클라인 4차 곡선

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1. 개요

클라인 4차 곡선은 2차원 복소수 사영 공간에서 정의되는 4차 동차 다항식으로 표현되는 복소 사영 대수 곡선이다. 종수 3의 콤팩트 리만 곡면으로, 모듈러 군 PSL(2;Z)의 합동 부분군 Γ(7)에 대응하는 모듈러 곡선으로 정의되기도 한다. 클라인 4차 곡선은 종수 3의 유일한 후르비츠 곡면이며, 방향 보존 리만 곡면 자기 동형군은 크기가 168인 PSL(2;F7)과 동형이다. 이 곡선은 3차원 모델로 표현하기 어려우며, 정사면체 또는 팔면체 대칭성을 갖는 다면체로 모델링된다. 또한, 클라인 4차 곡선은 다양한 리만 곡면과 관련되며, 시무라 곡선이자 ADE 삼위일체의 일부를 형성한다.

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클라인 4차 곡선
개요
유형	콤팩트 리만 곡면
종수	3
자기 동형군 크기	168
자기 동형군 총 궤도 크기	168 × 2 = 336
자기 동형군	PSL(2, 7)
역사	클라인(1878)
대수 곡선
사영 공간	P²(C)
방정식	x³y + y³z + z³x = 0
기하학
쌍곡 기하	H²
가우스 곡률	−1
푸크스 군	PSL(2, 7) 또는 PSL(3, 2)
클라인 4차 곡선 타일링
변의 수	3
관련 항목
다른 이름	클라인의 4차 곡선

2. 정의

클라인 4차 곡선은 사영 다양체이며, 복소수 '''C''' 위에서 다음과 같은 4차 방정식으로 정의되는 대수 곡선이다.

:x³y + y³z + z³x = 0.

이 방정식은 '''P'''²('''C''') 상의 동차 좌표 [''x'':''y'':''z'']로 표현되며, 이 방정식의 자취는 클라인이 묘사한 원래의 리만 곡면이다.^[1]

"닫힌" 4차 곡선은 기하학에서 다루는 것으로, 위상적으로 종수 3을 가지며 콤팩트 공간이다. "열린" 또는 "구멍 뚫린" 4차 곡선은 수론에서 관심을 가지는 대상으로, 위상적으로 24개의 구멍이 있는 종수 3의 표면이며, 기하학적으로 이러한 구멍은 첨점이다. 열린 4차 곡선은 정칠각형 타일링의 24개 중심에서 구멍을 뚫어 닫힌 4차 곡선으로부터 (위상적으로) 얻을 수 있다. 열린 4차 곡선과 닫힌 4차 곡선은 서로 다른 메트릭을 가지지만 둘 다 쌍곡선적이고 완전하다.^[1]

2. 1. 구체적 정의

복소수 사영 공간

\mathbb{CP}^2

에서, 클라인 4차 곡선은 다음과 같은 4차 동차 다항식으로 정의되는 복소수 사영 대수 곡선이다. 여기서

[x:y:z]

는 사영 공간의 동차 좌표계이다.

:

x^3y+y^3z+z^3x=0

클라인 4차 곡선은 사영 다양체이며, 복소수 C^영어 위에서 위와 같은 4차 방정식으로 정의되는 대수 곡선으로 볼 수 있다. 이 방정식은 P|2|'''C'''^영어 상의 동차 좌표 [''x'':''y'':''z'']^영어로 표현된다. P|2|'''C'''^영어에서 이 방정식의 자취는 클라인이 묘사한 원래의 리만 곡면이다.^[1]

2. 2. 모듈러 군을 통한 정의

모듈러 군

\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)

은 복소수 상반평면

\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon \operatorname{Im}z>0\}

위에 자연스럽게 작용한다. 합동 부분군

\Gamma(7)\le \operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)

에 대응되는 모듈러 곡선

\mathbb H/\Gamma(7)

을 '''클라인 4차 곡선'''이라고 한다.^[1]

닫힌 4차 곡선은 일반적으로 기하학에서 의미하는 것으로, 위상적으로 종수 3을 가지며 콤팩트 공간이다. 열린 또는 "구멍 뚫린" 4차 곡선은 수론에서 다루는 대상으로, 위상적으로 24개의 구멍이 있는 종수 3의 표면이며, 기하학적으로 이러한 구멍은 첨점이다. 열린 4차 곡선은 정칠각형 타일링의 24개 중심에서 구멍을 뚫어 닫힌 4차 곡선으로부터 (위상적으로) 얻을 수 있다. 열린 4차 곡선과 닫힌 4차 곡선은 서로 다른 메트릭을 가지지만 둘 다 쌍곡선적이고 완전하다.^[1]

3. 성질

클라인 4차 곡선은 다음과 같은 독특한 성질들을 가진다.

종수: 종수가 3인 콤팩트 리만 곡면이다.
대칭: 종수 3의 리만 곡면 가운데 가장 큰 자기 동형군을 가지며, 이는 후르비츠 곡면이다. 그 크기는 168이다.
주기: 주기 행렬(period matrix)은 3×3 행렬로 표현되며, 특정 기저에서 계산 가능하다.^[14]
데생당팡: 쌍곡 평면을 정7각형으로 덮는 방식으로 데생당팡을 구성할 수 있다.

3. 1. 종수

클라인 4차 곡선은 종수가 3인 콤팩트 리만 곡면이다. 이는 대수기하학의 첨가 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

g=\frac{1}{2}(d-1)(d-2)=3

(여기서

d=4

는 사영 평면의 대수 곡선을 정의하는 동차 다항식의 차수이다.)

3. 2. 대칭

클라인 4차 곡선은 종수 3의 유일한 후르비츠 곡면이다. 특히, 종수 3의 연결 콤팩트 리만 곡면 가운데 최대 크기의 자기 동형군을 갖는다.

클라인 4차 곡선의 (방향 보존) 자기 동형군은

:

\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_7)\cong\operatorname{PSL}(3;\mathbb F_2)

이며, 그 크기는 168이다. 이 사실은 모듈러 곡선을 통한 정의에서

:

\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)/\Gamma(7)\cong \operatorname{PSL}(2;\mathbb F_7)

로 계산할 수 있다.

3. 3. 주기

클라인 4차 곡선의 주기 행렬(period matrix)을 생각하자. 종수가 3이므로, 이는 3×3 행렬로 표현되며, 적절한 기저에서는 다음과 같다.^[14]

:

\frac12\begin{pmatrix}\alpha&1&1\\1&\alpha&1\\1&1&\alpha\end{pmatrix}

여기서

:

\alpha=\frac12(-1+\mathrm i\sqrt7)

이다.

3. 4. 데생당팡

클라인 4차 곡선

X

에서,

:

X\twoheadrightarrow X/\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_7)\cong\mathbb{CP}^1

에 대응하는 데생당팡은 다음과 같다.

총 56개의 검은 꼭짓점과 총 84개의 흰 꼭짓점이 있다.
모든 검은 꼭짓점의 차수는 3이며, 모든 흰 꼭짓점의 차수는 2이다.

이는 다음과 같이 생각할 수 있다.

# 쌍곡 평면을 정7각형으로 덮는다. 이때, 각 꼭짓점에는 세 개의 정7각형이 인접해 있게 한다. 이는 무한히 많은 정7각형들을 필요로 한다.

# 24개의 정7각형들이 남게 특별한 몫을 취한다. (그렇다면

7\cdot24/3=56

개의 꼭짓점과

7\cdot 24/2=84

개의 변이 있게 된다.) 이 그래프를 '''클라인 그래프'''(Klein graph^영어)라고 한다.

# 각 꼭짓점을 검게 칠하고, 각 변의 중점에 흰 꼭짓점을 추가한다.

클라인 4차 곡선의 자기 동형군에 의한 몫 사상(몫은 리만 구)과 관련된 데생당팡은 정확히 3차 7각형 타일링의 1-골격이다.^[11] 즉, 몫 사상은 점 0, 1728 및

\infty

에서 분기된다. 1728로 나누면 벨리 함수 (0, 1 및

\infty

에서 분기)가 생성되며, 여기서 56개의 꼭짓점(dessin의 검은색 점)은 0 위에, 84개의 모서리의 중간점(dessin의 흰색 점)은 1 위에, 24개의 7각형의 중심은 무한대 위에 놓인다. 결과적인 dessin은 "플라톤" dessin, 즉 모서리 추이적이고 "깨끗한"(각 흰색 점은 원자가 2)이다.

4. 구성

클라인 4차 곡선은 사원수 대수를 이용하여 구성할 수 있다. 이 곡선은 쌍곡 평면을 특정 푸흐시안 군의 작용으로 나눈 몫으로 나타낼 수 있으며, 이 군은 특정 조건을 만족하는 아이디얼과 관련된 주 합동 부분군이다. 이 과정에서 $(2-\eta)^3= 7(\eta-1)^2$ 항등식이 사용되며, 이를 통해 $\eta$ 가 대수적 정수환에서 7의 소인수임을 알 수 있다. 여기서 사용되는 군은 (2,3,7) 쌍곡 삼각군의 부분군이며, 사원수 대수에서 단위 노름을 갖는 원소들의 부분군으로 정의된다.

4. 1. 사원수 대수 구성

콤팩트 클라인 4차 곡선은 쌍곡 평면을 적절한 푸흐시안 군 Γ(''I'')의 작용으로 나눈 몫으로 구성될 수 있다. 여기서 Γ(''I'')는 field|필드^영어 '''Q'''(''η'')|'''Q'''(''η'')^영어의 대수적 정수환 '''Z'''(''η'')|'''Z'''(''η'')^영어에서 아이디얼

I=\langle \eta-2\rangle

와 관련된 주 합동 부분군이며, 이다.

다음 항등식은

\eta

가 대수적 정수환에서 7의 소인수임을 보여준다.

:

(2-\eta)^3= 7(\eta-1)^2,

군 Γ(''I'')는 (2,3,7) 쌍곡 삼각군의 부분군이다. 즉, Γ(''I'')는 다음 생성자와 관계를 통해 결합 대수로 생성된 사원수 대수에서 단위 노름을 갖는 원소들의 부분군이다.

:

i^2=j^2=\eta, \qquad ij=-ji.

사원수 대수에서 적절한 후르비츠 사원수 정수환

\mathcal Q_{\mathrm{Hur}}

을 선택하면, Γ(''I'')는

1+I\mathcal Q_{\mathrm{Hur}}

에서 노름 1인 원소들의 군이 된다. Γ(''I'')에 있는 쌍곡선 원소의 트레이스 절대값의 최소값은

\eta^2+3\eta+2

인데, 이는 클라인 4차 곡선의 수축에 대한 값 3.936에 해당하며, 이는 이 종에서 가장 높은 값 중 하나이다.^[1]

5. 타일링

클라인 4차 곡면은 다양한 방식으로 타일링될 수 있다. 자기 동형 사상군은 마티외 군 M₂₄를 생성하기 위해 확장될 수 있다.^[10]

4차 곡면의 각 타일링 (4차 곡면 다양체를 부분 집합으로 분할)에 해당하는 것은 추상 다면체이며, 이는 기하학에서 추상화되어 타일링의 조합론만을 반영한다. 다면체의 꼭짓점, 모서리 및 면은 타일링의 꼭짓점, 모서리 및 면과 집합으로 동일하며, 동일한 연결 관계를 가진다. 추상 다면체의 (조합론적) 자기 동형 사상군은 4차 곡면의 (기하학적) 자기 동형 사상군과 같다. 이러한 방식으로 기하학은 조합론으로 축소된다.

5. 1. 반사 영역에 의한 타일링

클라인 4차 곡면은 대칭군과 관련된 타일링을 허용하며, 이는 클라인의 최초 논문으로 거슬러 올라가 대칭군을 이해하는 데 사용된다.^[3] 그룹 작용에 대한 기본 영역 (전체 방향 반전 대칭군에 대한 (2,3,7) 삼각형)이 주어지면, 반사 영역(이 영역을 그룹에 따라 변환한 이미지)은 타일링의 자기 동형 사상이 표면의 자기 동형 사상과 같은 4차 곡면의 타일링을 제공한다. 이 타일링은 쌍곡면 (4차 곡면의 유니버셜 커버)의 3차 이분 7각형 타일링의 몫이며, 모든 후르비츠 곡면은 동일한 방식으로 몫으로 타일링된다.

이 타일링은 균일하지만 정규적이지 않으며(부등변 삼각형에 의해 구성됨), 종종 정규 타일링이 대신 사용된다. (2,3,7) 계열의 타일링의 몫은 사용될 수 있으며(동일한 자기 동형 사상군을 갖게 됨) 이 중 두 개의 정규 타일링은 각 3차 (56개 정점에서 만나는) 24개의 정규 쌍곡 7각형에 의한 타일링과 각 7차 (24개 정점에서 만나는) 56개의 정삼각형에 의한 이중 타일링이다. 자기 동형 사상군의 차수는 두 경우 모두 다각형의 변의 수에 다각형의 수를 곱한 값과 관련이 있다.

:24 × 7 = 168

:56 × 3 = 168

쌍곡 평면의 덮개 타일링은 3차 7각형 타일링과 7차 삼각 타일링이다.

5. 2. 균일 타일링

클라인 4차 곡면은 대칭군과 관련된 타일링을 허용하며, 이는 정규 맵으로 불린다.^[3] 이 타일링은 클라인의 최초 논문에서 대칭군을 이해하는 데 사용되었다. 그룹 작용에 대한 기본 영역 (전체 방향 반전 대칭군에 대한 (2,3,7) 삼각형)이 주어지면, 반사 영역은 4차 곡면의 타일링을 제공한다. 이 타일링은 쌍곡면의 3차 이분 7각형 타일링의 몫이며, 모든 후르비츠 곡면은 동일한 방식으로 몫으로 타일링된다.

이 타일링은 균일하지만 정규적이지 않다. (2,3,7) 계열의 타일링의 몫은 사용될 수 있으며, 이 중 두 개의 정규 타일링은 각 3차 (56개 정점에서 만나는) 24개의 정규 쌍곡 7각형에 의한 타일링과 각 7차 (24개 정점에서 만나는) 56개의 정삼각형에 의한 이중 타일링이다. 자기 동형 사상군의 차수는 두 경우 모두 다각형의 변의 수에 다각형의 수를 곱한 값과 관련이 있으며, 아래 표와 같다.

경우	값
24 × 7	168
56 × 3	168

쌍곡 평면의 덮개 타일링은 3차 7각형 타일링과 7차 삼각 타일링이다.

5. 3. 아핀 4차 곡선

아핀 클라인 4차 곡선은 24개의 첨점(위상적으로 구멍)을 가지는데, 이는 정삼각형 타일링의 24개 꼭짓점, 또는 칠각형 타일링의 24개 칠각형 중심에 해당한다.^[1]

상반평면 모형 '''H'''²^영어에서 SL^영어(2, '''R''')의 쌍곡 평면 작용을 고려할 때, 아핀 클라인 4차 곡선은 몫 Γ(7)\'''H'''²^영어로 실현될 수 있다. 여기서 Γ(7)^영어은 모든 항목이 모듈로 7일 때 항등 행렬과 합동인 행렬로 구성된 SL(2, '''Z''')^영어의 합동 부분군이다.

6. 기본 영역과 팬츠 분해

클라인 4차 곡선의 팬츠 분해. 왼쪽 그림은 기본 영역의 (2,3,7) 테셀레이션에서 경계 측지선을 보여준다. 오른쪽 그림에서 팬츠는 각각 다르게 색칠되어 기본 영역의 어떤 부분이 어떤 팬츠 쌍에 속하는지 명확하게 보여준다.

클라인 4차 곡선은 쌍곡 평면을 푸크스 군의 작용으로 나눈 몫으로 얻을 수 있으며, 기본 영역과 팬츠 분해를 통해 분석할 수 있다. 기본 영역은 정규 14각형으로 표현되며, (2,3,7) 삼각형 테셀레이션과 24개의 정칠각형 테셀레이션을 포함한다. 클라인 4차 곡선은 6개의 수축을 따라 잘라 4개의 바지 쌍으로 분해할 수 있으며, 이는 Fenchel-Nielsen 좌표를 통해 표현할 수 있다.

(2,3,7) 삼각형에 의한 테셀레이션 내에는 24개의 정칠각형에 의한 테셀레이션이 있다. 표면의 수축은 8개의 칠각형 변의 중간점을 통과한다. 이러한 이유로 문헌에서는 "8단계 측지선"이라고 불린다. 팬츠 분해를 보여주는 그림의 모든 색깔 곡선은 수축이지만, 이것은 단지 부분 집합일 뿐이며, 총 21개가 있다. 수축의 길이는 다음과 같다.

:

16\sinh^{-1}\left(\left(\tfrac{1}{2}\sqrt{\csc^2\left(\tfrac{\pi}{7}\right)-4}\right)\sin\left(\tfrac{\pi}{7}\right)\right)\approx3.93594624883.

동등한 폐쇄 공식은 다음과 같다.

:

8\cosh^{-1}\left(\tfrac{3}{2}-2\sin^2\left(\tfrac{\pi}{7}\right)\right).

클라인 4차 곡선은 종수 3의 표면에 대한 대칭군을 최대화하지만, 수축 길이를 최대화하지는 않는다. 추정된 최대화는 "M3"로 언급된 표면이다. M3는 (2,3,12) 삼각형의 테셀레이션에서 비롯되며, 그 수축은 중복도 24와 길이 :

2\cosh^{-1}\left(2+\sqrt{3}\right)\approx3.9833047820988736.

을 갖는다.

6. 1. 기본 영역

클라인 4차 곡선의 기본 영역. 표면은 동일한 숫자로 변을 연결하여 얻어진다.

클라인 4차 곡선은 쌍곡 평면을 푸크스 군의 작용으로 나눈 몫으로 얻을 수 있다. 기본 영역은 정규 14각형이며, 가우스-보네 정리에 의해 면적이

8\pi

이다. 이는 인접한 그림에서 볼 수 있으며, 이 그림은 표면을 테셀레이션하고 대칭군을 생성하는 336개의 (2,3,7) 삼각형도 포함한다.

6. 2. 팬츠 분해

클라인 4차 곡선은 6개의 수축을 따라 잘라 4개의 바지 쌍으로 분해할 수 있다. 이 분해는 Fenchel-Nielsen 좌표의 대칭 집합을 제공하며, 여기서 길이 매개변수는 모두 수축의 길이와 같고, 비틀림 매개변수는 모두 수축 길이의

\tfrac{1}{8}

과 같다. 특히,

l(S)

를 수축의 길이라고 하면, 좌표는 다음과 같다.

:

\left\{l(S),\tfrac{l(S)}{8};l(S),\tfrac{l(S)}{8};l(S),\tfrac{l(S)}{8};l(S),\tfrac{l(S)}{8};l(S),\tfrac{l(S)}{8};l(S),\tfrac{l(S)}{8}\right\}.

이 팬츠 분해에 해당하는 입방 그래프는 사면체 그래프, 즉 각각 다른 3개와 연결된 4개의 노드로 구성된 그래프이다. 사면체 그래프는 투영 파노 평면의 그래프와 유사하다. 실제로, 클라인 4차 곡선의 자기 동형 군은 파노 평면의 자기 동형 군과 동형이다.^[4]

7. 스펙트럼 이론

클라인 4차 곡선은 라플라스 연산자의 고윳값과 관련된 스펙트럼 이론으로 연구될 수 있다. 클라인 4차 곡선은 위상적 종수에서 표면의 가장 큰 대칭군을 가지므로 종수 2의 볼차 표면과 매우 유사하며, 상수 음수 곡률을 갖는 종수 3의 모든 콤팩트 리만 표면 중에서 라플라스 연산자의 첫 번째 양의 고윳값을 최대화한다는 가설이 제기되었다. 또한 이러한 모든 표면 중에서 첫 번째 양의 고윳값(8)의 중복성을 최대화하며, 이는 최근에 증명되었다.^[2]

7. 1. 고유값

클라인 4차 곡선의 첫 번째 양의 고유값에 해당하는 8개의 함수. 함수는 밝은 파란색 선을 따라 0이다. 이 플롯은 FreeFEM++(FreeFEM++)에서 생성되었다.

클라인 4차 곡선의 스펙트럼 이론에 대해서는 알려진 바가 거의 없다. 클라인 4차 곡선은 위상적 종수에서 표면의 가장 큰 대칭군을 가지므로 종수 2의 볼차 표면과 매우 유사하며, 상수 음수 곡률을 갖는 종수 3의 모든 콤팩트 리만 표면 중에서 라플라스 연산자의 첫 번째 양의 고유값을 최대화한다는 가설이 제기되었다. 또한 이러한 모든 표면 중에서 첫 번째 양의 고유값(8)의 중복성을 최대화하며, 이는 최근에 증명된 사실이다.^[2] 클라인 4차 곡선의 고유값은 다양한 정확도로 계산되었다. 처음 15개의 서로 다른 양의 고유값은 중복성과 함께 다음 표에 나와 있다.

클라인 4차 곡선의 처음 15개의 양의 고유값 수치 계산
고유값	수치 값	중복성
λ₀	0	1
λ₁	2.67793	8
λ₂	6.62251	7
λ₃	10.8691	6
λ₄	12.1844	8
λ₅	17.2486	7
λ₆	21.9705	7
λ₇	24.0811	8
λ₈	25.9276	6
λ₉	30.8039	6
λ₁₀	36.4555	8
λ₁₁	37.4246	8
λ₁₂	41.5131	6
λ₁₃	44.8884	8
λ₁₄	49.0429	6
λ₁₅	50.6283	6

8. 3차원 모델

클라인 4차 곡선은 3차원 도형으로 '실현'될 수 없다. 그 이유는 이 (또는 )의 부분군으로 임베딩되지 않기 때문이다. 즉, 3차원 도형의 (회전) 대칭성이 과 같을 수 없다. 이는 실수에 대한 (자명하지 않은) 3차원 선형 표현이 없기 때문이다.^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]

그러나 클라인의 원래 논문에서부터 클라인 4차 곡선의 3차원 모델이 많이 제시되었다. 이 모델들은 4차 곡선의 특징을 보여주고, 모든 기하학적 특징은 아니지만 위상적으로 대칭성을 유지하려고 한다. 결과적으로 얻어진 모델은 대부분 정사면체(차수 12) 또는 팔면체(차수 24) 대칭성을 갖는다. 나머지 차수 7의 대칭성은 시각화하기가 쉽지 않다.

8. 1. 테트러스와 테트로이드

그렉 에건의 애니메이션. 정사면체 대칭성을 가진 형태로 시작하여 안쪽으로 뒤집혀 추가적인 대칭성을 보여주는 클라인 4차 곡선의 3차원 임베딩을 보여준다.

클라인 4차 곡선은 대부분 정사면체 대칭성을 갖는 매끄러운 종수 3의 곡면("테트러스(tetrus)"^[7]) 또는 다면체 근사치("테트로이드(tetroid)"^[7])로 모델링되며, 두 경우 모두 3차원 도형의 '임베딩'이다.

''The Eightfold Way'' - 헬라만 퍼거슨의 조각품과 그에 수반되는 책.

가장 주목할 만한 매끄러운 모델(테트러스)은 버클리 캘리포니아의 사이먼스 로퍼 수학 과학 연구소에 있는 헬라만 퍼거슨의 조각품 ''The Eightfold Way''이다. 이 조각품은 대리석과 사문암으로 만들어졌으며 1993년 11월 14일에 공개되었다. 조각품 공개와 함께 클라인의 논문을 영어로 처음 번역한 내용을 담은 책이 출판되었다.

정사면체 대칭성을 갖는 다면체 모델은 가장 자주 절단된 사면체의 볼록 껍질을 갖는다. 이 모델 중 일부는 20개 또는 56개의 삼각형(추상적으로, 56개의 면, 84개의 모서리, 24개의 꼭짓점을 가진 정규 엇각 다면체 {3,7|,4})으로 구성된다. 사면체의 팔에 꼬임이 있는 경우 정삼각형으로 실현될 수 없다. 반면 다른 모델은 24개의 칠각형을 가지는데, 이 칠각형은 평면적이지만 비볼록할 수 있으며,^[8] 모델의 복잡성은 (유연하지 않은) 칠각형 면의 모양에 반영되는 반면, (유연한) 꼭짓점에서는 반영되지 않기 때문에 삼각형 모델보다 더 복잡하다.^[3]

8. 2. 팔면체 대칭 모델

클라인 4차 곡선은 팔면체 대칭성을 가지는 다면체로 모델링할 수 있다. 클라인은 4차 곡선을 무한대점을 가진 팔면체 대칭성을 가진 모양("열린 다면체")으로 모델링했는데,^[5] 즉, 직교 축에서 만나는 세 개의 쌍곡면을 모델링했으며,^[3] 자체 교차점을 가져야 하는 닫힌 다면체로도 모델링할 수 있다.^[3] 이러한 다면체는 작은 정육면체 팔면체와 같이 절단된 정육면체,^[9] 엇각 정육면체,^[8] 또는 마름모 팔면체를 포함한 다양한 볼록 껍질을 가질 수 있다.^[10]

작은 정육면체 팔면체는 팔면체 대칭성을 가진 클라인 4차 곡선의 타일링의 다면체 침투이다.

작은 정육면체 팔면체 침투는 일부 삼각형을 결합하여 얻을 수 있다(2개의 삼각형이 정사각형을 형성하고 6개가 팔각형을 형성함). 이를 통해 [https://web.archive.org/web/20160303182903/http://homepages.wmich.edu/~drichter/images/mathieu/hypercolors.jpg 삼각형 색칠]로 시각화할 수 있다(해당 타일링은 위상적으로는 3 4 4 타일링이지만 기하학적으로는 그렇지 않다). 이 침투는 또한 정사각형과 팔각형의 이등분선의 반대편 점을 서로 교환하는 순열을 PSL(2,7)에 추가하여 Mathieu group M₂₄를 기하학적으로 구성하는 데 사용할 수 있다.^[10]

9. 관련 리만 곡면

클라인 4차 곡선은 기하학적으로나 대수적으로 다양한 리만 곡면들과 관련이 있다. 기하학적으로는 가장 작은 후르비츠 곡면(종수 3)이며, 대수적으로는 모듈러 곡선 X(7)이자 시무라 곡선이다. 또한, 블라디미르 아르놀트의 삼위일체 개념에도 포함된다.^[12]

9. 1. 후르비츠 곡면

기하학적으로 클라인 4차 곡선은 가장 작은 후르비츠 곡면(가장 낮은 종수)이다. 다음은 맥베스 곡면(종수 7)이며, 그 다음은 제1 후르비츠 삼중항(종수 14의 3개의 곡면)이다.^[12] 더 일반적으로, 주어진 종수에서 가장 대칭적인 곡면이다(후르비츠 곡면인 경우). 이 부류에서 볼차 곡면은 가장 대칭적인 종수 2 곡면인 반면, 브링 곡면은 매우 대칭적인 종수 4 곡면이다. 자세한 내용은 리만 곡면의 등거리 변환을 참조하라.

9. 2. 모듈러 곡선

대수적으로, (아핀) 클라인 4차 곡선은 모듈러 곡선 X(7)이고 사영 클라인 4차 곡선은 그 압축화이며, 정십이면체(각 면의 중심에 첨점이 있는)가 모듈러 곡선 X(5)인 것과 같다. 이는 수론과의 관련성을 설명한다.^[12]

더 미묘하게, (사영) 클라인 4차 곡선은 시무라 곡선이며(종수 7과 14의 후르비츠 곡면도 그렇다), 그 자체로 차원 6의 주 편극 아벨 다양체를 매개변수화한다.^[12]

9. 3. 시무라 곡선

더 미묘하게, (사영) 클라인 4차 곡선은 시무라 곡선이며(종수 7과 14의 후르비츠 곡면도 그렇다), 그 자체로 차원 6의 주 편극 아벨 다양체를 매개변수화한다.^[12]

9. 4. 삼위일체

클라인 4차 곡선은 블라디미르 아르놀트가 제시한 삼위일체 개념의 일부이며, 맥케이 대응으로 설명할 수 있다.^[12] 이 삼위일체에서 사영 특수 선형 군 PSL(2,5), PSL(2,7), PSL(2,11)은 각각 60, 168, 660의 차수를 가지며 서로 유사하다. 이는 4 × 5 × 6/2 = 60, 6 × 7 × 8/2 = 168, 10 × 11 × 12/2 = 660으로 계산할 수 있다. 이들은 각각 이코사헤드론 대칭(종수 0), 클라인 4차 곡선의 대칭(종수 3), 버키볼 곡면(종수 70)에 해당한다.^[13] 이러한 현상은 삼위일체에서 더 자세히 설명하는 다른 예외적인 현상들과 연결된다.

10. 역사

펠릭스 클라인이 1878년에 타원 함수를 연구하던 도중 도입하였다.^[15]

참조

_[1] Harv
_[2] 논문 The Klein quartic maximizes the multiplicity of the first positive eigenvalue of the Laplacian https://arxiv.org/ab[...]
_[3] Harv
_[4] 웹사이트 Klein's Quartic Curve https://math.ucr.edu[...] 2013-05-23
_[5] 웹사이트 Platonic tilings of Riemann surfaces https://westy31.home[...]
_[6] 웹사이트 Klein's quartic https://math.ucr.edu[...]
_[7] 간행물 Patterns on the Genus-3 Klein Quartic http://archive.bridg[...] Tarquin 2006
_[8] Harv
_[9] 웹사이트 Klein's Quartic Curve https://www.gregegan[...] 2017-06-05
_[10] Harv
_[11] citation The best rejected proposal ever http://www.neverendi[...] 2007-03-07
_[12] Harv
_[13] citation From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball http://www.neverendi[...] 2008-04-17
_[14] 저널 Klein’s curve 2010-10
_[15] 저널 Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen. (Mit einer lithogr. Tafel.) http://resolver.sub.[...]

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