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산재군

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목차

1. 개요

산재군은 유한 단순군으로, 1860년대에 에밀 레오나르 마티외가 5개를 처음 발견했고, 1965년에서 1975년 사이에 나머지 21개가 발견되어 총 26개의 군으로 구성된다. 산재군은 마티외 군, 얀코 군, 콘웨이 군, 피셔 군, 히그먼-심스 군, 맥러플린 군, 헬트 군, 루드발리스 군, 스즈키 군, 오난 군, 하라다-노턴 군, 리옹스 군, 톰슨 군, 베이비 몬스터 군, 괴물군 등으로 분류되며, 이들은 몬스터 군의 부분군 또는 몫군으로 나타낼 수 있는 '행복한 가족'과 몬스터 군의 부분군이나 몫군으로 나타낼 수 없는 '패리아'로 나뉜다. 산재군은 차수, 발견자, 생성, 최소 충실 브라우어 문자의 차수 등의 특징을 가지며, 몬스터 군은 가장 큰 차수를 갖는다.

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2. 산재군 목록

산재군은 총 26개가 있으며, 대부분 발견자의 이름을 따서 붙여졌다. 1860년대에 에밀 마티외가 5개를 발견했고, 나머지 21개는 1965년에서 1975년 사이에 발견되었다. 이 군들 중 일부는 구성되기 전에 존재가 예측되기도 했다.[1][3][4]

산재군 목록은 다음과 같다.

발견자군 이름기호
에밀 마티외마티외 군M11
마티외 군M12
마티외 군M22
마티외 군M23
마티외 군M24
즈보니미르 얀코얀코 군J1
얀코 군J2 또는 HJ
얀코 군J3 또는 HJM
얀코 군J4
존 호턴 콘웨이콘웨이 군Co1
콘웨이 군Co2
콘웨이 군Co3
베른트 피셔피셔 군Fi22
피셔 군Fi23
피셔 군Fi24′ 또는 F3+
도널드 히그먼과 찰스 심스히그먼-심스 군HS
잭 매클로플린맥러플린 군McL
디터 헬트헬트 군He 또는 F7+ 또는 F7
아루나스 루드발리스루드발리스 군Ru
스즈키 미치오스즈키 산재군Suz 또는 F3−
마이클 오낸오낸 군'ON 또는 ON''
하라다 고이치로와 사이먼 필립스 노턴하라다-노턴 군HN 또는 F5+ 또는 F5
리처드 라이언스라이언스 군Ly
존 그리그스 톰프슨톰프슨 군3>3 또는 F3
베이비 몬스터 군B 또는 F2+ 또는 F2
피셔-그리스 몬스터 군M 또는 F1



26개의 산재군 간의 부분몫 관계를 나타내는 다이어그램. 아래쪽 군이 위쪽 군의 부분몫이며, 그 사이에 산재 부분몫은 없다.


유한 단순군 분류에서 리 타입 군[5] 또는 산재 군으로 간주되는 또 다른 예외적인 대상으로 티츠 군(Tits group) ''T''가 있다. 일부 자료에서는 티츠 군을 포함하여 산재 군의 수를 27개로 표기하기도 한다.[7][8]

2. 1. 마티외 군 (Mathieu group)

에밀 레오나르 마티외가 발견한 5개의 군으로, ''M''11, ''M''12, ''M''22, ''M''23, ''M''24가 있다.[1][3][4]

2. 2. 얀코 군 (Janko group)

즈보니미르 얀코가 발견한 4개의 군이다. 여기에는 ''J''1, ''J''2 (또는 ''HJ''), ''J''3 (또는 ''HJM''), ''J''4가 있다.

2. 3. 콘웨이 군 (Conway group)

존 호턴 콘웨이가 발견한 3개의 군이다. ''Co''1, ''Co''2, ''Co''3로 구성되어 있다.[1][3][4]

이 군들은 리치 격자(Leech lattice)라고 불리는 24차원 격자의 자기 동형 군의 부분 몫으로 설명할 수 있다.[12]

  • ''Co''1은 자기 동형 군을 중심 {±1}로 나눈 몫이다.
  • ''Co''2는 유형 2(길이 2) 벡터의 안정자이다.
  • ''Co''3는 유형 3(길이 }) 벡터의 안정자이다.

2. 4. 피셔 군 (Fischer group)

베른트 피셔(Bernd Fischer)가 발견한 3개의 군으로, ''Fi''22, ''Fi''23, ''Fi''24′가 있다.

2. 5. 기타 산재군

히그먼-심스 군(Higman-Sims group) ''HS''는 도널드 히그먼(Donald G. Higman)과 찰스 심스(Charles Sims)가 발견하였다.[1][3][4]

맥러플린 군(McLaughlin group) ''McL''은 잭 매클로플린(Jack McLaughlin영어)이 발견하였다.[1][3][4]

헬트 군(Held group) ''He'' (''F''7+ 또는 ''F''7)는 디터 헬트(Dieter Held)가 발견하였다.[1][3][4]

루드발리스 군(Rudvalis group) ''Ru''는 아루나스 루드발리스(Arūnas Rudvalis)가 발견하였다.[1][3][4]

스즈키 산재군 ''Suz'' (''F''3−)는 스즈키 미치오가 발견하였다. Suzuki groups와는 다르다.[1][3][4]

오낸 군(O'Nan group) ''O'N'' (ON)은 마이클 오낸(Michael O’Nan)이 발견하였다.[1][3][4]

하라다-노턴 군(Harada-Norton group) ''HN'' (''F''5+ 또는 ''F''5)는 하라다 고이치로(原田 耕一郎)와 사이먼 필립스 노턴이 발견하였다.[1][3][4]

라이언스 군(Lyons group) ''Ly''는 리처드 라이언스(Richard Lyons)가 발견하였다.[1][3][4]

톰슨 군(Thompson group) ''Th'' (''F''3|3 또는 ''F''3)는 존 그리그스 톰프슨이 발견하였다.[1][3][4]

베이비 몬스터 군(Baby Monster group) ''B'' (''F''2+ 또는 ''F''2)[1][3][4]

피셔-그리스 몬스터 군(Monster group) ''M'' (''F''1)[1][3][4]

3. 산재군의 분류

에밀 마티외가 1860년대에 5개의 산재군을 발견했고, 나머지 21개는 1965년에서 1975년 사이에 발견되었다. 이 군들 중 일부는 구성되기 전에 존재가 예측되기도 했다. 대부분의 군은 그 존재를 처음 예측한 수학자(들)의 이름을 따서 명명되었다.[1][3][4]

산재군은 몬스터 군과의 관계에 따라 로버트 그리에스가 명명한 '행복한 가족'과 '패리아' 그룹으로 분류할 수 있다. 행복한 가족은 다시 세 개의 세대로 나뉜다.

산재군은 다음과 같다.


  • 마티외 군(Mathieu group): ''M''11, ''M''12, ''M''22, ''M''23, ''M''24
  • 얀코 군(Janko group): ''J''1, ''J''2 (''HJ''), ''J''3 (''HJM''), ''J''4
  • 콘웨이 군(Conway group): ''Co''1, ''Co''2, ''Co''3
  • 피셔 군(Fischer group): ''Fi''22, ''Fi''23, ''Fi''24′ (''F''3+)
  • 히그만-심스 군(Higman-Sims group): ''HS''
  • 맥러플린 군(McLaughlin group): ''McL''
  • 헬드 군(Held group): ''He'' (''F''7+ 또는 ''F''7)
  • 루드발리스 군(Rudvalis group): ''Ru''
  • 스즈키 군(Suzuki group): ''Suz'' (''F''3−)
  • 오난 군(O'Nan group): ''O'N'' (ON)
  • 하라다-노턴 군(Harada-Norton group): ''HN'' (''F''5+ 또는 ''F''5)
  • 리옹스 군(Lyons group): ''Ly''
  • 톰슨 군(Thompson group): ''Th'' (''F''3|3 또는 ''F''3)
  • 베이비 몬스터 군(Baby Monster group): ''B'' (''F''2+ 또는 ''F''2)
  • 피셔-그리스 몬스터 군(Monster group): ''M'' (''F''1)


유한 단순군 분류에서 또 다른 예외적인 대상은 티츠 군(Tits group) ''T''이다. 티츠 군은 리 타입 군[5]에 가깝지만 엄격하게는 리 타입 군은 아니며[6], 일부 자료에서는 산재 군의 수를 26개가 아닌 27개로 표기하기도 한다.[7][8]

"산재 군"이라는 용어는 1911년 번사이드의 저서에서 처음 사용되었으며, 그는 마티외 군에 대해 "이러한 겉보기 산재 단순군은 지금까지 받은 것보다 더 면밀한 검토를 받을 가치가 있을 것이다."라고 언급했다.

3. 1. 행복한 가족 (Happy Family)

몬스터군의 부분군 또는 부분군의 몫(단면)으로 나타낼 수 있는 20개의 산재군을 로버트 그리에스가 ''행복한 가족''이라고 명명했다.[10] 이들은 세 개의 세대로 구성될 수 있다.

3. 1. 1. 1세대: 마티외 군

마티외 군은 24개의 점에 대한 순열군인 M24의 부분군이다.[10]

3. 2. 패리아 (Pariahs)

여섯 가지 예외는 ''J''1, ''J''3, ''J''4, ''O'N'', ''Ru'', ''Ly''이며, 때로는 패리아라고도 한다.

4. 산재군 차수표 (티츠 군 포함)

그룹발견자연도[16]차수[1][4][17]최소 충실 Brauer 문자의 차수[18](a, b, ab)[19][20]반-프레젠테이션[20] \langle\langle a,b \mid o(z)\rangle\rangle
M 또는 F1피셔, 그리이스1973 = 246·320·59·76·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71 ≈ 81968832A, 3B, 29o\bigl((ab)^{4}(ab^{2})^{2}\bigr) = 50
B 또는 F2피셔1973 = 241·313·56·72·11·13·17·19·23·31·47 ≈ 443712C, 3A, 55o\bigl((ab)^2 (abab^2)^2 ab^2\bigr) = 23
Fi24 또는 F3+피셔1971 = 221·316·52·73·11·13·17·23·29 ≈ 186712A, 3E, 29o\bigl((ab)^3 b\bigr) = 33
Fi23피셔1971 = 218·313·52·7·11·13·17·23 ≈ 47822B, 3D, 28o\bigl(a^{bb}(ab)^{14}\bigr) = 5
Fi22피셔1971 = 217·39·52·7·11·13 ≈ 6782A, 13, 11o\bigl((ab)^2 (abab^2)^2 ab^2\bigr) = 12
Th 또는 F3톰슨1976 = 215·310·53·72·13·19·31 ≈ 92482, 3A, 19o\bigl((ab)^{3}b\bigr) = 21
Ly리옹스1972 = 28·37·56·7·11·31·37·67 ≈ 524802, 5A, 14o\bigl(ababab^2\bigr) = 67
HN 또는 F5하라다, 노턴1976 = 214·36·56·7·11·19 ≈ 31332A, 3B, 22o\bigl([a, b]\bigr) = 5
Co1콘웨이1969 = 221·39·54·72·11·13·23 ≈ 42762B, 3C, 40o\bigl(ab(abab^{2})^{2}\bigr) = 42
Co2콘웨이1969 = 218·36·53·7·11·23 ≈ 4232A, 5A, 28o\bigl([a,b]\bigr) = 4
Co3콘웨이1969 = 210·37·53·7·11·23 ≈ 5232A, 7C, 17o\bigl((uvv)^{3}(uv)^{6}\bigr) = 5
ON 또는 'ON''오난1976 = 29·34·5·73·11·19·31 ≈ 5109442A, 4A, 11o\bigl(abab(b^{2}(b^{2})^{abab})^{5}\bigr) = 5
Suz스즈키1969 = 213·37·52·7·11·13 ≈ 41432B, 3B, 13o\bigl([a, b]\bigr) = 15
Ru루드발리스1972 = 214·33·53·7·13·29 ≈ 13782B, 4A, 13o(abab^{2}) = 29
He 또는 F7헬드1969 = 210·33·52·73·17 ≈ 4512A, 7C, 17o\bigl(ab^{2}abab^{2}ab^{2}\bigr) = 10
McL맥러플린1969 = 27·36·53·7·11 ≈ 9222A, 5A, 11o\bigl((ab)^2 (abab^2)^2 ab^2\bigr) = 7
HS히그먼, 심스1967 = 29·32·53·7·11 ≈ 4222A, 5A, 11o(abab^{2}) = 15
J4얀코1976 = 221·33·5·7·113·23·29·31·37·43 ≈ 913332A, 4A, 37o\bigl(abab^2\bigr) = 10
J3 또는 HJM얀코1968 = 27·35·5·17·19 ≈ 5852A, 3A, 19o\bigl([a, b]\bigr) = 9
J2 또는 HJ얀코1968 = 27·33·52·7 ≈ 6142B, 3B, 7o\bigl([a, b]\bigr) = 12
J1얀코1965 = 23·3·5·7·11·19 ≈ 2562, 3, 7o\bigl(abab^2\bigr) = 19
M24마티외1861 = 210·33·5·7·11·23 ≈ 2232B, 3A, 23o\bigl(ab(abab^2)^2 ab^2\bigr) = 4
M23마티외1861 = 27·32·5·7·11·23 ≈ 1222, 4, 23o\bigl((ab)^2 (abab^2)^2 ab^2\bigr) = 8
M22마티외1861 = 27·32·5·7·11 ≈ 4212A, 4A, 11o\bigl(abab^2\bigr) = 11
M12마티외1861 = 26·33·5·11 ≈ 1112B, 3B, 11o\bigl([a,b]\bigr) = o\bigl(ababab^{2}\bigr) = 6
M11마티외1861 = 24·32·5·11 ≈ 8102, 4, 11o\bigl((ab)^2 (abab^2)^2 ab^2\bigr) = 4
T 또는 티츠1964 = 211·33·52·13 ≈ 2104[21]2A, 3, 13o\bigl([a, b]\bigr) = 5


참조

[1] harvtxt
[2] harvtxt
[3] harvtxt
[4] harvtxt
[5] harvtxt
[6] harvtxt
[7] harvtxt
[8] harvtxt
[9] harvtxt
[10] harvtxt
[11] harvtxt
[12] harvtxt
[13] harvtxt
[14] harvtxt
[15] harvtxt
[16] harvtxt
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