 디아펜테(완전5도), 디아파손(옥타브)이다.

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피타고라스 음률은 E에서 G까지 12개의 음만 사용하며, 그 사이에 11개의 5도를 갖는다. G에서 E까지의 감6도는 조율에서 심하게 벗어나 ''울프 간격''이라고 불리며, 이 음들을 포함하는 음악은 연주할 수 없다. 피타고라스 조율에는 항상 하나의 울프 5도가 있어 모든 조에서 정확하게 조율하여 연주하는 것은 불가능하다.

피타고라스 음률에서 일치와 옥타브를 제외한 각 음정 유형은 두 가지 크기를 갖는다.

온음계적 반음인 단2도('''m2''')는 $S_1 = {256 \over 243} \approx 90.225 \text{ 센트}$ (예: D-E)
반음계적 반음인 증1도('''A1''')는 $S_2 = {3^7 \over 2^{11}} = {2187 \over 2048} \approx 113.685 \text{ 센트}$ (예: E-E)

이명동음적 음정에는 피타고라스 콤마 1개분(약 )의 차이가 존재한다.

4. 1. 이명동음

12 평균율에서는 A(내림 가)과 G(올림 사)과 같은 이명동음은 실제로 완전히 같은 음이지만, 피타고라스 음률에서는 이 둘 사이에 약 ≒ 1/4 반음의 차이가 발생한다. 이 차이를 피타고라스 콤마라고 부른다.^[1]

따라서, 반음계를 구성하기 위해, A을 제외하고 E부터 G까지의 12음을 사용한 경우, G에서 E로의 음정은, 3:2의 비율에 의한 순정한 완전 5도(약 701.955센트)보다 피타고라스 콤마 하나만큼 좁은 음정(약 678.495센트)이 된다. 이 음정에 의한 화음은 현저한 울림을 발생시키므로, 늑대의 울음소리에 비유하여 울프의 5도(울프 5도)라고 부른다.^[1]

5. 한계와 현대적 사용

피타고라스 음률의 가장 큰 문제점은 늑대 음정으로 인해 모든 조를 자유롭게 연주할 수 없다는 것이다.^[6] 동음이조 음인 A와 G는 평균율에서는 같은 음으로 간주되지만, 피타고라스 조율에서는 D에 대한 비율이 달라 주파수가 다르다. 이 불일치는 약 23.46센트로, ''피타고라스 콤마''라고 불린다.^[6] 이러한 한계 때문에, 르네상스 시대 이후에는 가온음률, 순정률, 평균율 등 다양한 음률 체계가 등장하게 되었다.

12음 피타고라스 음정에서 대부분의 5도는 3:2의 단순한 비율을 가져 매우 협화적으로 들리지만, 3도는 81:64(장3도) 및 32:27(단3도)의 복잡한 비율을 가져 덜 부드럽게 들릴 수 있다.^[9] 약 1510년 이후, 3도가 협화음으로 취급되면서 사분 콤마 중간율 조율이 건반 악기 조율에 가장 인기 있는 시스템이 되었다. 동시에 신토닉-다이아토닉 순정률이 가수의 일반적인 조율법으로 제안되었다. 그러나 중간율 조율은 자체적인 울프 음정 문제를 가지고 있었고, 이는 잘 조율된 조율법과 결국 평균율의 사용으로 이어졌다.

오늘날 피타고라스 음률은 주로 역사적 악기 연주나 특정 조성의 음악을 연주할 때 제한적으로 사용된다. 12음 피타고라스 음정에서 울프 음정 때문에, 이 조율법은 오늘날 거의 사용되지 않지만, 과거에는 널리 사용되었던 것으로 생각된다. 조를 자주 바꾸지 않거나, 화성적으로 크게 모험적이지 않은 음악에서는 울프 음정이 문제가 되지 않을 수 있다. 확장된 피타고라스 조율에서는 울프 음정이 없으며, 모든 완전 5도는 정확히 3:2이다. 무반주 선율 악기(예: 바이올린족) 연주자들은 음정에 따라 피타고라스 음률을 부분적으로 사용하기도 한다. 연주자가 음계를 기반으로 한 무반주 부분을 연주할 경우, 음계를 가장 잘 조율하기 위해 피타고라스 조율을 사용하고, 다른 부분에서는 다른 조율로 되돌아가는 경향이 있다.

6. 관련 음반

브라고드는 피타고라스 음률을 사용하여 크루스와 6현 리라로 중세 웨일스 음악을 역사적으로 고증하여 연주하는 듀오이다.
고딕 보이스 – ''사자왕을 위한 음악'' (Hyperion, CDA66336, 1989), 크리스토퍼 페이지 지휘
루 해리슨 연주, 존 슈나이더와 Cal Arts 타악기 앙상블, 존 베르가모 지휘 - ''기타 & 타악기'' (Etceter Records, KTC1071, 1990): 기타와 타악기를 위한 ''모음곡 1번'' 및 "팔레스타인 노래"를 주제로 한 ''애가와 변주곡''

참조

_[1] 서적 Music: In Theory and Practice McGraw-Hill 2003
_[2] 서적 The Pythagorean Sourcebook and Library: An Anthology of Ancient Writings which Relate to Pythagoras and Pythagorean Philosophy Red Wheel/Weiser 1987
_[3] 간행물 Invariant Fingerings Across a Tuning Continuum http://www.mitpressj[...] 2007-12
_[4] 서적 Tuning, Timbre, Spectrum, Scale 2005
_[5] 웹사이트 The Development of Musical Tuning Systems http://midicode.com/[...] 2001-04
_[6] 서적 Transactions of the Asiatic Society of Japan https://books.google[...] Asiatic Society of Japan 1879
_[7] 문서
_[8] 서적 Science and Civilization in China, Vol. IV: Physics and Physical Technology 1962/2004
_[9] 문서
_[10] 웹사이트 Pythagorean Tuning and Medieval Polyphony http://www.medieval.[...] 2018-04-07
_[11] 웹사이트 Algorithms for Mapping Diatonic Keyboard Tunings and Temperaments https://mtosmt.org/i[...]

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