이징 모형

1. 개요

이징 모형은 유한 그래프와 그 위에 정의된 함수를 통해 정의되는 통계 역학 모형이다. 이 모형은 각 꼭짓점에 자기장을, 각 변에 상호작용 세기를 부여하여 스핀 값(+1 또는 -1)을 부여하는 함수로 분배 함수를 정의한다. 이징 모형은 강자성체, 반강자성체, 기체 등 다양한 물리 현상을 설명하는 데 사용되며, 뇌 속 뉴런의 활동 모델링, 스핀 유리 기술, 호프필드 네트워크 개발 등 다양한 분야에 응용된다. 1차원 이징 모형에는 상전이가 없지만, 2차원 이징 모형은 상전이 현상을 보이며 해석적인 해를 구할 수 있다.

2. 정의

유한 그래프 $\Gamma$가 주어졌다고 하자. 그 꼭짓점 집합을 $\mathsf V(\Gamma)$, 변 집합을 $\mathsf E(\Gamma)$라고 표기한다. 여기에 다음 함수들이 정의된다.

* $h\colon\mathsf V(\Gamma) \to \mathbb R$, $i \mapsto h_i$
* $\beta \colon \mathsf E(\Gamma) \to \mathbb R$, $ij \mapsto \beta_{ij}$

이때, 그래프 $\Gamma$ 위에서 자기장 $h$에 대한 이징 모형의 분배 함수는 다음과 같이 정의된다.

:$Z_\Gamma(\beta;h) = \sum_{\sigma \in \{\pm1\}^{\mathsf V(\Gamma)}} \exp\left(\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\beta_{ij}\sigma_i\sigma_j + \sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}h_i\sigma_i\right)$

여기서 합은 모든 함수 $\sigma\colon \mathsf V(\Gamma) \to \{\pm1\}$, $\sigma\colon i \mapsto \sigma_i$에 대한 것이다. 보통 $\beta$와 $h$는 상수 함수로 놓는다.

$\Lambda$ 집합을 격자 위치 집합으로 고려하며, 각 위치는 인접한 위치 집합(예: 그래프)을 가지며 $d$차원 격자를 형성한다. 각 격자 위치 $k\in\Lambda$에 대해 $\sigma_k\in\{-1, +1\}$인 이산 변수 $\sigma_k$가 있으며, 이는 위치의 스핀을 나타낸다. 스핀 구성 ${\sigma} = \{\sigma_k\}_{k\in\Lambda}$은 각 격자 위치에 스핀 값을 할당하는 것이다.

인접한 두 위치 $i, j\in\Lambda$에 대해 상호 작용 $J_{ij}$가 있다. 또한 위치 $j\in\Lambda$는 이와 상호 작용하는 외부 자기장 $h_j$를 갖는다. 구성 ${\sigma}$의 에너지는 해밀토니안으로 주어진다.

:$H(\sigma) = -\sum_{\langle ij\rangle} J_{ij} \sigma_i \sigma_j - \mu \sum_j h_j \sigma_j,$

여기서 첫 번째 합은 인접 스핀 쌍에 대한 것이며 (모든 쌍은 한 번 계산된다), $\langle ij\rangle$는 위치 $i$와 $j$가 가장 가까운 이웃임을 나타낸다. 자기 모멘트는 $\mu$로 주어진다. 위 해밀토니안의 두 번째 항의 부호는 전자의 자기 모멘트가 스핀과 반평행하기 때문에 양수여야 하지만, 음의 항이 관례적으로 사용된다.

구성 확률은 역온도 $\beta\geq0$를 갖는 볼츠만 분포로 주어진다.

:$P_\beta(\sigma) = \frac{e^{-\beta H(\sigma)}}{Z_\beta},$

여기서 $\beta = 1 / (k_\text{B} T)$이고 정규화 상수 $Z_\beta = \sum_\sigma e^{-\beta H(\sigma)}$는 분배 함수이다.

스핀의 함수 $f$ (관측 가능량)에 대해, $f$의 기댓값(평균)은 $\langle f \rangle_\beta = \sum_\sigma f(\sigma) P_\beta(\sigma)$를 사용하여 나타낸다. 구성 확률 $P_{\beta}(\sigma)$는 (평형 상태에서) 시스템이 구성 $\sigma$의 상태에 있을 확률을 나타낸다.

$d$차원 공간의 격자점에 위아래 두 상태를 가지는 스핀이 배치된 격자 모형에서, $\sigma_i$를 $i$ 번째 격자점에서의 스핀 상태를 나타내는 변수로 사용한다. +1은 위쪽 스핀, -1은 아래쪽 스핀에 대응한다. 격자점의 총 개수는 $N$ 개이고, 하나의 격자점에 가장 인접한 격자점의 수는 $z$ 개이다. 예를 들어, 1차원 격자에서는 $z=2$, 2차원 정방 격자에서는 $z=4$, 3차원 입방 격자에서는 $z=6$이다.

$J_{ij}$를 두 격자점 $i, j$ 간의 교환 상호작용, $h_i$는 격자점 $i$에서의 외부 자기장으로 정의하면, 이징 모형의 해밀토니안은 다음과 같다.

:$\mathcal{H} = - \sum_{\left\langle i,j \right\rangle}J_{ij} \, \sigma_i \cdot \sigma_j - \sum_{i} h_{i} \, \sigma_i$

첫째 항은 가장 인접한 격자점에서의 스핀 간 상호작용 에너지를 나타낸다. $\langle i, j \rangle$는 가장 인접한 격자점 쌍에 대한 합을 의미하며, 총 $zN/2$개의 항이 있다. $J_{ij} > 0$인 경우를 강자성 상호작용, $J_{ij} < 0$인 경우를 반강자성 상호작용이라고 한다. 강자성 상호작용에서는 가장 인접한 격자점 $i, j$의 스핀 쌍이 같은 방향으로 정렬($\sigma_i \cdot \sigma_j = +1$)되면 에너지가 $J_{ij}$만큼 낮아진다. 따라서 에너지 바닥 상태는 모든 스핀이 정렬된 상태이다. 반면, 반강자성 상호작용에서는 가장 인접한 격자점의 스핀 쌍이 반대 방향($\sigma_i \cdot \sigma_j = -1$)이 되면 에너지가 $|J_{ij}|$만큼 낮아진다. 둘째 항은 외부 자기장에 대한 에너지를 나타낸다. 격자점 $i$에서 스핀 방향(부호)이 외부 자기장 방향(부호)과 일치하면 에너지는 $|h_i|$만큼 낮아진다.

특히 격자점에서 교환 상호작용과 외부 자기장을 일정 값으로 하는 균일한 경우에는, 이징 모형의 해밀토니안은 다음과 같다.

:$\mathcal{H} = - J \sum_{\left\langle i,j \right\rangle} \sigma_i \cdot \sigma_j - h \sum_{i} \sigma_i$

통계역학에서, 온도 $T$의 평형 상태에서 계의 열역학적 성질은 분배 함수 $Z$로부터 구해진다. 분배 함수는 계가 취할 수 있는 모든 상태에 대한 볼츠만 인자$e^{-\beta H}$의 합으로 주어진다. $N$ 개의 격자점을 가지는 이징 모형에서는, 격자점의 스핀 변수가 $\sigma = \pm 1$의 값을 취하는 $2^N$개의 상태가 존재하고, 분배 함수는 다음과 같다.

:$
\begin{align}
Z ( \beta ,N ) &=\sum_{\sigma_1=\pm 1}\cdots\sum_{\sigma_N=\pm 1}e^{-\beta \mathcal{H}} \\
& =\sum_{\sigma_1=\pm 1}\cdots\sum_{\sigma_N=\pm 1}
\exp \biggl ( \beta \sum_{\left\langle i,j \right\rangle}
J_{ij} \sigma_i \sigma_j +\beta \sum_{i}h_{i} \sigma_i \biggr)
\end{align}
$

분배 함수로부터 자유 에너지, 자화, 대자율이 구해진다.

3. 성질

이징 모형은 다음과 같은 대칭을 갖는다.

:$Z\_\backslash Gamma(\backslash beta;h\_i,h\_\{j\backslash ne\; i\})\; =\; Z\_\backslash Gamma(\backslash beta;-h\_i,h\_\{j\backslash ne\; i\})$ (자기장의 한 성분을 뒤집음)
:$Z\_\{\backslash Gamma\backslash sqcup\backslash Gamma\text{'}\}(\backslash beta;h)\; =\; Z\_\{\backslash Gamma\}(\backslash beta\; \backslash restriction\; \backslash mathsf\; E(\backslash Gamma);h\; \backslash restriction\; \backslash mathsf\; E(\backslash Gamma))\; Z\_\{\backslash Gamma\text{'}\}(\backslash beta\; \backslash restriction\; \backslash mathsf\; E(\backslash Gamma\text{'});h\; \backslash restriction\; \backslash mathsf\; V(\backslash Gamma\text{'}))$
:$Z\_\{\backslash varnothing\}(\backslash beta;h)\; =\; 1$

여기서 $\backslash sqcup$은 그래프의 분리합집합이다.

해밀토니안 함수 $H(\backslash sigma)$의 각 항에 있는 마이너스 부호는 관례이다. 이 부호 관례를 사용하면, 이징 모형은 상호작용의 부호에 따라 분류될 수 있다. 만약 쌍 i, j에 대해

* $J\_\{ij\}\; >\; 0$이면, 상호작용은 강자성이라고 한다.
* 이면, 상호작용은 반강자성이라고 한다.
* $J\_\{ij\}\; =\; 0$이면, 스핀은 비상호작용한다.

모든 상호작용이 강자성이거나 모두 반강자성이면, 이 시스템을 강자성 또는 반강자성이라고 부른다. 원래의 이징 모형은 강자성이었으며, "이징 모형"이 강자성 이징 모형을 의미한다고 가정하는 경우가 많다.

강자성 이징 모형에서 스핀은 정렬되기를 원한다. 즉, 인접한 스핀이 같은 부호를 갖는 구성이 더 높은 확률을 갖는다. 반강자성 모형에서는 인접한 스핀이 반대 부호를 갖는 경향이 있다.

H(σ)의 부호 관례는 또한 스핀 사이트 j가 외부 필드와 어떻게 상호작용하는지 설명한다. 즉, 스핀 사이트는 외부 필드와 정렬되기를 원한다. 만약

* $h\_j\; >\; 0$이면, 스핀 사이트 j는 양의 방향으로 정렬되기를 원한다.
* 이면, 스핀 사이트 j는 음의 방향으로 정렬되기를 원한다.
* $h\_j\; =\; 0$이면, 스핀 사이트에 대한 외부 영향이 없다.

이징 모형은 스핀 반전 대칭성 및 부격자 대칭성이라고 불리는 대칭성을 갖는다. 각 격자점 위의 스핀 변수 의 집합을 묶어 로 나타낸다. 모든 격자점의 스핀 변수의 방향을 반전시키는 변환 를 수행하면, 해밀토니안은

:$$
\mathcal{H} (h,\{-\sigma_i\})=- J\sum_{(i,j)} \, \sigma_i \cdot \sigma_j - (-h)\sum_{i}\sigma_i
=\mathcal{H} (-h,\{\sigma_i\})


이 되어, 이는 외부 자기장의 방향 반전 과 등가이다. 분배 함수에 관해서는, 가 가질 수 있는 모든 상태에 대한 볼츠만 인자 의 합과 가 가질 수 있는 모든 상태에 대한 볼츠만 인자 의 합은 등가이며,

:$$
Z(h)=Z(-h)


가 성립한다. 그 결과, 단위 스핀 당 자유 에너지에 대해서도

:$$
f(h)=f(-h)


도 성립한다. 이러한 대칭성을 스핀 반전 대칭 또는 대칭이라고 한다.

3.1. 평면 그래프 쌍대성

평면 그래프 Γ 위의 이징 모형은 그 쌍대 그래프 Γ' 위의 이징 모형과 동치이다. 이 경우, Γ의 고온 이징 모형은 Γ'의 저온 이징 모형에 대응한다.

특히, 평면 정사각형 격자 그래프는 스스로와 쌍대이며, 이를 통해 평면 정사각형 격자 그래프의 상전이 온도를 알 수 있다. 마찬가지로, 평면 정육각형 격자 그래프는 평면 정삼각형 격자 그래프와 쌍대이다.

4. 특별한 경우

특수한 그래프의 경우, 이징 모형의 해를 해석적으로 구할 수 있다.

상호작용의 감쇠가 \( J_{ij} \sim |i-j|^{-\alpha} \) (\( \alpha > 1 \)) 이면 열역학적 극한이 존재한다。

* \( 1 < \alpha < 2 \)에서 강자성 상호작용 \( J_{ij} \sim |i-j|^{-\alpha} \)의 경우, 다이슨(Dyson)은 계층을 비교하여 충분히 낮은 온도에서 상전이가 있음을 증명했다。
* 강자성 상호작용 \( J_{ij} \sim |i-j|^{-2} \)의 경우, 프뢰리히(Fröhlich)와 스펜서(Spencer)는 (계층의 경우와 대조적으로) 충분히 낮은 온도에서 상전이가 있음을 보였다。
* \( \alpha > 2 \)의 상호작용 \( J_{ij} \sim |i-j|^{-\alpha} \)의 경우 (이는 유한한 범위의 상호작용을 의미한다)에는 자유 에너지가 열역학적 매개변수에 대해 해석적이므로, 양의 온도(유한한 \( \beta \))에 대해 상전이가 없다。
* 근접 상호작용의 경우에는 이징(E. Ising)이 모델의 완전 해를 보였다. 임의의 양의 온도(유한한 \( \beta \))에서 자유 에너지는 열역학적 매개변수 내에서 해석적이며, 생략된 2점 상관 함수는 지수적으로 급격히 감소한다. 온도 0 ( \( \beta \)가 무한대)에서는 제2종 상전이가 있다. 자유 에너지는 무한대가 되며, 생략된 2점 스핀의 상관 함수는 감소하지 않는다(상수로 유지된다). 따라서, \( T = 0 \)은 이 경우의 임계 온도이며, 스케일링 공식을 만족한다。

1차원 이징 모형에서 주기 경계 조건 또는 자유 경계 조건의 근접 상호 작용의 경우, 완전 해가 존재한다. 주기 경계 조건을 갖는 격자 \( L \) 위의 1차원 이징 모델의 에너지는 다음과 같다.

:\(\mathcal{H}(\sigma) = -J\sum_{i=1,\ldots,L} \sigma_i \sigma_{i+1} - h \sum_i \sigma_i\)

여기서 \( J \)는 상수이며 인접한 스핀 간의 상호 작용의 강도를 나타내고, \( h \)는 격자에 가해진 상수 외부 자기장이다. 따라서 자유 에너지는 다음과 같다.

:\(f(\beta, h) = -\lim_{L\to \infty} \frac{1}{\beta L} \ln (Z(\beta)) = -\frac{1}{\beta} \ln\left(e^{\beta J} \cosh \beta h+\sqrt{e^{2\beta J}(\sinh\beta h)^2+e^{-2\beta J}}\right)\)

스핀-스핀 상관 함수는 다음과 같다.

:\(\langle \sigma_i \sigma_j\rangle-\langle \sigma_i \rangle\langle\sigma_j\rangle = C(\beta)e^{-c(\beta)|i-j|}\)

여기서 \( C(\beta) \)와 \( c(\beta) \)는 \( T > 0 \)인 양의 값의 함수이다. \( T \to 0 \)이면, 역 상관 길이 \( c(\beta) \)는 0이 된다.

4.1. 무변 그래프 (고온 극한)

무변 그래프에서는 스핀 간 상호작용이 없어 해석적으로 해를 구할 수 있다. 무변 그래프 \(\Gamma = \bar{\mathsf K}_N\)가 \(N\)개의 꼭짓점을 갖는 경우, 헬름홀츠 자유 에너지는 다음과 같다.

:\(F_\Gamma = - \frac1\beta\ln Z_\Gamma = -\frac1\beta \left(N \ln 2 + \sum_{i=1}^N \ln \cosh h_i \right)\)

이 경우,

:\(\langle \sigma_i \rangle = - \frac\partial{\partial h_i} \ln Z = \tanh h_i\)

이다.

임의의 그래프 위의 이징 모형에서, \(\beta \to 0\)일 때 (즉, 고온 극한) 이는 무변 그래프로 수렴한다. 상호작용의 감쇠가 α > 1에서 \( J_{ij} \sim |i-j|^{-\alpha} \)이면 열역학적 극한이 존재한다。

4.2. 완전 그래프 (평균장 근사)

완전 그래프에서는 모든 스핀이 서로 상호작용한다. 이 경우를 다른 그래프의 근사로 여길 때 평균장 근사라고 한다. 평균장 근사를 통해 해석적으로 해를 구할 수 있다.

편의상, $\backslash beta$와 $h$가 상수 함수라고 가정하면, +값의 스핀의 수는 다음과 같다.
:$n\; =\; \backslash sum\_i\backslash frac\{\backslash sigma\_i+1\}2$

그러면 다음이 성립한다.
:$\backslash sum\_i\backslash sigma\_i\; =\; 2n-N$
:$\backslash exp(\backslash beta\backslash sum\_\{ij\}\backslash sigma\_i\backslash sigma\_j)\; =\; \backslash exp\backslash left(\backslash beta(2n-N)^2/2\; -\; N\backslash beta/2\backslash right)$
:$\backslash exp\backslash left(\backslash beta\backslash sum\_\{ij\}\backslash sigma\_i\backslash sigma\_j+h\backslash sum\_i\backslash sigma\_i\backslash right)\; =\; \backslash exp(\backslash beta(2n-N)^2/2\; -\; \backslash beta\; N/2\; +\; h(2n-N))$

즉, 분배 함수는 다음과 같다.
:$Z\_\{\backslash mathsf\; K\_N\}(\backslash beta,h)\; =\; \backslash exp\backslash left(-\backslash frac12\backslash beta\; N\; \backslash right)\; \backslash sum\_\{n=0\}^N\; \backslash binom\; nN\; \backslash exp\backslash left(\backslash frac12\backslash beta(2n-N)^2\; +h(2n-N)\backslash right)$

열역학적 극한은
:$N\backslash to\backslash infty$
:$\backslash beta\; \backslash propto\; 1/N$
이다. 이 경우, 변수
:$x\; =\; 2n/N\; -\; 1$
:$b\; =\; N\backslash beta$
를 정의하면, 분배 함수는 다음과 같다.
:$Z\_\{\backslash mathsf\; K\_N\}\; \backslash approx\; \backslash frac12N\backslash exp(-\backslash beta\; N/2)\; \backslash int\_1^1\; \backslash mathrm\; dx\; \backslash exp(NS(x;\backslash beta,h))$
:$S(x;\backslash beta,h)\; =\; -\; \backslash frac12(1+x)\; \backslash ln\; (1+x)\; -\; \backslash frac12\; (1-x)\; \backslash ln\; (1-x)\; +\; ln\; 2\; +\; \backslash frac12\; bx^2\; +\; hx$

만약 $S$가 하나의 최댓값을 가지는 경우, 이는 라플라스 방법으로 근사할 수 있다. $S$의 최댓값의 위치는
:$0\; =\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; x\}\backslash right|\_\{x=x\_0\}\; =\; -\; \backslash operatorname\{artanh\}(x\_0)\; +\; bx\_0\; +\; h$
이므로
:$h\; =\; \backslash operatorname\{artanh\}(x\_0)\; -\; bx\_0$
이다. $S$의 최댓값 근처의 폭은
:$-S$(X_0;\beta,h) = \frac12\left(\frac1{1+x_0} + \frac1{1-x_0}\right) - b
에 의하여 주어진다. 따라서 분배 함수는 다음과 같다.
:$\backslash ln\; Z\_\{\backslash mathsf\; K\_N\}(b/N,\; h)\; =\; \backslash frac12\backslash ln\; (2\backslash pi\; N)\; -\; \backslash frac12b\; -\; \backslash frac12\; \backslash ln\; (-S$(x_0(b,h);b,h)) + NS(x_0(b,h);b,h) + o(1)

이 경우 평균 스핀은 다음과 같다.
:$\backslash langle\backslash sigma\backslash rangle\; =\; \backslash frac1N\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash ln\; N\}\{\backslash partial\; h\}=\; x\_0(b,h)\; -\; \backslash frac1\{2N\}\; \backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; h\}\backslash ln\; (-S\text{'}\text{'}(x\_0(b,h);b,h))\; +\; o(1/N)$

첫째 항만을 남기고, $h$에 대하여 풀면 상태 방정식
:$b\backslash langle\backslash sigma\backslash rangle+\backslash operatorname\{artanh\}\backslash langle\backslash sigma\backslash rangle\; =\; h$
을 얻는다.

이 근사가 잘 성립하려면 (즉, $S$가 한 점에서 최댓값을 갖는다면), 함수
:$(-1,+1)\backslash to\; \backslash mathbb\; R$
:$x\; \backslash mapsto\; \backslash operatorname\{artanh\}\; x\; -\; bx$
가 치역의 값 $h$ 근처에서 단사 함수이어야 한다. 이것이 항상 성립할 필요충분조건은
:$b\; \backslash le\; 1$
이다. 만약 $b>1$일 경우, $|h|$가 충분히 작다면 이 함수는 세 개의 원상을 갖는다. 이 경우, $S$의 세 개의 임계점 가운데 $S$의 값이 가장 큰 것을 골라야 한다. 물리학적으로, 이는 $b\; =\; 1$에서 일어나는 2차 상전이를 나타낸다. 완전 그래프를 강자성체의 평균장 근사로 여길 경우, 이는 퀴리 온도 $T\; =\; \backslash epsilon\; /k\_\{\backslash mathrm\; B\}$에 해당한다.

4.3. 순환 그래프 (1차원 이징 모형)

1차원 이징 모형은 순환 그래프로 표현되며, 전이 행렬 방법을 사용하여 해석적으로 해를 구할 수 있다. 1924년 이징은 각 사이트가 왼쪽 및 오른쪽 이웃과만 상호 작용하는 선형 수평 격자(d=1)에 대한 모형을 풀었다. 1차원에서는 상전이가 없다. 즉, 임의의 양의 β에 대해 상관 관계 ⟨σ_iσ_j⟩는 |i − j|에서 지수적으로 감소한다.

:$$\backslash langle\; \backslash sigma\_i\; \backslash sigma\_j\; \backslash rangle\_\backslash beta\; \backslash leq\; C\; \backslash exp\backslash left(-c(\backslash beta)\; |i\; -\; j|\backslash right),$$

그리고 시스템은 무질서하다. 이 결과를 바탕으로, 그는 이 모형이 어떤 차원에서도 상 거동을 보이지 않는다고 잘못 결론을 내렸다.

열역학적 극한은 상호작용의 감쇠가 $J\_\{ij\}\; \backslash sim\; |i\; -\; j|^\{-\backslash alpha\}$이며 α > 1일 때 존재한다.

* 강자성 상호작용 $J\_\{ij\}\; \backslash sim\; |i\; -\; j|^\{-\backslash alpha\}$의 경우, 1 < α < 2일 때, 다이슨(Dyson)은 계층적인 경우와의 비교를 통해 충분히 낮은 온도에서 상 전이가 존재함을 증명했다.
* 강자성 상호작용 $J\_\{ij\}\; \backslash sim\; |i\; -\; j|^\{-2\}$의 경우, 프뢸리히(Fröhlich)와 스펜서(Spencer)는 충분히 낮은 온도에서 상 전이가 존재함을 증명했다(이는 계층적인 경우와 대조적이다).
* α > 2인 상호작용 $J\_\{ij\}\; \backslash sim\; |i\; -\; j|^\{-\backslash alpha\}$의 경우(유한 범위 상호작용의 경우를 포함), 자유 에너지가 열역학적 매개변수에서 해석적이므로, 임의의 양의 온도(즉, 유한 β)에서 상 전이는 존재하지 않는다.
* 가장 가까운 이웃 상호작용의 경우, 이징(E. Ising)은 모형의 정확한 해를 제시했다. 임의의 양의 온도(즉, 유한 β)에서 자유 에너지는 열역학적 매개변수에서 해석적이며, 잘린 2점 스핀 상관 관계는 지수적으로 빠르게 감소한다. 절대 영도(즉, 무한 β)에서는 2차 상 전이가 존재한다. 즉, 자유 에너지는 무한대이고, 잘린 2점 스핀 상관 관계는 감소하지 않는다(상수로 유지된다). 따라서, 이 경우 T = 0이 임계 온도이다. 스케일링 공식이 만족된다.

가장 가까운 이웃의 경우(주기적 또는 자유 경계 조건에서) 정확한 해를 구할 수 있다. 자유 경계 조건을 가진 격자 L개의 사이트에서 1차원 이징 모형의 해밀토니안은 다음과 같다.

:$$H(\backslash sigma)\; =\; -J\; \backslash sum\_\{i=1,\backslash ldots,L-1\}\; \backslash sigma\_i\; \backslash sigma\_\{i+1\}\; -\; h\; \backslash sum\_i\; \backslash sigma\_i,$$

여기서 J와 h는 임의의 숫자일 수 있다. 왜냐하면 이 단순화된 경우 J는 가장 가까운 이웃 간의 상호 작용 강도를 나타내는 상수이고 h는 격자 사이트에 적용되는 일정한 외부 자기장이다. 그러면 자유 에너지는 다음과 같다.

:$$f(\backslash beta,\; h)\; =\; -\backslash lim\_\{L\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{\backslash beta\; L\}\; \backslash ln\; Z(\backslash beta)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash beta\}\; \backslash ln\backslash left(e^\{\backslash beta\; J\}\; \backslash cosh\; \backslash beta\; h\; +\; \backslash sqrt\{e^\{2\backslash beta\; J\}(\backslash sinh\backslash beta\; h)^2\; +\; e^\{-2\backslash beta\; J\}\}\backslash right),$$


그리고 스핀-스핀 상관 관계(즉, 공분산)는 다음과 같다.

:$$\backslash langle\backslash sigma\_i\; \backslash sigma\_j\backslash rangle\; -\; \backslash langle\backslash sigma\_i\backslash rangle\; \backslash langle\backslash sigma\_j\backslash rangle\; =\; C(\backslash beta)\; e^\{-c(\backslash beta)|i\; -\; j|\},$$

여기서 C(β)와 c(β)는 T > 0일 때 양의 함수이다. 그러나 T → 0의 경우 역 상관 길이 c(β)가 사라진다.

4.4. 나무 그래프

유한 나무 그래프 $T$가 주어졌을 때, 임의의 꼭짓점 $i\_0\; \backslash in\; \backslash mathsf\; V(T)$를 고르면, 모든 꼭짓점 $i$에 대해 $i\_0$까지의 최단 경로의 길이 $\backslash ell(i,i\_0)$를 정의할 수 있다. 모든 꼭짓점 $i\backslash in\backslash mathsf\; V(T)$에 대하여, 만약 $i\; \backslash ne\; i\_0$라면, 다음 조건을 만족하는 $\backslash operatorname\{prec\}(i)\backslash in\; \backslash mathsf\; V(T)$가 유일하게 존재한다.

:$\backslash ell(\backslash operatorname\{prec\}(i),i\_0)\; +1\; =\; \backslash ell(i,i\_0)$
:$\backslash operatorname\{prec\}(i)i\; \backslash in\; \backslash mathsf\; E(T)$

이때, 스핀 $\backslash sigma\_i$ 대신 다음과 같은 새로운 변수들을 정의할 수 있다.

:$\backslash tilde\backslash tau\_\{i\_0\}\; =\; \backslash sigma\_\{i\_0\}$
:$\backslash tilde\backslash tau\_i\; =\; \backslash sigma\_v\backslash sigma\_\{\backslash operatorname\{prec\}(i)\}$

또한, 임의의

:$\backslash beta\; \backslash colon\; \backslash mathsf\; E(T)\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$
:$h\backslash colon\; \backslash mathsf\; V(T)\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$

에 대하여, 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash tilde\backslash beta\; \backslash colon\; \backslash mathsf\; E(T)\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$
:$\backslash tilde\; h\; \backslash colon\; \backslash mathsf\; V(T)\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$
:$\backslash tilde\; \backslash beta\_\{\backslash operatorname\{prec\}(i)i\}\; =\; h\_i$
:$\backslash tilde\; h\_i\; =\; \backslash begin\{cases\}$
\beta_{\operatorname{prec}(i)i} & i \ne i_0 \\
h_{i_0} & i=i_0
\end{cases}


그러면, $\backslash sigma\; \backslash leftrightarrow\; \backslash tilde\backslash sigma$ 변환 아래 다음 식이 성립한다.

:$Z\_T(\backslash beta,h)\; =\; Z\_T(\backslash tilde\backslash beta,\backslash tilde\; h)$

특히, 만약

:$h\_i=\backslash begin\{cases\}$
0 & i \ne i_0 \\
h_i & i = i_0
\end{cases}

인 경우 $\backslash tilde\backslash beta\; =\; 0$이므로 다음이 성립한다.

:$Z\_T(\backslash beta,h)\; =\; Z\_T(0,\backslash tilde\; h)\; =\; (2\backslash cosh\; \backslash exp\; h\_\{i\_0\})\; \backslash prod\_\{ij\backslash in\backslash mathsf\; E(T)\}\; (2\backslash cosh\; \backslash beta\_\{ij\})$

4.5. 베테 그래프

베테 그래프는 무한히 뻗어나가는 나무 그래프의 일종으로, 재귀적인 관계를 통해 해를 구할 수 있다.

베테 그래프의 경우 $N\; \backslash to\; \backslash infty$이며 $d\_N\; -1\; =\; d\_\{N-1\}\; =\; d\_\{N-2\}\; =\; \backslash dotsb\; =\; d\_1$의 꼴이다.

만약 $d\_i$, $h\_i$, $\backslash beta\_i$가 상수 함수라면, 이는 $(C\_N,S\_N)\; \backslash in\; \backslash mathbb\; R^2$에 대한 이산 시간 동역학계

:$\backslash binom\; cs$
\mapsto \binom{
(2\cosh\beta)((c+s)^d+(c-s)^d)
}{
(2\sinh\beta)((c+s)^d-(c-s)^d)
}


로 여길 수 있다. $N\backslash to\; \backslash infty$ 극한은 (만약 존재한다면) 이 함수의 고정점에 해당한다.

특히, 만약 $d\; =\; 1$일 때 (경로 그래프), 이는 선형 변환에 불과하며, 이 경우 유한한 $N$의 경우에도 풀 수 있다.

4.6. 연산자 표현

유한 그래프 $\Gamma$가 주어졌을 때, 그래프 데카르트 곱 $\Gamma \square \mathsf C_L$ 위의 이징 모형을 생각해 보자. ($\backslash mathsf\; C\_L$은 크기 $L$의 순환 그래프이다.) 이 경우, 실수 힐베르트 공간 $V = \mathbb R^{\{\pm1\}^{\mathsf V(\Gamma)}}$를 정의할 수 있다. 이는 $2^$

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📌 열 고정 해제

차원 실수 힐베르트 공간이다. 임의의 함수 $\sigma\colon \mathsf V(\Gamma) \to \{\pm1\}$에 대하여, 기저 벡터 $|\sigma\rangle \in V$를 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 벡터들은 $V$의 정규 직교 기저를 이룬다.

각 두 꼭짓점 $i,j\in\mathsf V(\Gamma)$에 대하여, 연산자 $S_i(\beta,h) \colon V \to V$ 와 $T_{ij}(\beta) \colon V \to V$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\langle\sigma|S_i(\beta,h)|\sigma'\rangle = \exp(h(\sigma_i+\sigma'_i)/2+\beta\sigma_i\sigma'_i) \prod_{k\ne i}\delta(\sigma_k,\sigma'_k) $

$\langle\sigma|T_{ij}(\beta)|\sigma'\rangle = \exp(\beta\sigma_i\sigma_j) \prod_{k\in\mathsf V(\Gamma)}\delta(\sigma_k,\sigma'_k)$

즉, $S_i$는 $\mathsf C_L$ 방향(“시간 방향”)의 변을 생성하며, $T_{ij}$는 $\Gamma$ 방향(“공간 방향”)의 변을 생성한다. 이들은 둘 다 에르미트 연산자를 이룬다.

그래프 $\Gamma$ 위에서, $\beta$와 $h$가 상수 함수인 경우, 이징 모형은 다음과 같이 연산자로 나타낼 수 있다.

$Z_\Gamma(\beta;h=0)= \sum_{\sigma^1,\sigma^2,\dotsc,\sigma^L} \langle \sigma^1 | \prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta) |\sigma^1\rangle \langle \sigma^1 | \prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)} S_i(\beta,h) |\sigma^2 \rangle \langle\sigma^2 | \prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta) |\sigma^2\rangle \dotsm \langle \sigma^L | \prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta) |\sigma^L\rangle \langle \sigma^L | \prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)} S_i(\beta,h) |\sigma^1\rangle$

여기서

$\sum_{\sigma^a}|\sigma^a\rangle\langle\sigma^a|\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)|\sigma^a\rangle\langle\sigma^a|\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta) =\sum_{\sigma^a}|\sigma^a\rangle\langle\sigma^a|\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta) =\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta)$

이다. 즉,

$Z_\Gamma(\beta;h=0) = \operatorname{tr}\left(\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta,h)\right)^L$

이다. 이에 따라, 이러한 그래프 위의 이징 모형은 연산자 $\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta,h)$의 고윳값을 구하는 것으로 귀결된다.

4.7. 2차원 격자 그래프

2차원 이징 모형은 상전이 현상을 보이며, 해석적인 해를 구할 수 있다. 그 열역학적 극한은 2차원 등각 장론으로 주어진다.

다음과 같은 대각선 모양의 격자를 생각하자.

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📌 열 고정 해제

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5. 해석

이징 모형은 다양한 물리 현상을 설명하는 데 사용될 수 있다.

* 자석 (강자성체): 이징 모형은 자석의 간단한 모형으로, 퀴리 온도에서의 상전이와 같은 현상을 설명한다.
* 반강자성체: 이징 모형은 반강자성체의 간단한 모형으로도 사용될 수 있다.
* 기체: 이징 모형은 기체의 간단한 모형으로, 기체와 액체 사이의 상전이를 설명하는 데 사용된다.

이징 모형은 다음과 같은 여러 가지 방법으로 해석될 수 있다.

우선 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 가정한다.

* 유한 그래프 $\backslash Gamma$. 그 꼭짓점 집합을 $\backslash mathsf\; V(\backslash Gamma)$, 변 집합을 $\backslash mathsf\; E(\backslash Gamma)$라고 표기한다.
* 함수 $h\backslash colon\backslash mathsf\; V(\backslash Gamma)\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$, $i\; \backslash mapsto\; h\_i$
* 함수 $\backslash beta\; \backslash colon\; \backslash mathsf\; E(\backslash Gamma)\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$, $ij\; \backslash mapsto\; \backslash beta\_\{ij\}$

이 경우, 그래프 $\backslash Gamma$ 위의, 자기장 $h$에 대한 이징 모형은 다음과 같은 분배 함수로 정의된다.

:$Z\_\backslash Gamma(\backslash beta;h)\; =\; \backslash sum\_\{\backslash sigma\; \backslash in\; \backslash \{\backslash pm1\backslash \}^\{\backslash mathsf\; V(\backslash Gamma)\}\}\; \backslash exp\backslash left(\backslash sum\_\{ij\backslash in\backslash mathsf\; E(\backslash Gamma)\}\backslash beta\_\{ij\}\backslash sigma\_i\backslash sigma\_j\; +\; \backslash sum\_\{i\backslash in\backslash mathsf\; V(\backslash Gamma)\}h\_i\backslash sigma\_i\backslash right)$

여기서 합은 모든 함수

:$\backslash sigma\backslash colon\; \backslash mathsf\; V(\backslash Gamma)\; \backslash to\; \backslash \{\backslash pm1\backslash \}$
:$\backslash sigma\backslash colon\; i\; \backslash mapsto\; \backslash sigma\_i$

에 대한 것이다.

보통, $\backslash beta$ 및 $h$는 상수 함수로 사용한다.

$\backslash Lambda$ 집합을 격자 위치 집합으로 하고, 각 위치는 인접한 위치 집합(예: 그래프)을 가지며 $d$차원 격자를 형성한다고 가정한다. 각 격자 위치 $k\backslash in\backslash Lambda$에 대해 $\backslash sigma\_k\backslash in\backslash \{-1,\; +1\backslash \}$인 이산 변수 $\backslash sigma\_k$가 존재하며, 이는 해당 위치의 스핀을 의미한다. 스핀 구성 $\{\backslash sigma\}\; =\; \backslash \{\backslash sigma\_k\backslash \}\_\{k\backslash in\backslash Lambda\}$은 각 격자 위치에 스핀 값을 할당하는 것을 의미한다.

인접한 두 위치 $i,\; j\backslash in\backslash Lambda$는 상호 작용 $J\_\{ij\}$을 갖는다. 또한, 위치 $j\backslash in\backslash Lambda$는 외부 자기장 $h\_j$와 상호 작용한다. 구성 $\{\backslash sigma\}$의 에너지는 해밀턴 함수로 주어진다.

:$$H(\backslash sigma)\; =\; -\backslash sum\_\{\backslash langle\; ij\backslash rangle\}\; J\_\{ij\}\; \backslash sigma\_i\; \backslash sigma\_j\; -\; \backslash mu\; \backslash sum\_j\; h\_j\; \backslash sigma\_j,$$

여기서 첫 번째 합은 인접 스핀 쌍에 대한 것이며 (모든 쌍은 한 번씩 계산된다). $\backslash langle\; ij\backslash rangle$는 위치 $i$와 $j$가 가장 가까운 이웃임을 나타낸다. 자기 모멘트는 $\backslash mu$로 주어진다. 구성 확률은 역온도 $\backslash beta\backslash geq0$를 갖는 볼츠만 분포로 주어진다.

:$$P\_\backslash beta(\backslash sigma)\; =\; \backslash frac\{e^\{-\backslash beta\; H(\backslash sigma)\}\}\{Z\_\backslash beta\},$$

여기서 $\backslash beta\; =\; 1\; /\; (k\_\backslash text\{B\}\; T)$이고, 정규화 상수

:$$Z\_\backslash beta\; =\; \backslash sum\_\backslash sigma\; e^\{-\backslash beta\; H(\backslash sigma)\}$$

는 분배 함수이다. 스핀의 함수 $f$ (관측 가능량)에 대해 다음을 사용하여

:$$\backslash langle\; f\; \backslash rangle\_\backslash beta\; =\; \backslash sum\_\backslash sigma\; f(\backslash sigma)\; P\_\backslash beta(\backslash sigma)$$

$f$의 기댓값 (평균)을 나타낸다.

구성 확률 $P\_\{\backslash beta\}(\backslash sigma)$는 (평형 상태에서) 시스템이 구성 $\backslash sigma$의 상태에 있을 확률을 나타낸다.

이징 모형은 강자성체나 반강자성체의 모델뿐만 아니라, 2원 합금이나 격자 기체의 모델과도 같다. 또한, 불규칙 자성체의 질서상인 스핀 글래스의 모델에도 사용된다. 스핀 글라스에서는 강자성과 반강자성의 상호 작용이 공간적으로 무작위하게 섞여 있는 이징 모형이 사용된다. 스핀 글라스 이론은 뉴럴 네트워크(신경 회로망)의 연상 기억 이론이나 조합 최적화 문제에도 적용되며, 이러한 분야에서도 이징 모형이 응용되고 있다.

5.1. 강자성체

$N$개의 자기 쌍극자 $\backslash mu$를 포함하는 강자성체에 외부 자기장 $H$가 걸려 있다고 가정한다. 쌍극자는 자기장에 평행한 방향 $+\backslash mu$ 또는 반평행한 방향 $-\backslash mu$ 둘 중 하나를 가리킨다. 쌍극자 사이의 상호작용은 격자 위에서 바로 옆에 있는 경우를 제외하고는 무시할 수 있고, 바로 옆에 있는 경우에는 서로 같은 방향을 가리킬 때 위치 에너지 $-\backslash epsilon$을, 서로 반대 방향을 가리킬 때 위치 에너지 $\backslash epsilon$을 가진다.

이러한 강자성체의 해밀토니언은 다음과 같다.

:$E=-\backslash epsilon\backslash sum\_\{ij\backslash in\backslash mathsf\; E(\backslash Gamma)\}\backslash sigma\_i\backslash sigma\_j-\backslash mu\backslash sum\_iH\_i\backslash sigma\_i$

여기서 $\backslash sigma\_i=\backslash pm1$은 격자의 각 위치에서의 쌍극자의 방향을 나타내는 변수이고, $\backslash langle\; ij\backslash rangle$은 격자 위에서 서로 옆에 있는 위치 $i$와 $j$를 나타낸다.

이 경우 볼츠만 분포는 다음과 같다.

:$\backslash exp(-E/\backslash mathrm\; k\_\{\backslash mathrm\; B\}T)\; =\; \backslash exp\backslash left($
\frac\epsilon{k_{\mathrm B}T}\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\sigma_i\sigma_j
+\frac\mu{k_{\mathrm B}T}\sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}H_i\sigma_i
\right)

따라서, 이는

:$\backslash beta\; =\; \backslash frac\backslash epsilon\{k\_\{\backslash mathrm\; B\}T\}$
:$h\_i\; =\; \backslash frac\backslash mu\{k\_\{\backslash mathrm\; B\}T\}H\_i$

인 이징 모형에 해당한다.

강자성 이징 모형에서 스핀은 정렬되기를 원한다. 즉, 인접한 스핀이 같은 부호를 갖는 구성이 더 높은 확률을 갖는다.

5.2. 반강자성체

$N$개의 자기 쌍극자 $\backslash mu$를 포함하는 반강자성체가 주어졌을 때, 서로 이웃하는 스핀이 같은 방향을 가리키면 에너지가 $+\backslash epsilon$이고, 반대 방향을 가리키면 에너지가 $-\backslash epsilon$이다. 외부 자기장이 $H$인 경우, 에너지는 다음과 같이 표현된다.

:$E\; =\; \backslash epsilon\backslash sum\_\{ij\backslash in\backslash mathsf\; E(\backslash Gamma)\}\backslash sigma\_i\backslash sigma\_j\; -\; \backslash mu\backslash sum\_\{i\backslash in\backslash mathsf\; V(\backslash Gamma)\}\; H\_i\; \backslash sigma\_i$

이는 이징 모형으로 설명할 수 있는데, 여기서 $\backslash beta\; =\; -\backslash frac\backslash epsilon\{k\_\{\backslash mathrm\; B\}T\}$, $h\_i\; =\; \backslash frac\backslash mu\{k\_\{\backslash mathrm\; B\}T\}H\_i$이다.

반강자성 모형에서는 인접한 스핀이 반대 부호를 갖는 경향이 있다. 즉, 이면, 상호작용은 반강자성이다.

5.3. 기체

기체 분자 간의 상호작용은 이징 모형으로 설명할 수 있다. 기체를 구성하는 분자 사이의 퍼텐셜은 다음과 같은 특징을 갖는다.

5.4. 이합체 모형

2차원 정사각형 격자를 비롯하여, 4차 정규 그래프 위의 이징 모형은 이합체 모형으로 해석될 수 있다.

6. 일반화

이징 모형은 최근접 격자점뿐만 아니라 임의의 격자점 간의 상호작용을 고려하는 형태로 확장될 수 있다. 이때, 해밀토니안은 다음과 같이 표현된다.

:$$
\begin{align}
\mathcal{H}
&= - \sum_{(i,j)} J_{ij} \, \sigma_i \cdot \sigma_j - \sum_{i} h_i \sigma_i \\
&= - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}
J_{ij} \, \sigma_i \cdot \sigma_j - \sum_{i=1}^{N} h_i \sigma_i
\end{align}


더욱 일반화하면, 무향 그래프 위에서도 이징 모형을 정의할 수 있다. 정점을 $V\; =\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; N\backslash \}$, 정점끼리 연결하는 변을 $E$로 하는 무향 그래프 $G=(V,\; E)$에서, 이징 모형의 해밀토니안은 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\{H\}\; =\; -\; \backslash sum\_\{(i,j)\; \backslash in\; E\}\; J\_\{ij\}\; \backslash ,\; \backslash sigma\_i\; \backslash cdot\; \backslash sigma\_j\; -\; \backslash sum\_\{i\; \backslash in\; V\}h\_i\; \backslash sigma\_i$

7. 응용

이징 모형은 다양한 분야에 응용될 수 있다.

뇌 속 뉴런의 활동은 통계적으로 모델링될 수 있는데, 각 뉴런은 활동적이거나 비활동적인 상태를 가진다. 이징 모형은 신경 활동의 통계적 모델 선택에 사용될 수 있으며, 최대 엔트로피 원리를 따른다. 뉴런 간의 상호작용을 고려하기 위해 쌍별 라그랑주 승수가 도입된 일반화된 이징 모형은 통계학에서 2차 지수 이진 분포라고도 불린다. 이 모형은 쌍별 상관관계와 평균 활동에 대한 제약 조건 하에서 가장 무작위적인 시스템을 설명하는 데 사용될 수 있다.

이징 모형을 사용하면 스핀 유리를 기술할 수 있다. 스핀 유리는 일반적인 해밀토니안 :$H=-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ,\backslash sum\; J\_\{i,k\}\backslash ,S\_i\backslash ,S\_k,$ 를 통해 가능한데, S 변수는 이징 스핀을 나타내고, J_i,k는 임의 분포에서 가져온다. 스핀 유리의 경우, 전형적인 분포는 확률 p로 반강자성 결합을 선택하고, 확률 1 − p로 강자성 결합을 선택한다(이는 무작위 결합 이징 모형으로도 알려져 있다). 이 시스템은 자체적으로도 흥미로운데, 특히 "비-에르고딕" 특성을 가지며 이상한 완화 현상을 보인다.

이징 모형은 호프필드 네트워크 개발에 중요한 역할을 했다. 로이 J. 글라우버는 시간에 따라 진화하는 이징 모형을 연구했으며, 아마리 순이치는 헤브 학습 규칙에 따라 이징 모형의 가중치를 수정하는 것을 제안했다.

융빙 연못은 이징 모형으로 모델링할 수 있으며, 해빙 지형 데이터는 결과에 큰 영향을 미친다. 상태 변수는 2차원 근사를 위해 물 또는 얼음 중 하나가 된다.

8. 역사

빌헬름 렌츠(Wilhelm Lenz^독일어, 1888-1957)가 제자 에른스트 이징(Ernst Ising^독일어, 1900-1998)에게 연습 문제로 제안하였다. 이징은 1925년 박사 학위 논문에서 1차원 이징 모형에는 상전이가 없다는 사실을 증명하였고, 이를 근거로 임의의 차원의 이징 모형에서 상전이가 없다고 추측하였다. 그러나 1944년에 라르스 온사게르가 2차원 이징 모형에서 상전이가 존재함을 증명하였다.