고본 삼각형

2. 고본 삼각형 문제

고본 삼각형 문제는 k개의 직선으로 평면을 분할했을 때, 겹치지 않는 삼각형을 최대 몇 개까지 만들 수 있는지 묻는 문제이다. 고본 사부로가 처음 제시한 이 문제는 아직 완전히 해결되지 않았지만, 여러 수학자들이 다양한 상계를 제시하고 특정 경우에 대한 해를 찾아냈다.

사부로 타무라는 ''k''개의 직선으로 만들 수 있는 겹치지 않는 삼각형의 최대 개수가 $\backslash lfloor\; k(k-2)/3\backslash rfloor$개를 넘지 않는다는 상계를 제시했다.^[7] 이후 요하네스 바더(Johannes Bader)와 질 클레망(Gilles Clément)은 ''k''를 6으로 나눈 나머지가 0 또는 2일 때는 타무라의 상계에 도달할 수 없음을 보였다.^[8]

2. 1. 알려진 상계

2. 1. 1. 상계 공식

• $k\; \backslash equiv\; 3,5\; \backslash pmod\{6\}$ 일 때: $\backslash frac\; 13\; k\; (k-2)$
• $k\; \backslash equiv\; 0,2\; \backslash pmod\{6\}$ 일 때: $\backslash frac\; 13\; (k+1)(k-3)$
• $k\; \backslash equiv\; 1,4\; \backslash pmod\{6\}$ 일 때: $\backslash frac\; 13\; (k^2-2k-2)$

2. 2. 알려진 해

다무라 사부로(수학자)는 ''k''(''k'' − 2)/3를 넘지 않는 가장 큰 정수가 ''k''개의 직선으로 만들 수 있는 겹치지 않는 삼각형 개수의 상한이라는 것을 증명했다.^[7] 2007년, 요하네스 바더와 질 클레망은 ''k''가 6을 법으로 0 또는 2와 합동일 때, 다무라의 상한에 도달할 수 없음을 보였다.^[8] 따라서 이 경우, 삼각형의 개수는 최대 다무라의 상계보다 1만큼 작아진다. 완전한 해(만들 수 있는 최대 개수의 삼각형을 생성하는 직선)가 얻어진 경우는 ''k'' = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15, 17일 때뿐이다.^[9] ''k'' = 10, 11, 12에 대해서는, 알려진 최선의 해에서 상계보다 1만큼 작은 개수의 삼각형이 만들어진다.

만약 ''k''₀(>3)개의 직선에 대한 완전한 해를 알게 되면, D. 포지와 J. L. 라미레스 알폰신의 절차에 따라^[6][10] 다음 식을 통해 모든 ''k_i''에 대한 완전한 해를 구할 수 있다.

:$k\_\{n+1\}\; =\; 2\backslash cdot\; k\_\{n\}\; -\; 1$

예를 들어, ''k''₀ = 5로부터 ''k'' = 5, 9, 17, 33, 65, ...일 때 만들 수 있는 최대 삼각형 개수를 구할 수 있다.

2. 3. 사영 평면에서의 고본 삼각형 문제

2. 3. 1. 사영 평면에서의 해

• 나머지 선들 사이에 있는 일반적인 삼각형. 세 개의 유한 선분으로 경계가 정해진다.
• 공통 정점에서 만나는 두 개의 광선과 무한대선의 한 선분으로 경계가 정해지는 삼각형.
• 유한 선분과 무한대선 위의 꼭짓점에서 만나는 두 개의 평행 광선으로 경계가 정해지는 삼각형.