미적분학

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

미적분학은 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠에 의해 17세기 유럽에서 발전했지만, 고대 이집트, 그리스, 중국, 중동, 중세 유럽, 인도 등에서 그 기원을 찾을 수 있다. 미적분학은 함수의 극한, 연속성, 미분, 적분 등의 개념을 다루며, 미분은 함수의 변화율을, 적분은 곡선 아래 면적을 구하는 데 사용된다. 미적분학은 속도, 가속도, 기울기, 면적, 부피, 호의 길이 등을 계산하는 데 활용되며, 물리학, 공학, 경제학, 의학 등 다양한 분야에서 수학적 모델링과 최적화에 필수적인 도구로 사용된다.

미적분학

이미지 준비중입니다.

함수 그래프 아래 영역으로 표현된 적분

이미지 준비중입니다.

적분과 미분 간의 관계

개요

분야	수학
하위 분야	미분학 적분학 미분 방정식 함수 해석학 벡터 미적분학

주요 개념

미분	미분 도함수 미분 계수
적분	적분 부정적분 정적분 이상적분

핵심 정리

미적분학의 기본 정리	미분과 적분의 역관계

응용 분야

과학	물리학, 공학, 경제학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에 응용
문제 해결	최적화 문제, 곡선 길이, 넓이, 부피 등 계산

주요 역사

기원	고대 그리스 수학자들 (아르키메데스 등)의 연구 17세기 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠에 의해 체계화
발전	19세기 베른하르트 리만의 리만 적분 정의 20세기 앙리 르베그의 르베그 적분 정의

미분학

정의	미분 미분소 주요 부분 전미분
개념	미분 표기법 고계 도함수 변수 변환 테일러 정리
규칙과 항등식	합 규칙 곱 규칙 몫 규칙 멱 규칙 연쇄 법칙 역함수의 미분 음함수의 미분

적분학

정의	부정적분 적분 리만 적분 르베그 적분 경로적분
적분법	부분적분 디스크 방법 원통셸 방법 치환적분 부분분수 적분법 적분 순서 적분의 점화식

수열과 급수

종류	기하급수 조화급수 교대급수 멱급수 이항급수 테일러 급수
수렴 판정법	일반항 판정법 비판정법 근판정법 적분판정법 비교판정법 극한비교판정법 교대급수판정법 코시 응집판정법 디리클레 판정법 아벨 판정법

벡터 미적분학

연산자	기울기 발산 회전 라플라시안 방향도함수
정리	발산정리 기울기정리 그린 정리 켈빈-스토크스 정리

다변수 미적분학

형식	행렬 텐서 외미분 기하
정의	편미분 중적분 선적분 면적분 삼중적분 야코비안 헤세 행렬

특수한 경우

응용	분수계 미적분학 말리아빈 미적분 확률미적분학 변분법

관련 주제	함수의 극한 연속 함수 평균값 정리 롤의 정리

2. 역사

아이작 뉴턴은 미적분학 발전에 크게 기여한 인물 중 하나이며, 만유인력의 법칙과 운동 법칙에서도 미적분학을 응용하였다.

현대 미적분학은 17세기 유럽에서 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 서로 독립적으로, 거의 동시에 처음 발표하면서 개발되었다. 하지만 그 기초는 고대 이집트와 그리스, 그 후 중국과 중동, 그리고 다시 중세 유럽과 인도에서 나타났다.

2.1. 고대 시기

적분의 아이디어는 고대 이집트의 모스크바 파피루스에서 찾을 수 있는데, 여기에는 부피 계산법이 나와 있지만, 방법으로서 설명이 부족하고 몇 가지는 틀렸다. 고대 그리스에서는 크니도스의 에우독소스가 극한의 개념과 유사한 소진법을 사용했고, 아르키메데스는 이 방법을 더욱 발전시켜 무한소의 개념과 결합하여 여러 문제를 해결했다. 아르키메데스는 그의 저서 포물선의 구적법에서 소진법을 사용해 포물선 아래의 넓이를 계산하기도 했다.

아르키메데스는 그의 저서 포물선의 구적법에서 포물선 아래의 넓이를 계산하기 위해 소진법을 사용했습니다. — 아르키메데스는 그의 저서 *포물선의 구적법*에서 포물선 아래의 넓이를 계산하기 위해 소진법을 사용했습니다.

중국에서는 유휘가 3세기경 원의 넓이를 구하기 위해 크니도스의 에우독소스와 같은 방법을 사용했다.

2.2. 중세 시기

중동에서는 11세기 아랍의 수학자이자 물리학자인 이븐 알하이삼이 4제곱의 합에 대한 공식을 유도했다. 그는 이 결과를 이용하여 오늘날 적분이라 불리는 것을 수행했는데, 정수 제곱과 4제곱의 합에 대한 공식을 통해 포물면의 부피를 계산했다.

12세기 인도 수학자 바스카라 2세는 함수의 극값에서 "미분 계수"가 0이 된다는 것을 제시하는 등 미분적분학의 일부 개념을 알고 있었다. 그의 천문학적 연구에서 그는 무한소 방법의 전조로 보이는 절차를 제시했는데,

x \approx y

이면

\sin(y) - \sin(x) \approx (y - x)\cos(y).

이다. 이것은 코사인이 사인의 도함수라는 발견으로 해석될 수 있다.

14세기 인도의 수학자들은 일부 삼각함수에 적용할 수 있는, 미분과 유사하지만 엄밀하지 않은 방법을 제시했다. 상가마그라마의 마다바와 케랄라 천문수학 학파는 미적분학의 구성 요소들을 제시했지만, 빅터 J. 카츠에 따르면 그들은 "도함수와 적분이라는 두 가지 통합적인 주제 하에 많은 서로 다른 아이디어를 결합하고, 두 가지의 연결을 보여주며, 미적분학을 오늘날 우리가 가지고 있는 위대한 문제 해결 도구로 만들지는 못했다".

2.3. 근대 시기

요하네스 케플러는 타원의 면적을 계산하는 방법을 개발했다. 보나벤투라 카발리에리는 무한히 얇은 단면의 부피와 면적의 합으로 부피와 면적을 계산해야 한다고 주장했다. 피에르 드 페르마는 무한소 오차항이 있어도 등호가 성립된다는 것을 보여주는 적합성 개념을 도입했으며, 미분해서 0이 되는 곳을 구하여 극대 극소를 찾는 법을 만들었다. 아이작 배로와 제임스 그레고리는 1670년경 미적분학의 기본 정리 두 번째 정리를 증명했다.

아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 당시 알려져 있던 미적분학을 좀 더 체계화하고 발전시켰다. 뉴턴은 수리물리학 문제를 풀 때 사용했던 곱의 미분법, 연쇄 법칙, 고계도 미분계수 개념, 테일러 급수, 해석 함수 등을 공개했다. 그는 자연철학의 수학적 원리에서 행성 운동, 회전하는 유체 표면의 모양, 지구 편평도, 사이클로이드에서 미끄러지는 물체 운동 같은 문제들을 푸는 데 미적분을 사용했다.

고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 뉴턴에게 표절 혐의를 받았지만, 현재는 그도 독립적으로 미적분학을 확립한 것으로 밝혀졌다. 그는 무한소를 다루는 규칙을 명확하게 정리했고, 2계도 이상 미분을 가능하게 했으며, 곱의 미분법과 연쇄 법칙을 미분 적분 형태로 모두 만들었다. 라이프니츠는 형식을 중시하여 알맞은 표현법을 만드는 데 며칠을 쓰기도 했다.

뉴턴과 라이프니츠는 모두 미적분학에 기여한 인물로 인정받고 있다. 뉴턴은 미적분을 물리학에 활용한 첫 번째 사람이고, 라이프니츠는 오늘날 사용하는 미적분 표기법 대부분을 만든 사람이다. 뉴턴이 최초로 결과를 도출했지만, 출판은 라이프니츠가 먼저 했기 때문에, 누가 우선권을 가져야 하는지에 대한 큰 논란이 있었다. 이 논란으로 영국과 유럽 대륙 수학자들이 오랫동안 갈라졌고, 이는 영국 수학에 큰 손실을 초래했다. 현재는 두 사람 모두 독립적으로 결론을 이끌어 낸 것으로 밝혀졌다.

이후 많은 수학자가 미적분학 발전에 크게 공헌했다. 마리아 가에타나 아녜시가 1748년에 쓴 무한과 유한 분석은 초기 미적분학에 대한 성공적인 저술 중 하나이다.

2.4. 현대

오귀스탱 루이 코시와 카를 바이어슈트라스는 극한 개념을 엄밀하게 정의하여 미적분학의 기초를 확립했다. 코시는 연속 함수를 무한소의 관점에서 정의하고, 극한의 (ε-δ) 정의의 원형을 제시하는 등 다양한 접근법을 사용했다. 바이어슈트라스는 극한의 정의를 공식화하여 무한소 개념을 제거했다. 그의 작업 이후, 미적분학은 무한소가 아닌 극한에 기초하는 것이 일반적이 되었다. 베른하르트 리만은 바이어슈트라스의 개념을 사용하여 적분의 정확한 개념을 만들었다.

현대 수학에서 미적분학의 기초는 실해석학 분야에 포함되며, 미적분학의 범위는 크게 확장되었다. 앙리 르베그는 측도론을 만들어 거의 모든 함수에서 적분이 가능하게 했다. 로랑 슈바르츠는 어떤 함수도 미분할 수 있는 분포 이론을 만들었다.

극한이 미적분학의 기초에 대한 유일한 접근법은 아니다. 에이브러햄 로빈슨의 비표준해석학은 무한소와 무한수로 실수 체계를 확장하여 미적분학의 법칙들을 이끌어 낼 수 있는 대안적인 접근법이다.

3. 어원

수학 교육에서 '미적분학'은 미분적분학과 적분적분학을 모두 가리키는 약어로, 기초 수학 해석학 과정을 의미한다.

라틴어 calculus는 "작은 조약돌"을 의미하며("돌"을 의미하는 calx의 지소어), 이 의미는 여전히 의학에서 사용된다. 이러한 조약돌은 거리 계산, 투표 집계 및 주판 산술에 사용되었기 때문에, 이 단어는 '계산'을 의미하는 라틴어가 되었다. 이러한 의미에서, 그것은 라이프니츠와 뉴턴이 라틴어로 수학적 텍스트를 쓰기 몇 년 전인 1672년 이전부터 적어도 영어에서 사용되었다.

미분적분학과 적분적분학 외에도, 이 용어는 특정 계산 방법이나 어떤 종류의 계산을 의미하는 이론을 명명하는 데에도 사용된다. 이러한 용법의 예로는 명제 논리, 리치 미적분학, 변분법, 람다 대수, 추론 규칙, 프로세스 대수가 있다. 더 나아가, "미적분학"이라는 용어는 벤담의 행복 계산법과 윤리적 미적분학과 같은 윤리학 및 철학의 체계에 다양하게 적용되었다.

4. 기본 원리

미적분학의 기초는 정확하고 엄밀한 공리와 정의들의 발전이다. 초기 미적분학에서 사용한 무한소는 엄밀하지 않은 것으로 생각되어 미셸 롤과 조지 버클리를 포함한 많은 수학자들에게 맹렬하게 비난받았다. 버클리는 1734년에 출판한 《해석학자》(The Analyst^영어)에서 무한소를 ‘사라진 값들의 유령’(the Ghosts of departed quantities^영어)이라고 묘사했다.

콜린 매클로린을 포함한 다수의 수학자들이 무한소 사용의 정당성을 증명하려 했지만, 150년이 지나서야 오귀스탱 루이 코시와 카를 바이어슈트라스에 의해 증명되었고, 무한소의 의미가 극히 작은 값이라는 관념을 피할 방법을 찾았다. 이는 미분과 적분을 위한 기초를 놓았다. 코시는 연속의 정의와 극한의 (ε-δ) 정의 원형 등 기초에 접근하기 위한 다양한 방법을 제시했다. 바이어슈트라스는 극한의 정의를 공식화하여 무한소 개념을 없앴다. 바이어슈트라스의 작업에 따라 미적분학은 무한소가 아닌 극한에 기초하는 것이 일반적이게 됐다. 베른하르트 리만은 바이어슈트라스의 개념을 사용해서 적분의 정확한 개념을 만들었다.

현대 수학에서 미적분학의 기초는 미적분학 정리에 대한 완전한 정의와 증명들을 포함하는 실해석학 분야에 포함되어 있다. 앙리 르베그는 측도론을 만들어 거의 모든 함수에서 적분을 가능하게 했다. 로랑 슈바르츠는 어떤 함수도 미분시킬 수 있는 분포 이론을 만들었다.

극한이 미적분학의 기초에 대한 유일한 접근법은 아니다. 에이브러햄 로빈슨의 비표준해석학은 대안적인 접근법이다. 1960년대에 만들어진 로빈슨의 접근법은 무한소와 무한수로 실수 체계를 확장한 체계를 사용한다. 그 결과로 나온 수를 초실수라고 부르며, 초실수는 미적분학의 일반적인 법칙들을 라이프니츠의 방식처럼 이끌어 낼 수 있다.

4.1. 함수

함수 $f$ 란 집합 $D$ 안에 있는 원소 $x$ 가 집합 $E$ 에 있는 정확히 한 원소, $f(x)$ 에 대응되는 규칙을 말한다. 여기서 집합 $D$ 는 정의역이라 하고 $E$ 는 공역이라고 한다. 또한 정의역에 있는 임의의 수를 나타내는 기호를 독립변수, 공역에 있는 원소를 나타내는 기호를 종속변수라고 한다.

함수를 표현하는 방법에는 말로 설명하는 방법, 표를 이용하는 방법, 그래프를 이용하는 방법, 대수학적 식으로 표현하는 방법 등이 있다.

4.2. 극한

$\lim_{x \to a} f(x)=L$ 는 $x$ 가 $a$ 로 다가갈 때 $f(x)$ 가 $L$ 로 다가간다는 것이다. 극한에는 좌극한과 우극한이 존재하는데, 좌극한이란 $x$ 가 $a$ 보다 작은 곳에서 $a$ 로 다가갈 때 $f(x)$ 가 다가가는 값을 의미하고, 우극한은 반대로 $x$ 가 $a$ 보다 큰 곳에서 다가갈때 $f(x)$ 가 다가가는 값을 의미한다. 좌극한과 우극한은 기호로 각각 $\lim_{x \to a^-}f(x)=L$ , $\lim_{x \to a^+}f(x)=L$ 라고 표시한다. 극한값이 $L$ 라는 것과 좌극한과 우극한 모두 $L$ 라는 것은 필요충분조건이다. $\lim_{x \to a} f(x)=\infty$ 는 $x$ 가 $a$ 로 다가갈 때 $f(x)$ 는 무한히 커진다는 것이고, $\lim_{x \to a} f(x)=-\infty$ 는 무한히 작아진다는 것이다.

극한의 더 정확한 수학적 정의는 엡실론-델타 논법이다. $\lim_{x \to a} f(x)=L$ 는 모든 양수 $\epsilon$ 에 대해, 만약 $0 < |x-a| < \delta$ 면 $|f(x)-L| < \varepsilon$ 인 $\delta$ 가 존재한다는 것이다. 이 말을 기호로 나타내면 다음과 같다.
: $\forall \varepsilon>0 \ \ \exists \, \delta \ \ s.t \ \ if \ \ 0<|x-a|<\delta \ \ then \ \ |f(x)-L|<\varepsilon$

이 방법을 이용하여 여러 가지 극한들을 정의하면 다음과 같다.
* $\lim_{x \to a^-}f(x)=L$ : $\forall \varepsilon>0 \ \ \exists \delta \ \ s.t \ \ if \ \ a-\delta$
* $\lim_{x \to a^+}f(x)=L$ : $\forall \varepsilon>0 \ \ \exists \delta \ \ s.t \ \ if \ \ a$
* $\lim_{x \to a} f(x)=\infty$ : $\forall M>0 \ \ \exists \delta \ \ s.t \ \ if \ 0<|x-a|<\delta \ \ then \ \ f(x)>M$
* $\lim_{x \to a} f(x)=-\infty$ : $\forall N<0 \ \ \exists \delta \ \ s.t \ \ if \ 0<|x-a|<\delta \ \ then \ \ f(x)$
* $\lim_{x \to \infty} f(x)=L$ : $\forall \epsilon>0 \ \ \exists N \ \ s.t \ \ if \ x>N \ \ then \ \ |f(x)-L|<\epsilon$
* $\lim_{x \to -\infty} f(x)=L$ : $\forall \epsilon>0 \ \ \exists N \ \ s.t \ \ if \ x$
* $\lim_{x \to \infty} f(x)=\infty$ : $\forall M>0 \ \ \exists N \ \ s.t \ \ if \ x>N \ \ then \ \ f(x)>M$

$c$ 가 상수이고 $\lim_{x \to a}f(x)$ 와 $\lim_{x \to a}g(x)$ 가 존재할 때 다음 성질들을 만족한다.
* $\lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=\lim_{x \to a}f(x)+\lim_{x \to a}g(x)$
* $\lim_{x \to a}[f(x)-g(x)]=\lim_{x \to a}f(x)-\lim_{x \to a}g(x)$
* $\lim_{x \to a}[cf(x)]=c\lim_{x \to a}f(x)$
* $\lim_{x \to a}[f(x)g(x)]=\lim_{x \to a}f(x) \lim_{x \to a}g(x)$
* $\lim_{x \to a} \left [ \frac {f(x)}{g(x)} \right ]=\frac {\lim_{x \to a}f(x)} {\lim_{x \to a}g(x)} \ \ if \ \ \lim_{x \to a}g(x) \ne 0$
* $\lim_{x \to a}[f(x)]^n=[\lim_{x \to a}f(x)]^n$
* 만약 $a$ 근처 $x$ 에서 $f(x)\le g(x)$ 이고 $f$ 와 $g$ 모두 $a$ 에서 극한값이 존재한다면 $\lim_{x \to a}f(x) \le \lim_{x \to a}g(x)$ 이다.
* 샌드위치 정리(조임 정리): 만약 $a$ 근처 $x$ 에서 $f(x) \le g(x) \le h(x)$ 이고 세 함수 모두 $a$ 에서 극한값이 존재하고 $\lim_{x \to a}f(x) =\lim_{x \to a}h(x)=L$ 이라면 $\lim_{x \to a}g(x)=L$ 이다.

미적분학은 일반적으로 매우 작은 양을 다루면서 전개된다. 역사적으로, 이를 위한 최초의 방법은 무한소였다. 무한소는 실수처럼 취급될 수 있지만 어떤 의미에서는 "무한히 작은" 대상이다. 예를 들어, 무한소는 0보다 크지만 수열 1, 1/2, 1/3, ...의 어떤 수보다 작고, 따라서 모든 양의 실수보다 작을 수 있다. 이 관점에서 미적분학은 무한소를 조작하는 기법들의 집합이다. 기호 $dx$ 와 $dy$ 는 무한소로 간주되었고, 도함수 $dy/dx$ 는 그들의 비율이었다.

무한소에 대한 접근법은 19세기에 무한소의 개념을 명확하게 하는 것이 어렵기 때문에 인기를 잃었다. 19세기 후반에 학계에서는 무한소 대신 엡실론-델타 논법을 사용한 극한 접근법이 도입되었다. 극한은 특정 입력에서의 함수의 행동을 인근 입력에서의 값으로 설명한다. 극한은 실수계의 내재적 구조(최소 상한 성질을 갖는 거리 공간으로서)를 사용하여 작은 규모의 행동을 포착한다. 이러한 처리에서 미적분학은 특정 극한을 조작하는 기법들의 집합이다. 무한소는 점점 더 작아지는 수들의 수열로 대체되고, 함수의 무한히 작은 행동은 이러한 수열에 대한 극한 행동을 취함으로써 발견된다. 극한은 미적분학에 대한 더 엄밀한 기초를 제공한다고 생각되었고, 이러한 이유로 20세기 동안 표준적인 접근법이 되었다. 그러나 비표준 해석학과 매끄러운 무한소 해석학의 도입으로 20세기에 무한소 개념이 부활하여 무한소의 조작에 대한 견고한 기반을 제공했다.

4.3. 연속

함수 $f(x)$ 가 정의역에 존재하는 모든 $x$ 에서 연속일 때, $f(x)$ 는 연속함수라고 한다.

정의역 이외의 $x$ 에 대해서 불연속이더라도, 함수의 연속성에는 영향을 미치지 않는다. 예를 들어, $f(x)=\frac {1}{x}$ 은 $x=0$ 이외의 모든 점에서 연속이다. $x=0$ 에서는 함숫값이 정의되지 않아 불연속이지만, $0$ 은 정의역에 있지 않는 수이므로 함수 $f(x)$ 는 연속함수이다.

👆

좌우로 밀어서 보기

함수의 그래프	연속성
	연속이다.
	함숫값이 존재하지 않으므로 불연속이다.
	함숫값과 극한값이 일치하지 않으므로 불연속이다.
	좌극한값과 우극한값이 일치하지 않아 극한값이 존재하지 않으므로 불연속이다.

함수 f(x)가

x=x_0

에서 불연속이지만

f(x_0)

를 적절히 정했을 때 연속이 될 수 있다면,

f(x)

는

x=x_0

에서 제거 가능한 불연속성을 지닌다고 표현한다.

예를 들어

f(x)=\frac {\sin x} {x}

라면,

x=0

인 점에서 함숫값이 정의되지 않아 불연속이다. 그러나

\lim_{x \to 0} f(x)=1

로 극한값이 존재하므로 만약

f(0)=1

로 함숫값을 정하면 불연속성이 제거될 수 있다. 따라서 함수

f(x)

는 x=0인 점에서 제거 가능한 불연속성을 지닌다.

4.4. 미분

점 (x_0, f(x_0)) 에서의 접선. 곡선의 한 점에서의 도함수 f'(x) 는 그 점에서 그 곡선에 접하는 접선의 기울기(상승량/이동량)이다. — 점 $(x_0, f(x_0))$ 에서의 접선. 곡선의 한 점에서의 도함수 $f'(x)$ 는 그 점에서 그 곡선에 접하는 접선의 기울기(상승량/이동량)이다.

(−3/2, −15/8) 점을 지나는 접선(녹색)의 기울기는 23/4이다. 이 이미지의 세로 및 가로 눈금은 다르다.

미분(微分, differentiation)은 함수의 도함수를 구하는 과정이다. 주어진 함수와 그 정의역의 한 점에서 도함수는 그 점 근처에서 함수의 작은 규모의 거동을 나타낸다. 형식적으로 도함수는 함수를 입력으로 받아 다른 함수를 출력으로 생성하는 선형 연산자이다.

그래프

y=f(x)

에서 점

P(a,f(a))

을 통과하는 접선은 기울기

m=\lim_{x \to a} \frac {f(x)-f(a)} {x-a}

를 가진다. 여기서

x-a=h

라고 하면

m=\lim_{h \to 0} \frac {f(a+h)-f(a)} {h}

가 된다. 함수

f(x)

의 도함수

f^'(x)

란

m=\lim_{h \to 0} \frac {f(x+h)-f(x)} {h}

를 의미한다. 도함수 표현법에는

f'(x)=y'=\frac {dy} {dx}=\frac{df} {dx}=\frac{d} {dx}f(x)=Df(x)=D_{x}f(x)

등이 있다.

도함수를 한 번 더 미분한 것을 이계도함수라고 한다. 이계도함수의 표현법에는

y

=f(x)=\frac {d}{dx}(\frac {dy}{dx})=\frac{d^2 y}{dx^2} 등이 있다. 이계도함수를 또 한 번 더 미분한 것을 삼차도함수라고 하고 이것은

y

=f(x)=\frac {d}{dx} \left (\frac {d^2 y}{dx^2} \right )=\frac{d^3 y}{dx^3} 등으로 표현한다.

f

를

n

번 미분한 것은

y^{(n)}=f^{(n)} (x)=\frac{d^n y}{dx^n}

등으로 표현한다.

함수

f

가

a

에서 미분 가능하다는 말은

f'(a)

가 존재한다는 것이다. 구간

(a,b),(a,\infty), (-\infty,a), (-\infty,\infty)

에서 미분가능하다는 말은 구간 내의 모든 점에서 미분가능하다는 것이다. 함수

f

가 점

a

에서 미분 가능하다는 말은

a

에서 연속하다는 것이다. 미분 불가능한 경우에는 좌미분계수

\left ( m=\lim_{h \to 0^-} \frac {f(x+h)-f(a)} {x} \right )

와 우미분계수

\left ( m=\lim_{h \to 0^+} \frac {f(x+h)-f(a)} {x} \right )

값이 다르거나 불연속하거나 수직 접선을 가지고 있다는 것이다. 수직접선이란

\lim_{x \to a}|f'(x)|=\infty

일 때

a

에서 수직 접선을 가진다.

상수

c

와 미분 가능한 함수

f, g

에 대해 다음이 성립한다.
*

\frac {d}{dx}(c)=0

\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}

(cf)'=cf'

(f+g)'=f'+g'

(f-g)'=f'-g'

(fg)'=f'g+g'f

\left ( \frac{f}{g} \right )'=\frac{gf'-fg'}{g^2}

\lim_{\theta \to 0} \frac {\sin\theta}{\theta}=1

이다. 이를 이용하여 삼각함수의 미분을 할 수 있다. 삼각함수들의 미분은 다음과 같다.
*

(\sin x)'=\cos x

(\cos x)'=-\sin x

(\tan x)'=\sec^2x

(\csc x)'=-\csc x \cot x

(\sec x)' = \sec x \tan x

(\cot x)' = -\csc^2x

g

가

x

에서 미분가능하고

f

가

g(x)

에서 미분가능하면

F(x)=f(g(x))

는

x

에서 미분가능하고

F'(x)=f'(g(x))g'(x)

로 표현된다. 이를 연쇄 법칙이라고 하며, 다른 방식으로 표현하면

y=f(u)

와

u=g(x)

가 미분가능한 함수일 때

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}

이다.

일반적으로 함수는

y=f(x)

로 표현되지만,

x^2+y^2=25

나

x^3+y^3=xy

와 같이 표현되는 음함수도 존재한다. 이러한 함수를 미분할 때는 음함수 미분법을 사용한다. 이 방법은 양변을 모두

x

에 대하여 미분을 한 뒤,

y'

에 대한 방정식을 풀면 된다. 예를 들어

x^2+y^2=25

는 양변을

x

로 미분하면

2x+2yy'=0

가 돼서

y'=-\frac{x}{y}

가 된다.

지수함수

y=a^x

를 미분하면

y'=a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}

이다. 이때

f'(0)=\lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}

이므로

f'(x)=f'(0)\,a^x

이다.

f'(0)=1

이 되는

a

를

e

라고 한다. 즉,

\lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}=1

이고

(e^x)'=e^x

이다.

a^y=x

일 때,

\log_a{x}=y

라고 정의한다. 이때

a

를 밑이라고 하는데 밑이

e

인 로그를 자연로그라고 하고

\ln

라고 표현한다. 즉,

\log_e{x}=\ln x

이다.

y=\ln x

를

e^y=x

임을 이용하여 미분하면

(\ln x)'=\frac{1}{x}

임을 알 수 있다. 이 자연로그의 미분을 이용하여 일반적인 밑을 가지는 지수, 로그 함수의 미분을 구하면 다음과 같다.
*

(a^x)'=a^x\ln a

(\log_a{x})'=\frac{1}{x\ln a}

4.5. 적분

--
--

적분 계산법은 부정적분과 정적분의 정의, 성질 및 응용에 대한 연구이다. 적분의 값을 구하는 과정을 적분이라고 한다. 부정적분은 미분의 역연산으로, 미분의 역연산이다. F^영어가 f^영어의 부정적분이라면 f^영어는 F^영어의 도함수이다. 정적분은 함수를 입력받아 숫자를 출력하는데, 이 숫자는 입력 함수의 그래프와 x축 사이의 면적의 대수적 합을 나타낸다. 정적분의 기술적 정의는 직사각형 면적의 합, 즉 리만 합의 극한을 포함한다.

대표적인 예로 주어진 시간 동안 이동한 거리가 있다. 속도가 일정하다면 곱셈만으로 충분하다.
: $\mathrm{거리} = \mathrm{속도} \cdot \mathrm{시간}$
하지만 속도가 변한다면 거리를 구하는 더 강력한 방법이 필요하다. 그러한 방법 중 하나는 시간을 여러 개의 짧은 시간 간격으로 나누고, 각 간격에서 경과된 시간에 그 간격 내의 속도 중 하나를 곱한 다음, 각 간격에서 이동한 거리의 근사값의 합(즉, 리만 합)을 구하는 것이다. 기본적인 아이디어는 짧은 시간만 경과하면 속도가 거의 동일하게 유지된다는 것이다. 그러나 리만 합은 이동 거리의 근사값만 제공한다. 이동한 정확한 거리를 구하려면 모든 리만 합의 극한을 취해야 한다.

속도가 일정할 때, 주어진 시간 간격 동안 이동한 총 거리는 속도와 시간을 곱하여 계산할 수 있다. 예를 들어, 3시간 동안 시속 50마일로 일정하게 이동하면 총 거리는 150마일이 된다. 시간에 따른 속도를 그래프로 나타내면 높이가 속도이고 너비가 경과 시간인 직사각형이 된다. 따라서 속도와 시간의 곱은 (일정한) 속도 곡선 아래의 직사각형 면적을 계산하기도 한다. 곡선 아래의 면적과 이동 거리 사이의 이러한 관계는 주어진 기간 동안 변동하는 속도를 나타내는 어떤 불규칙한 모양의 영역으로 확장할 수 있다. f(x)^영어가 시간에 따라 변하는 속도를 나타낸다면, a^영어와 b^영어로 나타내는 시간 사이의 이동 거리는 f(x)^영어와 x-축 사이, x=a^영어와 x=b^영어 사이의 영역의 면적이다.

이 면적을 근사하기 위해 직관적인 방법은 a^영어와 b^영어 사이의 거리를 여러 개의 같은 길이의 구간으로 나누는 것이다. 각 구간의 길이는 Δx^영어로 나타낸다. 각 작은 구간에 대해 함수 f(x)^영어의 값 하나를 선택할 수 있다. 그 값을 h^영어라고 하자. 그러면 밑변이 Δx^영어이고 높이가 h^영어인 직사각형의 면적은 그 구간에서 이동한 거리(시간 Δx^영어에 속도 h^영어를 곱한 값)를 나타낸다. 각 구간에는 그 위의 함수의 평균값 f(x)=h^영어이 연관된다. 이러한 모든 직사각형의 합은 축과 곡선 사이의 면적을 근사하는데, 이는 이동한 총 거리의 근사값이다. Δx^영어의 값이 작을수록 더 많은 직사각형이 생기고 대부분의 경우 근사값이 더 좋아지지만, 정확한 답을 얻으려면 Δx^영어가 0에 접근할 때 극한을 취해야 한다.

적분 기호는 $\int$ 이며, 합을 나타내는 늘어난 S이다. 정적분은 다음과 같이 쓴다.

: $\int_a^b f(x)\, dx.$

이는 "x에 대한 f-of-x의 a부터 b까지의 적분"으로 읽는다. 라이프니츠 표기법 dx^영어은 곡선 아래의 면적을 너비가 Δx^영어인 무한히 많은 직사각형으로 나누어 너비 Δx^영어가 무한히 작은 dx^영어이 되도록 하려는 의도이다.

부정적분 또는 역도함수는 다음과 같이 쓴다.

: $\int f(x)\, dx.$

상수만 다른 함수는 도함수가 같고, 주어진 함수의 역도함수는 상수만 다른 함수들의 집합임을 보일 수 있다. C^영어가 임의의 상수일 때 함수 y=x^2+C^영어의 도함수가 y'=2x^영어이므로 후자의 역도함수는 다음과 같이 주어진다.
: $\int 2x\, dx = x^2 + C.$
부정적분 또는 역도함수에 있는 지정되지 않은 상수 C^영어를 적분 상수라고 한다.

미적분학의 기본정리는 미분과 적분이 서로 역연산임을 나타낸다. 보다 정확히 말하면, 이 정리는 부정적분의 값과 정적분을 관련짓는다. 일반적으로 부정적분을 계산하는 것이 정적분의 정의를 적용하는 것보다 쉽기 때문에, 미적분학의 기본정리는 정적분을 계산하는 실용적인 방법을 제공한다. 또한 미분이 적분의 역연산이라는 사실에 대한 정확한 진술로 해석될 수도 있다.

뉴턴과 라이프니츠 모두 이 발견은, 그들의 연구가 알려진 후 해석적 결과가 급증하는 데 중요한 역할을 했다.

[a,b] 안의 모든 x에 대하여 f, g가 연속이고, $f(x)$ ≥ $g(x)$ 일 때, 곡선 $y=f(x)$ , $y=g(x)$ 와 직선 $x=a$ , $x=b$ 로 둘러싸인 영역의 넓이 A는

$A=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx$ 로 정의된다.

S를 $x=a$ 와 $x=b$ 에 놓인 입체도형이라 하자. x를 지나고 x축에 수직인 평면 P_x에 있는 S의 절단면의 넓이가 A(x)이고, A가 연속이라면 S의 부피(V)는

$V=\int_{a}^{b}A(x)dx$ 이다.

회전체의 경우, 위의 방법으로는 부피를 구하기 어려운 경우가 많다. 회전체의 부피는 아래와 같은 방법을 이용한다.

곡선 $y=f(x)$ 와 $x=a$ 및 $x=b$ 로 둘러싸인 영역을 $y$ 축을 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는 다음과 같다.

$V=\int_{a}^{b}2\pi xf(x)dx$

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$ 에서의 속도가 $v(t)$ 이고, 시각 $t=a$ 에서의 위치가 $x_0$ 일 때, 다음이 성립한다.

* 시각 $t$ 에서 점 P의 위치 $x$ 는 $x=x_0 + \int_{a}^{t} v(t)dt$
* 시각 $t=a$ 에서 $t=b$ 까지 점 P의 위치의 변화량은 $\int_{a}^{b} v(t)dt$
* 시각 $t=a$ 에서 $t=b$ 까지 점 P가 움직인 거리 s는 $s=\int_{a}^{b} |v(t)|dt$

좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$ 에서의 위치 $(x,y)$ 가 $x=f(t)$ , $y=g(t)$ 일 때, 시각 $t=a$ 에서 $t=b$ 까지 점 P가 움직인 거리 s는 다음과 같다.

$s=\int_{a}^{b} \sqrt{\biggl({dx \over dt}\biggr)^2+\biggl({dy \over dt}\biggr)^2}dt=\int_{a}^{b} \sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}dt$

곡선 $x=f(t)$ , $y=g(t)$ $(a\leq t \leq b)$ 의 겹치는 부분이 없을 때 길이 $l$ 은 다음과 같다.

$l=\int_{a}^{b} \sqrt{\biggl({dx \over dt}\biggr)^2+\biggl({dy \over dt}\biggr)^2}dt=\int_{a}^{b} \sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}dt$

곡선 $y=f(x)$ $(a\leq x \leq b)$ 의 길이 $l$ 은 다음과 같다.

$l=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\{f'(t)\}^2}dt$

5. 응용

미적분학은 물리학, 공학, 경제학, 통계학, 의학 등 다양한 분야에서 널리 응용된다. 수학적 모델을 만들고 최적의 해를 찾는 데 사용되며, 변화율을 통해 총 변화량을 계산하거나 그 반대의 경우도 가능하다.

미적분학은 다른 수학 분야와 함께 사용되기도 한다. 선형 대수학과 함께 특정 점 집합에 대한 최적의 선형 근사값을 찾거나, 확률 이론에서 확률 밀도 함수를 통해 연속 확률 변수의 기댓값을 구하는 데 사용될 수 있다. 해석기하학에서는 함수의 그래프를 분석하여 극값, 기울기, 오목성, 변곡점을 찾는다. 또한, 뉴턴-랩슨 방법, 고정점 반복, 선형 근사와 같은 방법을 통해 방정식의 근사해를 구하고, 우주선이 무중력 환경에서 곡선 경로를 근사하는 데 오일러 방법을 활용하기도 한다.

물리학에서는 고전 역학과 전자기학의 여러 개념이 미적분학을 통해 연결된다. 예를 들어, 뉴턴의 제2 운동 법칙은 물체의 운동량 변화율이 작용하는 힘과 같다는 것을 나타내며, 이는 미적분학으로 표현된다. 맥스웰의 전자기학 이론과 아인슈타인의 일반 상대성 이론도 미적분학을 통해 설명된다.

화학에서는 반응 속도와 방사성 붕괴를 연구하고, 생물학에서는 출생률과 사망률을 통해 인구 변화를 모델링하는 데 미적분학이 사용된다.

그린 정리는 플라니미터라는 기기에 응용되어 평면 도형의 면적을 계산하는 데 사용된다. 예를 들어, 불규칙한 모양의 화단이나 수영장 면적을 계산할 때 유용하다.

의학에서는 혈관의 최적 분기각을 찾거나, 약물 제거 속도, 암 종양 성장 속도를 이해하는 데 미적분학이 활용된다.

경제학에서는 한계비용과 한계수익을 계산하여 최대 이윤을 결정하는 데 도움을 준다.

6. 교육

세계 여러 나라에서 미적분학을 가르치고 있다.

대한민국에서는 고등학교의 "수학 II" 과목과 "미적분" 과목에서 미적분학을 배운다.