수족 삼각형

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 심슨 직선
3. 성질
- 3.1. 반수족 삼각형
4. 삼선좌표
5. 수족원
- 5.1. 등각 켤레점의 수족원
- 5.2. 수족원에 대한 수족 삼각형의 대척점
6. 예
7. 관련
참조

1. 개요

수족 삼각형은 삼각형 ABC와 한 점 P가 주어졌을 때, 점 P에서 삼각형의 각 변 또는 연장선에 내린 수선의 발을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 의미한다. 수족 삼각형의 변의 길이, 등각 켤레점과의 관계, 수족 삼각형의 수족 삼각형과의 관계 등 다양한 성질을 갖는다. 수족 삼각형의 외접원은 수족원이라고 불리며, 수족원은 등각 켤레점과 관련이 있다. 내심, 외심, 수심 등 특정 점에 대한 수족 삼각형은 각각 제르곤 삼각형, 중점 삼각형, 수심 삼각형이 된다.

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수족 삼각형
정의
설명	주어진 삼각형의 각 변에 한 점에서 내린 수선의 발들을 연결하여 만들어지는 삼각형이다.
원본 삼각형	△ABC
점	P
수선의 발	L, M, N
수선의 발 위치	점 P에서 BC, AC, AB에 내린 수선의 발
생성되는 삼각형	△LMN
성질
각도	L = 180° − 2A M = 180° − 2B N = 180° − 2C
P가 외접원 위에 있을 때	L, M, N은 공선점이며, △LMN은 퇴화하여 직선이 된다. (이 직선을 P에 대한 심슨 선이라고 한다.)
P가 외심에 있을 때	△LMN은 중점 삼각형이 된다.

2. 정의

삼각형 ABC와 한 점 P가 주어졌을 때, P에서 삼각형의 각 변(또는 연장선)에 내린 수선의 발을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 P에 대한 ABC의 수족 삼각형이라고 정의한다. 점 P에서 삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라고 하자. 만약 P가 삼각형 ABC의 외접원 위의 점이 아니라면, D, E, F는 한 직선 위의 점이 아니며, 이 경우 삼각형 DEF를 점 P에 대한 삼각형 ABC의 수족 삼각형이라고 한다.

2. 1. 심슨 직선

3. 성질

점 P에서 삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라고 하고, 삼각형 ABC의 세 변의 길이를 각각 a, b, c, 외접원의 반지름을 R이라고 하자. 그렇다면 사인 법칙에 따라 수족 삼각형 DEF의 세 변의 길이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[12]

:EF = AP * sin A = (AP * a) / 2R

:FD = BP * sin B = (BP * b) / 2R

:DE = CP * sin C = (CP * c) / 2R

점 P에서 삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라고 하자. 그렇다면 수족 삼각형의 세 꼭짓점 D, E, F가 원래 삼각형의 변을 나누는 길이는 다음 등식을 만족시킨다.^[13]

:AF² + BD² + CE² = FB² + DC² + EA²

등각 켤레점을 이루는 두 점에 대한 수족 삼각형의 외접원은 일치하며, 그 공통 외접원의 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다.^[14]

같은 점에 대한 수족 삼각형의 수족 삼각형의 수족 삼각형은 원래 삼각형과 닮음이다.^[12] 즉, 점 P에 대한 삼각형 ABC의 수족 삼각형을 D₁E₁F₁라고 하고, 같은 점 P에 대한 삼각형 D₁E₁F₁의 수족 삼각형을 D₂E₂F₂라고 하고, 같은 점 P에 대한 삼각형 D₂E₂F₂의 수족 삼각형을 D₃E₃F₃라고 하자. 그렇다면 삼각형 D₃E₃F₃은 원래 삼각형 ABC와 닮음이다.^[12] 보다 일반적으로, n각형이 주어졌을 때, 같은 점에 대한 n번째 수족 n각형은 원래 n각형과 닮음이다.^[15]

3. 1. 반수족 삼각형

삼각형

ABC

와 점

P

가 주어졌을 때, 각 꼭짓점

A

,

B

,

C

를 지나고 직선

PA

,

PB

,

PC

에 평행한 세 직선을 그릴 수 있다. 이 세 직선의 교점을

X

,

Y

,

Z

라고 하자. 만약 점

P

가 삼각형

ABC

의 외접원 위나 변 위에 있지 않다면, 세 교점

X

,

Y

,

Z

는 삼각형을 이루는데, 이 삼각형

XYZ

를 점

P

에 대한 삼각형

ABC

의 반수족 삼각형(反垂足三角形, antipedal triangle^영어)이라고 한다.^[16]

주어진 점에 대한 반수족 삼각형은 그 등각 켤레점에 대한 수족 삼각형과 중심 닮음이다.^[16] 예를 들어, 외심 삼각형은 내심의 반수족 삼각형이다.

P

의 수족 삼각형과

P^{-1}

(

P

의 등각 켤레점)의 반수족 삼각형의 면적의 곱은

\triangle ABC

의 면적의 제곱과 같다.

4. 삼선좌표

점 P의 삼선좌표가 ''p'' : ''q'' : ''r''이면, 점 P의 수족 삼각형의 꼭짓점 L, M, N은 다음과 같다.

:L = 0 : q+p\cos C : r+p\cos B

:M = p+q\cos C : 0 : r+q\cos A

:N = p+r\cos B : q+r\cos A : 0

5. 수족원

수족 삼각형의 외접원을 '''수족원'''(Pedal circle)이라고 한다.^[7] 단, 삼각형의 외접원 위의 점의 수족원은 정의할 수 없거나 반지름이 무한대인 원으로 간주한다(심슨 선과 일치).

삼각형의 외접원 위에 있지 않은 점 P와 그 등각 켤레점 P*는 공통된 수족원을 가지며, 이 원의 중심은 두 점의 중점이다.^[3]^[10]

예를 들어 P가 수심일 때 수족원은 구점원이며, P*는 외심이므로 이 수족원도 구점원이 된다. P가 내심일 경우 수족원은 내접원이다.

5. 1. 등각 켤레점의 수족원

삼각형의 외접원 위에 있지 않은 점 P와 그 등각 켤레점 P*는 공통된 수족원을 가지며, 이 원의 중심은 두 점의 중점이다.^[3]^[10]

예를 들어 P가 수심일 때 수족원은 구점원이며, P*는 외심이므로 이 수족원도 구점원이 된다. P가 내심일 경우 수족원은 내접원이다.

5. 2. 수족원에 대한 수족 삼각형의 대척점

점 P의 족삼각형 각 정점을 족원의 중심에 대해 반사시킨 점들로 이루어진 삼각형과 원래 삼각형은 배경 관계에 있다.^[11] 이 배점의 중심을 점 P의 '''pedal antipodal perspector'''라고 한다. 예를 들어, 내심, 수심의 pedal antipodal perspector는 나겔 점, 플라솔로프 점이다.

6. 예

내심에 대한 수족 삼각형은 제르곤 삼각형이다.
외심에 대한 수족 삼각형은 중점 삼각형이다.
수심에 대한 수족 삼각형은 수심 삼각형이다.
내심에 대한 반수족 삼각형은 방심 삼각형이다.
외심에 대한 반수족 삼각형은 외접 삼각형이다.
수심에 대한 반수족 삼각형은 반중점 삼각형이다.
내심, 수심의 pedal antipodal perspector는 나겔 점, 플라솔로프 점이다.

7. 관련

체바 선은 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변 위의 한 점을 맺는 선분이다. 미켈의 정리는 주어진 삼각형의 세 변 위에 각각 한 점이 주어졌을 때, 이 세 점을 지나는 세 원은 한 점에서 만난다는 정리이다. 매케이 삼차 곡선은 특정 조건을 만족하는 점들의 집합으로 나타나는 곡선이다. 폰트네의 정리는 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변 위의 한 점을 잇는 선분에 대한 정리이다.

참조

_[1] 웹사이트 Trigonometry/Circles and Triangles/The Pedal Triangle - Wikibooks, open books for an open world https://en.wikibooks[...] 2020-10-31
_[2] 서적 Challenging problems in geometry https://archive.org/[...] Dover
_[3] 서적 Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry http://dx.doi.org/10[...] The Mathematical Association of America 1995-01-01
_[4] 웹인용 Trigonometry/Circles and Triangles/The Pedal Triangle - Wikibooks, open books for an open world https://en.wikibooks[...] 2020-10-31
_[5] 서적 数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何学をめぐる船旅日本評論社 2023-02-15
_[6] 서적 Challenging problems in geometry https://archive.org/[...] Dover
_[7] 서적 英和数学新字典岡崎屋書店 1905
_[8] 서적 初等幾何學第1卷平面之部訂正4版山海堂出版部
_[9] 웹사이트 Antipedal Triangle https://mathworld.wo[...] 2024-03-21
_[10] 서적 Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry http://dx.doi.org/10[...] The Mathematical Association of America 1995-01-01
_[11] 웹사이트 ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(2) https://faculty.evan[...] 2024-04-25
_[12] 서적
_[13] 서적 https://archive.org/[...]
_[14] 서적
_[15] 간행물
_[16] 서적

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