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스펙트럼 누설

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목차

1. 개요

스펙트럼 누설은 푸리에 변환을 사용할 때 나타나는 현상으로, 주파수 성분이 다른 주파수에도 영향을 미쳐 스펙트럼이 퍼져 보이는 현상을 말한다. 이는 윈도우 함수를 사용하여 신호를 분석할 때 발생하며, 윈도우 함수의 선택에 따라 스펙트럼 누설의 정도가 달라진다. 스펙트럼 누설은 주파수가 가깝거나 강도가 다른 신호를 구별하는 능력을 저하시킬 수 있으며, 윈도우 함수의 분해능, 동적 범위, 감도와 밀접한 관련이 있다. 윈도우 함수의 선택은 분석 목적에 따라 달라지며, 직사각형 윈도우는 높은 분해능과 감도를 가지지만 동적 범위는 낮고, 한 윈도우, 해밍 윈도우와 같은 중간 윈도우는 협대역 응용 분야에 사용된다. 이산 시간 신호의 경우 이산 푸리에 변환(DFT)을 통해 스펙트럼을 분석하며, 윈도우 함수의 잡음 대역폭은 스펙트럼 누설의 정도를 나타내는 지표로 사용된다. 스펙트럼 누설은 윈도우 함수 자체에 의해 발생하며, DFT는 이를 관찰하는 도구이다.

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스펙트럼 누설

2. 스펙트럼 분석

푸리에 변환은 신호의 주파수 성분을 분석하는 방법이다. 함수 cos(ωt)의 푸리에 변환은 주파수 ±ω를 제외하고는 0이다. 그러나 다른 많은 함수와 파형은 편리한 폐쇄형 변환을 갖지 않거나, 특정 시간 동안에만 스펙트럼 내용에 관심이 있을 수 있다. 어느 경우든 푸리에 변환(또는 유사한 변환)은 파형의 하나 이상의 유한한 간격에 적용될 수 있다. 일반적으로 변환은 파형과 윈도우 함수의 곱에 적용된다. 사각 윈도우를 포함한 모든 윈도우는 이 방법으로 계산된 스펙트럼 추정에 영향을 미친다.

윈도우 처리되지 않은 푸리에 변환이 하나의 주파수를 제외하고 모두 0인 사인파 s(t) 함수에 미치는 영향은, 윈도우 처리된 푸리에 변환이 단순히 윈도우 함수 자체의 푸리에 변환이기 때문에, 선택된 일반적인 주파수 0 Hz에서 가장 쉽게 특징지을 수 있다.

:\mathcal{F}\{ w(t)\cdot \underbrace{\cos(2\pi 0 t)}_{1}\} = \mathcal{F}\{ w(t)\}.

샘플링과 윈도우 처리가 s(t)에 순서에 상관없이 모두 적용되면, 윈도우 처리로 인한 누설은 주파수 성분의 비교적 국소적인 확산으로, 종종 블러링 효과를 나타내는 반면, 샘플링으로 인한 앨리어싱은 전체 블러 처리된 스펙트럼의 주기적인 반복이다.

사인파를 윈도우 처리하면 사인파가 사각 윈도우 내에 정수 사이클을 갖더라도 스펙트럼 누설이 발생한다. 누설은 두 번째 행, 파란색 트레이스에서 분명하게 나타난다. 이는 정수 사이클을 갖지 않는 약간 더 높은 주파수를 나타내는 빨간색 트레이스와 동일한 양이다. 사인파를 샘플링하고 윈도우 처리하면 해당 이산 시간 푸리에 변환도 동일한 누설 패턴을 나타낸다(3, 4행). 그러나 DTFT가 특정 간격으로 드물게 샘플링될 때 다음 중 하나를 수행하는 것이 가능합니다(관점에 따라): (1) 누설을 피하거나, (2) 누설이 없는 환상을 만들 수 있다. 파란색 사인파 DTFT(3행, 오른쪽)의 경우, 해당 샘플은 이산 푸리에 변환(DFT)의 출력이다. 빨간색 사인파 DTFT(4행)는 동일한 간격의 영교차점을 갖지만, DFT 샘플은 그 사이에서 떨어지며 누설이 드러난다.

2. 1. 푸리에 변환

푸리에 변환은 신호를 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환하는 수학적 도구이다. cos(ωt)와 같은 함수의 푸리에 변환은 주파수 ±ω를 제외하고는 0이다. 그러나 다른 많은 함수와 파형은 편리한 폐쇄형 변환을 갖지 않거나, 특정 시간 동안에만 스펙트럼 내용에 관심이 있을 수 있다. 어느 경우든 푸리에 변환(또는 유사한 변환)은 파형의 하나 이상의 유한한 간격에 적용될 수 있다. 일반적으로 변환은 파형과 윈도우 함수의 곱에 적용된다. 사각 윈도우를 포함한 모든 윈도우는 이 방법으로 계산된 스펙트럼 추정에 영향을 미친다.

윈도우 처리되지 않은 푸리에 변환이 하나의 주파수를 제외하고 모두 0인 사인파 s(t) 함수에 미치는 영향은, 윈도우 처리된 푸리에 변환이 단순히 윈도우 함수 자체의 푸리에 변환이기 때문에, 선택된 일반적인 주파수 0 Hz에서 가장 쉽게 특징지을 수 있다.

:\mathcal{F}\{ w(t)\cdot \underbrace{\cos(2\pi 0 t)}_{1}\} = \mathcal{F}\{ w(t)\}.

샘플링과 윈도우 처리가 s(t)에 순서에 상관없이 모두 적용되면, 윈도우 처리로 인한 누설은 주파수 성분의 비교적 국소적인 확산으로, 종종 블러링 효과를 나타내는 반면, 샘플링으로 인한 앨리어싱은 전체 블러 처리된 스펙트럼의 주기적인 반복이다.

스펙트럼 누설은 이산 푸리에 변환에 의해 발생하고, 윈도우 함수를 사용하여 완화한다는 오해가 있을 수 있다. 실제로는 윈도우 함수가 스펙트럼 누설의 근본적인 원인이며, 이산 푸리에 변환은 누설이 없는 듯한 착각을 일으키는 기법이다. 또한, 사각 윈도우가 필요하며, 신호의 스펙트럼 요소는 이산 푸리에 변환의 기본 함수와 일치해야 한다고 여겨진다. 그러나 윈도우 함수를 거친 신호의 푸리에 변환을 실제로 수행하면, 항상 스펙트럼 누설이 발생한다는 것이 명백해진다.

2. 2. 윈도우 함수

스펙트럼 누설은 이산 푸리에 변환(DFT)에 의해 발생하며, 창 함수를 사용하여 완화한다는 오해가 있을 수 있다. 실제로는 윈도우 함수가 스펙트럼 누설의 근본적인 원인이며, DFT는 누설이 없는 듯한 착각을 일으키는 기법이다. 윈도우 함수를 거친 신호의 푸리에 변환을 실제로 수행하면, 항상 스펙트럼 누설이 발생한다.[6]

cos(''ωt'')영어와 같은 단순한 파형을 윈도잉하면 푸리에 변환이 ''ω'' 이외의 주파수에서 0이 아닌 값을 갖게 되는데, 이를 스펙트럼 누설이라고 한다. 누설은 ''ω'' 근처에서 가장 심하고, ''ω''에서 가장 멀리 떨어진 주파수에서 가장 적다.

일반적으로 푸리에 변환은 파형과 윈도우 함수의 곱에 적용된다. 사각 윈도우를 포함한 모든 윈도우는 이 방법으로 계산된 스펙트럼 추정에 영향을 미친다. 샘플링과 윈도우 처리가 순서에 상관없이 모두 적용되면, 윈도우 처리로 인한 누설은 주파수 성분의 비교적 국소적인 확산(블러링 효과)을 일으키고, 샘플링으로 인한 앨리어싱은 전체 블러 처리된 스펙트럼의 주기적인 반복을 야기한다.

2. 2. 1. 윈도우 함수의 선택

창 함수는 스펙트럼 누설을 증대시키는데, 경우에 따라서는 가장 피해가 적은 장소에 누설이 생기도록 설계할 수 있다. 일반적으로 주파수가 인접한 동일 강도의 신호를 식별하는 것과, 다른 주파수의 강도가 상이한 신호를 식별하는 것은 트레이드 오프 관계에 있다.[6]

분석 중인 파형이 서로 다른 주파수를 가진 두 개의 정현파로 구성된 경우, 누설은 이들을 스펙트럼적으로 구별하는 능력을 방해할 수 있다. 가능한 간섭 유형은 두 가지로 나눌 수 있다. 구성 주파수가 서로 다르고 한 구성 요소가 약한 경우, 더 강한 구성 요소의 누설이 약한 구성 요소의 존재를 가릴 수 있다. 그러나 주파수가 너무 유사하면 정현파의 강도가 같더라도 누설로 인해 이를 ''해결할 수 없게'' 될 수 있다.

구성 요소가 서로 다른 주파수와 진폭을 갖는 경우, 즉 첫 번째 유형의 간섭에 효과적인 창을 ''높은 동적 범위''라고 한다. 반대로, 유사한 주파수와 진폭을 가진 구성 요소를 구별할 수 있는 창을 ''높은 분해능''이라고 한다.

직사각형 윈도우는 ''높은 분해능''이지만 ''낮은 동적 범위''를 가지는 윈도우의 한 예이다. 즉, 주파수가 가까울 때도 유사한 진폭의 구성 요소를 구별하는 데는 좋지만, 주파수가 멀리 떨어져 있어도 다른 진폭의 구성 요소를 구별하는 데는 좋지 않다. 직사각형 윈도우와 같은 고해상도, 저동적 범위 윈도우는 또한 높은 '''''감도'''''의 특징을 가지고 있다. 이는 가산적인 임의 잡음이 있는 상태에서 비교적 약한 정현파를 드러내는 능력이다.

윈도우 유형 범위의 다른 극단에는 높은 동적 범위, 낮은 분해능 및 감도를 가진 윈도우가 있다. 고동적 범위 윈도우는 분석되는 스펙트럼에 다양한 진폭의 많은 다른 구성 요소가 포함될 것으로 예상되는 ''광대역 응용 분야''에서 가장 자주 사용된다.

극단 사이에는 한 윈도우 및 해밍 윈도우와 같은 중간 윈도우가 있다. 이는 전화 채널의 스펙트럼과 같은 ''협대역 응용 분야''에서 일반적으로 사용된다.

요약하면, 스펙트럼 분석에는 유사한 주파수를 가진 동등한 강도 구성 요소(''높은 분해능/감도'')를 해결하는 것과 다른 주파수를 가진 서로 다른 강도 구성 요소(''높은 동적 범위'')를 해결하는 것 사이의 균형이 필요하다. 이러한 균형은 윈도우 함수가 선택될 때 발생한다.[6]

2. 2. 2. 이산 시간 신호

이산 시간 신호의 경우, 분석은 일반적으로 윈도우 함수를 적용한 다음 이산 푸리에 변환(DFT)을 수행하여 이루어진다. 그러나 DFT는 실제 이산 시간 푸리에 변환(DTFT) 스펙트럼의 희소한 샘플링만을 제공한다.[5] 그림 2의 3행은 직사각형으로 윈도우 처리된 사인파의 DTFT를 보여준다. 사인파의 실제 주파수는 수평축에서 "13"으로 표시된다. 다른 모든 것은 누설이며, 로그 표현을 사용하여 과장되었다. 주파수의 단위는 "DFT 빈"이다. 즉, 주파수 축의 정수 값은 DFT에 의해 샘플링된 주파수에 해당한다.[5]

따라서 이 그림은 사인파의 실제 주파수가 DFT 샘플과 일치하고 스펙트럼의 최대값이 해당 샘플에 의해 정확하게 측정되는 경우를 묘사한다. 4행에서 최대값을 1/2 빈만큼 놓치고, 그 결과 측정 오류는 '''''스캘로핑 손실'''''이라고 한다(피크의 모양에서 영감을 얻었다). 음악 음표 또는 사인파 테스트 신호와 같이 알려진 주파수의 경우, 창 내에서 정수 사이클 수가 되도록 샘플링 속도와 창 길이를 선택하여 DFT 빈에 주파수를 일치시킬 수 있다.

스펙트럼 누설은 이산 푸리에 변환에 의해 발생하고, 윈도우 함수를 사용하여 완화한다는 오해가 있을 수 있다. 실제로는 윈도우 함수가 스펙트럼 누설의 근본적인 원인이며, 이산 푸리에 변환은 누설이 없는 듯한 착각을 일으키는 기법이다. 또한, 사각 윈도우가 필요하며, 신호의 스펙트럼 요소는 이산 푸리에 변환의 기본 함수와 일치해야 한다고 여겨진다. 그러나 윈도우 함수를 거친 신호의 푸리에 변환을 실제로 수행하면, 항상 스펙트럼 누설이 발생한다는 것이 명백해진다.

2. 2. 3. 잡음 대역폭

Noise equivalent bandwidth영어 (잡음 등가 대역폭) 또는 등가 잡음 대역폭은 윈도우 함수의 스펙트럼 누설 정도를 나타내는 지표이다. 잡음 누설이 많을수록 대역폭이 커진다.[6]

윈도우 함수의 잡음 대역폭(B)은 입력 신호에 무작위 잡음이 있을 때, 각 이산 푸리에 변환(DFT) 빈에 등록될 평균 전력에 비례한다. 시간 평균된 전력 스펙트럼 그래프는 이 효과로 인해 평평한 ''잡음 바닥''을 나타내는데, 잡음 바닥의 높이는 B에 비례한다. 따라서 서로 다른 윈도우 함수는 서로 다른 잡음 바닥을 생성할 수 있다.

신호 처리에서, 신호 대 잡음비(SNR)를 개선하기 위해 스펙트럼 분석이 사용된다. 처리 이득은 SNR 개선을 설명하는 용어이며, 윈도우 함수의 잡음 대역폭(B) 및 스캘로핑 손실에 따라 달라진다. 스캘로핑이 적은 윈도우는 누설이 많으므로, 이러한 효과는 부분적으로 상쇄된다.

예를 들어, Hann 윈도우는 Blackman-Harris 윈도우보다 SNR 손실이 적다. 이는 낮은 동적 범위 응용 프로그램에서 높은 동적 범위 윈도우 사용을 지양하게 하는 요소이다.

2. 2. 4. 처리 이득 및 손실

스펙트럼 분석에서 처리 이득은 신호 대 잡음비 (SNR) 개선을 의미한다. 윈도우 함수를 사용하면 신호 에너지는 한 주파수에 집중되고 잡음은 분산되어 SNR이 개선된다. 처리 이득은 윈도우 함수의 종류, 해당 함수의 잡음 대역폭(B), 스캘로핑 손실에 따라 달라진다.[6]

예를 들어, Hann 윈도우는 Blackman-Harris 윈도우보다 SNR 손실이 적다. 일반적으로 스캘로핑이 적은 윈도우는 누설이 많으므로, 낮은 동적 범위 응용에서는 높은 동적 범위 윈도우를 사용하지 않는 것이 좋다.

2. 3. 대칭성

스펙트럼 분석에서 사용되는 윈도우 시퀀스는 대칭이거나 '주기적'([2][3] 'DFT-짝수', 'DFT-대칭'[5])이라고 불리는, 대칭에서 1-샘플 짧은 형태를 가진다. 예를 들어 MATLAB 함수 `hann(9,'symmetric')`으로 생성된 시퀀스는 단일 중심점을 갖는 진정한 대칭 시퀀스이다. 이 시퀀스의 마지막 샘플을 제거하면 `hann(8,'periodic')`와 동일한 시퀀스가 된다. `hann(8,'symmetric')` 시퀀스는 두 개의 동일한 중심점을 갖는다.[13]

대부분의 응용 프로그램에서는 0 값 끝점이 불필요하기 때문에 일부 함수는 하나 또는 두 개의 0 값 끝점을 가진다. 0 값 끝점을 삭제해도 DTFT(스펙트럼 누설)에는 영향이 없다. 그러나 N + 1 또는 N + 2개의 샘플을 위해 설계된 함수에서 하나 또는 두 개의 끝점을 삭제하면, 일반적으로 주 로브는 약간 더 좁아지고, 측 로브는 약간 더 높아지며, 노이즈 대역폭은 약간 더 작아진다.[8]

2. 3. 1. DFT-대칭

DFT의 전신은 유한 푸리에 변환이며, 윈도우 함수는 "항상 홀수 개의 점으로 이루어져 있으며 원점에 대해 짝수 대칭을 나타낸다."[5] 이 경우, DTFT는 완전히 실수 값을 갖는다. 동일한 시퀀스가 ''DFT 데이터 윈도우'' [0\le n \le N]로 이동하면, DTFT는 1/N의 규칙적인 간격으로 배치된 주파수를 제외하고 복소수 값을 갖게 된다. 따라서 N 길이의 DFT로 샘플링될 때, 샘플(''DFT 계수''라고 함)은 여전히 실수 값을 갖는다. 근사 방법은 N+1 길이의 시퀀스를 잘라내고(실질적으로 w[N]=0), N 길이의 DFT를 계산하는 것이다. DTFT(스펙트럼 누설)는 약간 영향을 받지만, 샘플은 실수 값을 유지한다.[11]

''DFT-even''과 ''periodic''이라는 용어는 잘린 시퀀스를 주기적으로 반복하면 n=0에 대해 짝수 대칭이 되고 DTFT는 완전히 실수 값을 갖는다는 아이디어를 나타낸다. 그러나 실제 DTFT는 일반적으로 N DFT 계수를 제외하고 복소수 값을 갖는다.

2. 3. 2. 주기적 합산

N영어+1 길이의 시퀀스에 대한 DTFT를 1/N 간격으로 샘플링하는 정확한 방법은 다른 문서에서 설명되어 있다. 본질적으로, w[N]은 w[0]과 결합되어 (더함으로써) 잘린 시퀀스에 대해 N-포인트 DFT가 수행된다. 마찬가지로, 잘린 대칭 윈도우를 적용하기 전에 n=0과 n=N 데이터 샘플을 결합하여 스펙트럼 분석을 수행한다. 잘린 윈도우가 매우 인기가 있음에도 불구하고, 이는 일반적인 관행은 아니다.[5][7][9][10][12][14]

2. 4. 컨볼루션

고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘은 DFT를 구현하는 데 사용되며, 홀수 길이 시퀀스를 잘라내면 짝수 길이 시퀀스가 되기 때문에 DFT 대칭 윈도우가 효율적이다. 실수 값을 갖는 DFT 계수는 컨볼루션을 사용하여 DFT 계수와 윈도잉되지 않은 데이터의 DFT 사이에서 계산할 때 장점을 가진다.[4][5][6] 이러한 응용 분야에서는 코사인 합 계열의 DFT 대칭 윈도우(짝수 또는 홀수 길이)가 선호되는데, 이는 대부분의 DFT 계수가 0 값을 갖기 때문에 컨볼루션의 효율성을 높여주기 때문이다.[6]

3. 윈도우 함수 지표

신호 처리에서 윈도우 함수를 선택할 때는 여러 요소를 고려해야 한다. 우선, 스펙트럼 분석 시 스캘로핑 손실을 고려해야 하는데, 이는 이산 푸리에 변환(DFT)이 실제 이산 시간 푸리에 변환(DTFT) 스펙트럼을 희소하게 샘플링하기 때문에 발생한다. DFT 빈 사이에 주파수가 위치할 경우, 신호 에너지가 여러 빈에 분산되어 측정 오차가 발생한다.

또한, 메인 로브 너비와 사이드 로브 레벨도 중요한 지표이다. 메인 로브는 주파수 분해능을 결정하며, 좁을수록 유사한 강도의 신호를 잘 구별할 수 있다. 사이드 로브는 다른 강도의 신호를 분해하는 능력에 영향을 미치는데, 레벨이 낮을수록 강한 신호 옆에 있는 약한 신호를 더 잘 감지할 수 있다. 예를 들어, 직사각형 윈도우는 메인 로브가 좁아 유사한 강도의 신호 분해에는 유리하지만, 사이드 로브 레벨이 높아 다른 강도의 신호 분해에는 불리하다.

이러한 지표들은 윈도우 함수 선택 시 상충 관계를 가지므로, 응용 분야에 따라 적절한 균형을 찾는 것이 중요하다. 예를 들어, 백색 잡음 환경에서 낮은 레벨의 정현파를 감지해야 하는 경우에는 직사각형 윈도우가 적합할 수 있다. 영점 채우기나 주파수 이동과 같은 보간 기법을 활용하여 스캘로핑 손실을 줄일 수도 있다.

4. 오해

스펙트럼 누설이 이산 푸리에 변환(DFT) 때문에 발생하고, 윈도우 함수로 완화할 수 있다는 오해가 있을 수 있다. 실제로는 윈도우 함수가 스펙트럼 누설의 주요 원인 중 하나이며, 이산 푸리에 변환은 누설을 관찰하는 도구이다. 또한, 구형파 윈도우가 필요하며, 신호의 스펙트럼 요소는 이산 푸리에 변환의 기본 함수와 일치해야 한다고 여겨진다. 그러나 윈도우 함수를 거친 신호의 푸리에 변환을 실제로 수행하면, 항상 스펙트럼 누설이 발생한다는 것이 명백하다.[1]

5. 발생

구형파가 아닌 창 함수는 스펙트럼 누설을 증대시키는데, 경우에 따라서는 가장 피해가 적은 장소에 누설이 생기도록 설계할 수 있다. 일반적으로 주파수가 인접한 동일 강도의 신호를 식별하는 것과, 다른 주파수의 강도가 상이한 신호를 식별하는 것은 트레이드 오프 관계에 있다.[6]

분석 중인 파형이 서로 다른 주파수를 가진 두 개의 정현파로 구성된 경우 누설은 스펙트럼적으로 구별하는 능력을 방해할 수 있다. 구성 주파수가 서로 다르고 한 구성 요소가 약한 경우, 더 강한 구성 요소의 누설이 약한 구성 요소의 존재를 가릴 수 있다. 그러나 주파수가 너무 유사하면 정현파의 강도가 같더라도 누설로 인해 이를 ''해결할 수 없게'' 될 수 있다. 구성 요소가 서로 다른 주파수와 진폭을 갖는 경우, 즉 첫 번째 유형의 간섭에 효과적인 창을 ''높은 동적 범위''라고 한다. 반대로, 유사한 주파수와 진폭을 가진 구성 요소를 구별할 수 있는 창을 ''높은 분해능''이라고 한다.

직사각형 윈도우는 ''높은 분해능''이지만 ''낮은 동적 범위''를 가진 윈도우의 한 예이다. 즉, 주파수가 가까울 때도 유사한 진폭의 구성 요소를 구별하는 데는 좋지만, 주파수가 멀리 떨어져 있어도 다른 진폭의 구성 요소를 구별하는 데는 좋지 않다. 직사각형 윈도우와 같은 고해상도, 저동적 범위 윈도우는 또한 높은 '''''감도'''''의 특징을 가지고 있다. 이는 가산적인 임의 잡음이 있는 상태에서 비교적 약한 정현파를 드러내는 능력이다. 즉, 잡음은 고해상도 윈도우보다 고동적 범위 윈도우에서 더 강력한 응답을 생성하기 때문이다.

윈도우 유형 범위의 다른 극단에는 높은 동적 범위, 낮은 분해능 및 감도를 가진 윈도우가 있다. 고동적 범위 윈도우는 분석되는 스펙트럼에 다양한 진폭의 많은 다른 구성 요소가 포함될 것으로 예상되는 ''광대역 응용 분야''에서 가장 자주 정당화된다.

극단 사이에는 한 윈도우 및 해밍 윈도우와 같은 중간 윈도우가 있다. 이는 전화 채널의 스펙트럼과 같은 ''협대역 응용 분야''에서 일반적으로 사용된다.

요약하면, 스펙트럼 분석에는 유사한 주파수를 가진 동등한 강도 구성 요소(''높은 분해능/감도'')를 해결하는 것과 다른 주파수를 가진 서로 다른 강도 구성 요소(''높은 동적 범위'')를 해결하는 것 사이의 균형이 필요하다. 이러한 균형은 윈도우 함수가 선택될 때 발생한다.[6]

참조

[1] 서적 Communication Systems: An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communication https://books.google[...] McGraw-Hill
[2] 웹사이트 Hann (Hanning) window - MATLAB hann http://www.mathworks[...] 2020-02-12
[3] 웹사이트 Window Function http://www.mathworks[...] 2019-04-14
[4] 간행물 Wideband communication intercept and direction finding device using hyperchannelization https://patentimages[...]
[5] 논문 On the use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform http://web.mit.edu/x[...] 1978-01
[6] 논문 Some Windows with Very Good Sidelobe Behavior https://zenodo.org/r[...] 1981-02
[7] 간행물 Spectrum and spectral density estimation by the Discrete Fourier transform (DFT), including a comprehensive list of window functions and some new flat-top windows http://edoc.mpg.de/3[...] 2013-02-10
[8] 웹사이트 Matlab for the Hann Window https://ccrma.stanfo[...] 2020-09-01
[9] 웹사이트 Windowing Functions Improve FFT Results https://www.edn.com/[...] TRW 1998-06-01
[10] 웹사이트 DP Numeric Transform Toolbox http://herschel.esac[...] Herschel Data Processing 2008-03-04
[11] 논문 Discrete time window functions with arbitrarily low sidelobe level https://www.scienced[...] AEG-Telefunken 1983-03
[12] 서적 The Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing http://dsp-book.naro[...] CRC Press LLC 2020-08-08
[13] 웹사이트 Evaluate Window Functions for the Discrete Fourier Transform https://www.dsprelat[...] The Related Media Group 2018-12-18
[14] 웹사이트 Fourier analysis of non-periodic signals http://msp.ucsd.edu/[...] UC San Diego 2006-12-30


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