사영 평면

5.2. 데자르그 사영 평면

사영 평면 $(X,L,\backslash vartriangleleft)$ 속의 두 삼각형 $(x,y,z)$, $(x\text{'},y\text{'},z\text{'})$이 주어졌고, 그 변들을 각각 $(l,m,n),(l\text{'},m\text{'},n\text{'})$이라고 할 때, 다음이 성립한다.

* $\backslash underline\{ll\text{'}\}$, $\backslash underline\{mm\text{'}\}$, $\backslash underline\{nn\text{'}\}$ 세 점에 모두 인접하는 직선이 존재하면, 두 삼각형은 서로 축배경적(axially in perspective^영어)이다.
* $\backslash overline\{xx\text{'}\}$, $\backslash overline\{yy\text{'}\}$, $\backslash overline\{zz\text{'}\}$ 세 직선에 모두 인접한 점이 존재하면, 두 삼각형은 서로 중심 배경적(centrally in perspective^영어)이다.

주어진 사영 평면 속의 임의의 두 삼각형에 대하여, 축배경성이 중심 배경성과 동치라면, 이 사영 평면을 데자르그 사영 평면(Desarguesian projective plane^영어)이라고 한다.

모든 데자르그 사영 평면은 분류되었으며, 어떤 나눗셈환 $K$에 대하여 다음과 같은 꼴이다.
* $X=\backslash frac\{K\backslash times\; K\backslash times\; K\backslash setminus\backslash \{(0,0,0)\backslash \}\}\{(x,y,z)\backslash sim(ax,ay,az)\backslash qquad\backslash forall\; a\backslash in\; K^\backslash times,x,y,z\backslash in\; K\}$
* $L$의 원소는 $K\backslash times\; K\backslash times\; K$ 속의 2차원 부분 공간에서 0을 제거한 뒤, 동치 관계를 취한 것이다.

이를 $\backslash mathbb\; P\_K^2$로 표기한다.

특히, 크기 2의 유한체 $\backslash mathbb\; F\_2$ 위의 사영 평면은 파노 사영 평면(Fano projective plane^영어)이라고 한다.

드자르그의 정리는 사영 평면이 반체 위에서 3차원 벡터 공간으로부터 구성될 수 있을 때에만 보편적으로 유효하다. 이러한 평면들은 제라르 드자르그의 이름을 따서 드자르그 평면이라고 불린다.

K 로 실수체 R 을 취하면, 실사영 평면 RP²이 생긴다. 이것은 위상수학에서 방향을 갖지 않는 실수 2차원 다양체의 기본적인 예시를 제공한다.

K 로 복소수체 C 를 취하면, 복소사영 평면 CP²이 생긴다. 이것은 복소 2차원의 닫힌 다양체이며, 따라서 방향을 갖는 실수 4차원의 다양체이다. 다른 체 위의 사영 평면과 함께 대수기하학의 기본적인 예시를 제공한다.

사원수 사영 평면 또한 또 다른 의미를 갖는 대상이다. 케일리 평면은 팔원수 환 위의 사영 평면으로 생각할 수 있지만, 팔원수 환이 사체를 이루지 않기 때문에 제대로 된 구성을 충분히 기술할 수 없다.

K 로 위수 p ⁿ 의 유한체를 취하면, p ²ⁿ + p ⁿ + 1 개의 점을 갖는 사영 평면이 얻어진다. 파노 평면은 p ⁿ = 2인 경우에 해당한다.

5.3. 작은 유한 사영 평면

q^영어 ≤ 10인 유한 사영 평면은 다음과 같다.

* 유한체 위의 사영 평면 $\backslash mathbb\; P^2(\backslash mathbb\; F\_2)$, $\backslash mathbb\; P^2(\backslash mathbb\; F\_3)$, $\backslash mathbb\; P^2(\backslash mathbb\; F\_4)$, $\backslash mathbb\; P^2(\backslash mathbb\; F\_5)$, $\backslash mathbb\; P^2(\backslash mathbb\; F\_7)$, $\backslash mathbb\; P^2(\backslash mathbb\; F\_8)$, $\backslash mathbb\; P^2(\backslash mathbb\; F\_9)$
* 이 밖에도, 차수가 9인 세 개의 비(非)데자르그 사영 평면이 존재한다.

5.4. 비(非)데자르그 사영 평면

교대 대수 $(A,+,0,\backslash star)$에서, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라고 하자. 그렇다면, $A$ 위의 사영 평면을 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 사영 평면을 무팡 사영 평면(Moufang projective plane^영어)이라고 한다. 모든 데자르그 사영 평면은 무팡 사영 평면이다. 반면, 예를 들어 팔원수 위의 사영 평면은 데자르그 사영 평면이 아닌 무팡 사영 평면이다.

5.5. 확장 유클리드 평면

일반적인 유클리드 평면을 사영 평면으로 바꾸려면 다음과 같이 진행한다.

* 각 평행선 클래스(상호 평행인 선들의 최대 집합)에 단일 새 점을 연결한다. 해당 점은 해당 클래스의 각 선과 일치하는 것으로 간주된다. 추가된 새 점들은 서로 구별된다. 이러한 새 점들을 무한원점이라고 부른다.
* 모든 무한원점(및 다른 점이 아님)과 일치하는 새로운 선을 추가한다. 이 선을 무한대선이라고 부른다.

확장된 구조는 사영 평면이며, 확장 유클리드 평면 또는 실수 사영 평면이라고 한다. 이를 얻기 위해 위에서 설명한 과정을 "사영 완비화" 또는 사영화라고 한다. 이 평면은 R³을 벡터 공간으로 간주하여 시작하여 구성할 수도 있다.

체 K 상의 일반적인 평면 K ²는 사영 평면 KP²로의 사상
:$(x\_1,\; x\_2)\; \backslash mapsto\; (1,\; x\_1,\; x\_2)$

에 의해 임베딩된다. 이 사상의 상의 여집합은 (0, x ₁, x ₂) 형태의 점 전체의 집합이며, 이러한 임베딩이 주어져 있다는 관점에서, 여집합의 점은 무한원점을 나타낸다. 무한원점 전체는 KP²에서의 직선을 이루며 (즉, 이 직선은 K ³에서의 평면
:$\backslash \{k\; (0,\; 0,\; 1)\; +\; l\; (0,\; 1,\; 0)\; :\; k,\; l\; \backslash in\; K\backslash \}$

에서 생성된다). 직관적으로, 무한원점은 평행선이 교차하는 곳으로서의 "여분" 점이며, 점 (0, x ₁, x ₂)는 기울기가 x ₂/x ₁인 직선들의 교점에 해당한다. 예를 들어, 일반적인 평면 K ²에서의 두 직선
:$\backslash begin\{align\}$
a &= \{(x_1, 0) : x_1 \in K\},\\
b &= \{(x_1, 1) : x_1 \in K\}
\end{align}

을 생각하면, 이들의 기울기는 모두 0이며 교차하지 않는다. 이것들을 앞서 언급한 임베딩에 의해 KP²의 부분 집합으로 간주하면, 이것들은 KP²에서의 직선은 아니지만, 각각에 점 (0, 1, 0)을 더한
:$\backslash begin\{align\}$
\bar a = \{(1, x_1, 0) : x_1 \in K\} \cup \{(0, 1, 0)\}\\
\bar b = \{(1, x_1, 1) : x_1 \in K\} \cup \{(0, 1, 0)\}
\end{align}
는 KP²에서의 직선이 된다. b는 평면
:$\backslash \{k\; (1,\; 0,\; 1)\; +\; l\; (0,\; 1,\; 0)\; :\; k,\; l\; \backslash in\; K\backslash \}$
에서 생성된다. 이들의 사영 직선 b는 점 (0, 1, 0)에서 교차한다. 사실, K ²에서의 기울기 0인 모든 직선은 이 방법으로 사영화하면, KP²의 점 (0, 1, 0)에서 교차한다.

앞서 주어진 평면 K ²의 사영 평면 KP²으로의 임베딩은 유일하지 않으며, 각 임베딩마다 그 무한원점이 되는 점이 달라진다. 예를 들어, 임베딩
:$(x\_1,\; x\_2)\; \backslash mapsto\; (x\_2,\; 1,\; x\_1)$
을 생각하면, 상의 여집합에 속하는 (x ₀, 0, x ₂) 형태의 점이 무한원점으로 간주된다.

5.6. 사영 몰튼 평면

몰튼 평면은 선들의 평행 클래스를 가지는 아핀 평면의 일종이다. 몰튼 평면을 사영화하면 사영 몰튼 평면을 얻을 수 있다. 데자르그 정리는 몰튼 평면과 사영 몰튼 평면에서 성립하지 않는다.

5.7. 유한체 평면

모든 데자르그 사영 평면은 어떤 나눗셈환 $K$에 대하여 다음과 같이 구성할 수 있다.

* $X=\backslash frac\{K\backslash times\; K\backslash times\; K\backslash setminus\backslash \{(0,0,0)\backslash \}\}\{(x,y,z)\backslash sim(ax,ay,az)\backslash qquad\backslash forall\; a\backslash in\; K^\backslash times,x,y,z\backslash in\; K\}$
* $L$의 원소는 $K\backslash times\; K\backslash times\; K$ 속의 2차원 부분 공간에서 0을 제거한 뒤, 동치 관계를 취한 것이다.

이를 $\backslash mathbb\; P\_K^2$로 표기한다.

특히, 크기 2의 유한체 $\backslash mathbb\; F\_2$ 위의 사영 평면은 파노 사영 평면(Fano projective plane^영어)이라고 한다. 파노 평면은 원소가 2개인 체에서 발생하는 사영 평면이다.

이는 가장 작은 사영 평면으로, 단 7개의 점과 7개의 선을 갖는다. 그림에서 7개의 점은 작은 공으로 표시되고, 7개의 선은 6개의 선분과 원으로 표시된다. 그러나 공을 "선"으로, 선분과 원을 "점"으로 간주할 수도 있다. 이는 사영 평면에서 쌍대성의 예시이다. 즉, 선과 점이 서로 바뀌면, 결과는 여전히 사영 평면이 된다. 같은 선 위에 있는 점(공선점)을 공선점으로 옮기는 7개 점의 순열을 평면의 공선변환 또는 대칭이라고 한다. 기하학의 공선변환은 합성에 의해 군을 형성하며, 파노 평면의 경우 이 군은 168개의 원소를 갖는다.

Wedderburn의 정리에 따르면, 유한 나눗셈환은 가환적이여야 하며, 따라서 체가 된다. 따라서 이 구성의 유한한 예는 "체 평면"으로 알려져 있다. 소수 p에 대해 $p^n$개의 원소를 갖는 유한체 K를 취하면 $p^\{2n\}\; +\; p^n\; +\; 1$개의 점을 가진 사영 평면이 생성된다. 체 평면은 일반적으로 PG(2, q)로 표시되는데, 여기서 PG는 사영 기하학을 나타내고, "2"는 차원을 나타내며, q는 평면의 차수라고 불린다(이는 임의의 선 위에 있는 점의 수보다 1 작다). 파노 평면은 PG(2, 2)로 표시된다.

* K 로 위수 p ⁿ 의 유한체를 취하면, p ²ⁿ + p ⁿ + 1 개의 점을 갖는 사영 평면이 얻어진다. 파노 평면은 p ⁿ = 2인 경우에 해당한다.

6. 구성

사영 평면은 나눗셈환을 이용하거나 삼진환을 통해 구성할 수 있다. 벡터 공간을 이용한 구성에서, 나눗셈환 K 위의 사영 평면 KP²는 K³의 원점을 지나는 직선 전체의 집합으로 정의된다. 이때 동차 좌표계를 사용하며, (0, 0, 0)을 제외한 모든 세 묶음 (x₀, x₁, x₂)이 KP²의 점을 나타낸다.

삼진환을 통한 구성에서는, 모든 사영 평면이 삼진환으로부터 구성될 수 있으며, 각 삼진환에는 사영 평면이 대응된다. 평면 삼진환은 체나 나눗셈환일 필요가 없어, 비데자르그 사영 평면과 같이 나눗셈환에서 구성되지 않는 사영 평면도 존재한다. 옥토니언 위의 케일리 평면이 그 예시이다. 평면 삼진환 (R, T)이 주어지면, 삼항 연산자 T를 통해 두 개의 이항 연산자(덧셈과 곱셈)를 정의하여 사영 평면을 구성할 수 있다.

평면 삼진 좌표 환의 대수적 속성은 평면의 기하학적 발생 속성과 관련이 있다. 예를 들어, 데자르그 정리는 좌표 환이 나눗셈환에서 얻어지는 경우에 성립하며, 파푸스 정리는 좌표 환이 가환체에서 얻어지는 경우에 성립한다. 베더번의 정리에 따르면 유한 나눗셈환은 항상 가환적이어야 하지만, 유한 사영 평면에서 데자르그 정리가 파푸스 정리를 함축한다는 기하학적 증명은 아직 알려져 있지 않다.

6.1. 벡터 공간 구성

K를 임의의 나눗셈환(사체)이라 하자. K³을 K 원소의 세 묶음 x = (x₀, x₁, x₂) 전체의 집합(직곱 집합)으로 정의한다. K³의 영벡터가 아닌 임의의 점 x에 대해, 원점과 x를 지나는 K³ 내의 "직선"은 다음과 같은 K³의 부분 집합으로 정의된다.

:{k x : k ∈ K}

마찬가지로, K³의 선형 독립인 점 x, y (즉, kx + ly = 0이라면 반드시 k = l = 0)에 대해, 원점과 x, y를 지나는 "평면"은 다음과 같은 K³의 부분 집합으로 정의되며, 이 평면은 무수히 많은 직선을 포함한다.

:{k x + l y : k, l ∈ K}

나눗셈환 K 위의 사영 평면 KP²는 K³의 원점을 지나는 직선 전체의 집합을 의미한다. KP²의 부분 집합 L이 사영 평면 KP² 내의 (사영)직선이라는 것은, K³에서의 평면으로, 그것이 포함하는 직선 전체의 집합이 KP²에서 정확히 L과 일치하는 것이 존재할 때를 말한다.

사영 평면은 집합 K³ ∖ {(0, 0, 0)}을 다음과 같이 주어지는 동치 관계로 나눈 것이라고 정의할 수도 있다.

:x ~ k x, k ∈ K

이 경우에도 사영 평면 내의 직선은 앞서와 똑같이 정의할 수 있다. K가 위상 공간이라면 KP²에도 (직곱 위상, 부분 공간의 위상, 몫 위상을 통해) 내재적인 위상이 들어간다.

KP²에서의 좌표계 (x₀, x₁, x₂)는 동차 좌표계 homogeneous coordinates^영어라고 불린다. 각 세 묶음 (x₀, x₁, x₂)는 KP²의 점을 모순 없이 나타내지만, 세 묶음 (0, 0, 0)만은 예외로 KP²의 어떤 점에도 대응하지 않는다. K가 유한체가 아닌 한 KP²의 각 점에 대응하는 세 묶음은 무수히 존재할 수 있다.

6.2. 삼진환을 통한 구성

모든 사영 평면은 삼진환으로부터 구성될 수 있다. 반대로, 각 삼진환에는 사각형이 주어진 사영 평면을 대응시킬 수 있다.

임의의 사영 평면에 해당하는 좌표 "환"을 구성할 수 있는데, 이를 평면 삼진환이라고 한다. 평면 삼진환은 체나 나눗셈환일 필요가 없으며, 나눗셈환에서 구성되지 않는 많은 사영 평면이 존재한다. 이러한 사영 평면을 비데자르그 사영 평면이라고 하며, 활발한 연구가 진행되는 분야이다. 옥토니언 위의 사영 평면인 케일리 평면(OP²)은 옥토니언이 나눗셈환을 형성하지 않기 때문에 비데자르그 사영 평면의 한 예이다.

반대로, 평면 삼진환(R, T)이 주어지면 사영 평면을 구성할 수 있다. 이 관계는 일대일 대응이 아니며, 하나의 사영 평면은 여러 비동형 평면 삼진환과 연관될 수 있다. 삼항 연산자 T는 집합 R에 대한 두 개의 이항 연산자를 생성하는 데 사용된다.
* a + b = T(a, 1, b)
* a ⋅ b = T(a, b, 0)

삼항 연산자는 T^영어(x, m, k) = x⋅m + k 일 경우 선형이다. 사영 평면의 좌표 집합이 실제로 환을 형성할 때, 오른쪽에서 환 연산을 사용하여 평면 삼진환을 생성하기 위해 이와 같은 방식으로 선형 삼항 연산자를 정의할 수 있다.

평면 삼진 좌표 환의 대수적 속성은 평면의 기하학적 발생 속성에 해당한다. 예를 들어, 데자르그 정리는 좌표 환이 나눗셈환에서 얻어지는 것에 해당하며, 파푸스 정리는 이 환이 가환체에서 얻어지는 것에 해당한다. 파푸스 정리를 보편적으로 만족하는 사영 평면을 파피안 평면이라고 한다. 옥토니언과 같은, 반드시 결합적이지 않은 대안 대수 나눗셈 대수는 무팡 평면에 해당한다.

베더번의 정리에 따르면, 유한 나눗셈환은 반드시 가환적이어야 한다. 데자르그 정리가 유한 사영 평면에서 파푸스 정리를 함축한다는 순수한 기하학적 증명은 알려져 있지 않다. (유한 데자르그 평면은 파피안 평면이다) 가장 일반적인 증명은 나눗셈환에서 좌표를 사용하고 베더번의 정리를 이용한다. 그 역은 모든 사영 평면에서 참이며 기하학적으로 증명할 수 있지만, 유한성은 이 진술에서 필수적이다. 왜냐하면 파피안이 아닌 무한 데자르그 평면이 있기 때문이다.

비동차 좌표와 평면 삼진환을 사용하여 N(≥ 2) 차수의 유한 사영 평면을 설명하면 다음과 같다.
* 한 점을 (∞)로 표시한다.
* N개의 점, (r)을 표시한다. (r = 0, ..., (N − 1))
* N²개의 점, (r, c)를 표시한다. (r, c = 0, ..., (N − 1))
이 점들 위에 다음 선을 구성한다.
* 한 선 [∞] = { (∞), (0), ..., (N − 1)}
* N개의 선 [c] = {(∞), (c, 0), ..., (c, N − 1)} (c = 0, ..., (N − 1))
* N²개의 선 [r, c] = {(r) 및 점 (x, T(x, r, c)) } (x, r, c = 0, ..., (N − 1), T는 평면 삼진환의 삼항 연산자)

예를 들어, N=2 인 경우, 차수 2의 유한체와 관련된 기호 {0, 1}을 사용하고, 오른쪽의 연산이 체에서의 곱셈과 덧셈인 T(x, m, k) = xm + k 로 정의된 삼항 연산은 다음을 생성한다.

* 한 선 [∞] = { (∞), (0), (1)}
* 2개의 선 [c] = {(∞), (c,0), (c,1) : c = 0, 1}
* [0] = { (∞), (0,0), (0,1) }
* [1] = { (∞), (1,0), (1,1) }
* 4개의 선 [r, c]: (r) 및 점 (i, ir + c) (i = 0, 1 : r, c = 0, 1)
* [0,0]: {(0), (0,0), (1,0) }
* [0,1]: {(0), (0,1), (1,1) }
* [1,0]: {(1), (0,0), (1,1) }
* [1,1]: {(1), (0,1), (1,0) }

7. 퇴화 평면

퇴화 평면은 사영 평면의 정의에서 세 번째 조건을 충족하지 않는 경우이다. 구조적으로 복잡하지 않아 그 자체로 흥미롭지는 않지만, 일반적인 논증에서 특별한 경우로 가끔 등장한다. Albert^영어에 따르면 퇴화 평면에는 일곱 종류가 있다고 언급된다.

원문에 따르면, 이 일곱 가지 경우는 서로 독립적이지 않으며, 네 번째와 다섯 번째는 여섯 번째의 특별한 경우로, 두 번째와 세 번째는 각각 네 번째와 다섯 번째의 특별한 경우로 간주될 수 있다. 또한, 일곱 번째 평면에서 추가적인 선이 없는 경우를 여덟 번째 평면으로 볼 수도 있다. 따라서 모든 경우는 다음과 같이 두 가지 퇴화 평면 군으로 정리 가능하다. (이는 유한 퇴화 평면에 대한 표현이지만, 무한 평면으로도 확장할 수 있다.)

1. 임의의 수의 점 P₁, ..., P_n, 및 선 L₁, ..., L_m에 대해,

:L₁ = { P₁, P₂, ..., P_n}
:L₂ = { P₁ }
:L₃ = { P₁ }
:...
:L_m = { P₁ }

2. 임의의 수의 점 P₁, ..., P_n, 및 선 L₁, ..., L_n에 대해 (선과 동일한 수의 점)

:L₁ = { P₂, P₃, ..., P_n }
:L₂ = { P₁, P₂ }
:L₃ = { P₁, P₃ }
:...
:L_n = { P₁, P_n }

8. 아핀 평면과의 관계

사영 평면에서 한 직선과 그 위에 있는 모든 점을 제거하면 아핀 평면이 만들어진다. 아핀 평면은 점과 선, 그리고 점과 선 사이의 관계인 '결합'으로 구성되며, 다음 성질을 갖는다.

* 서로 다른 두 점이 주어지면, 두 점을 모두 지나는 직선은 단 하나 존재한다.
* 직선 l과 l 위에 있지 않은 점 P가 주어지면, P를 지나면서 l과 만나지 않는 직선은 단 하나 존재한다.
* 어떤 직선도 그 중 세 점 이상을 동시에 지나지 않는 네 점이 존재한다.

두 번째 성질은 평행선이 존재한다는 것을 의미하며, 플레이페어 공리라고도 한다. 여기서 "만나지 않는다"는 것은 "두 직선 위에 동시에 존재하는 점이 없다"는 뜻이다.

유클리드 평면과 몰튼 평면은 무한 아핀 평면의 예시이다. 유한 사영 평면에서 한 직선과 그 위에 있는 점들을 제거하면 유한 아핀 평면이 된다. 유한 아핀 평면의 차수는 한 직선 위에 있는 점의 개수이며, 이는 해당 아핀 평면이 파생된 사영 평면의 차수와 같다. 사영 평면 PG(2, *q*)에서 파생된 아핀 평면은 AG(2, *q*)로 표기한다.

차수 *N*의 사영 평면이 존재할 필요충분조건은 차수 *N*의 아핀 평면이 존재하는 것이다. 차수 *N*의 아핀 평면이 유일하면, 차수 *N*의 사영 평면도 유일하지만, 그 역은 항상 성립하지는 않는다. 사영 평면에서 서로 다른 직선을 제거하여 만들어진 아핀 평면들은 제거된 직선이 사영 평면의 공선형 변환군의 같은 궤도에 있을 때만 동형이다. 이러한 관계는 무한 사영 평면에도 적용된다.

아핀 평면 *K*²는 아핀 좌표를 동차 좌표로 보내는 사상을 통해 *K*P²에 포함될 수 있다.

(x₁, x₂) ↦ (1, x₁, x₂)

이 포함에서 제외되는 점들은 (0, *x*₁, *x*₂) 형태의 점들이다. 이 점들은 무한점이며, *K*P²에서 하나의 직선(무한대선)을 이룬다. 무한점은 평행선이 만나는 점으로 생각할 수 있다. 예를 들어, 아핀 평면 *K*²에서 기울기가 0이고 서로 만나지 않는 두 직선 *u* = {(*x*, 0) : *x* ∈ *K*}와 *y* = {(*x*, 1) : *x* ∈ *K*}는 사영 평면 *K*P²에서 (0, 1, 0)을 추가하면 각각 ū = {(1, *x*, 0) : *x* ∈ *K*} ∪ {(0, 1, 0)}와 ȳ = {(1, *x*, 1) : *x* ∈ *K*} ∪ {(0, 1, 0)}로 확장되어 (0, 1, 0)에서 만난다.

*K*²에서 *K*P²로의 포함은 유일하지 않으며, 각 포함은 고유한 무한점 개념을 가진다. 아핀 평면이 체 *K*를 사용한 *K*² 형태가 아닌 경우에도 사영 평면에 포함될 수 있지만, 위와 같은 구성 방식은 사용할 수 없다.

9. 고차원 사영 공간

사영 평면은 2차원 사영 기하학으로 생각할 수 있다. 고차원 사영 기하학은 사영 평면의 정의와 유사한 방식으로 결합 관계를 사용하여 정의할 수 있다. 이러한 기하학은 사영 평면보다 "온순"한 것으로 밝혀졌는데, 이는 추가적인 자유도로 인해 고차원 기하학에서 데자르그 정리를 기하학적으로 증명할 수 있기 때문이다. 이는 기하학에 연관된 좌표 "환"이 나눗셈환(사체) K여야 하며, 사영 기하학은 벡터 공간 K^d+1, 즉 PG(d, K)에서 구성된 것과 동형임을 의미한다.

d차원 사영 공간 PG(d, K)의 점은 K^d+1 내 원점을 지나는 직선이며, PG(d, K)의 직선은 K^d+1 내 원점을 지나는 평면에 해당한다. PG(d, K)의 각 i차원 객체는(이때, i < d이다.) K^d+1의 (i + 1)-차원 (대수적) 벡터 부분 공간 ("원점을 지난다")이다.

데자르그 정리가 2차원보다 큰 사영 공간에서 성립한다면, 그 공간에 포함된 모든 평면에서도 성립해야 함을 보일 수 있다. 데자르그 정리가 성립하지 않는 사영 평면(비데자르그 평면)이 있기 때문에, 이러한 평면은 고차원 사영 공간에 포함될 수 없다. 벡터 공간 구성 PG(2, K)의 평면만이 더 높은 차원의 사영 공간에 나타날 수 있다. 수학의 일부 분야에서는 사영 평면에 대한 의미를 이러한 유형의 사영 평면으로만 제한하는데, 그렇지 않으면 사영 공간에 대한 일반적인 진술에서 기하학적 차원이 2일 때의 예외 사항을 항상 언급해야 하기 때문이다.

10. 공선변환

사영 평면의 콜리네이션은 점을 점으로, 선을 선으로 사상하는 평면에서 자기 자신으로의 전단사 맵이며, 사건을 보존한다. 즉, σ가 전단사이자 점 P가 선 m 위에 있다면, P^σ는 m^σ 위에 있다.

만약 σ가 사영 평면의 콜리네이션이라면, P = P^σ인 점 P를 고정점이라고 하고, m = m^σ인 선 m을 고정선이라고 한다. 고정선 위의 점들은 고정점일 필요는 없으며, σ에 의한 이들의 이미지는 단지 이 선 위에 놓이도록 제한된다. 콜리네이션의 고정점과 고정선의 집합은 닫힌 구성을 형성하며, 이는 사영 평면의 정의에서 처음 두 가지 조건은 만족하지만 세 번째 조건은 반드시 만족하지 않는 점과 선의 체계이다. 따라서, 모든 콜리네이션에 대한 고정점 및 고정선 구조는 자체적으로 사영 평면을 형성하거나, 퇴화 평면을 형성한다. 고정 구조가 평면을 형성하는 콜리네이션을 평면 콜리네이션이라고 한다.

호모그래피 (또는 투영 변환) PG(2, K)의 호모그래피는 기초 벡터 공간의 선형 변환인 이러한 유형의 투영 평면의 콜리네이션이다. 동차 좌표를 사용하면 K 위에 가역적인 3 × 3 행렬로 나타낼 수 있으며, 이 행렬은 y = M x^T에 의해 PG(2, K)의 점에 작용한다. 여기서 x와 y는 K³(벡터)의 점이고 M은 K 위에 가역적인 3 × 3 행렬이다. 두 행렬은 서로의 상수 배수인 경우 동일한 투영 변환을 나타낸다. 따라서 투영 변환의 그룹은 일반 선형 그룹을 투영 선형 그룹이라고 하는 스칼라 행렬로 나눈 몫이다.

PG(2, K)의 다른 유형의 콜리네이션은 K의 모든 자기 동형 사상에 의해 유도되며, 이를 자동형 콜리네이션이라고 한다. α가 K의 자기 동형 사상인 경우, (x₀, x₁, x₂) → (x₀^α, x₁^α, x₂^α)로 주어진 콜리네이션은 자동형 콜리네이션이다. 투영 기하학의 기본 정리는 PG(2, K)의 모든 콜리네이션이 호모그래피와 자동형 콜리네이션의 합성이라고 말한다. 자동형 콜리네이션은 평면 콜리네이션이다.

11. 평면 쌍대성

사영 평면은 점의 집합 P, 선의 집합 L, 그리고 어떤 점이 어떤 선 위에 있는지를 결정하는 사건 관계 I의 관점에서 사건 구조로 정의된다. P와 L은 단순한 집합이므로, 이들의 역할을 서로 바꿀 수 있다.

"점"과 "선"의 역할을 다음과 같이 서로 바꾸면:
: C = (P, L, I)
쌍대 구조를 얻을 수 있다.:
: C* = (L, P, I*),
여기서 I*는 I의 역관계이다.

사영 평면에서 점, 선, 그리고 그들 사이의 관계를 포함하는 명제는, "점"과 "선"이라는 단어를 서로 바꾸고 필요한 문법적 조정을 함으로써 얻어진 다른 명제로부터 얻어지며, 이를 첫 번째 명제의 평면 쌍대 명제라고 한다. 예를 들어, "두 점은 유일한 선 위에 있다."라는 명제의 평면 쌍대 명제는 "두 선은 유일한 점에서 만난다."이다. 이와 같이 명제의 평면 쌍대를 형성하는 것을 명제를 쌍대화한다고 한다.

만약 어떤 명제가 사영 평면 C에서 참이면, 그 명제의 평면 쌍대 명제는 쌍대 평면 C*에서 참이어야 한다. 이는 "C에서" 증명의 각 명제를 쌍대화하면 "C*에서" 증명의 명제가 되기 때문이다.

사영 평면 C에서는 세 선이 한 점에서 만나지 않는 네 개의 선이 존재함을 보일 수 있다. 이 정리와 사영 평면의 정의에서 처음 두 개의 공리를 쌍대화하면 평면 쌍대 구조 C* 또한 C의 쌍대 평면이라고 불리는 사영 평면임을 보여준다.

만약 C와 C*가 동형이면, C는 자기 쌍대라고 불린다. 임의의 가환체 K에 대한 사영 평면 PG(2, K)는 자기 쌍대이다. 그러나 비데자르그 평면 중 Hall 평면과 같이 자기 쌍대가 아닌 것도 있고, 휴즈 평면과 같이 자기 쌍대인 것도 있다.

평면 쌍대성의 원리는 자기 쌍대 사영 평면 C에서 모든 정리를 쌍대화하면 C에서 유효한 다른 정리가 생성된다는 것이다.

12. 상관 관계

쌍대성은 사영 평면 C^영어 = (P, L, I)를 이중 평면 C*^영어 = (L, P, I*)로 사상하는 것으로, 사건을 보존한다(위의 참조). 즉, 쌍대성 σ는 점을 선으로, 선을 점으로 매핑하여 (Pσ^영어 = L 및 Lσ^영어 = P) 점 Q가 선 m 위에 있으면 (Q I m으로 표시) Qσ I* mσ^영어 ⇔ mσ I Qσ^영어가 성립한다. 동형인 쌍대성을 상관 관계라고 한다. 상관 관계가 존재하면 사영 평면 C는 자기 쌍대적이다.

사영 평면이 PG(2, K) 유형이고 K가 사환체를 갖는 특수한 경우, 쌍대성을 상호 관계라고 한다. 이러한 평면은 항상 자기 쌍대적이다. 사영 기하학의 기본 정리에 따라 상호 관계는 K의 자동형과 호모그래피의 합성이다. 관련된 자동형이 항등 함수인 경우, 상호 관계를 사영 상관 관계라고 한다.

2차 상관 관계(대합)를 극성이라고 한다. 상관 관계 φ가 극성이 아니면 φ²는 자명하지 않은 공선형 변환이다.

13. 유한 사영 평면

사영 평면은 점의 수와 선의 수가 같은 특징을 갖는다(유한 또는 무한). 모든 유한 사영 평면에 대해, 다음을 만족하는 정수 N ≥ 2가 존재한다.

* N² + N + 1 개의 점
* N² + N + 1 개의 선
* 각 선에 N + 1 개의 점
* 각 점을 통과하는 N + 1 개의 선

이때, N을 사영 평면의 차수라고 부른다. 차수가 2인 사영 평면은 파노 평면이라고 불린다.

유한체를 사용하면, 각 소수 거듭제곱 pⁿ에 대해 차수가 N = p^영어n인 사영 평면이 존재한다. 실제로 알려진 모든 유한 사영 평면의 차수는 소수 거듭제곱이다.

다른 차수의 유한 사영 평면이 존재하는지는 풀리지 않은 문제이다. 차수에 대해 알려진 유일한 일반적인 제한은, 차수 N이 모듈러 산술에서 1 또는 2 mod 4와 브룩-라이저-초우라 정리에 따르면 합치될 경우, 두 제곱수의 합이어야 한다는 것이다. 이것은 N = 6을 배제한다. N = 10은 대규모 컴퓨터 계산으로 존재하지 않음이 밝혀졌다. 특히, 차수가 N = 12인 유한 사영 평면이 존재하는지에 대한 질문은 여전히 미해결 상태이다.

유한체 평면이 아닌 소수 차수의 유한 사영 평면이 존재하는지 여부도 오랜 미해결 문제이다.

차수 N의 사영 평면은 슈타이너 시스템 S(2, N + 1, N² + N + 1)이다. 반대로, 이러한 모든 슈타이너 시스템(λ = 2)이 사영 평면임을 증명할 수 있다.

차수 N의 서로 직교 라틴 방진의 수는 최대 N - 1이다. N - 1은 차수 N의 사영 평면이 있는 경우에만 존재한다.

모든 사영 평면의 분류는 아직 완료되지 않았지만, 작은 차수에 대한 결과는 알려져 있다.