순서쌍

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1. 개요

순서쌍은 두 개의 대상 a와 b를 묶어 (a, b)로 나타낸 수학적 개념이다. 두 순서쌍 (a, b)와 (c, d)가 같다는 것은 a=c이고 b=d일 때만 성립하며, 곱집합과 이항 관계를 정의하는 데 사용된다. 순서쌍은 다양한 집합론적 정의를 가지며, 위너, 하우스도르프, 쿠라토프스키, 콰인-로서, 모스 등의 수학자들이 정의를 제시했다. 범주론에서는 범주론적 곱을 나타내는 데 활용된다.

순서쌍

수학적 개념

정의	두 대상의 순서를 고려하여 묶어 놓은 것
영어	Ordered pair
일본어	順序対 (Junjo-tsui)

표기법

일반적인 표기	(a, b)
a와 b가 같을 때	a = b
순서쌍의 의미	(a, b) ≠ (b, a)

일반화

2-튜플	(a, b)
n-튜플	n개의 요소로 이루어진 순서 있는 목록 (a, b, c, ...)

순서 없는 쌍	{a, b} (집합의 개념, 순서가 중요하지 않음)
첫 번째/두 번째 항목 (영어)	First/Second entry
첫 번째/두 번째 좌표 (영어)	First/Second coordinate

2. 성질

순서쌍의 가장 기본적인 성질은 두 순서쌍이 같을 필요충분조건이 두 성분이 각각 같은 것이라는 점이다. 즉, 다음과 같다.
: $(a,b)=(c,d)\ \iff\ a=c \wedge b=d$
이러한 성질은 순서쌍을 정의하는 데 사용될 수 있다.

첫 번째 성분을 집합 $A$ , 두 번째 성분을 집합 $B$ 에서 취한 모든 순서쌍의 집합을 곱집합이라고 하고 $A\times B$ 로 표기한다. 집합 $A$ 와 $B$ 사이의 이항 관계는 $A\times B$ 의 부분집합이다.

순서쌍의 통상적인 표기법은 $(a,b)$ 꼴이지만, 개구간 등의 표기와 혼동하지 않기 위해 $\langle a,b\rangle$ 로 나타내기도 한다.

두 순서쌍 $(a_1, b_1)$ 과 $(a_2, b_2)$ 가 주어졌을 때, 순서쌍의 특성 (또는 정의) 속성은 다음과 같다.
: $(a_1, b_1) = (a_2, b_2)$ 가 성립하는 것은 $a_1 = a_2$ 이고 $b_1 = b_2$ 일 때, 그리고 그 때에만 성립한다.

3. 집합론적 정의

공리적 집합론에서는 모든 개념을 집합으로 정의한다. 순서쌍 역시 집합론적으로 정의할 수 있는데, 여러 가지 방법이 있다.

순서쌍의 가장 기본적인 성질은 두 순서쌍이 같을 필요충분조건이 두 성분이 각각 같다는 것이다. 즉, 다음과 같다.

: $(a,b)=(c,d)\ \iff\ a=c \wedge b=d$

이러한 성질을 이용하여 순서쌍을 정의할 수 있다.

첫 번째 성분을 집합 $A$ 에서, 두 번째 성분을 집합 $B$ 에서 가져온 모든 순서쌍의 집합을 곱집합이라 하고, $A\times B$ 로 표기한다. 집합 $A$ 와 $B$ 사이의 이항 관계는 $A\times B$ 의 부분집합이다.

순서쌍은 보통 $(a,b)$ 와 같이 표기하지만, 개구간 등 다른 표기법과 혼동될 수 있으므로 $\langle a,b\rangle$ 로 나타내기도 한다.

이러한 순서쌍의 성질은 순서쌍의 본질을 보여준다. 이 본질적인 성질을 공리로 삼아 순서쌍을 무정의 용어로 취급할 수도 있다. 이는 니콜라 부르바키 단체가 1954년에 출간한 《집합론》에서 사용한 방법이다. 1970년에 출간된 2판에서는 카지미에시 쿠라토프스키의 정의가 추가되었다.

수학기초론의 일원인 공리적 집합론에서는 모든 개념을 집합으로 정의한다. 만약 집합론이 수학의 기초가 될 수 있다는 점에 동의한다면, 모든 수학적 대상은 일종의 집합으로 정의되어야 한다. 따라서 순서쌍을 원시적인 것으로 여기지 않는다면, 순서쌍 또한 집합으로 정의해야 한다.

3.1. 위너의 정의

노버트 위너는 1914년에 순서쌍의 최초 집합론적 정의를 제안했다.

: $(a,\,b):=\{\{\{a\},\,\emptyset\},\,\{\{b\}\}\}$

이 정의는 《수학 원리》의 모든 유형을 집합으로 정의할 수 있게 한다. 위너는 정의와 유형 이론이 양립하게 하기 위해(즉, 집합의 원소가 모두 같은 유형이어야 한다), $\{b\}$ 가 아닌 $\{\{b\}\}$ 를 사용하였다. 이렇게 하면 $\{\{b\}\}$ 는 $\{\{a\},\,\emptyset\}$ 와 같은 유형이 된다.

3.2. 하우스도르프의 정의

펠릭스 하우스도르프는 노버트 위너와 거의 같은 시기에 다음과 같은 정의를 제안했다.

: (a, b) := { {a, 1}, {b, 2} }

여기서 1과 2는 a와 b와 다른 두 개의 서로 다른 대상이다.

3.3. 쿠라토프스키의 정의

카지미에시 쿠라토프스키가 1921년에 제시한 순서쌍 (a, b)의 정의는 오늘날 가장 널리 쓰인다.

: $(a, \ b)_K \; := \ \{ \{ a \}, \ \{ a, \ b \} \}.$

이 정의는 첫 번째 성분과 두 번째 성분이 같은 경우에도 사용할 수 있다.

: $(x,\ x)_K = \{\{x\},\{x, \ x\}\} = \{\{x\},\ \{x\}\} = \{\{x\}\}$

임의의 순서쌍 p의 첫 번째 성분은 다음 조건들의 동치성에 의해 추출할 수 있다.

* x는 p의 첫 번째 성분이다.
* $\forall Y\in p:x\in Y.$
* $x=\bigcup\bigcap p$

비슷한 방법으로, p의 두 번째 성분 x는 다음 조건을 통해 추출할 수 있다.

: $(\exist Y\in p:x\in Y) \land(\forall Y_1,Y_2\in p:Y_1\ne Y_2\rarr (x\notin Y_1\lor x \notin Y_2)).$

$p=(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$ 이면 다음과 같다.

: $\bigcap p = \bigcap \bigg\{\{x\}, \{x, y\}\bigg\} = \{x\} \cap \{x, y\} = \{x\},$
: $\bigcup p = \bigcup \bigg\{\{x\}, \{x, y\}\bigg\} = \{x\} \cup \{x, y\} = \{x, y\}.$

순서쌍의 첫 번째 좌표는 반복 연산 표기법을 사용하여 다음과 같이 추출할 수 있다.

: $\pi_1(p) = \bigcup\bigcap p = \bigcup \{x\} = x.$

두 번째 좌표는 다음과 같이 추출한다.

: $\pi_2(p) = \bigcup\left\{\left. a \in \bigcup p\,\right|\,\bigcup p \ne \bigcap p \rarr a \notin \bigcap p \right\} = \bigcup\left\{\left. a \in \{x,y\}\,\right|\,\{x,y\} \neq \{x\} \rarr a \notin \{x\} \right\} = \bigcup \{y\} = y.$

3.3.1. 쿠라토프스키 정의의 변형

쿠라토프스키 정의는 순서쌍의 기본 성질을 만족하는 여러 변형이 존재한다. 다음은 그 예시들이다.

* $(a, b)_\text{reverse} := \{\{b\}, \{a, b\}\}$
* $(a, b)_\text{short} := \{a, \{a, b\}\}$
* $(a, b)_{01} := \{\{0, a\}, \{1, b\}\}$

`reverse` 정의는 쿠라토프스키 정의와 거의 동일하며, `short` 정의는 중괄호를 두 쌍만 사용한다는 특징이 있다. 하지만 `short` 정의는 체르멜로-프렝켈 집합론의 정칙성 공리를 필요로 하고, 자연수의 폰 노이만 정의를 따를 때 $2 = \{0, 1\} = \{0, \{0\}\} = (0, 0)_\text{short}$ 와 같이 부자연스러운 결과를 낳는다는 단점이 있다.

3.4. 콰인-로서 정의

1953년 존 버클리 로서는 윌러드 밴 오먼 콰인의 정의를 확장하였다. 이 정의는 자연수의 선결적 정의를 필요로 한다.

자연수의 집합을 $\N$ 이라 하고, 다음과 같이 함수 $\sigma$ 를 정의한다.

$\sigma(x) := \begin{cases}x, & \text{if }x \notin \N, \\x+1, & \text{if }x \in \N.\end{cases}$

이 함수는 인수가 자연수이면 그 값을 1 증가시키고, 그렇지 않으면 그대로 둔다. 숫자 0은 $\sigma$ 의 치역에 나타나지 않는다.

$x \setminus \N$ 이 $\N$ 에 없는 $x$ 의 원소의 집합일 때, 다음과 같이 함수 $\varphi$ 를 정의한다.

$\varphi(x) := \sigma[x] = \{\sigma(\alpha)\mid\alpha \in x\} = (x \setminus \N) \cup \{n+1 : n \in (x \cap \N) \}.$

이는 $\sigma$ 아래에서의 집합 $x$ 의 집합상이다. 집합 x에 함수 $\varphi$ 를 적용하면, 집합 내의 모든 자연수를 단순히 증가시킨다. $\varphi(x)$ 는 숫자 0을 포함하지 않으므로, 모든 집합 x와 y에 대해,

$\varphi(x) \neq \{0\} \cup \varphi(y).$

가 성립한다.

또한, 다음과 같이 $\psi$ 함수를 정의한다.

$\psi(x) := \sigma[x] \cup \{0\} = \varphi(x) \cup \{0\}.$

$\psi(x)$ 는 항상 숫자 0을 포함한다.

순서쌍 (A, B)는 다음과 같은 서로소 합집합으로 정의한다.

$(A, B) := \varphi[A] \cup \psi[B] = \{\varphi(a) : a \in A\} \cup \{\varphi(b) \cup \{0\} : b \in B \}.$

0을 포함하지 않는 순서쌍의 모든 원소를 추출하고 $\varphi$ 를 되돌리면 A가 얻어진다. 마찬가지로, 0을 포함하는 순서쌍의 원소로부터 B를 복구할 수 있다.

NF에서 이 정의를 사용하면 무한 공리를 유추할 수 있다.

3.5. 모스의 정의

모스-켈리 집합론에서는 고유 모임을 자유로이 사용할 수 있다. 앤서니 모스는 순서쌍의 사영이 집합뿐만 아니라 고유 모임이 될 수 있도록 순서쌍을 정의하였다. (쿠라토프스키 정의는 이를 허용하지 않는다.) 그는 먼저 쿠라토프스키의 방식으로 사영이 집합인 순서쌍을 정의했다. 그런 다음 쌍을 다음과 같이 "재정의"했다.

$(x, y) = (\{0\} \times s(x)) \cup (\{1\} \times s(y))$

여기서 구성 요소 카테시안 곱은 집합의 쿠라토프스키 쌍이고,

$s(x) = \{\emptyset \} \cup \{\{t\} \mid t \in x\}$

이다.

이것은 사영이 고유 모임인 쌍을 가능하게 한다.

4. 범주론

범주론에서 범주론적 곱 A × B는 첫 번째 원소가 A에서, 두 번째 원소가 B에서 오는 순서쌍의 집합을 나타낸다. 이 맥락에서 위의 특징은 곱의 보편 성질과 집합 X의 원소를 1 (한 개의 원소 집합)에서 X로의 사상으로 식별할 수 있다는 사실의 결과이다. 서로 다른 대상이 보편 성질을 가질 수 있지만, 그들은 모두 자연 동형이다.