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SAMV

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목차

1. 개요

SAMV(Sparse Asymptotic Minimum Variance) 알고리즘은 신호의 방향각 추정 문제를 역문제로 정의하고, 균일 선형 배열(ULA)을 사용하여 여러 신호원의 방향각을 추정하는 알고리즘이다. 이 알고리즘은 반복적인 연산을 통해 신호 파라미터를 추정하며, 그리드 기반 방법의 한계를 극복하기 위해 SAMV-SML(반복적 희소 점근 최소 분산 - 확률적 최대 우도) 알고리즘을 사용하기도 한다. SAMV 알고리즘은 레인지-도플러 영상 문제에 적용될 수 있으며, 오픈 소스 MATLAB 소프트웨어로 구현되어 연구 및 개발에 활용될 수 있다.

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SAMV
개요
유형파라미터 없는 초해상도 알고리즘
분야신호 처리
이미지 처리
설계 패러다임스파스 표현
영문명Sparse Reconstruction-based Algorithm for Multi-frame Super-Resolution
기술 정보
기법초해상도 영상
영상 복원
스파스 표현
설명다중 프레임 초해상도를 위한 스파스 재구성 기반 알고리즘 (Sparse Reconstruction-based Algorithm for Multi-frame Super-Resolution)은 파라미터 조정 없이 고해상도 이미지를 생성하는 데 사용되는 알고리즘임. 이 알고리즘은 이미지의 스파스 표현을 활용하여 저해상도 이미지에서 고해상도 이미지를 재구성함.
장점파라미터 조정 불필요
효율적인 계산
다양한 이미지에 적용 가능
응용 분야의료 영상
위성 영상
보안 감시

2. 정의

SAMV 알고리즘은 도플러 레이더에 응용된 최신의 희소 모델링 기반 초해상 기술이다. 다중 신호 분류 등의 기존 방법보다 우수한 결과를 제공한다. SAMV 알고리즘은 균일 선형 배열(ULA)을 이용해 여러 신호원으로부터 수신된 신호의 방향각(DOA)을 추정하는 문제를 역문제로 정의한다.

2. 1. 수식 정의

M개의 센서를 가진 균일 선형 배열(ULA)이 K개의 협대역 신호를 수신하는 상황을 가정한다. 이 신호들은 각각 \mathbf{\theta} = \{\theta_a, \ldots, \theta_K \} 위치에 있는 소스에서 방출된다. ULA의 센서는 특정 시간 동안 N개의 스냅샷(snapshot)을 수집한다. M \times 1 차원의 스냅샷 벡터는 다음과 같이 표현된다.

: \mathbf{y}(n) = \mathbf{A} \mathbf{x}(n) + \mathbf{e}(n), n = 1, \ldots, N

여기서,

  • \mathbf{A} = [ \mathbf{a}(\theta_1), \ldots, \mathbf{a}(\theta_K) ]는 조향 행렬이다.
  • {\bf x}(n)=[{\bf x}_1(n), \ldots, {\bf x}_K(n)]^T 는 소스 파형을 포함한다.
  • {\bf e}(n)은 잡음 항이다.


\mathbf{E}\left({\bf e}(n){\bf e}^H(\bar{n})\right)= \sigma{\bf I}_M\delta_{n,\bar{n}}라고 가정한다. 여기서 \delta_{n,\bar{n}}은 디랙 델타이며, n=\bar{n}일 때만 1이고, 그렇지 않으면 0이다. 또한 {\bf e}(n)과 {\bf x}(n)이 독립적이고, \mathbf{E}\left({\bf x}(n){\bf x}^H(\bar{n})\right)={\bf P}\delta_{n,\bar{n}}라고 가정한다. 여기서 {\bf P}= \operatorname{Diag}( {p_1,\ldots,p_K})이다. {\bf p}를 알려지지 않은 신호 전력 및 잡음 분산을 포함하는 벡터라고 하고, {\bf p} = [p_1,\ldots,p_K, \sigma]^T라고 정의한다.

\boldsymbol{\bf p}에 대한 모든 정보를 포함하는 {\bf y}(n)의 공분산 행렬은 다음과 같다.

: {\bf R} = {\bf A}{\bf P}{\bf A}^H+\sigma{\bf I}.

이 공분산 행렬은 샘플 공분산 행렬 {\bf R}_{N} = {\bf Y}{\bf Y}^H/N으로 추정될 수 있다. 여기서 {\bf Y} =[{\bf y}(1), \ldots,{\bf y}(N)]이다. 행렬 {\bf R}에 벡터화 연산자를 적용하면, 벡터 {\bf r}(\boldsymbol{\bf p}) = \operatorname{vec}({\bf R})를 얻을 수 있다. 이 벡터는 알려지지 않은 매개변수 \boldsymbol{\bf p}와 다음과 같은 선형 관계를 갖는다.

: {\bf r}(\boldsymbol{\bf p}) = \operatorname{vec}({\bf R})={\bf S}\boldsymbol{\bf p}

여기서 {\bf S}= [{\bf S}_1,\bar{\bf a}_{K+1}], {\bf S}_1 =[\bar{\bf a}_1,\ldots,\bar{\bf a}_K], \bar{\bf a}_k = {\bf a}^{*}_k \otimes{\bf a}_k, k=1,\ldots, K이고, \bar{\bf a}_{K+1} = \operatorname{vec}({\bf I})이다. \otimes는 크로네커 곱을 나타낸다.

3. SAMV 알고리즘

SAMV 알고리즘은 도플러 레이더에 적용된 최신의 희소 모델링 기반 초해상 기술로, 다중 신호 분류 등의 기존 방법보다 우수한 결과를 제공한다. SAMV 알고리즘은 점근적 최소 분산 기준에 기반하여 반복적인 연산을 통해 신호 파라미터를 추정한다.[1]

3. 1. 반복적 최소 분산 추정

확률적 최대 우도 비용 함수를 반복적으로 최소화하여 위치 추정을 개선하는 SAMV-SML (반복적 희소 점근 최소 분산 - 확률적 최대 우도) 방법이 제안되었다.[1] 이 방법은 대부분의 압축 센싱 기반 소스 위치 추정 기술의 분해능이 위치 매개변수 공간을 커버하는 방향 그리드의 미세함에 의해 제한되는 문제를 해결하기 위해 개발되었다.

통계량 {\bf r}_N에서 파라미터 \boldsymbol{\bf p}를 추정하기 위해, 점근적으로 최소 분산 기준에 기반한 일련의 반복적인 SAMV 접근 방식이 사용된다. 2차 통계량 {\bf r}_N에 기반한 \boldsymbol{p}의 임의의 일관 추정기의 공분산 행렬 \operatorname{Cov}^\operatorname{Alg}_{\boldsymbol{p}}는 실수 대칭 양의 정부호 행렬에 의해 다음과 같이 제한된다.

: \operatorname{Cov}^\operatorname{Alg}_{\boldsymbol{p}}\geq[{\bf S}^H_d {\bf C}^{-1}_r{\bf S}_d]^{-1},

여기서 {\bf S}_d = {\rm d}{\bf r}(\boldsymbol{p})/ {\rm d}\boldsymbol{p}이다. 이 하한은 다음을 최소화하여 얻은 \hat{\bf p}의 점근 분포의 공분산 행렬에 의해 달성된다.

: \hat{\boldsymbol{p}} =\arg \min_{\boldsymbol{p}} f(\boldsymbol{p}),

여기서

f(\boldsymbol{p}) = [{\bf r}_N-{\bf r}(\boldsymbol{p})]^H {\bf C}_r^{-1} [{\bf r}_N-{\bf r}(\boldsymbol{p})].

따라서, \boldsymbol{\bf p}의 추정치는 반복적으로 얻을 수 있다.

f(\boldsymbol{p})를 최소화하는 \{\hat{p}_k\}_{k=1}^K 및 \hat{\sigma}는 다음과 같이 계산할 수 있다. i번째 반복에서 \hat{p}^{(i)}_k 및 \hat{\sigma}^{(i)}가 특정 정도로 근사되었다고 가정하면, (i+1)번째 반복에서 다음을 통해 개선할 수 있다.

:

\hat{p}^{(i+1)}_k = \frac{\bf R}_N {\bf R}^{-1{(i)}}{\bf a}_k}{ ({\bf a}^H_k{\bf R}^{-1{(i)}}{\bf a}_k)^2}+\hat{p}^{(i)}_k-\frac{1}{\bf a}_k}, \quad k=1, \ldots,K

:

\hat{\sigma}^{(i+1)} = \left(\operatorname{Tr}({\bf R}^{-2^{(i)}}{\bf R}_N) + \hat{\sigma}^{(i)}\operatorname{Tr}({\bf R}^{-2^{(i)}}) -\operatorname{Tr}({\bf R}^{-1^{(i)}})\right)/{\operatorname{Tr}{({\bf R}^{-2^{(i)}})}},

여기서 i번째 반복에서의 {\bf R}의 추정치는 {\bf P}^{(i)}=\operatorname{Diag}(\hat{p}^{(i)}_1, \ldots, \hat{p}^{(i)}_K)를 사용하여 {\bf R}^{(i)}={\bf A}{\bf P}^{(i)}{\bf A}^H+\hat{\sigma}^{(i)}{\bf I}로 주어진다.

4. 그리드 한계 이상의 고정밀

대부분의 압축 센싱 기반 신호원 위치 추정 기술은 방향 그리드의 정밀도에 의해 해상도가 제한된다.[4] 희소 신호 복구 모델에서 참 신호의 희소성은 과완전 사전의 인접 요소 사이 거리에 의존하기 때문에 최적의 과완전 사전을 선택하기 어렵다. 계산 복잡성은 방향 그리드의 정밀도에 정비례하며, 매우 조밀한 그리드는 계산상 실용적이지 않다. 이러한 그리드에 의해 부과된 해상도 제한을 극복하기 위해 그리드 없는 SAMV-SML 방법이 제안되었다.

4. 1. SAMV-SML

'''SAMV-SML''' ('''반복적 희소 점근 최소 분산 - 확률적 최대 우도''')은 그리드 없는 방법으로,[1] 단일 스칼라 파라미터 \theta_k에 대해 반복적으로 확률적 최대 우도 비용 함수를 최소화하여 위치 추정 \boldsymbol{\bf \theta}=(\theta_1,\ldots,\theta_K)^T를 개선한다.[1] 이는 압축 센싱 기반 소스 위치 추정 기술의 해상도가 방향 그리드의 정밀도에 의해 제한되는 문제를 해결하기 위해 제안되었다.[4]

5. 응용 분야

SAMV 알고리즘은 레이다 및 소나 시스템에서 레인지-도플러 영상을 생성하는 데 활용된다. 특히, 도플러 레이다에서 신호 처리 기술로 사용된다. SAMV 알고리즘은 기존의 방법보다 우수한 결과를 제공하며, 특히 도플러 축에서의 분해능이 뛰어나지만, 약한 신호(5dB)의 표적을 놓치는 경우가 발생할 수 있다.

5. 1. 레인지-도플러 영상

SAMV 알고리즘은 도플러 레이다의 레인지-도플러 영상 생성에 사용된다.[1] 이 방식은 단일 스냅샷 응용 프로그램에 적합하며, 정합 필터(MF), IAA, 그리고 SAMV 알고리즘의 변형(SAMV-0)과 같은 알고리즘들이 사용된다.[5]



시뮬레이션 환경은 다음과 같다. 30개 요소로 구성된 다상 펄스 압축 P3 코드를 전송 펄스로 사용하고, 총 9개의 이동 표적을 시뮬레이션한다. 이 중 3개는 5dB 전력, 나머지 6개는 25dB 전력을 가진다. 수신 신호는 0dB 전력의 균일한 백색 가우시안 노이즈에 오염된 것으로 가정한다.[5]

정합 필터 방식은 도플러 및 레인지 영역 모두에서 스미어링(Smearing) 및 누설 효과로 인해 5dB 표적을 구별하기 어렵다. IAA 알고리즘은 향상된 영상 결과를 제공하지만, SAMV-0 방식은 스미어링 효과를 제거하는 대신 5dB의 약한 표적을 놓치는 경우가 있다.[1][5]

6. 오픈 소스 소프트웨어

SAMV 알고리즘은 오픈 소스 MATLAB 소프트웨어로 구현되어 있어 연구 및 개발에 활용할 수 있다. 해당 소프트웨어는 [https://qilin-zhang.github.io/_pages/zips/Iterative_Sparse_Asymptotic_Minimum_Variance_Based_Approach_Matlab_Codes.zip?raw=true 여기]에서 다운로드할 수 있다.

참조

[1] 논문 Iterative Sparse Asymptotic Minimum Variance Based Approaches for Array Processing https://qilin-zhang.[...]
[2] 논문 SAR imaging via efficient implementations of sparse ML approaches http://portal.resear[...]
[3] 논문 DOA Estimation of Noncircular Signal Based on Sparse Representation 2015-02-03
[4] 논문 A sparse signal reconstruction perspective for source localization with sensor arrays
[5] 논문 Source Localization and Sensing: A Nonparametric Iterative Adaptive Approach Based on Weighted Least Squares


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