확률미적분학

1. 개요

확률미적분학은 1940년대 일본의 수학자 이토 기요시에 의해 정립된 수학의 한 분야이다. 이토 적분은 확률미적분학의 핵심 개념이며, 경제학, 물리학, 생물학 등 다양한 분야에서 활용된다. 확률미적분학은 이토 적분, 스트라토노비치 적분 등 다양한 확률 적분 개념을 포함하며, 수리 금융 분야에서 확률 미분 방정식을 활용한 자산 가격 결정에 중요한 역할을 한다.

2. 역사

확률미적분학은 1940년대 일본의 수학자 이토 기요시가 정립하였다. 이토 적분(Itô-Integral)은 그의 이름을 딴 것으로, 확률미적분학의 핵심이며 경제학, 물리학, 생물학 등에서 자주 사용된다.

3. 이토 적분

이토 기요시가 1940년대에 정립하였다. 이토 적분은 확률 미적분학 연구의 핵심적인 개념이다. 이 적분은 세미마팅게일 X와 국소적으로 유계인 예측가능한 과정 H에 대해 정의된다.

4. 스트라토노비치 적분

반마팅게일 $X$를 다른 반마팅게일 Y에 대한 스트라토노비치 적분(또는 피스크-스트라토노비치 적분)은 이토 적분을 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$\backslash int\_0^t\; X\_\{s-\}\; \backslash circ\; d\; Y\_s\; :\; =\; \backslash int\_0^t\; X\_\{s-\}\; d\; Y\_s\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left\; [\; X,\; Y\backslash right]\_t^c,$

여기서 [X, Y]_t^c는 X와 Y의 연속 부분의 선택적 2차 공분산을 나타내며, 이는 과정 $X$와 $Y$의 점프를 뺀 선택적 2차 공분산이다. 즉, 다음과 같다.

:$\backslash left\; [\; X,\; Y\backslash right]\_t^c:=$
[X,Y]_t - \sum\limits_{s\leq t}\Delta X_s\Delta Y_s.

스트라토노비치 적분을 나타내기 위해 다음 표기법도 사용한다.

:$\backslash int\_0^t\; X\_s\; \backslash ,\; \backslash partial\; Y\_s$

5. 확률 적분의 종류

히츠다-스코로호드 적분, 마커스 적분, 오가와 적분 등 다양한 확률 적분의 개념이 존재한다.

6. 응용

확률미적분학은 1940년대 이토 기요시가 정립하였다. 이토 적분은 그의 이름을 딴 것이며, 경제학, 물리학, 생물학 등에서 자주 사용된다. 확률 미적분학은 특히 수리 금융 분야에서 중요하게 응용된다.

6.1. 수리 금융

수리 금융에서 자산 가격은 종종 확률 미분 방정식을 따른다고 가정한다. 예를 들어, 블랙-숄즈 모형은 기하 브라운 운동을 따르는 것처럼 옵션 가격을 책정하며, 확률 미적분학을 적용함으로써 얻을 수 있는 기회와 위험을 보여준다.