초등각 장론

3. 3차원 초등각 장론

3차원 초등각 대수는 $\backslash mathfrak\{osp\}(\backslash mathcal\; N|4)$이며, 그 보손 부분군은 $\backslash operatorname\{SO\}(\backslash mathcal\; N)\backslash times\backslash operatorname\{Sp\}(4,\backslash mathbb\; R)\backslash cong\backslash operatorname\{SO\}(\backslash mathcal\; N)\backslash times\backslash operatorname\{Spin\}^+(3,2)$이다. R대칭군은 $\backslash operatorname\{SO\}(\backslash mathcal\; N)$이다.^[6]

4. 2차원 초등각 장론

2차원 초등각 대수는 비라소로 대수를 포함하므로 무한 차원의 리 초대수이며, 이에 따라 2차원 초등각 장론들은 여러 특수한 성질들을 갖는다.^[1]

두 차원에서 최소한의 초대칭을 갖는 가능한 대수로는 네뵈-슈바르츠 대수와 라몬드 대수가 있다.^[2] 추가적인 초대칭도 가능한데, 예를 들어 N = 2 초대칭 공형 대수가 있다.^[2]

5. 2차원 이상의 초등각 대수

(p+q)차원 공간 $\backslash mathbb\{R\}^\{p,q\}$의 컨포멀 군은 $SO(p+1,q+1)$이며, 그 리 대수는 $\backslash mathfrak\{so\}(p+1,q+1)$이다. 초등각 대수는 보존적 요인 $\backslash mathfrak\{so\}(p+1,q+1)$을 포함하고, 홀수 생성자가 $\backslash mathfrak\{so\}(p+1,q+1)$의 스피너 표현으로 변환되는 리 초대수이다. 카츠의 유한 차원 단순 리 초대수 분류에 따르면, 이는 작은 $p$와 $q$ 값에 대해서만 가능하다. 다음은 불완전할 수 있는 목록이다.

6. 3+1차원 초등각 대수

4차원에서 초전하의 수가 $4\backslash mathcal\; N$개인 초등각 대수는 $\backslash operatorname\{PSU\}(2,2|\backslash mathcal\; N)$이다.^[3] 그 보손 성분은

:$\backslash operatorname\{PSU\}(2,2)\backslash times\backslash operatorname\; U(\backslash mathcal\; N)$

이다. 다만, $\backslash mathcal\; N=4$일 경우 U(1) R대칭이 깨져,

:$\backslash operatorname\{PSU\}(2,2)\backslash times\backslash operatorname\{SU\}(4)$

가 된다.^[3]

4차원 초등각 대수의 생성원 및 이들의 보손 대칭 표현은 다음과 같다.

$J\_\{\backslash mu\backslash nu\}$, $P\_\backslash mu$, $K^\backslash mu$, $D$ 사이의 리 괄호는 등각 대칭과 같다.^[4] 나머지 리 괄호들은 다음과 같다.

:$\backslash \{\; Q\_\backslash alpha^i,\; \backslash bar\; Q\_\{\backslash dot\backslash beta\; j\}\backslash \}=2\; \backslash delta^i\_j\backslash sigma^\backslash mu\_\{\backslash alpha\backslash dot\backslash beta\}\; P\_\backslash mu$

:$\backslash \{\backslash bar\; S^\{\backslash dot\backslash alpha\}\_i,\; S^\{\backslash beta\; j\}\backslash \}\; =\; 2\backslash delta\_i^j\backslash bar\backslash sigma^\{\backslash mu\backslash dot\backslash alpha\backslash dot\backslash beta\}K\_\backslash mu$

:$\backslash \{Q^i\_\backslash alpha,S\_j^\backslash beta\backslash \}\; =\; \backslash delta^i\_j(\backslash sigma^\backslash mu\backslash bar\backslash sigma^\backslash nu)\_\backslash alpha\{\}^\backslash beta\; J\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; +\; \backslash delta^\backslash beta\_\backslash alpha\; (\backslash frac32R^i\_j+\backslash delta^i\_jD)$

:$\backslash \{\backslash bar\; Q\_\{\backslash dot\backslash alpha\; i\},\backslash bar\; S^\{\backslash dot\backslash beta\; i\}\backslash \}\; =\; \backslash delta\_i^j(\backslash bar\backslash sigma^\backslash mu\; \backslash sigma^\backslash nu)^\{\backslash dot\backslash alpha\}\{\}\_\{\backslash dot\backslash beta\}J\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; +\; \backslash delta^\{\backslash dot\backslash beta\}\_\{\backslash dot\backslash alpha\}(\backslash frac32R^i\_j-\backslash delta^i\_jD)$

:$[K^\backslash mu,Q\_\backslash alpha^i]=i\backslash sigma^\backslash mu\_\{\backslash alpha\backslash dot\backslash beta\}\backslash bar\; S^\{\backslash dot\backslash beta\; i\}$

:$[K^\backslash mu,\backslash bar\; Q\_\{\backslash dot\backslash alpha\}^i]=i\backslash bar\backslash sigma^\{\backslash mu\backslash dot\backslash alpha\backslash beta\}S\_\backslash beta^i$

:$[P^\backslash mu,S\_\{\backslash alpha\; i\}]=i\backslash sigma^\backslash mu\_\{\backslash alpha\backslash dot\backslash beta\}\backslash bar\; Q^\{\backslash dot\backslash beta\; i\}$

:$[P^\backslash mu,\backslash bar\; S^\{\backslash dot\backslash alpha\; i\}]=i\backslash bar\backslash sigma^\{\backslash mu\backslash dot\backslash alpha\backslash beta\}Q\_\backslash beta^i$

:$[P,Q]=[P,\backslash bar\; Q]=[K,S]=[K,\backslash bar\; S]=\backslash \{Q,Q\backslash \}\; =\; \backslash \{\backslash bar\; Q,\; \backslash bar\; Q\backslash \}=\backslash \{Q,\backslash bar\; S\backslash \}\; =\; \backslash \{\backslash bar\; Q,\; S\backslash \}\; =\; \backslash \{S,S\backslash \}=\backslash \{\backslash bar\; S,\backslash bar\; S\backslash \}=0$

여기서

:$P\_\{\backslash alpha\backslash dot\backslash beta\}=\backslash sigma^\backslash mu\_\{\backslash alpha\backslash dot\backslash beta\}P\_\backslash mu$

:$K\_\{\backslash alpha\backslash dot\backslash beta\}=\backslash sigma^\backslash mu\_\{\backslash alpha\backslash dot\backslash beta\}K\_\backslash mu$

이다.

3+1차원의 $\backslash mathcal\{N\}$ 초대칭을 가진 초등각 대수는 보스 입자 생성자 $P\_\backslash mu$, $D$, $M\_\{\backslash mu\backslash nu\}$, $K\_\backslash mu$, U(1) R-대칭 $A$, SU(N) R-대칭 $T^i\_j$과 페르미온 생성자 $Q^\{\backslash alpha\; i\}$, $\backslash overline\{Q\}^\{\backslash dot\backslash alpha\}\_i$, $S^\backslash alpha\_i$ 및 $\{\backslash overline\{S\}\}^\{\backslash dot\backslash alpha\; i\}$로 주어진다.^[1][2] 여기서 $\backslash mu,\backslash nu,\backslash rho,\backslash dots$는 시공간 지수를 나타내고; $\backslash alpha,\backslash beta,\backslash dots$는 좌-수 Weyl 스피너 지수를 나타내며; $\backslash dot\backslash alpha,\backslash dot\backslash beta,\backslash dots$는 우-수 Weyl 스피너 지수를 나타내고; $i,j,\backslash dots$는 내부 R-대칭 지수를 나타낸다.

보스 입자 등각 대수의 리 초괄호는 다음과 같다.

:$[M\_\{\backslash mu\backslash nu\},M\_\{\backslash rho\backslash sigma\}]=\backslash eta\_\{\backslash nu\backslash rho\}M\_\{\backslash mu\backslash sigma\}-\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash rho\}M\_\{\backslash nu\backslash sigma\}+\backslash eta\_\{\backslash nu\backslash sigma\}M\_\{\backslash rho\backslash mu\}-\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash sigma\}M\_\{\backslash rho\backslash nu\}$

:$[M\_\{\backslash mu\backslash nu\},P\_\backslash rho]=\backslash eta\_\{\backslash nu\backslash rho\}P\_\backslash mu-\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash rho\}P\_\backslash nu$

:$[M\_\{\backslash mu\backslash nu\},K\_\backslash rho]=\backslash eta\_\{\backslash nu\backslash rho\}K\_\backslash mu-\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash rho\}K\_\backslash nu$

:$[M\_\{\backslash mu\backslash nu\},D]=0$

:$[D,P\_\backslash rho]=-P\_\backslash rho$

:$[D,K\_\backslash rho]=+K\_\backslash rho$

:$[P\_\backslash mu,K\_\backslash nu]=-2M\_\{\backslash mu\backslash nu\}+2\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}D$

:$[K\_n,K\_m]=0$

:$[P\_n,P\_m]=0$

여기서 η는 민코프스키 계량이다. 반면 페르미온 생성자의 경우 다음과 같다.

:$\backslash left\backslash \{\; Q\_\{\backslash alpha\; i\},\; \backslash overline\{Q\}\_\{\backslash dot\{\backslash beta\}\}^j\; \backslash right\backslash \}\; =\; 2\; \backslash delta^j\_i\; \backslash sigma^\{\backslash mu\}\_\{\backslash alpha\; \backslash dot\{\backslash beta\}\}P\_\backslash mu$

:$\backslash left\backslash \{\; Q,\; Q\; \backslash right\backslash \}\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash overline\{Q\},\; \backslash overline\{Q\}\; \backslash right\backslash \}\; =\; 0$

:$\backslash left\backslash \{\; S\_\{\backslash alpha\}^i,\; \backslash overline\{S\}\_\{\backslash dot\{\backslash beta\}j\}\; \backslash right\backslash \}\; =\; 2\; \backslash delta^i\_j\; \backslash sigma^\{\backslash mu\}\_\{\backslash alpha\; \backslash dot\{\backslash beta\}\}K\_\backslash mu$

:$\backslash left\backslash \{\; S,\; S\; \backslash right\backslash \}\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash overline\{S\},\; \backslash overline\{S\}\; \backslash right\backslash \}\; =\; 0$

:$\backslash left\backslash \{\; Q,\; S\; \backslash right\backslash \}\; =$

:$\backslash left\backslash \{\; Q,\; \backslash overline\{S\}\; \backslash right\backslash \}\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash overline\{Q\},\; S\; \backslash right\backslash \}\; =\; 0$

보스 입자 등각 생성자는 R-전하를 운반하지 않으며, R-대칭 생성자와 교환된다.

:$[A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0$

:$[T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0$

그러나 페르미온 생성자는 R-전하를 운반한다.

:$[A,Q]=-\backslash frac\{1\}\{2\}Q$

:$[A,\backslash overline\{Q\}]=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash overline\{Q\}$

:$[A,S]=\backslash frac\{1\}\{2\}S$

:$[A,\backslash overline\{S\}]=-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash overline\{S\}$

:$[T^i\_j,Q\_k]=\; -\; \backslash delta^i\_k\; Q\_j$

:$[T^i\_j,\{\backslash overline\{Q\}\}^k]=\; \backslash delta^k\_j\; \{\backslash overline\{Q\}\}^i$

:$[T^i\_j,S^k]=\backslash delta^k\_j\; S^i$

:$[T^i\_j,\backslash overline\{S\}\_k]=\; -\; \backslash delta^i\_k\; \backslash overline\{S\}\_j$

보스 입자 등각 변환 하에서 페르미온 생성자는 다음과 같이 변환된다.

:$[D,Q]=-\backslash frac\{1\}\{2\}Q$

:$[D,\backslash overline\{Q\}]=-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash overline\{Q\}$

:$[D,S]=\backslash frac\{1\}\{2\}S$

:$[D,\backslash overline\{S\}]=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash overline\{S\}$

:$[P,Q]=[P,\backslash overline\{Q\}]=0$

:$[K,S]=[K,\backslash overline\{S\}]=0$

7. 성질

4차원 $\backslash mathcal\; N=1$ 초등각 장론의 R전하 및 등각 무게는 '''$a$-최대화'''(a-maximization^영어)라는 방법으로 계산할 수 있다.^[7][8] 즉, 이들 값들은 항상 대수적 수이다.

8. 예

$\backslash mathcal\; N=4$ 초대칭 양-밀스 이론은 4차원 $\backslash mathcal\; N=4$ 초등각 장론이며, 이는 D3-막의 세계부피 이론이다. 6차원 (2,0) 초등각 장론을 리만 곡면에 축소화하면, '''𝒮류 이론'''(theories of class 𝒮^영어)이라는 $\backslash mathcal\; N=2$ 초등각 장론들을 얻는다.^[9] 4차원 $\backslash mathcal\; N=1$ 초등각 장론에 대하여서는 자이베르그 이중성이라는 이중성이 존재한다.

3차원에서는 베스-추미노 모형이 재규격화군 흐름의 고정점을 만나, 초등각 장론을 이룬다.^[10]

6차원에서는 6차원 (2,0) 초등각 장론이 존재한다. 이는 M5-막의 세계부피 이론이다.

참조

_[1] 서적 Confinement, Duality, and Non-Perturbative Aspects of QCD
_[2] 간행물 Superspace, or one thousand and one lessons in supersymmetry
_[3] 저널 Supersymmetries and their representations http://cds.cern.ch/r[...] 2015-06-16
_[4] 서적 Superspace, or one thousand and one lessons in supersymmetry
_[5] 저널 Restrictions imposed by superconformal invariance on quantum field theories 1998
_[6] 저널 Superconformal symmetry in three dimensions 2000-10
_[7] 저널 The exact superconformal R-symmetry maximizes $a$
_[8] 저널 Exploring the 4d Superconformal Zoo
_[9] 저널 Wall-crossing, Hitchin systems, and the WKB approximation 2013-02-15
_[10] 저널 Introduction to rigid supersymmetric theories