수족 삼각형

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1. 개요

수족 삼각형은 삼각형 ABC와 한 점 P가 주어졌을 때, 점 P에서 삼각형의 각 변 또는 연장선에 내린 수선의 발을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 의미한다. 수족 삼각형의 변의 길이, 등각 켤레점과의 관계, 수족 삼각형의 수족 삼각형과의 관계 등 다양한 성질을 갖는다. 수족 삼각형의 외접원은 수족원이라고 불리며, 수족원은 등각 켤레점과 관련이 있다. 내심, 외심, 수심 등 특정 점에 대한 수족 삼각형은 각각 제르곤 삼각형, 중점 삼각형, 수심 삼각형이 된다.

수족 삼각형

정의

설명	주어진 삼각형의 각 변에 한 점에서 내린 수선의 발들을 연결하여 만들어지는 삼각형이다.
원본 삼각형	△ABC
점	P
수선의 발	L, M, N
수선의 발 위치	점 P에서 BC, AC, AB에 내린 수선의 발
생성되는 삼각형	△LMN

성질

각도	L = 180° − 2A M = 180° − 2B N = 180° − 2C
P가 외접원 위에 있을 때	L, M, N은 공선점이며, △LMN은 퇴화하여 직선이 된다. (이 직선을 P에 대한 심슨 선이라고 한다.)
P가 외심에 있을 때	△LMN은 중점 삼각형이 된다.

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 심슨 직선
3. 성질
- 3.1. 반수족 삼각형
4. 삼선좌표
5. 수족원
- 5.1. 등각 켤레점의 수족원
- 5.2. 수족원에 대한 수족 삼각형의 대척점
6. 예
7. 관련

2. 정의

삼각형 ABC와 한 점 P가 주어졌을 때, P에서 삼각형의 각 변(또는 연장선)에 내린 수선의 발을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 P에 대한 ABC의 수족 삼각형이라고 정의한다. 점 P에서 삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라고 하자. 만약 P가 삼각형 ABC의 외접원 위의 점이 아니라면, D, E, F는 한 직선 위의 점이 아니며, 이 경우 삼각형 DEF를 점 P에 대한 삼각형 ABC의 수족 삼각형이라고 한다.

2.1. 심슨 직선

3. 성질

점 P에서 삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라고 하고, 삼각형 ABC의 세 변의 길이를 각각 a, b, c, 외접원의 반지름을 R이라고 하자. 그렇다면 사인 법칙에 따라 수족 삼각형 DEF의 세 변의 길이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:EF = AP * sin A = (AP * a) / 2R
:FD = BP * sin B = (BP * b) / 2R
:DE = CP * sin C = (CP * c) / 2R

점 P에서 삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라고 하자. 그렇다면 수족 삼각형의 세 꼭짓점 D, E, F가 원래 삼각형의 변을 나누는 길이는 다음 등식을 만족시킨다.
:AF² + BD² + CE² = FB² + DC² + EA²

등각 켤레점을 이루는 두 점에 대한 수족 삼각형의 외접원은 일치하며, 그 공통 외접원의 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다.

같은 점에 대한 수족 삼각형의 수족 삼각형의 수족 삼각형은 원래 삼각형과 닮음이다. 즉, 점 P에 대한 삼각형 ABC의 수족 삼각형을 D₁E₁F₁라고 하고, 같은 점 P에 대한 삼각형 D₁E₁F₁의 수족 삼각형을 D₂E₂F₂라고 하고, 같은 점 P에 대한 삼각형 D₂E₂F₂의 수족 삼각형을 D₃E₃F₃라고 하자. 그렇다면 삼각형 D₃E₃F₃은 원래 삼각형 ABC와 닮음이다. 보다 일반적으로, n각형이 주어졌을 때, 같은 점에 대한 n번째 수족 n각형은 원래 n각형과 닮음이다.

3.1. 반수족 삼각형

삼각형 $ABC$ 와 점 $P$ 가 주어졌을 때, 각 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 를 지나고 직선 $PA$ , $PB$ , $PC$ 에 평행한 세 직선을 그릴 수 있다. 이 세 직선의 교점을 $X$ , $Y$ , $Z$ 라고 하자. 만약 점 $P$ 가 삼각형 $ABC$ 의 외접원 위나 변 위에 있지 않다면, 세 교점 $X$ , $Y$ , $Z$ 는 삼각형을 이루는데, 이 삼각형 $XYZ$ 를 점 $P$ 에 대한 삼각형 $ABC$ 의 반수족 삼각형(反垂足三角形, antipedal triangle^영어)이라고 한다.

주어진 점에 대한 반수족 삼각형은 그 등각 켤레점에 대한 수족 삼각형과 중심 닮음이다. 예를 들어, 외심 삼각형은 내심의 반수족 삼각형이다.

$P$ 의 수족 삼각형과 $P^{-1}$ ( $P$ 의 등각 켤레점)의 반수족 삼각형의 면적의 곱은 $\triangle ABC$ 의 면적의 제곱과 같다.

4. 삼선좌표

점 P의 삼선좌표가 p : q : r이면, 점 P의 수족 삼각형의 꼭짓점 L, M, N은 다음과 같다.

:L = 0 : q+p\cos C : r+p\cos B
:M = p+q\cos C : 0 : r+q\cos A
:N = p+r\cos B : q+r\cos A : 0

5. 수족원

수족 삼각형의 외접원을 수족원(Pedal circle)이라고 한다. 단, 삼각형의 외접원 위의 점의 수족원은 정의할 수 없거나 반지름이 무한대인 원으로 간주한다(심슨 선과 일치).

삼각형의 외접원 위에 있지 않은 점 P와 그 등각 켤레점 P*는 공통된 수족원을 가지며, 이 원의 중심은 두 점의 중점이다.

예를 들어 P가 수심일 때 수족원은 구점원이며, P*는 외심이므로 이 수족원도 구점원이 된다. P가 내심일 경우 수족원은 내접원이다.

5.1. 등각 켤레점의 수족원

삼각형의 외접원 위에 있지 않은 점 P와 그 등각 켤레점 P*는 공통된 수족원을 가지며, 이 원의 중심은 두 점의 중점이다.

예를 들어 P가 수심일 때 수족원은 구점원이며, P*는 외심이므로 이 수족원도 구점원이 된다. P가 내심일 경우 수족원은 내접원이다.

5.2. 수족원에 대한 수족 삼각형의 대척점

점 P의 족삼각형 각 정점을 족원의 중심에 대해 반사시킨 점들로 이루어진 삼각형과 원래 삼각형은 배경 관계에 있다. 이 배점의 중심을 점 P의 pedal antipodal perspector라고 한다. 예를 들어, 내심, 수심의 pedal antipodal perspector는 나겔 점, 플라솔로프 점이다.

6. 예

* 내심에 대한 수족 삼각형은 제르곤 삼각형이다.
* 외심에 대한 수족 삼각형은 중점 삼각형이다.
* 수심에 대한 수족 삼각형은 수심 삼각형이다.
* 내심에 대한 반수족 삼각형은 방심 삼각형이다.
* 외심에 대한 반수족 삼각형은 외접 삼각형이다.
* 수심에 대한 반수족 삼각형은 반중점 삼각형이다.
* 내심, 수심의 pedal antipodal perspector는 나겔 점, 플라솔로프 점이다.

7. 관련

체바 선은 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변 위의 한 점을 맺는 선분이다. 미켈의 정리는 주어진 삼각형의 세 변 위에 각각 한 점이 주어졌을 때, 이 세 점을 지나는 세 원은 한 점에서 만난다는 정리이다. 매케이 삼차 곡선은 특정 조건을 만족하는 점들의 집합으로 나타나는 곡선이다. 폰트네의 정리는 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변 위의 한 점을 잇는 선분에 대한 정리이다.