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GSO 사영

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목차

1. 개요

GSO 사영은 초끈 이론의 라몽-느뵈-슈워츠 형식을 기반으로, 세계면 힐베르트 공간의 '절반'을 물리적이지 않은 것으로 간주하는 과정이다. 이 사영을 통해 초끈 이론의 양자 효과를 고려하고 시공간의 초대칭을 확보할 수 있다. GSO 사영은 ⅡA, ⅡB, 0A, 0B 이론 등 네 가지 형태로 존재하며, 각 이론은 서로 다른 초대칭과 그래비티노를 포함한다. GSO 사영은 연산자 곱 전개에 대해 닫혀있고, 분지 절단을 지니지 않으며, 모듈러 군에 불변하는 등의 일관성 조건을 만족해야 한다. GSO 사영은 1976년 페르디난도 글리오치, 조엘 셰르크, 데이비드 이언 올리브에 의해 처음 도입되었다.

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GSO 사영

2. 정의

초끈 이론의 라몽-느뵈-슈워츠 구성(RNS 초끈)에서는 끈의 세계면 위에 2차원 \(\mathcal N=(1,1)\) 초등각 장론이 존재한다. 그러나 이 초등각 장론은 아무런 사영을 가하지 않으면, 그 분배 함수가 모듈러 군의 작용에 대하여 불변하지 않아 문제가 발생한다. 이는 초끈 이론에서 양자 효과(고리를 갖는 파인먼 도형)를 고려할 수 없음을 의미한다. 또한, 시공간의 스펙트럼이 초대칭을 따르지 않는 문제도 발생한다.

이러한 문제를 해결하기 위해 세계면 힐베르트 공간의 '절반'을 물리적이지 않은 것으로 간주하여 제거하는 과정을 거치는데, 이를 '''GSO 사영'''이라고 한다. 닫힌 초끈 이론에서는 네 가지의 가능한 GSO 사영(ⅡA, ⅡB, 0A, 0B)이 존재한다.

GSO 사영은 다음의 일관성 조건을 만족해야 한다. 사영에 의해 보존되는 연산자 집합을 ''A''라고 하면,


  • ''A''는 연산자 곱 전개(OPE)에 대하여 닫혀 있어야 한다.
  • ''A''의 OPE는 분지 절단(branch cut)을 지니지 않아야 한다.
  • 원환면에서, ''A''의 OPE는 모듈러 군 PSL(2,ℤ)에 대하여 불변해야 한다.

2. 1. Ⅱ종 GSO 사영

느뵈-슈워츠(NS) 상태와 라몽(R) 상태는 각각 \(G_{\text{NS}} = \pm1\), \(G_{\text{R}} = \pm1\)인지 여부에 따라 NS±, R±로 분류된다.[2]

닫힌 끈 이론에서 세계면 초등각 장론의 상태는 왼쪽과 오른쪽 상태의 순서쌍으로 나타내며, 가능한 GSO 사영은 (NS+, NS+), (R+, R-), (R+, NS+), (NS+, R-) 등의 조합으로 표현된다. 이를 통해 ⅡA, ⅡB, 0A, 0B 이론이 정의된다.[2]

2. 1. 1. NS 상태

느뵈-슈워츠(NS) 상태는 일반적으로 다음과 같은 형태를 가진다.

:b^{n_1}_{-r_1}b^{n_2}_{-r_2}\dotsm b^{n_k}_{-r_k}|0_{\text{NS}}\rangle

여기서

:r_1,\dotsc,r_k\in\{1/2,3/2,5/2,\dotsc\}

:n_1,\dotsc,n_k\in\{1,2,3,\dotsc\}

이다. 이 경우 연산자

:G_{\text{NS}} = (-)^{F_{\text{NS}}+1}

:F_{\text{NS}} = \sum_{r=1/2}^\infty b_{-r}b_r

를 정의한다. 그렇다면, 느뵈-슈워츠 상태를

:G_{\text{NS}} = \pm1

인지 여부에 따라 분류할 수 있다. 이 상태들을 NS±로 표기한다.[2]

2. 1. 2. R 상태

GSO 사영에서 라몽(R) 상태는 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.

:b^{n_1}_{-r_1}b^{n_2}_{-r_2}\dotsm b^{n_k}_{-r_k}|0^\mu_{\text{R}}\rangle

여기서

:r_1,\dotsc,r_k\in\{1,2,3,\dotsc\}

:n_1,\dotsc,n_k\in\{1,2,3,\dotsc\}

이다. 이 경우

:G_{\text{R}} = \Gamma_{11}(-)^{F_{\text{R}}}

:F_{\text{R}} = \sum_{r=1}^\infty d_{-r}d_r

를 정의한다. 그렇다면, 라몽 상태를

:G_{\text{R}} = \pm1

인지 여부로 분류할 수 있다. 이 상태들을 R±로 표기한다.[2]

2. 1. 3. 닫힌 끈 이론

닫힌 끈 이론에서 세계면 초등각 장론의 상태는 왼쪽 상태와 오른쪽 상태의 순서쌍으로 나타낸다. 이 때 가능한 GSO 사영은 다음 표와 같다.[2]

가능한 GSO 사영
이름포함하는 상태
ⅡA(NS+,NS+)(R+,R−)(R+,NS+)(NS+,R−)
(NS+,NS+)(R−,R+)(R−,NS+)(NS+,R+)
ⅡB(NS+,NS+)(R+,R+)(R+,NS+)(NS+,R+)
(NS+,NS+)(R−,R−)(R−,NS+)(NS+,R−)
0A(NS+,NS+)(NS−,NS−)(R+,R−)(R−,R+)
0B(NS+,NS+)(NS−,NS−)(R+,R+)(R−,R−)



ⅡA 또는 ⅡB를 얻기 위한 GSO 사영은 두 가지가 존재하며, 이들은 각각 서로 동치인 초끈 이론을 정의한다. 각 GSO 사영은 총 16=(2×2)2개의 상태 중 네 개만 선택한다.

3. 역사

페르디난도 글리오치, 조엘 셰르크, 데이비드 이언 올리브가 1976년에 도입하였다.[3]

참조

[1] 논문 Supersymmetry, Supergravity Theories and the Dual Spinor Model 1977
[2] 논문 On D-branes in Type 0 string theory 1999
[3] 저널 Supergravity and the spinor dual model 1976-11-22


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