나선

1. 개요

나선은 3차원 공간에서 일정한 간격으로 회전하며 축 방향으로 진행하는 곡선이다. 수학적으로는 매개변수 방정식으로 표현되며, 원형 나선, 원뿔 나선, 일반 나선, 경사 나선 등 다양한 종류가 있다. 나선은 자연 현상, 공학, 예술 등 다양한 분야에서 발견되며, DNA, 코일 스프링, 나사산, 덩굴 식물, 나선형 계단 등에서 그 예를 찾아볼 수 있다. 또한, 예술 작품에서 운동성, 생명력, 역사 등을 상징하는 심볼로 사용되기도 한다.

2. 정의 및 기본 속성

나선은 3차원 공간에서 꼬인 곡선 형태로 나타난다. 가장 기본적인 나선은 원기둥 주위를 일정한 각도로 감아 올라가는 모양이다.

반지름이 a 인 원기둥에 기울기 b/a (또는 피치 2πb) 인 나선은 아래와 같이 벡터 함수로 나타낼 수 있다.

:$t\backslash mapsto\; (a\backslash cos\; t,\; a\backslash sin\; t,\; bt),\; t\backslash in\; [0,T]$

나선 위에 있는 점의 위치벡터, 속도, 가속도는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{r\}=a\backslash cos\; t\; \backslash mathbf\{i\}+a\backslash sin\; t\; \backslash mathbf\{j\}+\; b\; t\backslash mathbf\{k\}$

:$\backslash mathbf\{v\}=-a\backslash sin\; t\; \backslash mathbf\{i\}+a\backslash cos\; t\; \backslash mathbf\{j\}+\; b\; \backslash mathbf\{k\}$

:$\backslash mathbf\{a\}=-a\backslash cos\; t\; \backslash mathbf\{i\}-a\backslash sin\; t\; \backslash mathbf\{j\}+\; 0\backslash mathbf\{k\}$

속력과 가속도의 크기는 다음과 같다.

:$|\backslash mathbf\{v\}|=\backslash sqrt\{(-a\backslash sin\; t\; )^2\; +(a\backslash cos\; t)^2\; +\; b^2\}=\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}$

:$|\backslash mathbf\{a\}|=\backslash sqrt\{(-a\backslash sin\; t\; )^2\; +(a\backslash cos\; t)^2\; \}=a$

호의 길이를 구하는 변수는 다음과 같다.

:$s(t)=\backslash int\_\{0\}^\{t\}\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}d\backslash tau=\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}t$

변수 s 로 위치벡터를 다시 매개변수화하면 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{r\}=a\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}+a\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash mathbf\{j\}+\; \backslash frac\{bs\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\; \backslash mathbf\{k\}$

변수 s 에 대하여 미분하여 단위 접선벡터를 구하고, 이를 다시 미분하여 곡률 벡터를 구하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{r\}\}\{d\; s\}=\backslash mathbf\{T\}=\backslash frac\{-a\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}+\backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash mathbf\{j\}+\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\; \backslash mathbf\{k\}$

:$\backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{T\}\}\{d\; s\}=\backslash kappa\; \backslash mathbf\{N\}=\backslash frac\{-a\}\{a^2\; +b^2\; \}\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}+\backslash frac\{-a\}\{a^2\; +b^2\}\; \backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash mathbf\{j\}+\; 0\; \backslash mathbf\{k\}$

따라서 나선의 곡률은 $\backslash bigg|\backslash frac\{d\backslash mathbf\{T\}\}\{ds\}\backslash bigg|=\backslash kappa=\backslash frac\{a\}\{a^2\; +b^2\; \}$이다.

단위 법선벡터와 이중법선벡터는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{N\}=-\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}-\; \backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash mathbf\{j\}+\; 0\; \backslash mathbf\{k\}$

:$\backslash mathbf\{B\}=\backslash mathbf\{T\}\backslash times\backslash mathbf\{N\}=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\; \}\}\backslash bigg[\; b\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{i\}\; -\; b\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{j\}+\; a\; \backslash mathbf\{k\}\backslash bigg]$

이중법선벡터를 미분하여 비틀림(토션)을 구할 수 있다.

:$\backslash frac\{d\backslash mathbf\{B\}\}\{ds\}=\backslash frac\{1\}\{a^2\; +b^2\}\backslash bigg[\; b\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{i\}\; +\; b\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{j\}+\; 0\; \backslash mathbf\{k\}\backslash bigg]$

비틀림은 $\backslash tau=\backslash bigg|\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{B\}\}\{ds\}\; \backslash bigg|=\backslash frac\{b\}\{a^2\; +b^2\}$이다.

이처럼 나선은 곡률과 비틀림이 상수인 곡선이다.

2.1. 나선의 정의

3차원 공간 곡선으로서의 나선은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash begin\{align\}$
x(t) &{}= \cos(t),\\
y(t) &{}= \sin(t),\\
z(t) &{}= t.
\end{align}

원통좌표계 (r, θ, h):

:$\backslash begin\{align\}$
r(t) &{}= 1,\\
\theta(t) &{}= t,\\
h(t) &{}= t.
\end{align}

원 나선(반지름 a, 2πb):

:$\backslash begin\{align\}$
x(t) &{}= a\cos(t),\\
y(t) &{}= a\sin(t),\\
z(t) &{}= bt.
\end{align}

나선의 피치는 나선이 한 바퀴 회전하는 동안의 높이로, 나선의 축과 평행하게 측정된다.

이중 나선은 동일한 축을 공유하며 축을 따라 평행 이동하는 두 개의 (일반적으로 합동인) 나선으로 구성된다.

원형 나선 (즉, 반경이 일정한 나선)은 밴드 곡률과 비틀림이 일정하다. 원형 나선의 기울기는 나선이 감싸는 원통의 둘레와 피치(나선 한 바퀴의 높이)의 비율로 정의된다.

원뿔 나선은 원뿔 나선이라고도 하며, 꼭지점까지의 거리가 축에서 방향을 나타내는 각도의 지수 함수인 원뿔 표면의 나선으로 정의할 수 있다.

곡선의 접선이 공간에서 고정된 선과 일정한 각도를 이루면 해당 곡선을 일반 나선 또는 원통 나선이라고 한다. 곡선의 곡률과 비틀림의 비율이 일정할 경우에만 곡선은 일반 나선이다.

곡선의 주 법선이 공간에서 고정된 선과 일정한 각도를 이루면 해당 곡선을 경사 나선이라고 한다. 이는 일반 나선의 이동 프레임에 변환을 적용하여 구성할 수 있다.

2.2. 피치

나선의 피치는 나선이 한 바퀴 회전하는 동안 축 방향으로 이동하는 거리이며, 나선의 축과 평행하게 측정된다. 원형 나선의 기울기는 나선이 감싸는 원통의 둘레와 피치(나선 한 바퀴의 높이)의 비율로 정의된다.

2.3. 헨디드니스 (키랄성)

나선은 오른손잡이 또는 왼손잡이일 수 있다. 나선의 축을 따라 시선을 두고, 시계 방향으로 돌리는 나사 운동이 관찰자로부터 나선을 멀어지게 하면 오른손잡이 나선이라고 하고, 관찰자를 향하게 하면 왼손잡이 나선이라고 한다. 헨디드니스(또는 키랄성)는 원근법이 아닌 나선의 속성이다. 즉, 오른손잡이 나선은 거울에 비추어 보지 않는 한 왼손잡이 나선처럼 보이도록 돌릴 수 없으며, 그 반대도 마찬가지이다.

3. 수학적 표현

나선은 3차원 공간에서 미분기하학적으로 나타낼 수 있다.

3.1. 매개변수 방정식

3.2. 호의 길이, 곡률, 비틀림

반지름이 a인 원기둥에 기울기 b/a (또는 피치 2πb)인 나선은 다음과 같은 벡터 함수로 나타낼 수 있다.

:$t\backslash mapsto\; (a\backslash cos\; t,\; a\backslash sin\; t,\; bt),\; t\backslash in\; [0,T]$

나선 위에 있는 점의 위치벡터는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{r\}=a\backslash cos\; t\; \backslash mathbf\{i\}+a\backslash sin\; t\; \backslash mathbf\{j\}+\; b\; t\backslash mathbf\{k\}$

이를 미분하여 속도와 가속도를 구하면

:$\backslash mathbf\{v\}=-a\backslash sin\; t\; \backslash mathbf\{i\}+a\backslash cos\; t\; \backslash mathbf\{j\}+\; b\; \backslash mathbf\{k\}$

:$\backslash mathbf\{a\}=-a\backslash cos\; t\; \backslash mathbf\{i\}-a\backslash sin\; t\; \backslash mathbf\{j\}+\; 0\backslash mathbf\{k\}$

이다. 속력과 가속도의 크기를 구하면 아래와 같다.

:$|\backslash mathbf\{v\}|=\backslash sqrt\{(-a\backslash sin\; t\; )^2\; +(a\backslash cos\; t)^2\; +\; b^2\}=\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}$

:$|\backslash mathbf\{a\}|=\backslash sqrt\{(-a\backslash sin\; t\; )^2\; +(a\backslash cos\; t)^2\; \}=a$

호의 길이를 구하는 변수를 구하면

:$s(t)=\backslash int\_\{0\}^\{t\}\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}d\backslash tau=\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}t$

이다. 이제 변수 $s$로 위치벡터를 다시 매개변수화하면 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{r\}=a\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}+a\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash mathbf\{j\}+\; \backslash frac\{bs\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\; \backslash mathbf\{k\}$

변수 $s$에 대하여 미분하여 단위 접선벡터를 구하고 이를 다시 미분하여 곡률 벡터를 구하면

:$\backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{r\}\}\{d\; s\}=\backslash mathbf\{T\}=\backslash frac\{-a\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}+\backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash mathbf\{j\}+\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\; \backslash mathbf\{k\}$

:$\backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{T\}\}\{d\; s\}=\backslash kappa\; \backslash mathbf\{N\}=\backslash frac\{-a\}\{a^2\; +b^2\; \}\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}+\backslash frac\{-a\}\{a^2\; +b^2\}\; \backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash mathbf\{j\}+\; 0\; \backslash mathbf\{k\}$

이다. 따라서 나선의 곡률은 $\backslash bigg|\backslash frac\{d\backslash mathbf\{T\}\}\{ds\}\backslash bigg|=\backslash kappa=\backslash frac\{a\}\{a^2\; +b^2\; \}$이다.

단위 법선벡터를 구하면

:$\backslash mathbf\{N\}=-\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}-\; \backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash mathbf\{j\}+\; 0\; \backslash mathbf\{k\}$

이므로 이중법선벡터는 아래와 같다.

:$\backslash mathbf\{B\}=\backslash mathbf\{T\}\backslash times\backslash mathbf\{N\}=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\; \}\}\backslash bigg[\; b\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{i\}\; -\; b\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{j\}+\; a\; \backslash mathbf\{k\}\backslash bigg]$

이중법선벡터를 미분하여 비틀림(토션)을 구할 수 있다.

:$\backslash frac\{d\backslash mathbf\{B\}\}\{ds\}=\backslash frac\{1\}\{a^2\; +b^2\}\backslash bigg[\; b\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{i\}\; +\; b\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{j\}+\; 0\; \backslash mathbf\{k\}\backslash bigg]$

비틀림은 $\backslash tau=\backslash bigg|\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{B\}\}\{ds\}\; \backslash bigg|=\backslash frac\{b\}\{a^2\; +b^2\}$이다.

이처럼 나선은 곡률과 비틀림이 상수인 곡선이다.

4. 나선의 종류

나선은 그 특징에 따라 여러 종류로 분류할 수 있다.

* 원형 나선: 반지름이 일정한 나선으로, 곡률과 비틀림이 모두 상수이다.
* 원뿔 나선: 꼭짓점까지의 거리가 축에서 방향을 나타내는 각도의 지수 함수인 원뿔 표면의 나선이다.
* 일반 나선 (원통 나선): 곡선의 접선이 공간에서 고정된 선과 일정한 각도를 이루는 곡선이다. 곡선의 곡률과 비틀림의 비율이 일정해야 한다.
* 경사 나선: 곡선의 주 법선이 공간에서 고정된 선과 일정한 각도를 이루는 곡선이다. 일반 나선의 이동 프레임에 변환을 적용하여 구성할 수 있다.

4.1. 원형 나선

원형 나선은 반지름이 일정한 나선으로, 곡률과 비틀림이 모두 상수이다. 원형 나선의 기울기는 나선이 감싸는 원통의 둘레와 피치(나선 한 바퀴의 높이)의 비율로 정의된다.

반지름이 a이고 기울기가 (또는 피치가 2πb)인 원형 나선은 다음과 같은 매개변수 방정식으로 표현할 수 있다.

:$t\backslash mapsto\; (a\backslash cos\; t,\; a\backslash sin\; t,\; bt),\; t\backslash in\; [0,T]$

호의 길이는 다음과 같다.

:$A\; =\; T\backslash cdot\; \backslash sqrt\{a^2+b^2\},$

곡률은 다음과 같다.

:$\backslash frac$

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📌 열 고정 해제

{a^2+b^2},

비틀림은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{b\}\{a^2+b^2\}.$

원형 나선은 다음과 같은 벡터 함수로도 표현할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{r\}=a\backslash cos\; t\; \backslash mathbf\{i\}+a\backslash sin\; t\; \backslash mathbf\{j\}+\; b\; t\backslash mathbf\{k\}$

속도 벡터와 가속도 벡터는 각각 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{v\}=-a\backslash sin\; t\; \backslash mathbf\{i\}+a\backslash cos\; t\; \backslash mathbf\{j\}+\; b\; \backslash mathbf\{k\}$

:$\backslash mathbf\{a\}=-a\backslash cos\; t\; \backslash mathbf\{i\}-a\backslash sin\; t\; \backslash mathbf\{j\}+\; 0\backslash mathbf\{k\}$

속력과 가속도의 크기는 각각 다음과 같다.

:$|\backslash mathbf\{v\}|=\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}$

:$|\backslash mathbf\{a\}|\; =\; a$

호의 길이를 나타내는 변수 s(t)는 다음과 같다.

:$s(t)\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; t$

이를 s의 함수로 재매개변수화하면 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{r\}(s)\; =\; a\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}+a\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\; \backslash mathbf\{j\}+\; \backslash frac\{bs\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\; \backslash mathbf\{k\}$

이때 단위 접선 벡터, 법선 벡터, 이중 법선 벡터는 각각 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{T\}\; =\; \backslash frac\{-a\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}+\backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash mathbf\{j\}+\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\; \backslash mathbf\{k\}$

:$\backslash kappa\; \backslash mathbf\{N\}\; =\; \backslash frac\{-a\}\{a^2\; +b^2\; \}\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}+\backslash frac\{-a\}\{a^2\; +b^2\}\; \backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash mathbf\{j\}+\; 0\; \backslash mathbf\{k\}$

:$\backslash mathbf\{N\}=-\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}\; -\; \backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{j\}\; +\; 0\; \backslash mathbf\{k\}$

:$\backslash mathbf\{B\}=\backslash mathbf\{T\}\backslash times\backslash mathbf\{N\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\; \}\}\; \backslash left(\; b\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{i\}\; -\; b\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{j\}+\; a\; \backslash mathbf\{k\}\backslash right)$

:$\backslash frac\{d\backslash mathbf\{B\}\}\{ds\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{a^2\; +b^2\}\; \backslash left(\; b\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\; \backslash mathbf\{i\}\; +\; b\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{j\}+\; 0\; \backslash mathbf\{k\}\; \backslash right)$

4.2. 원뿔 나선

원뿔 나선은 꼭짓점까지의 거리가 축에서 방향을 나타내는 각도의 지수 함수인 원뿔 표면의 나선으로 정의할 수 있다.

4.3. 일반 나선 (원통 나선)

곡선의 접선이 공간에서 고정된 선과 일정한 각도를 이루는 곡선을 일반 나선 또는 원통 나선이라고 한다. 곡선의 곡률과 비틀림의 비율이 일정해야만 곡선은 일반 나선이 된다.

반지름이 a 인 원기둥에 기울기 b/a (또는 피치 2πb) 인 나선은 다음과 같은 벡터 함수로 나타낼 수 있다.

:$t\backslash mapsto\; (a\backslash cos\; t,\; a\backslash sin\; t,\; bt),\; t\backslash in\; [0,T]$

나선 위에 있는 점의 위치벡터, 속도, 가속도는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{r\}=a\backslash cos\; t\; \backslash mathbf\{i\}+a\backslash sin\; t\; \backslash mathbf\{j\}+\; b\; t\backslash mathbf\{k\}$

:$\backslash mathbf\{v\}=-a\backslash sin\; t\; \backslash mathbf\{i\}+a\backslash cos\; t\; \backslash mathbf\{j\}+\; b\; \backslash mathbf\{k\}$

:$\backslash mathbf\{a\}=-a\backslash cos\; t\; \backslash mathbf\{i\}-a\backslash sin\; t\; \backslash mathbf\{j\}+\; 0\backslash mathbf\{k\}$

속력과 가속도의 크기는 다음과 같다.

:$|\backslash mathbf\{v\}|=\backslash sqrt\{(-a\backslash sin\; t\; )^2\; +(a\backslash cos\; t)^2\; +\; b^2\}=\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}$

:$|\backslash mathbf\{a\}|=\backslash sqrt\{(-a\backslash sin\; t\; )^2\; +(a\backslash cos\; t)^2\; \}=a$

호의 길이를 구하는 변수 s(t)는 다음과 같다.

:$s(t)=\backslash int\_\{0\}^\{t\}\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}d\backslash tau=\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}t$

변수 $s$ 로 위치벡터를 다시 매개변수화하면 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{r\}=a\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}+a\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash mathbf\{j\}+\; \backslash frac\{bs\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\; \backslash mathbf\{k\}$

변수 $s$ 에 대하여 미분하여 단위 접선벡터를 구하고, 이를 다시 미분하여 곡률 벡터를 구하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{r\}\}\{d\; s\}=\backslash mathbf\{T\}=\backslash frac\{-a\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}+\backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash mathbf\{j\}+\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\; \backslash mathbf\{k\}$

:$\backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{T\}\}\{d\; s\}=\backslash kappa\; \backslash mathbf\{N\}=\backslash frac\{-a\}\{a^2\; +b^2\; \}\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}+\backslash frac\{-a\}\{a^2\; +b^2\}\; \backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash mathbf\{j\}+\; 0\; \backslash mathbf\{k\}$

따라서 나선의 곡률은 $\backslash bigg|\backslash frac\{d\backslash mathbf\{T\}\}\{ds\}\backslash bigg|=\backslash kappa=\backslash frac\{a\}\{a^2\; +b^2\; \}$이다.

단위 법선벡터는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{N\}=-\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\; \backslash mathbf\{i\}-\; \backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\; \}\backslash mathbf\{j\}+\; 0\; \backslash mathbf\{k\}$

이중법선벡터는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{B\}=\backslash mathbf\{T\}\backslash times\backslash mathbf\{N\}=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\; \}\}\backslash bigg[\; b\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{i\}\; -\; b\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{j\}+\; a\; \backslash mathbf\{k\}\backslash bigg]$

이중법선벡터를 미분하여 비틀림(토션)을 구하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{d\backslash mathbf\{B\}\}\{ds\}=\backslash frac\{1\}\{a^2\; +b^2\}\backslash bigg[\; b\backslash cos\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{i\}\; +\; b\backslash sin\; \backslash frac\{s\}\{\backslash sqrt\{a^2\; +b^2\}\}\backslash mathbf\{j\}+\; 0\; \backslash mathbf\{k\}\backslash bigg]$

비틀림은 $\backslash tau=\backslash bigg|\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{B\}\}\{ds\}\; \backslash bigg|=\backslash frac\{b\}\{a^2\; +b^2\}$이다.

이처럼 나선은 곡률과 비틀림이 상수인 곡선이다. 공간 곡선 운동에 관하여

4.4. 경사 나선

곡선의 주 법선이 공간에서 고정된 선과 일정한 각도를 이루면 해당 곡선을 경사 나선이라고 한다. 이는 일반 나선의 이동 프레임에 변환을 적용하여 구성할 수 있다.

5. 나선과 관련된 개념

나선은 3차원 곡선이며, 2차원 평면에 투영하면 소용돌이 모양이 나타난다. 일상생활에서 나선과 소용돌이를 혼동하는 경우가 많은데, 예를 들어 나선형 계단을 영어로 표현할 때 "helix staircase"와 "spiral staircase"를 모두 사용한다. 이는 일본에서도 마찬가지로, 헬릭스(helix)보다 스파이럴(spiral)이라는 용어가 더 널리 쓰인다.

5.1. 소용돌이 (Spiral)

일본에서는 나선을 헬릭스가 아닌 스파이럴로 이해하는 경우가 많아 일상적으로도 정착되어 있다. 헬릭스와 스파이럴의 혼동은 영어에서도 볼 수 있다. 예를 들어, 나선형 계단의 영어 표기는 "helix staircase"뿐만 아니라 "spiral staircase"도 있다.

나선을 평면에 투영하면 소용돌이의 일종인 쌍곡선 나선이 된다.

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📌 열 고정 해제

소용돌이와 나선의 비교

	소용돌이	나선(현권선)
영어	spiral	helix
라틴어	spira	helice
차원	2차원 곡선	3차원 곡선
예	모기향(균일 나선), 암모나이트의 껍질(대수 나선), 롤 케이크	나팔꽃의 덩굴, 코일 스프링(정상 나선), DNA(이중 나선), 나사산

5.2. 대수 나선

5.3. 등각 나선 (베르누이 나선)

6. 나선의 예시

일상생활, 자연, 그리고 여러 분야에서 나선은 다양한 형태로 나타난다.

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* 나선형 계단
* 삼색 나선 막대 (이발소의 사인)
* 아밀로스 분자(전분의 일종)

시더 포인트 놀이공원에 있는 코크스크류 롤러코스터(Corkscrew)는 원추 나선의 예시이다.

자연에서 발견되는 일부 곡선은 덩굴손 전위라고 알려진 전환으로 함께 연결된 여러 개의 서로 다른 방향의 나선으로 구성된다.

6.1. 자연

덩굴식물의 덩굴에서 자연적인 나선 구조를 관찰할 수 있다.

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6.2. 분자 생물학

분자 생물학에서 이중 나선의 예는 핵산 이중 나선이다. DNA 분자는 이중 나선 구조를 띤다.

대부분의 하드웨어 나사산은 오른손 나선이다. 생물학의 알파 나선뿐만 아니라 DNA의 A 및 B 형태도 오른손 나선이다. DNA의 Z 형태는 왼손 나선이다.

단백질의 α-나선 구조도 나선형 분자의 한 예시이다.

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6.3. 공학 및 기술

* 나사의 산과 골
* 드릴
* 코일 스프링
* 솔레노이드
* 코일
* 스크류나 프로펠러의 궤적
* 총 및 포에서 회전에 의해 탄도를 안정시키고 직진성을 확보하기 위한 강선 (홈)
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6.4. 음악

음악에서 음고 공간은 5도권과 같은 원에서 확장되는 나선 또는 이중 나선으로 모델링되어 옥타브 동등성을 나타낸다.

6.5. 항공

항공에서, 기하학적 피치는 프로펠러 요소의 코드가 프로펠러 축에 수직인 평면 사이의 각도를 갖는 나선을 따라 이동하는 경우 한 번의 회전으로 전진하는 거리이다. 피치각 (항공)을 참고하라.

7. 상징적 의미

나선은 운동성이나 생명력을 느끼게 하여, 예술 작품 등에서 다양한 의미를 담은 상징으로 사용되는 경우가 많으며, 작품의 제목으로 쓰이는 예도 많다. 또한 기본적으로는 반복되는 구조이지만, 같은 위치를 따르지 않고 무한히 상승하는 구조를 역사나 생명에 비유하기도 한다.

무한 상승하는 카논은 나선 카논이라고도 불리며, 바흐의 "음악의 헌정"에 그 예가 있다. 실제로는 1 옥타브 올라간 지점에서 종료하거나, 거기서 원래 음으로 돌아와 종료한다.

실제로 무한히 상승하는 것은 불가능하지만, 신시사이저 등을 사용하여 무한 상승을 실감할 수 있게 할 수 있다.

일본에서는 마츠타케 히데키의 "수수께끼의 무한 음계"나 옐로 매직 오케스트라의 BGM에 수록된 "LOOM/다가올 것" 등이 알려져 있다.

7.1. 운동성과 생명력

나선은 운동성이나 생명력을 느끼게 하는 면이 있어, 예술 작품 등에서 다양한 의미를 담은 상징으로 사용되는 경우가 많으며, 작품의 제목으로 쓰이는 예도 많다. 또한 기본적으로는 반복되는 구조이지만, 같은 위치를 따르지 않고, 예를 들어 무한히 상승하는 구조를 역사나 생명에 비유하는 경우도 있다.

7.2. 역사와 생명

나선은 기본적으로 반복되는 구조이지만, 같은 위치를 따르지 않고 무한히 상승하는 구조를 역사나 생명에 비유하는 경우가 있다.

무한 상승하는 카논은 다른 이름으로 나선 카논이라고 하며, 하나의 선율이 반복될 때 조금씩 음정을 높여 시작하도록 되어 있어, 반복될수록 점점 음정이 높아진다. 바흐의 "음악의 헌정"에 그 예가 있다. 실제로는 1 옥타브 올라간 지점에서 종료하거나, 거기서 원래 음으로 돌아와 종료한다.

물론 실제로 무한히 상승하는 것은 불가능하지만, 신시사이저 등을 사용하여, 선율의 음정이 올라감에 따라 1 옥타브 아래에 새로운 선율을 추가하면서 무한 상승을 실감할 수 있게 할 수 있다.

이를 사용한, 일본에서 알려진 작품으로는 마츠타케 히데키의 "수수께끼의 무한 음계"나 그 영향으로 옐로 매직 오케스트라의 BGM에 수록된 "LOOM/다가올 것" 등이 있다.

7.3. 예술 작품

나선은 운동성이나 생명력을 느끼게 하는 면이 있어, 예술 작품 등에서 다양한 의미를 담은 상징, 심볼로 사용되는 경우가 많으며, 작품의 제목으로 쓰이는 예도 많다.

또한 기본적으로는 반복되는 구조이지만, 같은 위치를 따르지 않고, 예를 들어 무한히 상승하는 구조를 역사나 생명에 비유하는 경우도 있다.

무한 상승하는 카논은 다른 이름으로 나선 카논이라고 하며, 하나의 선율이 반복될 때 조금씩 음정을 높여 시작하도록 되어 있어, 반복될수록 점점 음정이 높아진다. 바흐의 "음악의 헌정"에 그 예가 있다. 실제로는 1 옥타브 올라간 지점에서 종료하거나, 거기서 원래 음으로 돌아와 종료한다.

물론 실제로 무한히 상승하는 것은 불가능하지만, 동시 발음 수가 매우 많거나, 같은 음량의 다수의 배음을 포함하는 음색을 합성할 수 있는 신시사이저 등을 사용하여, 선율의 음정이 올라감에 따라 1 옥타브 아래에 새로운 선율을 추가하면서, 청각에서의 가청역과 최소 가청치를 고려하여 충분히 넓은 범위에서 선율을 연주하면, 무한 상승을 실감할 수 있다.

이를 사용한, 일본에서 알려진 작품으로는 마츠타케 히데키의 "수수께끼의 무한 음계"나 그 영향으로 "BGM"에 수록된 "LOOM/다가올 것" 등이 있다. 현재의 기재라면, 예를 들어 휴대 전화 탑재 FM 음원으로도 가능한 것도 있다.