크룰 차원

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 역사
참조

1. 개요

크룰 차원은 환(ring)의 소 아이디얼들의 사슬 길이의 상한으로 정의되며, 환의 중요한 차원 개념 중 하나이다. 소 아이디얼의 높이는 해당 소 아이디얼에 포함된 소 아이디얼 사슬의 길이 상한으로 정의된다. 크룰 차원은 환의 국소화, 가군, 위상 공간 등 다양한 수학적 구조에서 정의되며, 대수 기하학에서 스킴의 차원을 정의하는 데 사용된다. 크룰 차원은 0인 정역은 체이며, 뇌터 환에서 소 아이디얼은 유한한 높이를 갖지만, 무한 크룰 차원을 갖는 뇌터 환의 예시도 존재한다. 크룰 차원은 대수다양체, 뇌터 국소환, 정칙 국소환 등 다양한 환의 차원을 정의하는 데 활용되며, 대수 기하학, 가환대수, 추상대수학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

더 읽어볼만한 페이지

차원 - 데카르트 좌표계
데카르트 좌표계는 르네 데카르트가 고안한 좌표계로, 다양한 차원의 공간에서 점의 위치를 나타내며, 2차원에서는 x축과 y축, 3차원에서는 직교하는 세 평면으로 확장되고, 고차원에서는 실수 튜플을 사용한다.
차원 - 4차원
4차원은 한 점을 지정하는 데 4개의 독립적인 매개변수가 필요한 공간으로, 수학에서는 유클리드 공간과 민코프스키 시공간 등으로 구분되며, 물리학에서는 시공간 기술 및 여분 차원 가정에 활용되는 중요한 개념이다.
가환대수학 - 매개계
매개계는 뇌터 국소 가환환과 유한 생성 가군을 사용하여 정의되며, 가군의 길이와 크룰 차원을 활용하여 정칙 국소환에서 정칙 매개계의 성질을 규명하고, 추상대수기하학에서 기하학적 대상의 분류와 연구에 중요한 역할을 한다.
가환대수학 - 정역
정역은 환론에서 영인자가 없는 가환환으로, 자명환이 아니면서 0이 아닌 두 원소의 곱이 항상 0이 아닌 환이며, 체의 부분환과 동형이고, 스킴 이론에서 정역 스킴으로 확장되며, 정수환, 체, 대수적 수체의 대수적 정수환 등이 그 예시이다.
대수기하학 - 타원곡선
타원곡선은 체 위에서 정의되고 특이점이 없으며 종수가 1인 사영 대수 곡선으로, 유리점을 가지며, 특정 형태의 방정식으로 표현되고, 실수체 위에서는 연결 성분 개수가 판별식에 따라 달라지며, 복소수체 위에서는 원환면과 위상적으로 동형이고, 점들 간에 군 연산이 정의되어 암호학 및 정수론에 활용된다.
대수기하학 - 매끄러운 함수
매끄러운 함수는 함수의 미분 가능성을 나타내는 척도로, k번 미분 가능하고 그 미분 함수가 연속일 경우 C^k로 표기하며, 무한히 미분 가능한 함수를 의미하고, 곡선의 부드러움을 측정하는 데 활용된다.

크룰 차원
일반 정보
분야	환론
하위 분야	가환대수학, 대수기하학
명명 유래	볼프강 크룰
크룰 차원
정의	환의 아이디얼들의 사슬의 최대 길이
기호	dim
성질	크기가 유한한 환은 0차원임 주 아이디얼 정역은 1차원임 뇌터 환의 크룰 차원은 유한함
예시
체	0
주 아이디얼 정역	1
데데킨트 정역	1
다항식환 K[x1,...,xn]	n
아핀 대수 집합	아핀 대수 집합의 좌표환의 크룰 차원
국소환	국소환의 크룰 차원은 그 완비화의 크룰 차원 이하임

2. 정의

크룰 차원은 위상 공간, 가환환, 가군, 비가환환 등 다양한 대상에 대해 정의되며, 각각의 정의는 서로 밀접하게 연관되어 있다.

위상 공간: 위상 공간의 크룰 차원은 기약 닫힌집합 사슬의 최대 길이로 정의된다.
가환환: 가환환의 크룰 차원은 소 아이디얼 사슬의 최대 길이, 즉 소 아이디얼의 높이의 상한으로 정의된다.
가군: 가환환 위의 가군의 크룰 차원은 가군의 소멸자를 통해 정의된다.
비가환환: 비가환환의 크룰 차원은 부분 가군의 포함 관계에 따른 편차로 정의되며, 가환 뇌터 환의 경우 소 아이디얼 사슬을 사용한 정의와 동일하다.^[9]

2. 1. 위상 공간의 차원

위상 공간

X

의 '''기약 집합'''(irreducible set^영어)은 기약 공간이며 공집합이 아닌 닫힌집합이다.^[13] (이는 아핀 스킴의 경우 소 아이디얼에 대응한다.)

X

의 '''크룰 차원'''은

X

의 기약 집합들의 사슬

:

I_0\subsetneq I_1\subsetneq\cdots I_{n-1}\subsetneq I_n

의 길이들의 상한

n\in\mathbb N\cup\{+\infty,-\infty\}

이다.^[13] 만약 기약 집합이 아예 존재하지 않을 경우 (즉, 공간이 공집합인 경우), 크룰 차원은

-\infty

이다.

보통, 스킴의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다. 이 정의에 따라 자명환의 스펙트럼의 크룰 차원은

-\infty

이다.

위상 공간

X

의 열린 덮개

\{U_i\}_{i\in I}

가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

:

\dim X=\sup_{i\in I}\dim U_i

환의 스펙트럼 Spec(''R''), 즉 자리스키 위상을 갖춘 ''R''의 소 아이디얼 공간의 정의로부터, ''R''의 크룰 차원은 위상 공간으로서의 스펙트럼의 차원과 같다는 것이 쉽게 따른다. 이는 기약 닫힌 부분 집합들의 모든 사슬 길이의 상한을 의미한다. 이는 ''R''의 아이디얼과 Spec(''R'')의 닫힌 부분 집합 간의 갈루아 연결과 Spec(''R'')의 정의에 의해, ''R''의 각 소 아이디얼

\mathfrak{p}

가 갈루아 연결에 의해

\mathfrak{p}

에 연관된 닫힌 부분 집합의 일반점에 대응한다는 관찰로부터 즉시 따른다.

2. 2. 가환환의 차원

가환환

R

의 소 아이디얼

\mathfrak p

의 '''높이'''(height^영어)

\operatorname{ht}_R\mathfrak p

는 다음과 같은 소 아이디얼 사슬의 최대 길이

n

이다.

:

\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak  p_1\subsetneq\mathfrak p_2\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n\subseteq\mathfrak p

이는 국소화

R_{\mathfrak p}

의 크룰 차원과 같다.

:

\dim R_{\mathfrak p}=\operatorname{ht}_R\mathfrak p

가환환

R

의 아이디얼

\mathfrak a

의 '''높이'''

\operatorname{ht}_R\mathfrak a

는

\mathfrak a

를 포함하는 소 아이디얼들의 높이의 하한이다.

:

\operatorname{ht}_R\mathfrak a=\inf_{\mathfrak a\subseteq\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\operatorname{ht}_R\mathfrak p

(초른 보조정리에 따라,

\mathfrak a

를 포함하는 극대 아이디얼이 항상 존재하며, 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로 이는 항상 공집합이 아니다.)

대수기하학적으로, 이는

\operatorname{Spec}(R/\mathfrak a)\subseteq\operatorname{Spec}R

의 여차원과 같다.

:

\operatorname{codim}_R(R/\mathfrak a)=\operatorname{ht}_R\mathfrak a

R

가 (1을 갖춘) 가환환이라고 하자. 만약

R

의 소 아이디얼들

\mathfrak p_i

가 다음과 같은 진부분집합 사슬

:

\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak  p_1\subsetneq\mathfrak  p_2\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n

을 이룰 때, 음이 아닌 정수

n

을 집합

H(R)\subset\mathbb N

의 원소로 정의한다. 그렇다면 가환환

R

의 '''크룰 차원'''은

H(R)

의 상한이다.^[13] 즉,

:

\dim R=\sup H(R)\in\mathbb N\sqcup\{\infty\}

자명환의 경우, 크룰 차원은

-\infty

이다.

다음 세 개의 차원들이 서로 같다.

$R$ 의 환으로서의 크룰 차원
스펙트럼 $\operatorname{Spec}R$ 의 크룰 차원
$R$ 를 스스로 위의 가군으로 여겼을 때, $R$ 의 가군 크룰 차원

가환환

R

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

체이다.
크룰 차원이 0인 정역이다.

가환환

R

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[14]^[15]

아르틴 환이다.
크룰 차원이 0인 뇌터 환이다.

2. 3. 가군의 차원

가환환

R

위의 가군

M

의 크룰 차원은

M

의 소멸자를

R

로 나눈 몫환의 크룰 차원으로 정의되며, 다음과 같이 표현한다.^[14]

:

\dim_RM=\dim\operatorname{Spec}(R/\operatorname{Ann}_R(M))

여기서

\operatorname{Ann}_R(M)

은

M

의 소멸자이며,

\operatorname{Spec}

은 환의 스펙트럼이다.

대수기하학적으로, 이는

M

을

\operatorname{Spec}R

위의 가군층으로 여겼을 때, 그 지지 집합의 차원에 해당한다.

만약

R

이 가환환이고,

M

이

R

-가군이라면,

M

의 크룰 차원은

M

을 충실 가군으로 만드는

R

의 몫의 크룰 차원으로 정의하며, 다음 공식으로 표현한다.

:

\dim_R M := \dim( R/{\operatorname{Ann}_R(M)})

여기서

\operatorname{Ann}_R(M)

( 소멸자)는

R \rightarrow \operatorname{End}_R(M)

의 자연스러운 사상, 즉

R

을

M

의

R

-선형 자기사상의 환으로 보내는 사상의 핵이다.

스킴의 언어로 표현하면, 유한 생성 가군은 코히어런트 층, 또는 일반화된 유한 계수 벡터 다발로 해석된다.

환

R

위의 가군

M

에 대해,

M

의 크룰 차원은

M

을 충실 가군으로 하는

R

의 잉여환의 크룰 차원에 의해 정의한다. 즉, 다음 등식을 만족한다.

:

\dim_R M := \dim R/\operatorname{Ann}_R(M)

여기서 영화 아이디얼

\operatorname{Ann}_R(M)

는

R

에서

M

위의

R

-선형 자기 준동형의 환으로 가는 자연 사상

R \rightarrow \operatorname{End}_R(M)

의 핵이다.

스키마론의 말로 표현하면, 유한형 가군은 연접층 또는 일반화된 유한 계수 벡터 다발로 해석할 수 있다.

2. 4. 비가환환의 차원

모듈의 크룰 차원은 (비가환일 수 있는) 환에서 포함 관계에 의해 정렬된 부분 모듈의 편차로 정의된다. 가환 뇌터 환의 경우, 이는 소 아이디얼의 사슬을 사용한 정의와 동일하다.^[9] 두 정의는 가환 뇌터 환이 아닌 경우 다를 수 있다.

3. 성질

$R$ 가 1을 갖는 가환환이라고 하자. $R$ 의 소 아이디얼들 $\mathfrak p_i$ 가 다음과 같은 진부분집합 사슬을 이룬다고 하자.

: $\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\mathfrak p_2\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n$

이때 음이 아닌 정수 $n$ 을 집합 $H(R)\subset\mathbb N$ 의 원소로 정의한다. 가환환 $R$ 의 '''크룰 차원'''은 $H(R)$ 의 상한(최댓값)이다.^[13] 즉, 다음과 같다.

: $\dim R=\sup H(R)\in\mathbb N\sqcup\{\infty\}$

자명환의 크룰 차원은 $-\infty$ 이다.

다음 세 가지 차원은 서로 같다.

$R$ 의 환으로서의 크룰 차원
스펙트럼 $\operatorname{Spec}R$ 의 크룰 차원
$R$ 를 스스로 위의 가군으로 여겼을 때, $R$ 의 가군 크룰 차원

3. 1. 가환환의 차원

체는 크룰 차원이 0인 정역이다. 아르틴 환은 크룰 차원이 0인 뇌터 환이다.^[14]^[15] 뇌터 환

R

에 대해

\dim R[x] = 1 + \dim R

이다.^[14] 일반적인 가환환

R

에 대해서는

\dim R + 1 \le \dim R[x] \le 2\dim R + 1

이다.

3. 2. 대수다양체의 차원

대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 크룰 차원은 유한하며, 쌍유리 변환 아래 불변량이다.^[15]

대수적으로 닫힌 체

K

에 대한 아핀 대수다양체

V=\operatorname{Spec}K[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p

(

\mathfrak p

는 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^[15]

$V$ 의 크룰 차원이 $d$ 이다.
$V$ 의 임의의 비특이점에서의 뇌터 국소환의 크룰 차원이 $d$ 이다.
$V$ 의 유리 함수체 $\Gamma(V,\mathcal K_V)=\operatorname{Frac}(K[x_1,\dots,x_n/\mathfrak p)$ 의 $K$ 에 대한 초월 차수가 $d$ 이다.
$K[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p$ 의 힐베르트 다항식이 $d$ 차 다항식이다.

대수적으로 닫힌 체

K

에 대한 사영 대수다양체

V=\operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p

(

\mathfrak p

는 동차 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^[15]

$V$ 의 크룰 차원이 $d$ 이다.
$V$ 의 임의의 비특이점에서의 국소환의 크룰 차원이 $d$ 이다.
$K[x_0,\dots,x_n]/\mathfrak p$ 의 $K$ 에 대한 초월 차수가 $d+1$ 이다.

3. 3. 뇌터 국소환의 차원

뇌터 국소환

(R,\mathfrak m)

의 차원은 다음 세 가지가 모두 동일하며, 항상 유한하다.^[15]

$R$ 의 크룰 차원 $\dim R$
$R$ 에서, $R/(r_1,r_2,\dots,r_\delta)$ 가 자명환이 아닌 아르틴 환이 되는 아이디얼 $(r_1,\dots,r_\delta)$ 의 생성원들의 최소 크기 $\delta$
$\mathfrak q$ 가 임의의 $\mathfrak m$ -으뜸 아이디얼이라고 할 때, 형식적 멱급수 $P(t)=\sum_{n=0}^\infty \ell(\mathfrak q^n/\mathfrak q^{n+1}))t^n\in\mathbb Zt$ 를 정의할 수 있다 ( $\mathfrak q^0=R$ , $\ell$ 은 가군의 길이). 이는 항상 유리 함수이며, $P(t)\in\mathbb Z(t)$ 의 $t=1$ 에서의 극점의 차수를 $d$ 라고 하면, 이 값은 $\mathfrak q$ 의 선택에 관계없다.

이들을 통해 정의하면, 항상

:

\dim R=\delta=d<\infty

이다.

3. 4. 정칙 국소환의 차원

정칙 국소환

(R,\mathfrak m)

의 차원은 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이 정의들은 모두 같다.^[15]

뇌터 국소환으로서의 차원 $\dim R$ (모든 정칙 국소환은 뇌터 국소환이다.)
$\dim_{R/\mathfrak m}(\mathfrak m/\mathfrak m^2)$ . 여기서 $\dim_{R/\mathfrak m}$ 은 체 $R/\mathfrak m$ 위의 벡터 공간의 차원이다.
$\mathfrak m$ 의 최소 생성 집합의 크기
$\textstyle\bigoplus_{n=0}^\infty\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n+1}\cong(R/\mathfrak m)[x_1,x_2,\dots,x_d]$ 일 때, $d$ . 여기서 $\mathfrak m^0=R$ 이다.

4. 예시

위상 공간의 '''기약 집합'''은 기약 공간이며 공집합이 아닌 닫힌집합이다.^[13] (이는 아핀 스킴의 경우 소 아이디얼에 대응한다.)

일반적으로, 스킴의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다.

위상 공간 $X$ 의 열린 덮개 $\{U_i\}_{i\in I}$ 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

: $\dim X=\sup_{i\in I}\dim U_i$

4. 1. 가환환의 차원

자명환의 크룰 차원은

-\infty

이다.^[13]

체의 소 아이디얼은 (0)뿐이므로, 모든 체는 크룰 차원이 0이다. 주 아이디얼 정역에서 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이므로, 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이다.^[13]

k

가 체일 때,

k[x]

는 주 아이디얼 정역이므로

\dim k[x]=1

이다. 일반적으로

\dim k[x_1,x_2,\dots,x_n]=n

이다.^[13]

자연수

n\in\mathbb N

에 대하여, 가환환

\mathbb Z/(n)

의 크룰 차원은 다음과 같다.

:

\dim\mathbb Z/(n)=\begin{cases}1&n=0\\-\infty&n=1\\0&n\ne0,1\end{cases}

4. 2. 위상 공간의 차원

위상 공간에서 기약 집합은 한원소 집합이며, 따라서 공집합이 아닌 하우스도르프 공간의 크룰 차원은 항상 0이다.^[13]

시에르핀스키 공간

X=\{0,1\}

,

\mathcal T=\{\varnothing,\{1\},X\}

의 기약 집합은

\{0\}

및

\{0,1\}

이므로, 시에르핀스키 공간의 크룰 차원은 1이다.^[13]

4. 3. 벡터 공간의 크룰 차원

체

K

위의 벡터 공간

V

의 가군으로서의 크룰 차원은 항상 0이다. 이 경우

\operatorname{Ann}_K(V)=(0)

이며,

\operatorname{Spec}(K/(0))=\operatorname{Spec}K

는 항상 한원소 공간으로서 크룰 차원이 0차원이다. 즉, 가군의 크룰 차원은 벡터 공간의 차원과 관계가 없다.

4. 4. 무한 차원의 뇌터 가환환

나가타 마사요시는 무한 크룰 차원을 갖는 뇌터 환의 예를 제시하였다.^[2]

체

K

에 대하여, 무한 개의 변수를 갖는 다항식환

:

R=K[x_1,x_2,x_3,\dots]

을 생각하자. 임의의 증가하는 정수열

:

0=n_1

이 주어졌을 때, 소 아이디얼들의 열

:

\mathfrak p_i=(x_{n_{i-1}+1},x_{n_{i-1}+2},\dots,x_n)\qquad(i=1,2,3,\dots)

을 생각하자. 그렇다면

R

을

:

S=K[x_1,x_2,x_3,\dots]\setminus\bigcup_{i=1}^\infty\mathfrak p_i

에서 국소화하면,

S^{-1}R

는 뇌터 환이며, 그 크룰 차원은

:

\dim S^{-1}R=\sup\{n_i-n_{i-1}\colon i\in\mathbb Z^+\}

이다. 만약

\sup\{n_i-n_{i-1}\colon i\in\mathbb Z^+\}=\infty

라면, 이는 무한 크룰 차원의 뇌터 환이 된다. 이 예는 나가타 마사요시가 제시하였다.^[16]

5. 역사

볼프강 크룰이 1928년 크룰 높이 정리를 증명하면서 그 기본 개념을 도입하였다.^[17]

참조

_[1] 서적 Commutative Ring Theory 1989
_[2] 서적 Commutative Algebra Springer, Berlin 1995
_[3] 서적 Commutative Algebra Benjamin, New York 1970
_[4] 서적 2000
_[5] 서적 1995
_[6] 웹사이트 Krull dimension less or equal than transcendence degree? https://mathoverflow[...]
_[7] 서적 1995
_[8] 서적 Algebraic Geometry 1977
_[9] 서적 Noncommutative Noetherian Rings Amer. Math. Soc., Providence 2001
_[10] 웹사이트 https://stacks.math.[...]
_[11] 웹사이트 https://math.stackex[...]
_[12] 서적 Local Rings Wiley, New York 1962
_[13] 서적 Algebraic Geometry Springer 1977
_[14] 서적 Commutative algebra with a view toward algebraic geometry Springer-Verlag 1995
_[15] 서적 Introduction to commutative algebra Addison-Wesley 1969
_[16] 서적 Local rings Wiley Interscience 1962
_[17] 저널 Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen 1928-12-01

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com