곱 규칙 (조합론)

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 응용
5. 관련 개념
참조

1. 개요

곱 규칙은 k개의 단계로 구성된 과정을 거치는 경우의 수를 계산하는 조합론적 원리이다. 각 단계의 경우의 수를 모두 곱하여 전체 경우의 수를 구한다. 예를 들어, {A, B, C} 중 하나를 선택하고 {X, Y} 중 하나를 선택하는 경우의 수는 3 × 2 = 6가지이다. 집합론에서 곱 규칙은 기수의 곱셈을 정의하는 데 사용되며, 집합의 데카르트 곱의 농도를 계산하는 데 활용된다. 합의 규칙과 함께 기본적인 조합론적 계산 원리 중 하나이다.

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곱 규칙 (조합론)
기본 정보
유형	조합론
분야	수학
다른 이름	곱의 법칙
영어 이름	Rule of product
일본어 이름	数え上げの積の法則 (Kazoeage no Seki no Hōsoku)
관련 개념	합의 법칙
설명
정의	두 사건이 독립적으로 일어날 때, 전체 경우의 수는 각 사건의 경우의 수를 곱한 것과 같다.
공식	'a' 사건의 경우의 수가 m이고, 'b' 사건의 경우의 수가 n일 때, 'a'와 'b' 사건이 동시에 일어나는 경우의 수는 m * n이다. (수식: )
예시	셔츠 3벌과 바지 2벌이 있을 때, 셔츠와 바지를 조합하여 입을 수 있는 총 가지 수는 3 * 2 = 6가지이다.
사용 예시	다양한 항목에서 선택하는 경우의 수를 계산하는 데 사용된다. (예: 메뉴 선택, 비밀번호 설정 등)

2. 정의

어떤 과정이 k개의 단계로 구성되었다고 하자. 첫째 단계의 경우의 수는 n₁이며, 둘째 단계의 경우의 수는 n₂이며, ..., k째 단계의 경우의 수는 nₖ라고 하자. '''곱 규칙'''에 따르면, 이들을 차례대로 거치는 과정의 경우의 수는 다음과 같다.^[7]

:n₁ × n₂ × ⋯ × nₖ

3. 예시

A^영어, B^영어, C^영어 중 하나와 X^영어, Y^영어 중 하나를 선택하는 것은 AX^영어, AY^영어, BX^영어, BY^영어, CX^영어, CY^영어 중 하나를 선택하는 것과 같다. 이 예에서 곱의 법칙은 3 × 2 = 6으로 나타낼 수 있다.

여기서 집합 A^영어, B^영어, C^영어와 X^영어, Y^영어는 서로소 집합이지만, 반드시 그럴 필요는 없다. 예를 들어 A^영어, B^영어, C^영어에서 하나를 선택하고 다시 같은 집합에서 하나를 선택하면, A^영어, B^영어, C^영어의 원소로 구성된 순서쌍을 선택하는 것이 되므로 3 × 3 = 9가지 경우가 된다.

다른 예로, 피자를 주문할 때 도우 종류를 얇은 것 또는 두꺼운 것 2가지 중에서, 토핑을 치즈, 페퍼로니, 소시지 3가지 중에서 선택할 수 있다면, 곱의 법칙에 따라 피자 주문 방법은 2 × 3 = 6가지가 가능하다.

4. 응용

집합론에서 곱의 법칙은 기수의 곱을 정의하는 데 사용된다.^[1] 집합의 농도에 관해 다음이 성립한다.

: $|S_{1}|\cdot|S_{2}|\cdots|S_{n}| = |S_{1} \times S_{2} \times \cdots \times S_{n}|$

여기서 $\times$ 는 데카르트 곱 연산이다. 이러한 각 집합은 유한 집합일 필요가 없으며, 이러한 인수의 수가 유한 개일 필요도 없다.^[4]

곱셈 규칙을 확장하여, ''n''개의 서로 다른 유형의 객체(예: 사탕)가 있고, ''k''개의 객체(예: 사람)가 있다고 가정해 보자. 이때 사람들이 사탕을 받을 수 있는 서로 다른 방법의 수는 다음과 같이 계산할 수 있다.

각 사람은 사용 가능한 ''n''개의 사탕 중 어느 것이든 받을 수 있으며, ''k''명의 사람이 있으므로, 이 작업을 수행하는 방법은 $\overbrace{n\cdots\cdot n}^k = n^k$ 이다.

5. 관련 개념

합의 규칙은 기본적인 계산 원리 중 하나이다. 어떤 일을 하는 방법이 ''a''가지이고, 다른 일을 하는 방법이 ''b''가지일 때, 두 가지 일을 동시에 할 수 없다면 둘 중 하나를 선택하는 방법은 ''a'' + ''b''가지이다.^[3]^[6]

참조

_[1] 서적 A transition to advanced mathematics Oxford Univ. Press 2009
_[2] 웹사이트 College Algebra Tutorial 55: Fundamental Counting Principle http://www.wtamu.edu[...] 2014-12-20
_[3] 서적 Handbook of discrete and combinatorial mathematics https://books.google[...] CRC pres 1999
_[4] 서적 A transition to advanced mathematics Oxford Univ. Press 2009
_[5] 웹사이트 College Algebra Tutorial 55: Fundamental Counting Principle http://www.wtamu.edu[...] 2014-12-20
_[6] 서적 Handbook of discrete and combinatorial mathematics. CRC press 1999
_[7] 서적 概率论基础 https://archive.org/[...] 高等教育出版社 2010-04

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