괴물군 (수학)
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1. 개요
괴물군은 1970년대 초 베른트 피셔와 로버트 그리스에 의해 예측된 유한 단순군으로, 1980년 로버트 그리스에 의해 자기 동형 사상군으로서 존재가 증명되었다. 괴물군은 26개의 산재 단순군 중 20개를 부분 몫으로 포함하며, 196,883차원의 충실한 복소수 표현을 가진다. 몬스터 문샤인 추측의 두 가지 주요 구성 요소 중 하나이며, 몬스터 모듈의 자기 동형 군으로 나타낼 수 있다.
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| 괴물군 (수학) | |
|---|---|
| 개요 | |
| 종류 | 산재군 |
| 차수 | 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 (약 8×10^53) |
| 기호 | |
| 발견 | 베른트 피셔, 로버트 그라이스, 존 콘웨이, 자크 티츠 |
| 최초 발견 연도 | 1973년 (존 콘웨이), 1980년 (로버트 그라이스) |
| 군론 | 유한군 |
| 역사 | |
| 명명 유래 | "괴물"이라는 이름은 존 호턴 콘웨이가 지었음 |
| 발견 배경 | 1973년, 베른트 피셔가 새로운 단순군의 존재를 예측 로버트 그라이스가 196,883차원 공간에서 괴물군을 구성하여 존재 증명 (1980년) |
| 중요성 | 알려진 가장 큰 산재군 유한 단순군 분류의 중요한 부분 끈 이론과 괴물 달빛 그림자 현상과 깊이 관련 |
| 성질 | |
| 차수 | 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 = 2^46 · 3^20 · 5^9 · 7^6 · 11^2 · 13^3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 |
| 콘웨이 군과의 관계 | 괴물군은 콘웨이 군을 포함하는 더 큰 군임 |
| 표현론 | 최소 차원 충실 복소수 표현은 196,883차원 |
| 관련 개념 | |
| 괴물 달빛 그림자 | 괴물군의 표현론과 모듈러 함수 사이의 놀라운 연결 |
| 유한 단순군 분류 | 괴물군은 26개의 산재군 중 하나이며, 유한 단순군 분류의 중요한 부분임 |
2. 역사
베른트 피셔와 로버트 그리스는 1973년에 괴물군의 존재를 예측했다. 1980년 로버트 그리스는 그리스 대수를 이용하여 괴물군을 처음으로 구성하여 그 존재를 증명했다.
괴물군은 산재 단순군의 발전의 정점이며, 피셔 군 Fi24, 베이비 괴물군, 콘웨이 군 Co1의 세 부분 몫 중 두 개를 사용하여 구성할 수 있다.
괴물군의 슈어 승수와 외부 자기 동형 사상군은 모두 자명군이다.
2. 1. 초기 예측 및 발견
베른트 피셔와 로버트 그리스는 괴물군을 베이비 괴물군의 이중 덮개군을 중앙화군으로 포함하는 단순군으로 예측했다. 몇 달 안에, 그리스는 톰슨 차수 공식을 사용하여 괴물군의 차수를 계산했고, 피셔, 콘웨이, 노턴, 톰슨은 톰슨 군 및 하라다-노턴 군을 포함한 두 개의 새로운 군을 부분 몫으로 발견했다.1979년 피셔와 도널드 리빙스턴은 마이클 손이 작성한 컴퓨터 프로그램을 사용하여 194x194 배열인 괴물군의 문자표를 계산했다.
2. 2. 그리스의 구성
1980년, 로버트 그리스는 196,883차원 비결합적 대수인 그리스 대수의 자기 동형 사상군으로 괴물군을 구성하여 그 존재를 증명했다. 존 호턴 콘웨이와 자크 티츠는 이후 그리스의 구성을 단순화했다.[1][2][3]2. 3. 유일성 증명
톰슨은 196,883차원 충실한 표현의 존재로부터 괴물군의 유일성이 따른다는 것을 보였다.[4] 노턴은 그러한 표현의 존재에 대한 증거를 발표했지만,[5] 세부 사항은 출판하지 않았다. 그리스, 마이어프랑켄펠트, 세게브는 괴물군의 유일성에 대한 최초의 완전한 출판 증거를 제시했다.[6]3. 표현론
괴물군은 다양한 차원의 복소수 및 유한체 위에서의 표현을 갖는다. 괴물군은 그 원소를 표현하는 쉬운 방법이 알려져 있지 않다는 점에서 단순군 중에서 특이하다. 이는 크기 때문이라기보다는 "작은" 표현이 없기 때문이다. 예를 들어, 단순군 A100과 SL20(2)는 훨씬 크지만 "작은" 순열 또는 선형 표현을 가지고 있어 계산하기 쉽다. 교대군은 군의 크기에 비해 "작은" 순열 표현을 가지며, 리 타입의 군의 모든 유한 단순군은 군의 크기에 비해 "작은" 선형 표현을 가진다.
3. 1. 복소수 표현
충실한 복소수 표현의 최소 차수는 196,883 (47 × 59 × 71)이며, 이는 괴물군 차수의 가장 큰 세 소인수의 곱이다.3. 2. 유한체 위에서의 표현
가장 작은 충실한 선형 표현은 체 원소가 2개일 때 차원이 196,882이며, 이는 가장 작은 충실한 복소수 표현의 차수보다 단 하나 작다. 몬스터를 제외한 모든 산재군은 컴퓨터에서 작업하기에 충분히 작은 선형 표현을 가지고 있다.(몬스터 다음으로 어려운 경우는 베이비 몬스터로, 차원이 4370인 표현이 있다).3. 3. 순열 표현
괴물군의 가장 작은 충실한 순열 표현은 24 · 37 · 53 · 74 · 11 · 132 · 29 · 41 · 59 · 71 ≈ 1020 개의 점에 작용한다.3. 4. 갈루아 군 및 후르비츠 군
괴물군은 유리수 위에서 갈루아 군으로 실현될 수 있으며, 후르비츠 군으로도 실현될 수 있다.[1]4. 컴퓨터 구성
로버트 A. 윌슨은 컴퓨터를 사용하여 괴물군을 연구하려 했으나, 초기에는 큰 행렬을 사용해야 했기 때문에 계산에 어려움이 있었다. 그러나 윌슨과 공동 연구자들은 더 빠른 계산 방법을 고안했고, 이후 마틴 세이센(Martin Seysen)이 개발한 파이썬 패키지 [https://mmgroup.readthedocs.io/ mmgroup]을 통해 더욱 효율적인 계산이 가능해졌다.[1][2][3][4]
4. 1. 윌슨의 접근 방식
로버트 A. 윌슨은 컴퓨터를 사용하여 괴물군을 생성하는 두 개의 196,882 × 196,882 행렬을 찾았다. 이 행렬은 차수 2의 체의 원소로 구성되며, 행렬 곱셈을 통해 괴물군을 생성한다. 이는 특성 0에서 196,883차원 표현보다 한 차원 낮은 것이다. 이러한 행렬을 사용한 계산은 가능했지만, 각 행렬이 4.5기가바이트 이상을 차지하여 시간과 저장 공간 측면에서 매우 비효율적이었다.[5]윌슨은 몬스터 정점 대수의 자기 동형 사상 군으로서 괴물군을 설명했지만, 몬스터 정점 대수의 단순하고 자연스러운 구성은 아직 발견되지 않았다고 언급하였다.[5]
윌슨과 공동 연구자들은 괴물군을 사용한 계산을 더 빠르게 수행하는 방법을 개발했다. 이들은 2개의 원소를 가진 체에 대한 196,882차원 벡터 공간 ''V''를 정의하고, 몬스터의 큰 부분군 ''H''(최대 부분군이 바람직함)를 선택하여 계산을 단순화했다. 선택된 부분군 ''H''는 31+12.2.Suz.2이며, 여기서 Suz는 스즈키 군이다. 몬스터의 요소는 ''H''의 요소와 추가 생성기 ''T''의 요소로 표현된다. 이러한 표현을 사용하여 ''V''의 벡터에 대한 작용을 계산하는 것은 비교적 빠르다. 이러한 작용을 통해 몬스터 요소의 차수와 같은 계산을 수행할 수 있다. 윌슨은 결합 안정자가 자명군인 벡터 ''u''와 ''v''를 제시했다. 따라서 몬스터의 요소 ''g''의 차수를 계산하려면 ''g''''i''''u'' = ''u'' 및 ''g''''i''''v'' = ''v''가 되는 가장 작은 양의 정수 ''i''를 찾으면 된다. 이와 유사한 구성(다른 표수에서)은 몬스터 군의 일부 비국소 최대 부분군을 찾는 데 사용되었다.
4. 2. 세이센의 파이썬 패키지
마틴 세이센(Martin Seysen, 2022)은 파이썬 패키지 [https://mmgroup.readthedocs.io/ mmgroup]을 구현했는데, 이는 괴물군에서의 연산을 효과적으로 수행할 수 있다고 주장한다. 이 패키지를 사용하면 일반적인 최신 PC에서 그룹 요소의 곱셈을 40밀리초 미만으로 수행할 수 있으며, 이는 로버트 A. 윌슨이 2013년에 추정한 것보다 5자리 수만큼 빠른 속도이다.[1][2][3][4] 이 소프트웨어 패키지는 몬스터 군의 두 개의 새로운 최대 부분군을 찾는 데 사용되었다.5. 부분군 및 부분 몫
괴물군은 26개의 산재군 중 20개를 부분 몫으로 포함한다. 이 다이어그램은 마크 로넌의 책 ''Symmetry and the Monster''에 있는 다이어그램을 기반으로 하며, 이들이 어떻게 연결되는지 보여준다. 선은 아래 그룹이 위 그룹의 부분 몫으로 포함됨을 나타낸다. 원으로 표시된 기호는 더 큰 산재군에 포함되지 않는 그룹을 나타낸다.[1]
몬스터군은 Bernd Fischer (mathematician)|베른트 피셔영어(Bernd Fischer, 미발표, 1973년경)와 Robert Griess|로버트 그리스영어(Robert Griess, 1976년)에 의해, 피셔의 baby monster group|베이비 몬스터 군영어의 double covering group|이중 피복군영어을 어떤 대합의 중심화군으로 포함하는 단순군으로 예언되었다. 몇 달 안에 그리스에 의해 M의 위수가 Thompson order formula|톰슨의 위수 공식영어을 사용하여 계산되었고, 피셔, 컨웨이, 노턴, 톰슨은 기존의 산재군 중 많은 것과 새로운 두 개( Thompson group (finite)|톰슨 군영어과 Harada–Norton group|하라다-노턴 군영어)를 포함하는 다른 군을 부분 몫으로 발견했다. 몬스터군의 지표표는 194행 194열로 구성되지만, 1979년에 피셔와 도널드 리빙스턴에 의해, 마이클 쏜에 의해 작성된 컴퓨터 프로그램을 사용하여 계산되었다.[1]
몬스터군은 최소 44개의 극대 부분군의 켤레류를 갖는다. 약 60개의 동형 형태의 비가환 단순군이 부분군 또는 부분군의 몫으로 발견된다. 표현되는 최대 교대군은 A12이다. 몬스터군은 26개의 sporadic group|산재군영어 중 20개를 부분 몫으로 포함한다.[1]
몬스터군의 극대 부분군 류 중 44개에 대한 목록은 하위 섹션 "최대 부분군"에서 표로 제공된다. (2016년 시점) L2(13), U3(4), U3(8) 형태의 비가환 단순 Socle (mathematics)|socle영어를 갖는 개략적인 단순 부분군을 제외하면 완전하다고 여겨진다.[3][5] 그러나 극대 부분군 표는 종종 미묘한 오류를 포함하고 있는 것으로 밝혀졌으며, 특히 다음 목록의 부분군 중 적어도 2개는 이전 목록에서 잘못 제외되었다.[1]
5. 1. 산재군과의 관계
괴물군은 산재군 발전의 정점으로, 피셔 군 Fi24, 베이비 괴물군, 콘웨이 군 Co1 등 다른 산재군들과 밀접한 관련이 있다.[1]괴물군은 26개의 산재군 중 20개를 부분 몫으로 포함한다.[1]
5. 2. 최대 부분군
괴물군의 최대 부분군은 46개이다. 이들은 다양한 구조를 가지며, 그 목록은 아래 표와 같다.
최대 부분군의 표는 종종 미묘한 오류를 포함하는 것으로 밝혀졌으며, 특히 이 표의 부분군 중 적어도 두 개는 이전에 일부 목록에서 잘못 누락되었다는 점에 유의해야 한다.
6. 몬스터 문샤인
몬스터 문샤인은 콘웨이와 노턴이 제시한 추측으로, 이산 수학과 비이산 수학을 연결한다. 이 추측은 1992년 리처드 보처즈에 의해 증명되었다. 몬스터 군은 몬스터 문샤인 추측의 두 가지 주요 구성 요소 중 하나이다.
이 맥락에서 몬스터 군은 몬스터 모듈의 자기 동형 군, 그리이스 대수를 포함하는 무한 차원 정점 연산자 대수, 일반화된 카츠-무디 대수의 일종인 몬스터 리 대수 등으로 나타낼 수 있다.
6. 1. 몬스터 모듈
몬스터 군은 몬스터 모듈의 자기 동형 군으로 나타낼 수 있으며, 이는 그리이스 대수를 포함하는 무한 차원 정점 연산자 대수이다. 또한 몬스터 군은 일반화된 카츠-무디 대수의 일종인 몬스터 리 대수에 작용한다.6. 2. 몬스터 리 대수
몬스터 군은 몬스터 모듈의 자기 동형 군, 즉 버텍스 연산자 대수인 그리이스 대수를 포함하는 무한 차원 대수로서 보이며, 일반화된 카츠-무디 대수인 몬스터 리 대수에 작용한다.7. 맥케이의 E8 관찰
괴물군과 확장된 딘킨 다이어그램 사이에는 연결이 있는데, 특히 다이어그램의 노드와 괴물군 내의 특정 켤레류 사이의 연결은 'McKay의 E8 관찰'로 알려져 있다.[6][7] 이는 확장된 다이어그램 과 군 3.Fi24, 2.B, M 사이의 관계로 확장되며, 여기서 이들은 피셔 군, 베이비 괴물 군, 그리고 괴물군의 (3/2/1-겹 중심 확장)이다. 이들은 괴물군 내에서 1A, 2A, 3A 유형의 원소의 중심화자와 관련된 산재군이며, 확장의 차수는 다이어그램의 대칭에 해당한다. 추가적인 연결(McKay 대응 유형)에 대해서는 ADE 분류: 삼위일체를 참조하라. (괴물군의 경우) 상당히 작은 단순군 PSL(2,11) 및 Bring 곡선으로 알려진 종수 4의 정규 6차 곡선의 120개의 삼접 평면과 함께 연결되어 있다.
참조
[1]
웹사이트
The mmgroup API reference
https://mmgroup.read[...]
2022-07-31
[2]
arXiv
A fast implementation of the Monster group
2022-03-08
[3]
arXiv
A computer-friendly construction of the monster
2020-05-13
[4]
arXiv
The Monster and black-box groups
2013-10-18
[5]
간행물
What is… The Monster?
http://www.ams.org/n[...]
American Mathematical Society
2002-10
[6]
웹사이트
Arithmetic groups and the affine E8 Dynkin diagram
http://arxiv4.librar[...]
2012-07-13
[7]
citation
the monster graph and McKay's observation
http://www.neverendi[...]
2009-04-22
[8]
서적
수학의 파노라마: 피타고라스에서 57차원까지 수학의 역사를 만든 250개의 아이디어
https://books.google[...]
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