3차 곡선

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1. 개요
2. 삼각형 평면의 3차 곡선
- 2.1. 좌표계
- 2.2. 주요 3차 곡선
참조

1. 개요

3차 곡선은 삼각형의 삼선 좌표 또는 바리 중심 좌표를 사용하여 표현되는 3차 방정식으로 정의되는 곡선이다. 3차 곡선은 삼각형의 여러 중요한 점들을 지나며, 뇌베르그 3차 곡선, 톰슨 3차 곡선, 다르부 3차 곡선, 나폴레옹-페이어바흐 3차 곡선, 루카스 3차 곡선, 제1 및 제2 브로카르 3차 곡선, 제1 및 제2 동일 면적 3차 곡선 등 다양한 종류가 있다. 이러한 3차 곡선들은 다양한 기하학적 성질을 가지며, 삼각형의 특별한 점들과 밀접한 관련을 맺고 있다.

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원뿔 곡선은 평면과 이중 원뿔의 교차로 생기는 타원, 포물선, 쌍곡선 세 종류의 곡선이며, 이차 방정식으로 표현되고 천체의 궤도나 광학 기기 설계 등에 응용된다.
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클라인 4차 곡선은 2차원 복소수 사영 공간에서 정의되는 4차 동차 다항식으로 표현되는 복소 사영 대수 곡선이며, 종수 3의 콤팩트 리만 곡면이고, 크기가 168인 PSL(2;F7)과 동형인 방향 보존 리만 곡면 자기 동형군을 갖는다.

3차 곡선
정의
설명	평면에서 정의된 3차 대수 곡선
방정식	F(x, y, z) = 0 (여기서 F는 차수가 3인 동차 다항식)
변수	(x:y:z) (투영 좌표)
아핀 형태	z = 1
항	x³, y³, z³, x²y, x²z, y²x, y²z, z²x, z²y, xyz
특이점
종류	매듭점 (결절점) 뾰족점 (첨점) 가상 첨점 二重尖点(타크노드)
예시	y² = x² ⋅ (x + 1) (결절점을 가진 곡선)
매개변수화	t ↦ (t² – 1, t ⋅ (t² – 1)) (위 곡선)
성질
특성	대수적으로 닫힌 체 K 위의 모든 비특이 3차 곡선 C는 K 위에서 타원 곡선임
군 구조	K 위의 모든 비특이 3차 곡선 C는 덧셈에 의해 정의된 군 구조를 가짐
점	K-유리점을 가짐

2. 삼각형 평면의 3차 곡선

△ABC가 변의 길이가 a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|인 삼각형이라고 가정한다. △ABC에 상대적으로 많은 이름이 붙은 3차 곡선들이 잘 알려진 점들을 지난다.

삼선 좌표와 바리 중심 좌표는 3차 곡선을 표현하는 데 사용되는 두 종류의 동차 좌표이다. 3차 방정식에서 삼선 좌표를 바리 중심 좌표로 변환하려면 x를 bcx로, y를 cay로, z를 abz로 대입한다. 반대로 바리 중심 좌표를 삼선 좌표로 변환하려면 x를 ax로, y를 by로, z를 cz로 대입한다.

많은 3차 곡선 방정식은 순환 합 표기법으로 간결하게 표현된다. 예를 들어, f(a,b,c,x,y,z) + f(b,c,a,y,z,x) + f(c,a,b,z,x,y) = 0은 Σ_cyclic f(x,y,z,a,b,c) = 0으로 나타낼 수 있다.

△ABC의 변 위에 있지 않은 점 X의 등각 켤레(X*)는 다음과 같이 정의된다. X = x:y:z (삼선 좌표)이면, X* = 1/x:1/y:1/z이다.

2. 1. 좌표계

삼선 좌표와 바리 중심 좌표는 3차 곡선을 표현하는 데 사용되는 두 종류의 동차 좌표이다. 3차 방정식에서 삼선 좌표를 바리 중심 좌표로 변환하려면 x를 bcx로, y를 cay로, z를 abz로 대입한다. 반대로 바리 중심 좌표를 삼선 좌표로 변환하려면 x를 ax로, y를 by로, z를 cz로 대입한다.

많은 3차 곡선 방정식은 순환 합 표기법으로 간결하게 표현된다. 예를 들어, f(a,b,c,x,y,z) + f(b,c,a,y,z,x) + f(c,a,b,z,x,y) = 0은 Σ_cyclic f(x,y,z,a,b,c) = 0으로 나타낼 수 있다.

△ABC의 변 위에 있지 않은 점 X의 등각 켤레(X*)는 다음과 같이 정의된다. X = x:y:z (삼선 좌표)이면, X* = 1/x:1/y:1/z이다.

2. 2. 주요 3차 곡선

다음은 삼선 좌표와 무게 중심 좌표를 사용하여 표현되는 주요 3차 곡선들이다.

:

x \to bcx, \quad y \to cay, \quad z \to abz

무게 중심 좌표를 삼선 좌표로 변환하는 식은 다음과 같다.

:

x \to ax, \quad y \to by, \quad z \to cz.

대부분의 3차 곡선 방정식은 아래와 같은 형태를 가진다.

:

f(a,b,c,x,y,z) + f(b,c,a,y,z,x) + f(c,a,b,z,x,y) = 0.

이 식은 아래와 같은 순환합 표기법으로 간단하게 나타낼 수 있다.

:

\sum_{\text{cyclic}} f(x,y,z,a,b,c) = 0

.

어떤 점 ''X''의 등각 켤레점은 ''X*''로 나타낸다. 삼선 좌표에서

X = x:y:z

이면

X^* = \tfrac{1}{x}:\tfrac{1}{y}:\tfrac{1}{z}

이다.

==== 뇌베르그 3차 곡선 (Neuberg Cubic) ====

의 노이베르크 삼차곡선 를 변에 대해 대칭시킨 점을 , X, X}}라 하고, , BX, CX}}가 한 점에서 만나는 의 자취이다.

조제프 장 바티스트 뇌버그의 이름을 따서 명명된 뇌베르그 3차 곡선은, ''X*''가 오일러선 방향의 무한원점인 오일러 무한점 (삼각형의 중심 백과사전에서 )을 지나는 선 ''EX'' 위에 있는 점 ''X''의 자취이다.

삼선 좌표 방정식:

\sum_{\text{순환}} (\cos{A} - 2\cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0

무게 중심 좌표 방정식:

\sum_{\text{순환}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 2a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0

뇌베르그 3차 곡선은 내심, 외심, 수심, 두 페르마 점, 두 등력 점, 오일러 무한점, 방심, 의 변에 대한 의 반사, 그리고 의 변에 세워진 여섯 개의 정삼각형의 꼭짓점들을 통과한다.

==== 톰슨 3차 곡선 (Thomson Cubic) ====

17점 3차 곡선(검은 선). 17점 3차 곡선 위의 X ,X*,X(2)(무게 중심)은 공선이다.

톰슨 3차 곡선은 점 X의 자취로, X*가 무게 중심 G를 지나는 직선 GX 위에 있다.

삼선 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{cyclic}}bcx(y^2-z^2)= 0

무게 중심 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{cyclic}}x(c^2y^2-b^2z^2)= 0

톰슨 3차 곡선은 내심, 무게 중심, 외심, 수심, 시미디안 점, 방심, 변 BC, CA, AB의 중점, 그리고 △ABC의 높이의 중점을 지난다.

==== 다르부 3차 곡선 (Darboux Cubic) ====

달부 삼차 곡선, 의 에 대한 수족 삼각형이 원래 삼각형과 배경적인 의 자취

다르부 3차 곡선은 가 직선 상 (은 드 롱샹 점)에 있는 점 ''''의 자취이다.

삼선 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - \cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0

무게 중심 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{cyclic}} (2a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0

다르부 3차 곡선은 내심, 외심, 수심, 드 롱샹 점, 방심, 외접원 위의 의 대척점 등을 통과한다.

==== 나폴레옹-페이어바흐 3차 곡선 (Napoleon–Feuerbach Cubic) ====

나폴레옹-페이어바흐 3차 곡선은 점 X*가 직선 NX 위에 있을 때의 자취이며, 여기서 N은 구점원의 중심이다.

삼선 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{순환}} \cos(B-C)x(y^2-z^2)= 0

무게 중심 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{순환}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0

나폴레옹-페이어바흐 3차 곡선은 내심, 외심, 수심, 제1 및 제2 나폴레옹 점, 방심, 무게 중심에서 수선에 내린 투영점, 그리고 △ABC의 변에 세워진 6개의 정삼각형의 중심을 통과한다.

==== 루카스 3차 곡선 (Lucas Cubic) ====

뤼카 삼차 곡선, 의 체바 삼각형이 다르부 삼차 곡선상의 점의 수족 삼각형이 되는 점 의 궤적.

뤼카 삼차 곡선은 의 체바 삼각형이 다르부 삼차 곡선상의 점의 수족 삼각형이 되는 점 의 궤적이다.

삼선 좌표:

\sum_{\text{cyclic}} \cos(A)x(b^2y^2- c^2z^2)= 0

무게 중심 좌표:

\sum_{\text{cyclic}} (b^2+c^2-a^2)x(y^2-z^2)= 0

뤼카 삼차 곡선은 꼭짓점, 슈타이너 외접 타원의 초점, 무게 중심, 수심, 제르곤 점, 나겔 점, 드 롱샹 점 등을 통과한다.

==== 제1 브로카르 3차 곡선 (1st Brocard Cubic) ====

퍼스트 브로카르 큐빅: 점 에 대한 자취로, 가 삼각형 의 제1 브로카르 삼각형일 때, 와 변 의 교점이 공선점일 때의 자취이다. 그림에서 와 는 제1 및 제2 브로카르 점이다.

를 제1 브로카르 삼각형이라고 하고, 임의의 점 에 대해, , X, X}}를 선 과 변 의 교점이라고 할 때, 제1 브로카르 3차 곡선은 점 , X, X}}가 공선점일 때의 점 의 자취이다.

삼선 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{순환}} bc(a^4-b^2c^2)x(y^2+z^2)= 0

무게 중심 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{순환}} (a^4-b^2c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0

제1 브로카르 3차 곡선은 무게중심, 시메디안 점, 슈타이너 점, 제1 및 제3 브로카르 삼각형의 꼭짓점을 지난다.

==== 제2 브로카르 3차 곡선 (2nd Brocard Cubic) ====

제2 브로카르 3차 곡선은 직선 XX*의, X, X*를 지나는 외접 원뿔 곡선에 대한 극이 브로카르 축 (외심과 시미디안 점을 지나는 선) 위에 있는 점 ''X''의 자취이다.

삼선 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{cyclic}} bc(b^2-c^2)x(y^2+z^2)= 0

무게 중심 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{cyclic}} (b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0

이 3차 곡선은 무게 중심, 시미디안 점, 두 페르마 점, 두 등력점, 파리 점, 제2 및 제4 브로카르 삼각형의 꼭짓점을 지난다.

==== 제1 동일 면적 3차 곡선 (1st Equal Areas Cubic) ====

삼각형의 제1 동일 면적 3차 곡선: 점 X의 체바 삼각형 면적이 X*의 체바 삼각형 면적과 같은 점 X의 자취.

제1 동일 면적 3차 곡선은 점 X의 체바 삼각형 면적이 X*의 체바 삼각형 면적과 같은 점 X의 자취이다.

삼선 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{cyclic}} a(b^2-c^2)x(y^2-z^2) = 0

무게 중심 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{cyclic}} a^2(b^2-c^2)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0

제1 동일 면적 3차 곡선은 내심, 슈타이너 점, 제1 및 제2 브로카 점, 방심을 통과한다.

==== 제2 동일 면적 3차 곡선 (2nd Equal Areas Cubic) ====

임의의 점

X = x:y:z

(삼선 좌표)에 대해,

X_Y = y:z:x

및

X_Z = z:x:y

라고 할 때, 제2 동일 면적 3차 곡선은

X_Y

의 체바 삼각형 면적이

X_Z

의 체바 삼각형 면적과 같은

X

의 자취이다.

삼선 좌표 방정식:

:

(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz) = (bx+cy)(cy +az)(az+bx)

무게 중심 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{cyclic}} a(a^2-bc)x(c^3y^2 - b^3z^2) = 0

제2 동일 면적 3차 곡선은 내심, 무게 중심, 심중점 등을 지난다.

2. 2. 1. 뇌베르그 3차 곡선 (Neuberg Cubic)

뇌베르그 3차 곡선(조제프 장 바티스트 뇌버그의 이름을 따서 명명됨)은 점 의 자취로, 가 오일러선 방향의 무한원점인 오일러 무한점 (삼각형의 중심 백과사전에서 )을 지나는 선 위에 있다. 또한, 이 입방체는 삼각형 XX''}}가 에 원근적으로 놓이는 의 자취인데, 여기서 XX''}}는 각각 선 에 대한 의 반사이다.

삼선 좌표 방정식:

\sum_{\text{순환}} (\cos{A} - 2\cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0

중심 좌표 방정식:

\sum_{\text{순환}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 2a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0

뇌베르그 3차 곡선은 내심, 외심, 수심, 두 페르마 점, 두 등력 점, 오일러 무한점, 다른 삼각형의 중심, 방심, 의 변에 대한 의 반사, 그리고 의 변에 세워진 여섯 개의 정삼각형의 꼭짓점들을 통과한다.

뇌베르그 입방체의 그래픽 표현과 광범위한 속성 목록은 [http://bernard-gibert.fr/Exemples/k001.html 베르나르 지베르의 '''삼각형 평면의 입방체'''에서 '''K001''']을 참조하십시오.

Cubics in the Triangle Plane에서는 '''[http://bernard-gibert.fr/files/Resources/neubergs.pdf K001]'''로 등록되어 있다.

2. 2. 2. 톰슨 3차 곡선 (Thomson Cubic)

삼선 좌표 방정식:

bcx(y²-z²)의 순환합= 0

중심 좌표 방정식:

x(c²y²-b²z²)의 순환합= 0

톰슨 3차 곡선은 점 X의 자취로, X*가 무게 중심 G를 지나는 직선 GX 위에 있다.

톰슨 3차 곡선은 다음 점들을 지난다: 내심, 무게 중심, 외심, 수심, 시미디안 점, 다른 삼각형의 중심, 꼭짓점 A, B, C, 방심, 변 BC, CA, AB의 중점, 그리고 △ABC의 높이의 중점. 입방 곡선 상의 점 P가 입방 곡선의 변 위에 있지 않다면, P의 등각 켤레 또한 입방 곡선 위에 있다.

그래프와 속성에 대해서는 [http://bernard-gibert.fr/Exemples/k002.html '''Cubics in the Triangle Plane''']의 '''K002'''를 참조하십시오.

삼선 좌표:

bcx(y²-z²)의 순환합= 0

무게 중심 좌표:

x(c²y²-b²z²)의 순환합= 0

17점 3차 곡선은 X*가 직선 GX(G는 무게중심) 위에 있는 점 X의 궤적이다.

17점 3차 곡선은 꼭짓점, 내심과 방심, 무게 중심, 외심, 수심, 유사 무게 중심, 변의 중점 등을 지난다.

Cubics in the Triangle Plane에서는 '''[http://bernard-gibert.fr/Exemples/k002.html K002]'''로 등록되어 있다.

2. 2. 3. 다르부 3차 곡선 (Darboux Cubic)

삼선 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{cyclic}} (\cos{A} - \cos{B}\cos{C})x(y^2-z^2)= 0

중심 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{cyclic}} (2a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3a^4)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0

다르부 입방체는 이 드 롱샹 점일 때, 가 선 위에 있는 점 의 자취이다. 또한, 이 입방체는 의 페달 삼각형이 어떤 점(루카스 입방체 위에 있음)의 세바 삼각형이 되도록 하는 점 의 자취이기도 하다. 또한, 이 입방체는 의 페달 삼각형과 의 반세바 삼각형이 원근적인 점 의 자취이며, 원근점은 톰슨 입방체 위에 있다.

다르부 입방체는 내심, 외심, 수심, 드 롱샹 점, 기타 삼각형 중심, 꼭짓점 방심, 외접원 위의 의 대점을 지난다. 입방체의 변 위에 있지 않은 입방체 위의 각 점 에 대해, 의 등각 켤레점 또한 입방체 위에 있다.

그래픽 및 속성은 http://bernard-gibert.fr/Exemples/k004.html K004 at '''Cubics in the Triangle Plane'''를 참조.

다르부 3차 곡선은 가 직선 상 (은 드 롱샹 점)에 있는 점 ''''의 자취이다. 다르부 3차 곡선상의 의 수족 삼각형은 체바 삼각형이며, 체바 삼각형의 원래 점은 류카 삼차 곡선을 이룬다. 또한 의 수족 삼각형은 의 반체바 삼각형과 배경적이며, 그 배경의 중심은 톰슨 삼차 곡선을 이룬다.

다르부 3차 곡선은 꼭짓점, 내심과 방심, 외심, 수심, 드 롱샹 점, 꼭짓점의 외접원에 대한 대척점 등을 통과한다.

Cubics in the Triangle Plane에서는, http://bernard-gibert.fr/Exemples/k004.html K004로 등록되어 있다.

2. 2. 4. 나폴레옹-페이어바흐 3차 곡선 (Napoleon–Feuerbach Cubic)

나폴레옹-페이어바흐 3차 곡선은 점 X*가 직선 NX 위에 있을 때의 자취이며, 여기서 N은 구점원의 중심이며, (삼각형의 중심 백과사전)에서 N = X(5)로 표기된다.

삼선좌표 방정식은 다음과 같다.

:

\sum_{\text{순환}} \cos(B-C)x(y^2-z^2)= 0

바리 중심 좌표 방정식은 다음과 같다.

:

\sum_{\text{순환}} (a^2(b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2)x(c^2y^2-b^2z^2) = 0

나폴레옹-페이어바흐 3차 곡선은 내심, 외심, 수심, 제1 및 제2 나폴레옹 점, 기타 삼각형의 중심, 꼭짓점 A, B, C, 방심, 무게 중심에서 수선에 내린 투영점, 그리고 △ABC의 변에 세워진 6개의 정삼각형의 중심을 통과한다.

그래픽과 속성은 [http://bernard-gibert.fr/Exemples/k005.html Cubics in the Triangle Plane의 K005]를 참조.

2. 2. 5. 루카스 3차 곡선 (Lucas Cubic)

삼선 좌표:

\sum_{\text{cyclic}} \cos(A)x(b^2y^2- c^2z^2)= 0

무게 중심 좌표:

\sum_{\text{cyclic}} (b^2+c^2-a^2)x(y^2-z^2)= 0

뤼카 삼차 곡선(Lucas cubic)은 의 체바 삼각형이 다르부 삼차 곡선상의 점의 수족 삼각형이 되는 점 의 궤적이다.

뤼카 삼차 곡선은 꼭짓점, 반중점 삼각형의 꼭짓점, 슈타이너 외접 타원의 초점, 무게 중심, 수심, 제르곤 점, 나겔 점, 드 롱샹 점 등을 통과한다.

Cubics in the Triangle Plane에서는 '''[http://bernard-gibert.fr/Exemples/k007.html K007]'''로 등록되어 있다.

2. 2. 6. 제1 브로카르 3차 곡선 (1st Brocard Cubic)

를 제1 브로카르 삼각형이라고 하자. 임의의 점 에 대해, , X, X}}를 선 과 변 의 교점이라고 하자. 제1 브로카르 3차 곡선은 점 , X, X}}가 공선점일 때의 점 의 자취이다.

삼선 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{순환}} bc(a^4-b^2c^2)x(y^2+z^2)= 0

바리 중심 좌표 방정식:

:

\sum_{\text{순환}} (a^4-b^2c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0

제1 브로카르 3차 곡선은 무게중심, 시메디안 점, 슈타이너 점, 다른 삼각형의 중심, 제1 및 제3 브로카르 삼각형의 꼭짓점을 지난다.

그래픽 및 속성은 [http://bernard-gibert.fr/Exemples/k017.html '''K017''' at '''Cubics in the Triangle Plane''']를 참조하십시오.

2. 2. 7. 제2 브로카르 3차 곡선 (2nd Brocard Cubic)

제2 브로카르 3차 곡선은 직선 XX*의, X, X*를 지나는 외접 원뿔 곡선에 대한 극이 브로카르 축 (외심과 시미디안 점을 지나는 선) 위에 있는 점 ''X''의 자취이다.

삼선 좌표 방정식은 다음과 같다.

:

\sum_{\text{cyclic}} bc(b^2-c^2)x(y^2+z^2)= 0

바리 중심 좌표 방정식은 다음과 같다.

:

\sum_{\text{cyclic}} (b^2-c^2)x(c^2y^2+b^2z^2)= 0

이 3차 곡선은 무게 중심, 시미디안 점, 두 페르마 점, 두 등력점, 파리 점, 제2 및 제4 브로카르 삼각형의 꼭짓점을 지난다.

자세한 내용과 속성은 [http://bernard-gibert.fr/Exemples/k018.html Cubics in the Triangle Plane]의 '''K018'''에서 확인할 수 있다.

2. 2. 8. 제1 동일 면적 3차 곡선 (1st Equal Areas Cubic)

삼선 좌표 방정식:

: ∑_{cyclic} a(b²-c²)x(y²-z²) = 0

중심 좌표 방정식:

: ∑_{cyclic} a²(b²-c²)x(c²y²-b²z²) = 0

제1 동일 면적 3차 곡선은 점 X의 체바 삼각형 면적이 X*의 체바 삼각형 면적과 같은 점 X의 자취이다. 또한 이 3차 곡선은 S가 슈타이너 점일 때, X*가 선 S*X 위에 있는 X의 자취이다. (삼각형의 중심 백과사전에서 S = X(99)).

제1 동일 면적 3차 곡선은 내심, 슈타이너 점, 다른 삼각형의 중심, 제1 및 제2 브로카 점, 방심을 통과한다.

그래픽 및 속성은 [http://bernard-gibert.fr/Exemples/k021.html Cubics in the Triangle Plane에서 K021]을 참조하십시오.

2. 2. 9. 제2 동일 면적 3차 곡선 (2nd Equal Areas Cubic)

임의의 점

X = x:y:z

(삼선 좌표)에 대해,

X_Y = y:z:x

및

X_Z = z:x:y

라고 할 때, 제2 동일 면적 3차 곡선은

X_Y

의 체바 삼각형 면적이

X_Z

의 체바 삼각형 면적과 같은

X

의 자취이다.

삼선 좌표 방정식은 다음과 같다.

:

(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz) = (bx+cy)(cy +az)(az+bx)

바리 중심 좌표 방정식은 다음과 같다.

:

\sum_{\text{cyclic}} a(a^2-bc)x(c^3y^2 - b^3z^2) = 0

제2 동일 면적 3차 곡선은 내심, 무게 중심, 심중점, 그리고 삼각형 중심의 백과사전에 ''X''(31), ''X''(105), ''X''(238), ''X''(292), ''X''(365), ''X''(672), ''X''(1453), ''X''(1931), ''X''(2053) 등으로 색인된 점들을 지난다.

그래픽 및 속성은 [http://bernard-gibert.fr/Exemples/k155.html '''K155'''] at '''Cubics in the Triangle Plane'''에서 확인할 수 있다.

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