맨위로가기

집합론

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

집합론은 1874년 게오르크 칸토어에 의해 시작된 수학의 한 분야로, 무한의 개념을 연구하며 발전했다. 소박 집합론은 러셀의 역설과 같은 모순을 낳아 공리적 집합론으로 발전했으며, ZFC 공리계를 기반으로 하는 체르멜로-프랭클 집합론이 현대 수학에서 널리 사용된다. 집합론은 조합적 집합론, 기술적 집합론, 내부 모형 이론, 큰 기수 연구 등 다양한 분야를 포함하며, 수학의 여러 분야의 기초를 제공한다. 하지만 수학의 기초로서 집합론의 사용에 대한 논쟁이 있어 왔으며, 범주론, 호모토피 유형 이론 등 대안적인 접근 방식도 제시되고 있다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 게오르크 칸토어 - 칸토어 역설
    칸토어 역설은 가장 큰 기수가 존재한다는 가정의 모순을 통해 기수들의 모임이 집합이 아닌 고유 모임임을 보이는 역설이다.
  • 게오르크 칸토어 - 칸토어의 정리
    칸토어의 정리는 집합 X의 멱집합의 크기가 X의 크기보다 항상 크다는 것을 나타내며, 임의의 기수 κ에 대해 2κ > κ가 성립한다는 내용으로, 칸토어의 대각선 논법으로 증명되고 집합론의 역설과 관련되어 전체 집합의 존재를 가정할 때 칸토어의 역설을 유발한다.
  • 집합론 - 퍼지 집합
    퍼지 집합은 각 원소가 0과 1 사이의 소속도를 가지며, 소속 함수를 통해 정의되고, 여집합, 합집합, 교집합 등의 연산을 수행하며, 퍼지 논리, 퍼지 수, 엔트로피 등의 개념과 L-퍼지 집합, 직관적 퍼지 집합 등으로 확장된다.
  • 집합론 - 무한 집합
    무한 집합은 유한 집합이 아니며, 자연수보다 큰 크기를 가지고 자신의 진부분집합과 일대일 대응을 가지며, 가산 무한 집합과 비가산 무한 집합으로 나뉜다.
  • 수학 - 회귀 분석
    회귀 분석은 종속 변수와 하나 이상의 독립 변수 간의 관계를 모델링하고 분석하는 통계적 기법으로, 최소 제곱법 개발 이후 골턴의 연구로 '회귀' 용어가 도입되어 다양한 분야에서 예측 및 인과 관계 분석에 활용된다.
  • 수학 - 수학적 최적화
    수학적 최적화는 주어진 집합에서 실수 또는 정수 변수를 갖는 함수의 최댓값이나 최솟값을 찾는 문제로, 변수 종류, 제약 조건, 목적 함수 개수에 따라 다양한 분야로 나뉘며 여러 학문 분야에서 활용된다.
집합론

2. 역사

집합론은 1874년 게오르크 칸토어의 논문 "모든 실수 대수적 수의 집합의 성질에 관하여(Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen)"에서 시작되었다.[1][2] 칸토어 이전에도 엘레아의 제논이나 초기 인도 수학자들을 통해 무한의 개념이 연구되었지만, 현대적인 무한에 대한 이해는 1870–1874년에 칸토어가 실해석학 분야를 연구하면서 시작되었다.[4]

게오르크 칸토어


칸토어는 푸리에 급수를 연구하면서 실수선 상의 급수가 제대로 작동하지 않는 점을 조사하다가 집합의 개념을 떠올렸다. 그는 유리수나 대수적 수의 집합이 가산이라는 것을 증명하고, 리하르트 데데킨트에게 보낸 편지에 이 내용을 담았다. 또한 실수에 대해서도 가산인지에 대한 의문을 제기했는데, 몇 주 뒤 실수가 가산이 아니라는 증명을 완성하였다. 이후 수직선과 평면 사이에 전단사 함수가 존재하는지 연구하였고, 3년간의 연구 끝에 두 집합 사이에 전단사가 존재함을 증명하였다. 그는 이 증명을 데데킨트에게 보낸 편지에 "나는 그것을 보지만, 믿을 수 없다"(Je le vois, mais je ne le crois pas프랑스어)라는 유명한 말을 남겼다.

칸토어의 이러한 업적은 당시 일부 수학자들에게 반발을 샀다. 특히 칸토어의 스승인 레오폴트 크로네커는 집합론에 부정적인 태도를 보였고, 이는 칸토어에게 영향을 주었다.

에른스트 체르멜로는 선택 공리를 명확히 하고, 이를 통해 모든 집합에 정렬 순서 관계를 도입할 수 있음을 보였다. 선택 공리의 의미와 타당성은 앙리 르베그, 에밀 보렐 등 수학자들 사이에서 활발한 논쟁의 대상이 되었다.

쿠르트 괴델


한편, 칸토어가 고심했던 연속체 가설("실수 집합은 자연수 집합 다음으로 큰 집합인가?")은 쿠르트 괴델과 폴 코언의 연구를 통해 ZFC 공리계에서 증명도 반증도 불가능하다는 것이 밝혀졌다.

2. 1. 소박 집합론과 공리적 집합론

소박 집합론은 집합을 "일반적인 의미에서의" 것들의 모임으로 간주하는 관점이다. 이는 직관적으로 이해하기 쉽지만, "일반적인 의미에서의" 것들의 모임을 형식화한 내포 공리는 여러 역설을 야기한다.

역설설명
칸토어의 역설모든 집합을 포함하는 집합의 멱집합은 칸토어의 정리에 의해 더 큰 농도를 가져야 하지만, 원래 집합에 포함되므로 농도가 크지 않아야 한다.
브랄리-포르티의 역설모든 서수로 이루어진 집합은 그 자체가 서수이며, 자기 자신을 원소로 포함하므로 모순이 발생한다.
러셀의 역설자기 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합은 자기 자신을 원소로 포함하는지 여부에 따라 모순이 발생한다.
커리의 역설특정 조건을 만족하는 집합을 정의하면, 임의의 명제가 참이 되어 모순이 발생한다.
리샤르의 역설
베리의 역설



이러한 역설을 피하기 위해 공리적 집합론에서는 내포 공리 대신 분리 공리를 사용한다. 분리 공리는 특정 집합 내에서 주어진 성질을 만족하는 원소들만으로 새로운 집합을 구성할 수 있도록 제한한다.

현대 수학에서는 일반적으로 ZFC 공리계를 기반으로 하는 공리적 집합론을 사용하며, 이를 통해 대부분의 수학적 개념과 정리를 구성할 수 있다. 기초론적인 문맥에서는 '역설을 회피한 집합'(set)과 '소박한 집합'(collection)을 구별하여 사용한다.

3. 기본 개념 및 표기법

집합론은 대상 와 집합 사이의 기본적인 이진 관계인 '∈'(원소) 관계에서 시작한다. 가 집합 의 ''원소''이면, 로 표기한다. 집합은 중괄호 { } 안에 쉼표로 구분된 원소를 나열하거나, 원소의 특징을 나타내는 속성으로 설명한다.[5]

두 집합 사이의 관계로는 부분 집합 관계가 있으며, 이를 '집합 포함'이라고도 한다. 집합 의 모든 원소가 집합 의 원소이면, 는 의 ''부분 집합''이며, 로 표기한다. 예를 들어, {1, 2}는 {1, 2, 3}의 부분 집합이며, {2}도 마찬가지지만 {1, 4}는 그렇지 않다. 집합은 자기 자신의 부분 집합이다. 가 의 부분 집합이지만 와 가 같지 않을 경우, 는 의 ''진부분 집합''이라고 한다.

산술이 숫자에 이항 연산을 적용하는 것처럼, 집합론은 집합에 대한 이항 연산을 다룬다.[6] 집합의 연산에는 합집합, 교집합, 차집합, 대칭 차집합, 데카르트 곱 등이 있다.


  • 집합 와 의 ''합집합''은 로 표기하며, 또는 또는 둘 다의 원소인 모든 객체의 집합이다.[7]
  • 집합 와 의 ''교집합''은 로 표기하며, 와 모두의 원소인 모든 객체의 집합이다.
  • 와 의 ''차집합''은 로 표기하며, 의 원소가 아닌 의 모든 원소의 집합이다. 가 의 부분 집합일 때, 는 에서 의 ''여집합''이라고도 한다.
  • 집합 와 의 ''대칭 차집합''은 또는 로 표기하며, 와 중 정확히 하나에 속하는 모든 객체의 집합이다.
  • 와 의 ''데카르트 곱''은 로 표기하며, 가능한 모든 순서쌍 (여기서 는 의 원소, 는 의 원소)의 집합이다.


기본적인 집합으로는 자연수의 집합, 실수의 집합, 그리고 원소가 없는 유일한 집합인 공집합 등이 있다. 집합 의 멱집합은 \mathcal{P}(A)로 표기하며, 의 모든 부분 집합을 원소로 갖는 집합이다.

3. 1. 공리적 집합론의 체계

체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)은 가장 널리 사용되는 공리적 집합론 체계이며, 선택 공리를 포함한다.[9] ZFC의 일부분은 다음과 같다.

  • 체르멜로 집합론: 대치 공리꼴을 분리 공리꼴로 대체한다.
  • 일반 집합론: 페아노 공리 및 유한 집합에 충분한 체르멜로 집합론의 작은 부분이다.
  • 크립키-플라테크 집합론: 무한 공리, 멱집합 공리, 선택 공리를 생략하고 분리 공리꼴과 대치 공리꼴을 약화시킨다.


폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 집합과 고유 클래스를 구분하는 체계이다. NBG는 집합에 관한 정리에 대해 ZFC와 동일한 강도를 갖는다.

윌라드 반 오르만 콰인이 제시한 ''뉴 파운데이션스''(NF, NFU)는 '모든 것의 집합'을 허용하는 체계이다. 여기서 모든 집합은 여집합을 갖는다. NF와 NFU에서 원자의 존재 유무는 중요한 차이를 만드는데, NF는 선택 공리가 성립하지 않는 집합을 생성하지만, NFU는 그렇지 않다.[9]

구성적 집합론은 직관주의 논리에 기반한 집합론 체계이다. 구성적 집합론 시스템(CST, CZF, IZF 등)은 집합 공리를 고전 논리 대신 직관주의 논리에 내장한다.[10]

4. 주요 연구 분야

집합론은 수학의 주요 연구 분야이며, 다음과 같은 상호 관련된 여러 하위 분야가 있다.


  • '''조합적 집합론'''은 유한 조합론을 무한 집합으로 확장하는 것과 관련이 있다. 여기에는 기수 산술 연구와 에르되스-라도 정리와 같은 램지 정리의 확장이 포함된다.[1]

  • '''기술적 집합론'''은 실수선의 부분 집합, 더 일반적으로는 폴란드 공간의 부분 집합을 연구하는 분야이다. 보렐 집합의 많은 속성은 ZFC에서 확립될 수 있지만, 이러한 속성이 더 복잡한 집합에 대해 성립함을 증명하려면 결정성 공리 및 큰 기수와 관련된 추가 공리가 필요하다. 유효 기술적 집합론은 집합론과 재귀 이론사이에 있으며 초산술 이론과 밀접한 관련이 있다. 최근 연구는 보렐 동치 관계와 더 복잡한 정의 가능한 동치 관계에 관한 것이다.

  • '''내부 모형 이론'''은 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)의 추이적 모형을 연구한다. 모든 서수를 포함하고 ZF의 모든 공리를 만족하는 추이적인 진이다. 정형적인 예는 괴델이 개발한 구성 가능 전체 ''L''이다.[2] 내부 모형은 무모순성 결과를 증명하는 데 사용될 수 있다.

  • '''결정성'''은 적절한 가정 하에서 완벽한 정보를 가진 특정 2인 게임이 처음부터 결정된다는 사실을 의미하며, 이는 한 플레이어가 승리 전략을 가져야 함을 의미한다. 결정성 공리(AD)는 중요한 연구 대상이다.

  • '''기수 불변량'''은 기수로 측정되는 실수선의 속성이다. 예를 들어, 잘 연구된 불변량은 합집합이 전체 실수선인 실수들의 희소 집합 모음의 최소 기수이다.

  • '''집합론적 위상수학'''은 일반 위상수학의 문제 중 집합론적 성격을 띠거나 해결을 위해 집합론의 고급 기법이 필요한 문제를 연구한다. 유명한 문제는 정규 무어 공간 문제이다.

5. 집합론과 수학의 여러 분야

집합론은 그래프, 다양체, 환, 벡터 공간 등 다양한 수학적 구조를 정의하는 데 사용될 수 있다. 동치 관계와 순서 관계는 수학에서 매우 흔하며, 수학적 관계의 이론은 집합론으로 설명할 수 있다.[11][12]

집합론은 수학적 해석학, 위상수학, 추상대수학, 이산 수학 등 여러 분야의 기초를 제공한다. 수학자들은 이러한 분야의 정리들이 집합론의 공리로부터 도출될 수 있다는 것을 받아들인다. 부르바키의 『수학 원론』은 이러한 경향을 잘 보여준다.

한편, 범주론은 집합론의 대안적인 기초를 제공한다. 범주론은 유사한 구조를 가진 수학적 대상 간의 관계성에 주목한다. 집합론의 특징인 집합 간의 사상을 집합으로 실현하는 성질은 토포스 개념으로 이어진다. 토포스는 집합론의 여러 측면을 일반화하고 확장한다.

5. 1. 집합론과 수학교육

수학 교육 초기에 직관적 집합론의 기초를 소개하려는 움직임은 현대 수학의 기초로서 집합론의 중요성이 커지면서 나타났다.

1960년대 미국에서는 뉴 매스 운동을 통해 초등학생들에게 기본적인 집합론을 가르치려 했으나, 이는 많은 비판을 받았다. 유럽의 수학교육 과정도 이러한 경향을 따라, 현재는 모든 학년에서 다양한 수준으로 집합론을 다루고 있다. 벤 다이어그램은 초등학생들에게 기본적인 집합 관계를 설명하는 데 널리 사용된다.[26]

집합론은 학생들에게 논리 연산자(NOT, AND, OR)와 집합의 의미 또는 규칙 설명(기술적으로 내포적 정의)을 소개하는 데 사용된다. 이는 컴퓨터 프로그래밍에서 부울 논리가 다양한 프로그래밍 언어에서 사용되기 때문에 유용하다. 또한, 집합과 멀티집합, 리스트와 같은 다양한 컬렉션 유형의 객체는 컴퓨터 과학 및 프로그래밍에서 일반적인 자료형으로 활용된다.

집합은 자연수의 집합 \mathbb{N}, 정수의 집합 \mathbb{Z}, 실수의 집합 \mathbb{R} 등 다양한 유형의 숫자를 설명할 때, 그리고 수학 함수를 한 집합(정의역)에서 다른 집합(치역)으로의 관계로 정의할 때 수학교육에서 일반적으로 사용된다.

6. 논쟁

집합론은 시작된 이래로 일부 수학자들로부터 반대에 부딪혀 왔다. 가장 흔한 반대 의견은 구성주의 관점에서 비롯된 것으로, 크로네커가 집합론 초창기에 제기하였다.[17] 구성주의는 수학을 계산과 느슨하게 관련된 것으로 보며, 무한 집합을 다루는 것은 원리적으로 계산 불가능한 방법과 대상을 수학에 도입하는 것이라고 비판한다. 에레트 비숍의 저서 ''구성적 해석의 기초''는 구성주의를 수학의 대체 기초로 실현 가능하게 만들었다.[17]

앙리 푸앵카레는 규정과 치환의 공리 도식과 멱집합의 공리를 사용하여 집합을 정의하는 것이 순환성을 수학적 대상의 정의에 도입한다고 비판했다.[18]

루트비히 비트겐슈타인은 수학적 플라톤주의 때문에 집합론을 철학적으로 비난했다.[19] 그는 집합론이 가상의 상징주의의 "헛소리"를 기반으로 하고, "해로운 표현"을 사용하며, "모든 숫자"에 대해 이야기하는 것은 무의미하다고 주장했다.[20] 비트겐슈타인은 수학을 알고리즘적 인간 추론과 동일시했으며, 수학의 안전한 기초에 대한 필요성이 무의미하다고 보았다. 그러나 비트겐슈타인의 견해는 현대 철학자들 사이에서 거의 채택되지 않았다.

범주론자들은 전통적인 공리적 집합론의 대안으로 토포스 이론을 제안했다. 토포스 이론은 구성주의, 유한 집합론, 계산 가능 집합론과 같은 다양한 대안을 해석할 수 있다.[21][22]

최근에는 일치하는 기초와 관련된 호모토피 유형 이론이 활발하게 연구되고 있다. 이 이론에서 집합은 호모토피 0-유형으로 간주되며, 집합의 보편적 성질은 고차 귀납적 유형의 귀납적 및 재귀적 성질에서 발생한다. 선택 공리 및 배중률과 같은 원리는 집합론에서 고전적인 공식에 해당하는 방식 또는 유형 이론에 고유한 방식으로 공식화될 수 있다.[24][25]

참조

[1] 논문 Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen http://www.digizeits[...]
[2] 서적 A History of Set Theory https://archive.org/[...] Prindle, Weber & Schmidt
[3] 서적 Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre Friedrich Frommann Verlag
[4] 서적 Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite Harvard University Press
[5] 웹사이트 Introduction to Sets https://www.mathsisf[...] 2020-08-20
[6] 서적 Introductory Real Analysis https://archive.org/[...] Dover Publications
[7] 웹사이트 set theory {{!}} Basics, Examples, & Formulas https://www.britanni[...] 2020-08-20
[8] 간행물 Set Theory https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2020
[9] 논문 The iterative conception of set https://www.dpmms.ca[...] 2008
[10] 논문 Internal Set Theory: a New Approach to Nonstandard Analysis 1977-11
[11] 웹사이트 6.3: Equivalence Relations and Partitions https://math.librete[...] 2022-07-27
[12] 웹사이트 Order Relations and Functions https://web.stanford[...] 2022-07-29
[13] 서적 Number Systems and the Foundations of Analysis Academic Press
[14] 웹사이트 A PARTITION CALCULUS IN SET THEORY https://www.ams.org/[...] 2022-07-29
[15] 논문 Unifying evolutionary dynamics: a set theory exploration of symmetry and interaction http://dx.doi.org/10[...] 2023-12-07
[16] 서적 Set Theory https://books.google[...] Springer-Verlag
[17] 서적 Foundations of Constructive Analysis https://books.google[...] Academic Press
[18] 서적 In the Light of Logic https://books.google[...] Oxford University Press
[19] 웹사이트 Wittgenstein's Philosophy of Mathematics 2018-01-31
[20] 서적 Philosophical Remarks, §129, §174 Oxford: Basil Blackwell
[21] 논문 Decision Procedures for Elementary Sublanguages of Set Theory. I. Multi-Level Syllogistic and Some Extensions 1980-09
[22] 서적 Computable Set Theory https://archive.org/[...] Clarendon Press
[23] 서적 Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory https://books.google[...] Springer-Verlag
[24] nlab homotopy type theory
[25] 문서 "Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics" http://homotopytypet[...]
[26] 서적 Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right https://books.google[...] Bloomsbury Publishing 2011-10-06


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com