파수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 복소 파수
3. 주파수와의 관계
- 3.1. 파수와 주파수의 관계식
4. 파동 방정식에서의 파수
- 4.1. 분산 관계
5. 분광학에서의 파수
- 5.1. 뤼드베리 공식
- 5.2. 플랑크 관계식
6. 파수 벡터
- 6.1. 파동역학에서의 파수 벡터
7. 선형 매질에서의 평면파
- 7.1. 전파 인자
- 7.2. 감쇠 정수
참조

1. 개요

파수는 파장의 역수로 정의되며, 분광학 및 파동역학 등 다양한 분야에서 사용되는 개념이다. 파수는 각파수와 밀접한 관련이 있으며, 주파수, 에너지, 운동량 등과도 연관된다. 파수는 전자기파, 물질파 등 다양한 파동의 특성을 설명하는 데 사용되며, 특히 분광학에서는 빛의 파장 대신 파수를 사용하여 스펙트럼을 분석한다.

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파수
파수
기본 정보
기호	k,
차원	L
종류	벡터
SI 단위	매미터 (m)
CGS 단위	카이저 (K)
FPS 단위	매피트 (ft)
각파수	}}
로마자 표기법	k
다른 뜻
영어
영어	wave number

2. 정의

파수는 단위 거리당 파장의 수를 나타내는 물리량이다. 주로 분광법과 화학 분야에서 사용되며, 일반적으로 센티미터(cm⁻¹) 단위를 사용한다.^[1] 이론 물리학에서는 단위 거리당 라디안 수로 정의되는 각파수를 사용하기도 한다.^[6]

파수는 파장(λ)을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

: $\tilde{\nu} \;=\; \frac{1}{\lambda}$

이론 물리학에서 사용되는 각파수는 다음과 같이 정의된다.

: $k \;=\; \frac{2\pi}{\lambda}$

분광법에서는 파수를 CGS 단위계(cm⁻¹)로 나타내는 것이 일반적이다. 과거에는 하인리히 카이저의 이름을 따서 "카이저(Kayser)"라고 불렸으며, 1K = 1cm⁻¹이다.^[8]

2. 1. 기본 정의

'''파수'''(wave number)는 파장(λ)의 역수로 표현되며, 단위 거리당 파장의 수를 나타낸다. 주로 분광법과 화학 분야에서 사용되며, 일반적으로 센티미터(cm⁻¹) 단위를 사용한다. 파수는 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

\tilde{\nu} \;=\; \frac{1}{\lambda}

여기서 λ는 파장이다.

공간 주파수와 같으며,^[1] 이론 물리학에서는 단위 거리당 라디안 수로 정의되는 각파수(때로는 "각파수"라고도 불림)가 더 자주 사용된다.^[6]

:

k \;=\; \frac{2\pi}{\lambda}

분광법에서는 파수를 CGS 단위계인 역 센티미터(cm⁻¹)로 나타내는 것이 일반적이다. 과거에는 하인리히 카이저의 이름을 따서 "카이저(Kayser)"라고 불렸으며, 1K = 1cm⁻¹이다.^[8]

진공에서 전자기파의 경우 파수는 주파수와 광자 에너지에 정비례하므로, 분광법에서 에너지 단위로 사용되기도 한다.

2. 2. 복소 파수

복소수 유전율

\varepsilon_r

, 복소수 투자율

\mu_r

, 굴절률 ''n''을 갖는 매질에서 복소 파수(wavenumber)는 다음과 같이 정의할 수 있다.^[9]

:

k = k_0 \sqrt{\varepsilon_r\mu_r} = k_0 n

여기서 ''k''₀는 자유 공간 파수이다. 파수의 허수 부분은 단위 거리당 감쇠를 나타내며, 지수적으로 감쇠하는 에반네센트 필드 연구에 유용하다.

3. 주파수와의 관계

파수는 공간상의 개념으로, 주파수와 마찬가지로 공간 주파수로 비교할 수 있다. 공간 주파수는 '매질에서의 에너지 이동 속도 / 파장' (f = c/λ)으로 계산된다.^[1] 예를 들어, 공기나 진공에서 전파의 속도는 초당 30만 km이며, 300MHz 주파수에서 파장은 1m이다.

파수는 분광법과 화학 분야에서 사용되며, 단위 거리당 파장의 수로 표현된다. 주로 센티미터(cm⁻¹) 단위를 사용하며, "분광 파수"라고도 불린다.^[1]

3. 1. 파수와 주파수의 관계식

파수(

k

)와 주파수(f)의 관계는 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

f

= c *

k

/

2\pi

:

k

=

2\pi

* f / c

여기서 c는 매질에서의 에너지 이동 속도이다. 주어진 매질에서 파수는 주파수에 비례하며, 에너지 이동 속도가 빠르면 주파수는 증가한다.

파수는 보통 단위 거리당 파장의 수로 표현되며, 센티미터(cm⁻¹) 단위를 사용한다. 이는 공간 주파수와 같다.^[1] 예를 들어, 역 센티미터 단위의 파수에 광속 (29.9792458cm/ns)을 곱하면 기가헤르츠(GHz) 단위의 주파수로 변환된다.^[5]

이론 물리학에서는 단위 거리당 라디안 수로 표현되는 각 파수(

k \;=\; \frac{2\pi}{\lambda}

)가 사용되기도 한다.^[6] 파수가 ν 로 표현될 때도 주파수를 나타내며, 다음 관계를 따른다.^[7]

\frac{\nu_\text{s}}{c} \;=\; \frac{1}{\lambda} \;\equiv\; \tilde{\nu} ,

여기서 _s는 헤르츠 단위의 주파수이다.

파수의 SI 단위는 미터의 역수(m⁻¹)이며, 분광법에서는 CGS 단위계인 역 센티미터(cm⁻¹)가 주로 사용된다. 과거에는 하인리히 카이저의 이름을 따서 "카이저(Kayser)" (K)라고 불리기도 했다.^[8]

진공에서 전자기파의 경우 파수는 주파수와 광자 에너지에 정비례하므로, 분광법에서 에너지 단위로 사용된다.

물리화학과 분광학에서 파수($\tilde{\nu}$)는 파장($\lambda$)의 역수이며 ($\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda}$), 빛의 주파수($\nu$)와 다음과 같은 관계를 가진다.

$\tilde{\nu} = \frac{\nu}{c}$

역사적으로 파수는 1880년대 요하네스 뤼드베리에 의해 처음 주목받았고, 1908년 뤼드베리-리츠 결합 원리에 나타났다. 이후 양자론을 통해 에너지 준위 차이가 파수나 주파수에 비례함이 밝혀졌다. 예를 들어, 수소 스펙트럼 계열은 뤼드베리 공식으로 표현된다.

$\tilde{\nu} = R_\infin\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)$

여기서, $R_\infin$는 뤼드베리 상수, $n, m (n < m)$은 주양자수이다.

4. 파동 방정식에서의 파수

파동 방정식에서 파수는 파동의 위상 속도, 진동수, 파장 등과 관련된다.^[13] 파수는 군 속도를 정의하는 데에도 사용된다.

파동역학에서 파수는 정현파의 파수를 가리키며, 다음 공식으로 표현된다.

: $k=\frac{2\pi}{\lambda}$

여기서 는 파수, 는 파장을 의미한다. 즉, 1파장 분의 파동을 1개로 셀 때, 파수 는 단위 길이당 파동의 개수를 배 한 것이다. 는 '''각파수'''라고도 불린다.

정현파 는 진폭 , 진동수 , 파장 를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $u=A\sin2\pi\left(\nu t-\frac{x}{\lambda}\right)=A\sin(\omega t-kx)$

여기서 는 시간, 는 위치, 는 각진동수를 나타낸다.

파수 는 종종 푸리에 변환에서 실공간 좌표의 쌍대로 사용된다. 양자역학에서는 파수 벡터 에 디랙 상수 를 곱한 가 운동량 에 대응한다.^[14]

4. 1. 분산 관계

일반적으로 각파수 ''k''(즉, 파동 벡터의 크기)는 다음과 같이 주어진다.

:

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi\nu}{v_\mathrm{p}}=\frac{\omega}{v_\mathrm{p}}

여기서 ''ν''는 파의 진동수, ''λ''는 파장, ''ω'' = 2''πν''는 파의 각진동수, ''v''_p는 파의 위상 속도이다. 파수에 대한 진동수의 의존성(또는 더 일반적으로 파수에 대한 진동수)을 분산 관계라고 한다.

진공에서 빛의 속도로 진행하는 전자기파의 특수한 경우에는 ''k''가 다음과 같이 주어진다.

:

k = \frac{E}{\hbar c} = \frac{\omega}{c}

여기서 ''E''는 파의 에너지, ''ħ''는 환산 플랑크 상수, ''c''는 진공에서의 빛의 속도이다.

전자파와 같은 물질파의 특수한 경우, 비상대론적 근사(즉, 입자가 위치 에너지를 갖지 않는 자유 입자의 경우)에서:

:

k \equiv \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{p}{\hbar}= \frac{\sqrt{2 m E }}{\hbar}

여기서 ''p''는 입자의 운동량, ''m''은 입자의 질량, ''E''는 입자의 운동 에너지, ''ħ''는 환산 플랑크 상수이다.^[13]^[14]

5. 분광학에서의 파수

분광학에서 파수는 에너지 단위로 사용되며, 원자 및 분자의 스펙트럼을 분석하는 데 유용하다. 파수는 단위 거리당 파장의 수로, 보통 센티미터(cm⁻¹) 단위를 사용하며, 이는 공간 주파수와 같다. 예를 들어 역 센티미터 단위의 파수는 (광속, 나노초당 센티미터)를 곱하여 기가헤르츠 단위의 주파수로 변환할 수 있다.^[5]

분광학적 파수(cm⁻¹)는 시간 주파수(헤르츠 단위)를 진공에서의 광속(cm⋅s⁻¹)으로 나눈 값이다.

: $\tilde{\nu} = \frac{\nu}{c} = \frac{\omega}{2\pi c}.$

이러한 분광학적 파수를 사용하는 역사적 이유는 간섭계를 사용하여 원자 스펙트럼을 연구할 때 cm당 간섭무늬 개수를 세는 것이 편리했기 때문이다. 분광학적 파수는 진공에서 빛의 파장의 역수이며, 이는 공기 중에서도 거의 동일하게 유지된다. 이러한 파수는 요하네스 뤼드베리의 계산에서 1880년대 처음 사용되었고, 1908년의 뤼드베리-리츠 결합 원리도 파수로 공식화되었다. 분광학적 파수는 이러한 기기가 공기 또는 진공에서 작동할 때 회절격자에서 산란되는 빛의 각도와 간섭계에서 간섭무늬 사이의 거리와 직접적으로 관련이 있다.^[8]

5. 1. 뤼드베리 공식

요하네스 뤼드베리의 계산에서 처음 사용된 파수는 1908년 뤼드베리-리츠 결합 원리에서도 파수로 공식화되었다. 몇 년 후, 스펙트럼 선은 에너지 준위의 차이로 양자역학에서 이해될 수 있었는데, 에너지는 파수 또는 주파수에 비례한다. 예를 들어, 수소 원자의 방출 스펙트럼의 분광학적 파수는 뤼드베리 공식에 의해 주어진다.^[11]

:^2} - \frac{1}^2}\right)|수식|뤼드베리 공식}}

여기서 ''R''은 뤼드베리 상수이고, ''n''_i와 ''n''_f는 각각 초기 및 최종 준위의 주양자수이다(''n''_i는 방출의 경우 ''n''_f보다 크다).^[11]

5. 2. 플랑크 관계식

파수는 플랑크 관계식에 의해 광자당 에너지 ''E''로 변환될 수 있다.^[7]

:

E = hc\tilde{\nu}.

여기서 ''h''는 플랑크 상수, ''c''는 광속,

\tilde{\nu}

는 파수이다.

6. 파수 벡터

'''파수 벡터'''(wave vector^영어)는 크기가 파수와 같고, 파동이 진행하는 방향을 가리키는 벡터이다. 예를 들어, 평면파 $\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf r)$ 의 파수 벡터는 $\mathbf k$ 이고, 구면파 $\exp(ikr)/r$ 의 파수 벡터는 $k\hat{\mathbf r}$ 이다.

고전적으로 파수 벡터는 파면의 법선 방향(즉, 파의 전파 방향)을 향하고, 크기는 파수인 벡터로 정의된다.

파수 벡터 $\boldsymbol{k}$ 는 충분히 큰 정수의 집합 $(N_1, N_2, N_3)$ 을 생각하면, 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\boldsymbol{k}=\frac{m_1}{N_1}\boldsymbol{b}_1+\frac{m_2}{N_2}\boldsymbol{b}_2+\frac{m_3}{N_3}\boldsymbol{b}_3$

여기서 $\boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3)$ 는 역격자 공간에서의 기본 병진 벡터이다. 정수 $m = (m_1, m_2, m_3)$ 는 다양한 범위로 설정할 수 있지만, 한 예로 각각 $(0, \cdots, N_1 - 1; 0, \cdots, N_2 - 1; 0, \cdots, N_3 - 1)$ 범위의 임의의 정수로 설정할 수 있다.

6. 1. 파동역학에서의 파수 벡터

파동역학에서 정현파의 파수는 파장의 역수에 $2\pi$를 곱한 값이다. 즉,

:

k=\frac{2\pi}{\lambda}

(여기서 $k$는 파수, $\lambda$는 파장)

이는 1파장 길이의 파동을 1개로 셀 때, 단위 길이당 파동 개수의 $2\pi$배에 해당한다. 이 $k$는 '''각파수''' (angular wavenumber^영어)라고도 불린다.

정현파 $u$는 진폭 $A$, 진동수 $\nu$, 파장 $\lambda$를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

u=A\sin2\pi\left(\nu t-\frac{x}{\lambda}\right)=A\sin(\omega t-kx)

여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $\omega$는 각진동수이다.^[13]

파수 $k$는 푸리에 변환에서 실공간 좌표의 쌍대 공간 변수로 사용되기도 한다. 양자역학에서는 파수 벡터 $\mathbf{k}$에 디랙 상수 $\hbar$를 곱한 $\hbar\mathbf{k}$가 운동량 $\mathbf{p}$에 대응된다.^[14]

7. 선형 매질에서의 평면파

선형 매질에서 평면파의 전파는 파수로 표현될 수 있다.^[10] 파장, 위상 속도, 표피 깊이는 파수의 성분과 간단한 관계를 가진다.

7. 1. 전파 인자

선형 매질 내에서 양의 x 방향으로 진행하는 정현파 평면파의 전파 인자는 다음과 같이 주어진다.^[10]

:

P = e^{-jkx}

여기서

$k = k' - jk'' = \sqrt{-\left(\omega \mu '' + j \omega \mu' \right) \left(\sigma + \omega \varepsilon '' + j \omega \varepsilon ' \right) }\;$
$k' =$ 위상정수 (단위: 라디안/미터)
$k'' =$ 감쇠정수 (단위: 네퍼/미터)
$\omega =$ 각 주파수
$x =$ x 방향으로 진행한 거리
$\sigma =$ 전도도 (단위: 지멘스/미터)
$\varepsilon = \varepsilon' - j\varepsilon'' =$ 복소 유전율
$\mu = \mu' - j\mu'' =$ 복소 투자율
$j=\sqrt{-1}$

손실 매질에서의 전파와의 일관성을 위해 부호 규칙이 선택되었다. 감쇠 정수가 양수이면 파동의 진폭은 x 방향으로 진행함에 따라 감소한다.

파장, 위상 속도, 및 표피 깊이는 파수의 성분과 간단한 관계를 갖는다.

:

\lambda = \frac {2 \pi} {k'} \qquad  v_p = \frac {\omega} {k'}   \qquad  \delta = \frac 1 {k''}

7. 2. 감쇠 정수

선형 매질 내에서 양의 x 방향으로 진행하는 정현파 평면파의 전파 인자는 다음과 같이 주어진다.^[10]

:

P = e^{-jkx}

여기서

$k = k' - jk'' = \sqrt{-\left(\omega \mu '' + j \omega \mu' \right) \left(\sigma + \omega \varepsilon '' + j \omega \varepsilon ' \right) }\;$
$k' =$ 위상정수 (단위: 라디안/미터)
$k'' =$ 감쇠정수 (단위: 네퍼/미터)
$\omega =$ 각 주파수
$x =$ x 방향으로 진행한 거리
$\sigma =$ 전도도 (단위: 지멘스/미터)
$\varepsilon = \varepsilon' - j\varepsilon'' =$ 복소 유전율
$\mu = \mu' - j\mu'' =$ 복소 투자율
$j=\sqrt{-1}$

손실 매질에서의 전파와의 일관성을 위해 부호 규칙이 선택되었다. 감쇠 정수가 양수이면 파동의 진폭은 x 방향으로 진행함에 따라 감소한다.

참조

_[1] ISO 표준 ISO 80000-3:2019 Quantities and units – Part 3: Space and time
_[2] 서적 Fundamental Principles of Environmental Physics https://books.google[...] Springer International Publishing 2022-12-04
_[3] 서적 Understanding Earth Observation: The Electromagnetic Foundation of Remote Sensing https://books.google[...] Springer International Publishing 2022-12-04
_[4] 서적 Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing https://books.google[...] Society of Exploration Geophysicists 2022-12-04
_[5] 웹사이트 NIST: Wavenumber Calibration Tables - Description https://physics.nist[...] 2018-03-19
_[6] 웹사이트 Wavenumber -- from Eric Weisstein's World of Physics http://scienceworld.[...] 2018-03-19
_[7] 웹사이트 Wave number http://www.britannic[...] 2015-04-19
_[8] 학술지 Electronic absorption spectrum of cobalt antipyrine complex 1981
_[9] 문서 http://www.ece.rutge[...]
_[10] 서적 Time-Harmonic Electromagnetic Fields McGraw-Hill
_[11] 멀티참조 Boson Peaks and Glass Formation https://zenodo.org/r[...]
_[12] 서적 Modern spectroscopy https://books.google[...] John Wiley & Sons 2004
_[13] 백과사전 日本大百科全書 (파수)
_[14] 백과사전 ブリタニカ百科事典 (파수 벡터)

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