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격자 모형

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목차

1. 개요

격자 모형은 수학적, 물리적 시스템을 연구하기 위해 사용되는 모델로, 유클리드 공간 또는 토러스의 격자와 스핀 변수, 에너지 범함수로 구성된다. 이징 모형, 포츠 모형, XY 모형 등 다양한 유형이 있으며, 응집 물질 물리학, 고분자 물리학, 고에너지 물리학 등 여러 분야에서 물리 현상을 설명하는 데 활용된다. 격자 모형은 정확한 해를 구하기 어려운 경우가 많아, 평균장 이론과 같은 근사 방법을 통해 해석하며, 대한민국에서도 격자 모형에 대한 연구가 이루어지고 있다.

2. 수학적 설명

격자 모형의 수학적 설명은 다음과 같다.


  • 격자 (Λ): 일반적으로 d차원 유클리드 공간 또는 d차원 토러스의 격자로 정의된다. 주로 입방 격자가 사용되며, 격자 상의 점들을 '사이트'라고 부른다. 인접한 사이트들을 변으로 연결하여 격자 그래프를 구성할 수 있다.
  • 스핀 변수 공간 (S): 시스템의 가능한 상태를 나타내는 변수들의 공간이다. 각 사이트 또는 격자 그래프의 변에 스핀 변수를 할당한다.
  • 에너지 범함수 (E): 에너지 범함수 E:\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{R}는 시스템의 각 상태에 대한 에너지를 나타내는 함수이다. 결합 상수와 같은 매개변수에 의존할 수 있다.

2. 1. 격자 (Λ)

일반적으로 d차원 유클리드 공간 또는 d차원 토러스의 격자로 정의된다. 입방 격자가 주로 사용되며, 격자 상의 점들을 '사이트'라고 부른다. 인접한 사이트들을 변으로 연결하여 격자 그래프를 구성할 수 있다.

2. 2. 스핀 변수 공간 (S)

스핀 변수 공간(S)은 시스템의 가능한 상태를 나타내는 변수들의 공간이다. 각 사이트 또는 격자 그래프의 변에 스핀 변수를 할당한다.

2. 3. 에너지 범함수 (E)

에너지 범함수 E:\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{R}는 시스템의 각 상태에 대한 에너지를 나타내는 함수이다. 결합 상수와 같은 매개변수에 의존할 수 있다.

3. 주요 모형

(주요 모형 섹션에는 하위 섹션에서 이미 다루고 있는 내용 외에 추가적인 내용이 없으므로, 별도의 내용을 작성하지 않습니다.)

3. 1. 응집 물질 물리학

다음은 응집 물질 물리학에서 다루는 대표적인 격자 모형들이다.

3. 2. 고분자 물리학

결합 변동 모형은 고분자 사슬의 형태를 연구하는 데 사용되는 모형이다. 2차 모형은 고분자 용액의 상 분리 현상을 설명하는 모형이다.

3. 3. 고에너지 물리학

양자 색역학 격자 모형은 강력을 설명하는 양자 색역학을 격자 상에서 수치적으로 계산하는 방법이다.

4. 해석 방법

격자 모형의 해석 방법에는 정확히 풀리는 모델을 이용하는 방법, 평균장 이론을 사용하는 방법이 있다.

분배 함수에 대한 닫힌 형식의 표현식이 있는 모형을 정확히 풀리는 모델이라고 한다. 주기적 1차원 이징 모형과 외부 자기장이 0인 주기적 2차원 이징 모형이 그 예시이지만, 2차원보다 높은 차원에서는 이징 모형이 아직 풀리지 않았다.

정확한 해를 구하기 어려운 경우에는 평균장 이론을 사용하여 근사적인 해를 얻을 수 있다. 평균장은 공간적으로 변할 수도 있고, 전역적일 수도 있다. 전역 평균장은 각 스핀 변수를 전체 시스템의 평균값으로 대체하여 계산하는 방법이다. 공간적으로 변하는 평균장은 격자 \(\Lambda\)의 연속 극한이 \(\mathbb{R}^d\)라고 가정하고, \(\Lambda\) 전체 대신 \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d\)의 이웃에 대해 평균을 구하여 얻을 수 있다.

4. 1. 정확히 풀리는 모델

분배 함수에 대한 닫힌 형식의 표현식이 있는 모형을 정확히 풀리는 모델이라고 한다.

정확히 풀리는 모델의 예로는 주기적 1차원 이징 모형과 외부 자기장이 0인 주기적 2차원 이징 모형이 있지만, 2차원보다 높은 차원에서는 이징 모형은 아직 풀리지 않았다.

4. 2. 평균장 이론

정확한 해를 구하기 어려운 경우, 평균장 이론을 사용하여 근사적인 해를 얻을 수 있다. 평균장은 공간적으로 변할 수도 있고, 전역적일 수도 있다.

4. 2. 1. 전역 평균장

각 스핀 변수를 전체 시스템의 평균값으로 대체하여 계산하는 방법이다. 함수 \sigma의 설정 공간 \mathcal{C}는 S가 \mathbb{R}^m의 부분 집합으로 실현될 때 스핀 공간 S의 볼록 껍질로 대체된다. 이를 \langle\mathcal{C}\rangle로 표기한다. 이는 필드의 평균값을 구할 때와 같이, \sigma \mapsto \langle \sigma \rangle := \frac{1}

\sum_{v\in\Lambda}\sigma(v)로 나타난다.

격자 사이트의 수 N = |\Lambda|\rightarrow \infty가 되면, \langle \sigma \rangle의 가능한 값들은 S의 볼록 껍질을 채운다. 적절한 근사를 통해, 에너지 범함수는 평균 필드의 함수가 되며, 즉, E(\sigma)\mapsto E(\langle \sigma \rangle)가 된다. 파티션 함수는 다음과 같이 된다.

:Z = \int_{\langle\mathcal{C}\rangle}d\langle\sigma\rangle e^{-\beta E(\langle\sigma\rangle)}\Omega(\langle\sigma\rangle) =: \int_{\langle\mathcal{C}\rangle}d\langle\sigma\rangle e^{-N\beta f(\langle\sigma\rangle)}.

N\rightarrow \infty일 때, 즉, 열역학적 극한에서, 안장점 근사는 적분이 f(\langle\sigma\rangle)가 최소화되는 값에 의해 점근적으로 지배된다고 알려준다.

:Z \sim e^{-N\beta f(\langle\sigma\rangle_0)}

여기서 \langle\sigma\rangle_0는 f를 최소화하는 인자이다.

더 간단하지만 수학적으로 덜 엄밀한 접근 방식은 때때로 정확한 결과를 얻으며, 평균 필드 \langle\sigma\rangle에 대한 이론을 선형화하는 것에서 비롯된다. 구성을 \sigma(v)=\langle\sigma\rangle + \Delta\sigma(v)로 쓰고, \mathcal{O}(\Delta\sigma^2)의 항을 절단한 다음 구성에 대해 합하면 파티션 함수를 계산할 수 있다.

이러한 접근 방식은 d차원 주기적 이징 모델에 대한 연구에서 상전이에 대한 통찰력을 제공한다.

4. 2. 2. 공간적으로 변하는 평균장

격자 \(\Lambda\)의 연속 극한이 \(\mathbb{R}^d\)라고 가정하고, \(\Lambda\) 전체 대신 \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d\)의 이웃에 대해 평균을 구하면 공간적으로 변하는 평균장 \(\langle\sigma\rangle:\mathbb{R}^d\rightarrow \langle\mathcal{C}\rangle\)를 얻을 수 있다. 이 \(\langle\sigma\rangle\)를 장론 표기에 가깝게 \(\phi\)로 다시 쓰면, 분배 함수를 경로 적분 공식으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\(Z = \int \mathcal{D}\phi e^{-\beta F[\phi]}\)

여기서 자유 에너지 \(F[\phi]\)는 윅 회전된 양자장론의 작용의 한 형태이다.

5. 대한민국의 격자 모형 연구

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