감산기

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1. 개요
2. 반감산기 (Half Subtractor)
3. 전감산기 (Full Subtractor)
참조

1. 개요

감산기는 뺄셈을 수행하는 데 사용되는 디지털 논리 회로이다. 감산기는 반감산기와 전감산기로 나뉜다. 반감산기는 두 개의 입력 비트의 뺄셈을 수행하며, 전감산기는 세 개의 입력 비트의 뺄셈을 수행한다. 각 감산기는 차이(difference)와 빌림(borrow)을 출력한다.

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2. 반감산기 (Half Subtractor)

반감산기(Half Subtractor)는 두 개의 이진 입력 비트의 뺄셈을 수행하는 기본적인 조합 논리 회로이다. 입력으로는 피감수

X

와 감수

Y

를 받고, 출력으로는 두 비트의 차이(Difference)

D

와 빌림(Borrow out)

B_\text{out}

을 생성한다.

빌림 출력(

B_\text{out}

)은

X

에서

Y

를 뺄 때 상위 비트에서 빌려와야 하는 경우, 즉

X < Y

일 때 1이 된다. 입력

X

와

Y

가 단일 비트이므로, 빌림이 발생하는 유일한 경우는

X=0

이고

Y=1

일 때이다. 반감산기는 XOR 게이트, AND 게이트, NOT 게이트 등을 조합하여 구현할 수 있으며, NAND 게이트만으로도 구현 가능하다.

반감산기의 동작 원리와 구체적인 논리식, 진리표는 하위 섹션에서 더 자세히 설명한다.

2. 1. 반감산기의 구조와 원리

반감산기는 두 비트의 뺄셈을 수행하는 조합 회로이다. 그림 1과 2에서 볼 수 있듯이 조합 부울 논리 회로를 통해 설계할 수 있다. 반감산기는 두 개의 입력, 즉 피감수

X

와 감수

Y

를 받아서 두 개의 출력, 즉 차이(Difference)

D

와 빌림(Borrow out)

B_\text{out}

을 생성한다.

빌림 출력(

B_\text{out}

) 신호는

X

에서

Y

를 뺄 때 상위 자릿수에서 빌림이 필요한 경우, 즉

X < Y

일 때 1이 된다. 입력

X

와

Y

가 각각 한 비트이므로, 빌림이 발생하는 경우는 오직

X = 0

이고

Y = 1

일 때뿐이다. 따라서 빌림 출력의 논리식은 다음과 같다.

:

B_{\text{out}} = \overline{X} \cdot Y

이 식은 AND 게이트와 NOT 게이트를 이용하여 구현할 수 있다. 그림 1의 회로도는

X - Y

연산을 수행하며,

Y - X

연산과는 다르다는 점에 유의해야 한다.

차이(

D

) 비트는 XOR 게이트를 사용하여 계산된다. XOR 게이트는 두 입력이 서로 다를 때 1을 출력하는데, 이는 뺄셈의 결과 비트와 동일하다.

:

D = X \oplus Y

뺄셈 자체는 교환 법칙이 성립하지 않지만, 차이 비트

D

는 교환 법칙이 성립하는 XOR 연산으로 계산된다는 점이 중요하다.

반감산기는 NAND 게이트만으로도 구현할 수 있다 (그림 2).

반감산기의 동작을 요약한 진리표는 다음과 같다.

이 진리표와 카르노 맵 등을 이용하면 위에서 제시된 $D$ 와 $B_\text{out}$ 의 논리 방정식을 유도할 수 있다.

결과적으로, 교차 추적을 피하고 부정 게이트를 회피하는 간소화된 반감산 회로는 다음과 같이 표현할 수 있다.



X ── XOR ─┬─────── |X-Y|,  X와 Y가 같으면 0, 그렇지 않으면 1

┌──┘   └──┐

Y ─┴─────── AND ── 빌림, Y > X이면 1, 그렇지 않으면 0

여기서 오른쪽 줄은 출력이고, 나머지(위, 아래 또는 왼쪽)는 입력이다.

2. 2. 반감산기의 진리표

반감산기는 두 개의 입력, 피감수

X

와 감수

Y

를 가지며, 두 개의 출력, 차이

D

와 빌림 출력

B_\text{out}

을 가진다. 빌림 출력 신호는 감산기가 다자릿수 뺄셈에서 다음 자릿수에서 빌려야 할 때 설정된다. 즉,

X < Y

일 때

B_{\text{out}} = 1

이다.

X

와

Y

는 비트이므로,

X = 0

이고

Y = 1

일 때만

B_\text{out} = 1

이다.

반감산기의 진리표는 다음과 같다.

위의 표와 카르노 맵을 사용하여 $D$ 와 $B_\text{out}$ 에 대한 다음 논리 방정식을 찾는다.

: $D = X \oplus Y$

: $B_\text{out} = \overline X \cdot Y$

결과적으로, 특히 교차 추적을 피하고 부정 게이트를 회피하는 간소화된 반감산 회로는 다음과 같다.

:



X ── XOR ─┬─────── |X-Y|,  X와 Y가 같으면 0, 그렇지 않으면 1

┌──┘   └──┐

Y ─┴─────── AND ── 빌림, Y > X이면 1, 그렇지 않으면 0

여기서 오른쪽 줄은 출력이고, 나머지(위, 아래 또는 왼쪽에서)는 입력이다.

2. 3. 반감산기의 논리식

반감산기는 두 개의 입력, 피감수

X

와 감수

Y

를 가지며, 두 개의 출력, 차이

D

와 빌림 출력

B_\text{out}

을 가진다. 빌림 출력 신호(

B_\text{out}

)는 감산기가 다자릿수 뺄셈에서 다음 자릿수에서 빌려야 할 때 설정되는데, 이는

X < Y

일 때, 즉

X = 0

이고

Y = 1

일 때만

B_{\text{out}} = 1

이 되는 경우이다.

반감산기의 진리표는 다음과 같다.

위의 진리표와 카르노 맵 등을 이용하여 차이( $D$ )와 빌림 출력( $B_\text{out}$ )에 대한 다음의 논리 방정식을 유도할 수 있다.

: $D = X \oplus Y$

: $B_\text{out} = \overline X \cdot Y$

여기서 차이 비트 $D$ 는 XOR 게이트를 사용하여 계산된다. 뺄셈 자체는 교환 법칙을 따르지 않지만, 차이 비트 $D$ 는 교환 법칙이 적용되는 XOR 연산으로 계산된다는 점이 중요하다. 빌림 출력 $B_\text{out}$ 는 $X$ 가 0이고 $Y$ 가 1일 때만 1이 되는 AND 연산( $\overline X \cdot Y$ )으로 표현된다.

결과적으로, 교차 추적을 피하고 부정 게이트를 회피하는 간소화된 반감산 회로는 다음과 같이 나타낼 수 있다.



X ── XOR ─┬─────── |X-Y|,  X와 Y가 같으면 0, 그렇지 않으면 1

┌──┘   └──┐

Y ─┴─────── AND ── 빌림, Y > X이면 1, 그렇지 않으면 0

위 회로도에서 오른쪽 줄은 출력이고, 나머지(위, 아래 또는 왼쪽에서)는 입력이다.

3. 전감산기 (Full Subtractor)

전감산기(Full Subtractor)는 세 개의 입력 비트인 피감수 $X$ , 감수 $Y$ , 그리고 이전 자리에서의 빌림 여부를 나타내는 빌림 입력 $B_\text{in}$ 을 받아 뺄셈 연산을 수행하는 조합 회로이다. 이 회로는 연산 결과로 현재 자리의 차이(Difference) $D$ 와 다음 상위 자리로 빌려줘야 할지 여부를 나타내는 빌림 출력(Borrow-out) $B_\text{out}$ 이라는 두 개의 출력 비트를 생성한다. 즉, 전감산기는 이전 자리에서의 빌림( $B_\text{in}$ )까지 고려하여 뺄셈( $X - Y - B_\text{in}$ )을 수행하고, 그 결과( $D$ )와 다음 자리로 넘겨줄 빌림( $B_\text{out}$ )을 계산한다.

3. 1. 전감산기의 구조와 원리

전감산기는 세 개의 입력 비트인 피감수

X

, 감수

Y

, 그리고 이전 자리에서의 빌림 여부를 나타내는 빌림 입력

B_\text{in}

을 받아 뺄셈을 수행하는 조합 회로이다. 전감산기는 연산 결과로 차이(Difference)

D

와 다음 자리로의 빌림 여부를 나타내는 빌림 출력

B_\text{out}

이라는 두 개의 출력 비트를 생성한다.

B_\text{in}

은 이전 자릿수에서 현재 자릿수의 피감수

X

로부터 값을 빌려왔을 경우 1이 된다. 따라서 전감산기는

X

에서

Y

뿐만 아니라

B_\text{in}

까지 빼는 연산, 즉

X - Y - B_\text{in}

을 수행한다.

반감산기와 마찬가지로, 전감산기는 현재 자리의 연산을 위해 다음 상위 자릿수에서 빌려와야 할 경우 빌림 출력(

B_\text{out}

)을 생성한다.

X

에서

Y

와

B_\text{in}

을 빼야 하므로,

X

가

Y + B_\text{in}

보다 작을 때(

X < Y + B_\text{in}

) 빌림이 필요하게 되어

B_\text{out}

이 1이 된다. 빌림 출력(

B_\text{out}

)이 발생하면, 이는 현재 자릿수에 2 (이진법의 밑)를 더하는 것과 같다. 이는 십진법 뺄셈에서 빌림이 발생할 때 10을 더하는 것과 유사한 원리이다. 따라서 차이

D

는

D = X - Y - B_\text{in} + 2B_\text{out}

으로 계산된다.

전감산기의 동작을 나타내는 진리표는 다음과 같다.

위 진리표로부터 전감산기의 출력 $D$ 와 $B_\text{out}$ 에 대한 논리식은 다음과 같이 유도될 수 있다.

$D=X\oplus Y\oplus B_{in}$

$B_{out}=\bar{X}B_{in}+\bar{X}Y+YB_{in}$

여기서 $\oplus$ 는 XOR 연산을, $\bar{X}$ 는 $X$ 의 NOT 연산을, +는 OR 연산을, 생략된 곱셈 기호는 AND 연산을 의미한다.

3. 2. 전감산기의 진리표

전감산기는 세 개의 입력 비트인 피감수

X

, 감수

Y

, 이전 자리 빌림

B_\text{in}

의 뺄셈을 수행하는 조합 회로이다. 전감산기는 차이

D

와 다음 자리 빌림

B_\text{out}

이라는 두 개의 출력 비트를 생성한다.

B_\text{in}

은 이전 자릿수에서

X

로 빌림이 발생했을 때 1이 된다. 따라서

B_\text{in}

은 감수

Y

와 함께

X

에서 빼야 할 값이 된다. 이를 수식으로 표현하면

X - Y - B_\text{in}

이다. 전감산기는 다음 자릿수에서 빌려야 할 때 빌림 출력(

B_\text{out}

)을 생성하는데, 이는

X < Y + B_\text{in}

일 때 발생한다. 빌림 출력이 발생하면 현재 자릿수 계산에 2가 더해진 것으로 간주한다(뺄셈 결과

D = X - Y - B_\text{in} + 2B_\text{out}

). 이는 십진법 뺄셈에서 윗자리에서 10을 빌려오는 것과 유사하다.

전감산기의 진리표는 다음과 같다.

진리표에 따른 논리 방정식은 다음과 같다.

$D=X\oplus Y\oplus B_{in}$

$B_{out}=\bar{X}B_{in}+\bar{X}Y+YB_{in}$

3. 3. 전감산기의 논리식

전가산기는 세 개의 입력 비트인 피감수

X

, 감수

Y

, 이전 자리에서의 빌림 입력

B_\text{in}

을 받아 뺄셈 연산을 수행하는 조합 회로이다. 전가산기는 연산 결과로 차이(Difference)

D

와 다음 자리로의 빌림 출력(Borrow-out)

B_\text{out}

이라는 두 개의 출력 비트를 생성한다. 빌림 입력

B_\text{in}

은 이전 자리의 연산에서 빌림이 필요했을 때 1이 되며, 이 값은 피감수

X

에서 감수

Y

와 함께 빼지게 된다. 즉,

X - Y - B_\text{in}

연산을 수행한다.

반가산기와 마찬가지로, 전가산기는 현재 자리의 연산 결과, 다음 상위 자리에서 빌려와야 할 필요가 있을 때 빌림 출력

B_\text{out}

을 1로 설정한다. 빌림은

X

에서

Y

와

B_\text{in}

의 합을 뺄 때,

X

가

Y + B_\text{in}

보다 작을 경우(

X < Y + B_\text{in}

) 발생한다. 빌림이 발생하면(

B_\text{out} = 1

), 현재 자리의 계산에는 2 (해당 자릿값)가 더해진 것으로 간주한다. 이는 십진법 뺄셈에서 빌림이 발생할 때 10을 더하는 것과 유사한 원리이다. 따라서 차이

D

는

D = X - Y - B_\text{in} + 2B_\text{out}

의 관계를 만족한다.

전감산기의 입력과 출력 관계는 다음 진리표로 나타낼 수 있다.

위 진리표를 바탕으로 전감산기의 출력 $D$ 와 $B_\text{out}$ 에 대한 논리식을 유도하면 다음과 같다.

'''차이 (D):''' $D=X\oplus Y\oplus B_{in}$
'''빌림 출력 (B_out):''' $B_{out}=\bar{X}B_{in}+\bar{X}Y+YB_{in}$

여기서

\oplus

는 XOR 연산을,

\bar{X}

는 NOT 연산을, '+'는 OR 연산을, 변수들이 붙어있는 것은 AND 연산을 의미한다.

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입력		출력
X ! Y ! D ! B_out
0 \| 0 \| 0
1 \| 1 \| 1
0 \| 1 \| 0
1 \| 0 \| 0

입력			출력
X (피감수)	Y (감수)	B_in (빌림 입력)	D (차이)	B_out (빌림 출력)
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1	0	1	0	0
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1	1	1	1	1

입력			출력
X (피감수)	Y (감수)	B_in (이전 자리 빌림)	D (차이)	B_out (다음 자리 빌림)
0	0	0	0	0
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0	1	0	1	1
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	0
1	1	0	0	0
1	1	1	1	1

입력			출력
X (피감수)	Y (감수)	B_in (빌림 입력)	D (차이)	B_out (빌림 출력)
0	0	0	0	0
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