아스트로이드

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1. 개요
2. 방정식
3. 성질
4. 일반화
참조

1. 개요

아스트로이드는 x^2/3 + y^2/3 = a^2/3 방정식으로 표현되는 별 모양의 평면 곡선이다. 이는 슈퍼타원의 특수한 경우로, 매개변수 방정식, 극좌표 방정식, 대수 방정식을 통해 나타낼 수 있다. 아스트로이드는 네 개의 첨점 특이점을 가지며, 쌍대곡선은 십자형 곡선이고, 진화곡선은 원래 아스트로이드 크기의 두 배이다. 아스트로이드의 넓이는 $\frac{3}{8} \pi a^2$ 이고, 둘레는 $6a$ 이다. 일반화된 아스트로이드는 람베르트 곡선의 특수한 경우로, 타원의 축추적선을 포함한다.

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아스트로이드

2. 방정식

아스트로이드는 다양한 형태의 방정식으로 표현될 수 있다.

매개변수 방정식은 다음과 같다.

: $x = rcos^3(\theta), y=rsin^3(\theta)$

원점에 대한 페달 방정식은 다음과 같다.

: $r^2 = a^2 - 3p^2,$

휘웰 방정식은 다음과 같다.

: $s = {3a \over 4} \cos 2\varphi,$

세사로 방정식은 다음과 같다.

: $R^2 + 4s^2 = \frac{9a^2}{4}.$

2. 1. 직교좌표계 방정식

일반적인 형태의 직교좌표계에서의 아스트로이드 방정식은 다음과 같다.^[4]

:

x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}

이는 아스트로이드가 슈퍼타원임을 의미한다.

여기서 a를 임의의 실수로 할 때, 위의 방정식으로 표현되는 도형들을 모두 아스트로이드라고 부른다. 이들은 모두 표준 아스트로이드

:

x^{2/3} + y^{2/3} = 1

와 닮았다.

2. 2. 매개변수 방정식

:

x = a\cos^3 \theta, \quad y = a\sin^3 \theta

:이 식은 반지름이 ''a''인 원에 내접하며, x축과 y축에 대해 선대칭이다.^[4]

2. 3. 극좌표 방정식

극좌표 방정식은 다음과 같다.^[5]

:

r = \frac{a}{\left(\cos^{2/3}\theta + \sin^{2/3}\theta\right)^{3/2}}.

2. 4. 대수 방정식

아스트로이드는 평면 대수곡선의 실수 자취이며 종수는 0이다. 아스트로이드의 방정식은 다음과 같다.^[6]

:(x^2 + y^2 - a^2)^3 + 27 a^2 x^2 y^2 = 0.

따라서 아스트로이드는 6차의 실수 대수곡선이다.

이는 다음과 같이 증명할 수 있다.

x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}

의 양변을 3제곱하면:

x^2 + 3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3} + y^{2/3}) + y^2 = a^2

x^2 + y^2 - a^2 = -3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3} + y^{2/3})

다시 양변을 3제곱하면:

(x^2 + y^2 - a^2)^3 = -27x^2y^2a^2

즉

(x^2 + y^2 - a^2)^3 + 27x^2y^2a^2 = 0

이것은 6차 곡선으로 실평면 '''R'''² 위에 (별의 꼭짓점 부분에) 네 개의 첨점 특이점을 갖는다. 또한, 복소 변수(리만 구면)로 확장하면, 무한원점에 두 개의 첨점 특이점을 더 가지며, 네 개의 이중점이 있으므로, 총 10개의 특이점을 갖게 된다.

3. 성질

아스트로이드는 여러 가지 흥미로운 기하학적, 미분기하학적 성질을 갖는다. 각 방향으로 하나의 접선만 가지므로 헤지호그의 예이다.^[8] 쌍대곡선은 십자형 곡선이며, 진화곡선은 원래 아스트로이드보다 크기가 두 배인 아스트로이드이다.^[8]

3. 1. 기하학적 성질

반지름이 ''r''인 원에서 굴린 아스트로이드의 넓이는 0.375π''r''²이고 둘레는 6''r''이다.

아스트로이드는 종수 0의 평면 대수곡선의 실궤적으로, 대수방정식

:(x²+y²-1)³+27x²y²=0

으로 나타낼 수 있다. 이것은 6차 곡선으로 실평면 '''R'''² 위에 (별의 꼭짓점 부분에) 네 개의 첨점 특이점을 갖는다. 복소 변수(리만 구면)로 확장하면, 무한원점에 두 개의 첨점 특이점을 더 가지며, 네 개의 이중점이 있으므로, 총 10개의 특이점을 갖는다.

이 식으로 나타내어지는 아스트로이드의 쌍대곡선은 십자곡선 ''x''²''y''² = ''x''² + ''y''² 이다.

3. 2. 미분기하학적 성질

반지름이

r

인 원에서 굴린 아스트로이드의 넓이는

\frac{3}{8} \pi r^2

이고 둘레는

6r

이다. 아스트로이드는 실평면에서 별 모양의 네 점에 첨점 특이점을 갖는다. 무한대에는 두 개의 복소 첨점 특이점과 네 개의 복소 이중점을 더 가지므로 총 열 개의 특이점을 갖는다.^[8]

아스트로이드의 쌍대곡선은 십자형 곡선이다.^[8] 아스트로이드의 진화곡선은 원래 아스트로이드보다 크기가 두 배인 아스트로이드이다.^[8]

아스트로이드는 각 방향으로 하나의 접선만 가지므로 헤지호그의 예이다.^[8] 반지름 *a*인 원 안에서 그 1/4의 반지름을 가진 원이 미끄러지지 않고 구르면, 작은 원 원주상의 임의의 한 점의 자취는 아스트로이드를 그린다.^[8]

x*-축과 *y*-축에 각각 한 끝점이 놓여 있는 일정한 길이의 선분 집합은 모두 하나의 아스트로이드에 접한다. 따라서 그러한 선분 집합의 포락선은 아스트로이드를 그린다.^[8] 아스트로이드의 축퇴선은 원래 아스트로이드보다 두 배 크고 45도 회전된 아스트로이드이다.^[8]

3. 3. 수치

반지름이 ''a''인 아스트로이드의 넓이는

\frac{3}{8} \pi a^2

이다.^[7] 둘레(호의 길이)는

6a

이다. x축을 중심으로 회전시켜 얻는 회전체의 부피는

\frac{32}{105}\pi a^3

이고, 회전면의 넓이는

\frac{12}{5}\pi a^2

이다.

4. 일반화

아스트로이드는 슈퍼타원 또는 람베르트 곡선이라고 불리는 곡선의 특수한 경우이다. a ≠ b 인 경우, 아스트로이드를 축 방향으로 늘이거나 압축한 모양이 된다. 예를 들어 타원의 축추적선은 이 모양으로 나타낼 수 있다.

매개변수 표현은 다음과 같다.

: $x = a\cos^3 \theta,\quad y = b\sin^3 \theta$

곡선으로 둘러싸인 면적은 다음과 같다.

: $S=\frac{3}{8} \pi ab$

곡선의 호의 길이는 다음과 같다.

: $l = \frac{4(a^2 + ab + b^2)}{a + b}$

참조

_[1] 문서 Yates
_[2] 서적 Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik https://books.google[...]
_[3] 서적 Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte https://archive.org/[...]
_[4] 문서 Yates, for section
_[5] 웹사이트 Astroid https://mathworld.wo[...]
_[6] 웹사이트 Astroid http://xahlee.info/S[...]
_[7] 문서 Yates, for section
_[8] 논문 View from inside
_[9] 문서 英語で asteroid と表記されることもあるが、これは小惑星の意味を持つため、区別のためには astroid（アストロイド）が望ましい。日本語表記ではアステロイドがよく用いられる。

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