7차원
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1. 개요
7차원은 수학과 물리학에서 사용되는 개념으로, 기하학, 응용 분야, 그림 분야에서 다양한 방식으로 나타난다. 기하학에서 7차원 폴리토프는 7-폴리토프라고 불리며, 7-단체, 7-초입방체, 7-정축체 세 개의 정다포체가 존재한다. 7차원 유클리드 공간에서 6차원 구는 한 점에서 등거리에 있는 6차원 표면으로 정의되며, 외적은 7차원에서 정의되는 쌍선형 사상이다. 또한 7차원에서는 이국적 구가 존재하며, 그림 분야에서는 근접하게 묘사될 수 있다.
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| 7차원 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 차원 | 7 |
| 공간 | 유클리드 공간 |
| 기하학적 특성 | |
| 초구의 부피 | V = π^(3) r^(7) / 3! |
| 초구의 표면적 | A = 2π^(3) r^(6) / 2! |
| 응용 | |
| 사용 분야 | 끈 이론 수학 물리학 |
2. 기하학
7차원 유클리드 공간에서 6-구(또는 초구)는 한 점에서 같은 거리에 있는 6차원 표면으로, 기호 ''S''6을 갖는다. 반지름 ''r''인 6-구의 공식적인 정의는 다음과 같다.
:S6|에스|6영어 = { ''x'' ∈ ℝ7 : ||x|| = r}.
이 6-구로 둘러싸인 공간의 부피는 다음과 같다.
:V7|브이|7영어 = 16π3 × ''r''7
이는 4.72477 × ''r''7이며, 6-구를 포함하는 7-정육면체의 0.0369이다.
2. 1. 7-폴리토프
7차원 폴리토프는 7-폴리토프라고 불린다. 가장 연구가 많이 된 것은 정다포체로, 7차원에서는 세 개뿐이다: 7-단체, 7-초입방체, 7-정축체. 더 넓은 부류는 고른 7-폴리토프로, 반사의 기본 대칭 영역에서 구성되며, 각 영역은 콕세터 군에 의해 정의된다. 각 고른 폴리토프는 고리형 콕세터-딘킨 다이어그램으로 정의된다. 7-데미큐브는 D7 군의 고유한 폴리토프이며, 321, 231, 132 폴리토프는 E7 군에서 파생된다.| A6 | B7 | D7 | E7 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
 7-단체 {3,3,3,3,3,3} |  7-초입방체 {4,3,3,3,3,3} |  7-정축체 {3,3,3,3,3,4} |  7-데미큐브 h{4,3,3,3,3,3} = {3,34,1} |  321 {3,3,3,32,1} |  231 {3,3,33,1} |  132 {3,33,2} |
2. 2. 6-구
7차원 유클리드 공간의 6차원 구 또는 초구는 한 점에서 등거리에 있는 6차원 표면으로, 기호 ''S''6을 갖는다. 반지름 ''r''인 6-구의 공식적인 정의는 다음과 같다.:
이 6-구로 둘러싸인 공간의 부피는 다음과 같다.
:
이는 4.72477 × ''r''7이며, 6-구를 포함하는 7-정육면체의 0.0369이다.
3. 응용
7차원에서의 외적은 쌍선형, 반교환 및 직교 곱의 값을 가지며, 3차원에서의 일반적인 외적과 함께 자명한 곱을 제외하면 유일하다.[1] 1956년, 존 밀너는 7차원에서 이국적 구를 구성하여 7차원 구에 최소 7개의 미분 가능한 구조가 존재함을 보였다.[1] 1963년에 그는 그러한 구조의 정확한 개수가 28개임을 보였다.[1]
3. 1. 외적
쌍선형, 반교환 및 직교 곱의 값을 갖는 외적은 7차원에서 정의된다. 이는 3차원에서의 일반적인 외적과 함께, 자명한 곱을 제외하면 유일한 곱이다.[1]3. 2. 이국적 구
1956년, 존 밀너는 7차원에서 이국적 구를 구성했고, 7차원 구에 적어도 7개의 미분 가능한 구조가 존재한다는 것을 보였다.[1] 1963년에 그는 그러한 구조의 정확한 개수가 28개임을 보였다.[1]4. 그림 분야에서
7차원을 그리는 것은 매우 복잡하지만, 근접하게 그릴 수는 있다.[1]
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