곡선 비틀림

2. 정의

3차원 유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^3$에서 곡선 $\backslash mathbf\; r(t)$의 비틀림 $\backslash tau(t)$는 주어진 점에서 이중 법선 벡터의 회전 속도를 측정한다. 비틀림이 클수록 이중 법선 벡터가 접선 벡터로 주어진 축을 중심으로 더 빠르게 회전한다.

2. 1. 호 길이 매개변수 표현

• ''b''(''s'')는 종법선 벡터 :$\backslash boldsymbol\{b\}(s)\; =\; \backslash boldsymbol\{r\}\text{'}(s)\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\{n\}(s),$
• ''n''(''s'')는 주법선 벡터 :$\backslash boldsymbol\{n\}(s)\; =\; \backslash frac\{\backslash boldsymbol\{r\}\text{'}\text{'}(s)\}$
  '는 ''s''에 대한 미분, $\backslash times$는 외적을 의미한다.

  2. 2. 일반 매개변수 표현

  유클리드 공간$\backslash mathbb\; R^3$의 곡선 $\backslash mathbf\; r(t)\; =\; (x(t),\; y(t),\; z(t))$의 비틀림 $\backslash tau(t)$는 다음과 같이 정의된다.
  
  :$\backslash tau\; =\; \backslash frac\{\backslash det\; \backslash left(\; \backslash mathbf\; v,\backslash dot\{\backslash mathbf\; v\},\backslash ddot\{\backslash mathbf\; v\}\; \backslash right)\}\{\backslash left\backslash |\backslash mathbf\; v\; \backslash times\; \backslash dot\{\backslash mathbf\; v\}\; \backslash right\backslash |^2\}$
  
  = \frac{(\mathbf v\times\dot{\mathbf v})
  
  \cdot\ddot{\mathbf v}}{\left\|\mathbf v \times \dot{\mathbf v} \right\|^2}
  
  여기서 윗점은 시간에 대한 미분 $\backslash mathrm\; d/\backslash mathrm\; dt$이다.
  
  보다 구체적으로, $\backslash mathbf\; r(t)\; =\; (x(t),\; y(t),\; z(t))$일 경우, 그 비틀림은 다음과 같다.
  
  :$\backslash tau\; =\; \backslash frac\{z\text{'}\text{'}\text{'}(x\text{'}y\text{'}\text{'}-y\text{'}x\text{'}\text{'})\; +\; z\text{'}\text{'}(x\text{'}\text{'}\text{'}y\text{'}-x\text{'}y\text{'}\text{'}\text{'})\; +\; z\text{'}(x\text{'}\text{'}y\text{'}\text{'}\text{'}-x\text{'}\text{'}\text{'}y\text{'}\text{'})\}\{(x\text{'}^2+y\text{'}^2+z\text{'}^2)(x\text{'}\text{'}^2+y\text{'}\text{'}^2+z\text{'}\text{'}^2)\}.$
  
  이는 다음 공식으로도 계산할 수 있다.
  
  :$\backslash tau\; =\; \backslash frac\{\backslash det\; \backslash left(\; \{\backslash mathbf\{r\}\text{'},\backslash mathbf\{r\}\text{'}\text{'},\backslash mathbf\{r\}\text{'}\text{'}\text{'}\}\; \backslash right)\}\; \{\backslash left\backslash |\; \{\backslash mathbf\{r\}\text{'}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{r\}\text{'}\text{'}\}\; \backslash right\backslash |^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash left(\; \{\backslash mathbf\{r\}\text{'}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{r\}\text{'}\text{'}\}\; \backslash right)\backslash cdot\; \backslash mathbf\{r\}\text{'}\text{'}\text{'}\}\; \{\backslash left\backslash |\; \{\backslash mathbf\{r\}\text{'}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{r\}\text{'}\text{'}\}\; \backslash right\backslash |^2\}.$
  
  여기서 프라임 기호는 $t$에 대한 도함수를 나타내고, 곱셈 기호는 외적을 나타낸다. $\backslash mathbf\; r\; =\; (x,\; y,\; z)$에 대한 성분별 공식은 다음과 같다.
  
  :$\backslash tau\; =\; \backslash frac\{x\text{'}\text{'}\text{'}\backslash left(y\text{'}z\text{'}\text{'}-y\text{'}\text{'}z\text{'}\backslash right)\; +\; y\text{'}\text{'}\text{'}\backslash left(x\text{'}\text{'}z\text{'}-x\text{'}z\text{'}\text{'}\backslash right)\; +\; z\text{'}\text{'}\text{'}\backslash left(x\text{'}y\text{'}\text{'}-x\text{'}\text{'}y\text{'}\backslash right)\}\{\backslash left(y\text{'}z\text{'}\text{'}-y\text{'}\text{'}z\text{'}\backslash right)^2\; +\; \backslash left(x\text{'}\text{'}z\text{'}-x\text{'}z\text{'}\text{'}\backslash right)^2\; +\; \backslash left(x\text{'}y\text{'}\text{'}-x\text{'}\text{'}y\text{'}\backslash right)^2\}.$
  
  $1/\backslash tau$는 '''비틀림 반지름'''(radius of torsion^영어)이라고 한다.
  

  3. 성질

  곡선의 비틀림이 모든 점에서 0일 필요충분조건은 그 곡선을 포함하는 평면이 존재하는 것이다.^[1] 소멸하지 않는 곡률을 가진 평면 곡선은 모든 점에서 비틀림이 0이다. 반대로, 소멸하지 않는 곡률을 가진 정칙 곡선의 비틀림이 항등적으로 0이라면, 이 곡선은 고정된 평면에 속한다.^[1]
  
  나선의 곡률과 비틀림은 일정하다. 반대로, 곡률과 비틀림이 모두 0이 아닌 상수인 공간 곡선은 나선이다. 비틀림은 오른손잡이^[1] 나선에 대해서는 양수이고 왼손잡이 나선에 대해서는 음수이다.^[1]
  

  4. 기하학적 의미

  
  
  비틀림 $\backslash tau(s)$는 주어진 점에서 이중 법선 벡터의 회전 속도를 측정한다. 즉, 곡선이 접평면에서 얼마나 빠르게 벗어나는지를 나타낸다. 비틀림이 클수록 이중 법선 벡터가 접선 벡터로 주어진 축을 중심으로 더 빠르게 회전한다(곡선의 곡률과 비틀림에 대한 그림 예시 참조). 애니메이션 그림에서 비틀림 함수의 피크에서 이중 법선 벡터의 회전이 명확하게 보인다.
  

  5. 예시

  나선의 곡률과 비틀림은 일정하다. 반대로, 곡률과 비틀림이 모두 0이 아닌 상수인 공간 곡선은 나선이다. 비틀림은 우향 나선^[1]에 대해서는 양수이고 좌향 나선에 대해서는 음수이다.
  

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