산재군

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1. 개요

산재군은 유한 단순군으로, 1860년대에 에밀 레오나르 마티외가 5개를 처음 발견했고, 1965년에서 1975년 사이에 나머지 21개가 발견되어 총 26개의 군으로 구성된다. 산재군은 마티외 군, 얀코 군, 콘웨이 군, 피셔 군, 히그먼-심스 군, 맥러플린 군, 헬트 군, 루드발리스 군, 스즈키 군, 오난 군, 하라다-노턴 군, 리옹스 군, 톰슨 군, 베이비 몬스터 군, 괴물군 등으로 분류되며, 이들은 몬스터 군의 부분군 또는 몫군으로 나타낼 수 있는 '행복한 가족'과 몬스터 군의 부분군이나 몫군으로 나타낼 수 없는 '패리아'로 나뉜다. 산재군은 차수, 발견자, 생성, 최소 충실 브라우어 문자의 차수 등의 특징을 가지며, 몬스터 군은 가장 큰 차수를 갖는다.

산재군

개요

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몬스터 그룹 문장

분류	유한 단순군
위수	80,801,742,479,451,287,588,645,990,496,171,075,700,575,436,800,000,000
군	26개
발견	1960년대 ~ 1980년대
성질	대부분 수학자의 이름에서 유래 대칭군, 교대군, 리 형 군에 속하지 않음

마티외 군	M11 M12 M22 M23 M24
얀코 군	J1 J2 J3 J4
콘웨이 군	Co1 Co2 Co3
피셔 군	Fi22 Fi23 Fi24'
히그먼-심스 군	HS
맥러플린 군	McL
헬트-심스 군	He
루드발리스-심스 군	Ru
스즈키 군	Suz
오난-심스 군	O'N
라이언스 군	Ly
톰슨 군	Th
부흐슈타버 군	B
몬스터 군	M
아기 몬스터 군	Baby Monster

추가 정보

완전한 목록	유한 단순군의 분류의 일부
중요성	군론에서 중요한 역할 수행

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1. 개요
2. 산재군 목록
3. 산재군의 분류
- 3.1. 행복한 가족 (Happy Family)
  - 3.1.1. 1세대: 마티외 군
- 3.2. 패리아 (Pariahs)
4. 산재군 차수표 (티츠 군 포함)

2. 산재군 목록

산재군은 총 26개가 있으며, 대부분 발견자의 이름을 따서 붙여졌다. 1860년대에 에밀 마티외가 5개를 발견했고, 나머지 21개는 1965년에서 1975년 사이에 발견되었다. 이 군들 중 일부는 구성되기 전에 존재가 예측되기도 했다.

산재군 목록은 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

발견자	군 이름	기호
에밀 마티외	마티외 군	M₁₁
	마티외 군	M₁₂
	마티외 군	M₂₂
	마티외 군	M₂₃
	마티외 군	M₂₄
즈보니미르 얀코	얀코 군	J₁
	얀코 군	J₂ 또는 HJ
	얀코 군	J₃ 또는 HJM
	얀코 군	J₄
존 호턴 콘웨이	콘웨이 군	Co₁
	콘웨이 군	Co₂
	콘웨이 군	Co₃
베른트 피셔	피셔 군	Fi₂₂
	피셔 군	Fi₂₃
	피셔 군	Fi₂₄′ 또는 F₃₊
도널드 히그먼과 찰스 심스	히그먼-심스 군	HS
잭 매클로플린	맥러플린 군	McL
디터 헬트	헬트 군	He 또는 F₇₊ 또는 F₇
아루나스 루드발리스	루드발리스 군	Ru
스즈키 미치오	스즈키 산재군	Suz 또는 F₃₋
마이클 오낸	오낸 군	O'N 또는 ON
하라다 고이치로와 사이먼 필립스 노턴	하라다-노턴 군	HN 또는 F₅₊ 또는 F₅
리처드 라이언스	라이언스 군	Ly
존 그리그스 톰프슨	톰프슨 군	Th 또는 F_3>3 또는 F₃
	베이비 몬스터 군	B 또는 F₂₊ 또는 F₂
	피셔-그리스 몬스터 군	M 또는 F₁

26개의 산재군 간의 부분몫 관계를 나타내는 다이어그램. 아래쪽 군이 위쪽 군의 부분몫이며, 그 사이에 산재 부분몫은 없다.

유한 단순군 분류에서 리 타입 군 또는 산재 군으로 간주되는 또 다른 예외적인 대상으로 티츠 군(Tits group) T가 있다. 일부 자료에서는 티츠 군을 포함하여 산재 군의 수를 27개로 표기하기도 한다.

2.1. 마티외 군 (Mathieu group)

에밀 레오나르 마티외가 발견한 5개의 군으로, M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃, M₂₄가 있다.

2.2. 얀코 군 (Janko group)

즈보니미르 얀코가 발견한 4개의 군이다. 여기에는 J₁, J₂ (또는 HJ), J₃ (또는 HJM), J₄가 있다.

2.3. 콘웨이 군 (Conway group)

존 호턴 콘웨이가 발견한 3개의 군이다. Co₁, Co₂, Co₃로 구성되어 있다.

이 군들은 리치 격자(Leech lattice)라고 불리는 24차원 격자의 자기 동형 군의 부분 몫으로 설명할 수 있다.

* Co₁은 자기 동형 군을 중심 {±1}로 나눈 몫이다.
* Co₂는 유형 2(길이 2) 벡터의 안정자이다.
* Co₃는 유형 3(길이 }) 벡터의 안정자이다.

2.4. 피셔 군 (Fischer group)

베른트 피셔(Bernd Fischer)가 발견한 3개의 군으로, Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄′가 있다.

2.5. 기타 산재군

히그먼-심스 군(Higman-Sims group) HS는 도널드 히그먼(Donald G. Higman)과 찰스 심스(Charles Sims)가 발견하였다.

맥러플린 군(McLaughlin group) McL은 잭 매클로플린(Jack McLaughlin^영어)이 발견하였다.

헬트 군(Held group) He (F₇₊ 또는 F₇)는 디터 헬트(Dieter Held)가 발견하였다.

루드발리스 군(Rudvalis group) Ru는 아루나스 루드발리스(Arūnas Rudvalis)가 발견하였다.

스즈키 산재군 Suz (F₃₋)는 스즈키 미치오가 발견하였다. Suzuki groups와는 다르다.

오낸 군(O'Nan group) O'N (ON)은 마이클 오낸(Michael O’Nan)이 발견하였다.

하라다-노턴 군(Harada-Norton group) HN (F₅₊ 또는 F₅)는 하라다 고이치로(原田耕一郎)와 사이먼 필립스 노턴이 발견하였다.

라이언스 군(Lyons group) Ly는 리처드 라이언스(Richard Lyons)가 발견하였다.

톰슨 군(Thompson group) Th (F_3|3 또는 F₃)는 존 그리그스 톰프슨이 발견하였다.

베이비 몬스터 군(Baby Monster group) B (F₂₊ 또는 F₂)

피셔-그리스 몬스터 군(Monster group) M (F₁)

3. 산재군의 분류

에밀 마티외가 1860년대에 5개의 산재군을 발견했고, 나머지 21개는 1965년에서 1975년 사이에 발견되었다. 이 군들 중 일부는 구성되기 전에 존재가 예측되기도 했다. 대부분의 군은 그 존재를 처음 예측한 수학자(들)의 이름을 따서 명명되었다.

26개의 산재군 간의 부분몫 관계. 아래쪽 군은 위쪽 군의 부분몫이며, 그 사이에 산재 부분몫은 없다.

산재군은 몬스터 군과의 관계에 따라 로버트 그리에스가 명명한 '행복한 가족'과 '패리아' 그룹으로 분류할 수 있다. 행복한 가족은 다시 세 개의 세대로 나뉜다.

산재군은 다음과 같다.

* 마티외 군(Mathieu group): M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃, M₂₄
* 얀코 군(Janko group): J₁, J₂ (HJ), J₃ (HJM), J₄
* 콘웨이 군(Conway group): Co₁, Co₂, Co₃
* 피셔 군(Fischer group): Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄′ (F₃₊)
* 히그만-심스 군(Higman-Sims group): HS
* 맥러플린 군(McLaughlin group): McL
* 헬드 군(Held group): He (F₇₊ 또는 F₇)
* 루드발리스 군(Rudvalis group): Ru
* 스즈키 군(Suzuki group): Suz (F₃₋)
* 오난 군(O'Nan group): O'N (ON)
* 하라다-노턴 군(Harada-Norton group): HN (F₅₊ 또는 F₅)
* 리옹스 군(Lyons group): Ly
* 톰슨 군(Thompson group): Th (F_3|3 또는 F₃)
* 베이비 몬스터 군(Baby Monster group): B (F₂₊ 또는 F₂)
* 피셔-그리스 몬스터 군(Monster group): M (F₁)

유한 단순군 분류에서 또 다른 예외적인 대상은 티츠 군(Tits group) T이다. 티츠 군은 리 타입 군에 가깝지만 엄격하게는 리 타입 군은 아니며, 일부 자료에서는 산재 군의 수를 26개가 아닌 27개로 표기하기도 한다.

"산재 군"이라는 용어는 1911년 번사이드의 저서에서 처음 사용되었으며, 그는 마티외 군에 대해 "이러한 겉보기 산재 단순군은 지금까지 받은 것보다 더 면밀한 검토를 받을 가치가 있을 것이다."라고 언급했다.

3.1. 행복한 가족 (Happy Family)

몬스터군의 부분군 또는 부분군의 몫(단면)으로 나타낼 수 있는 20개의 산재군을 로버트 그리에스가 행복한 가족이라고 명명했다. 이들은 세 개의 세대로 구성될 수 있다.

3.1.1. 1세대: 마티외 군

마티외 군은 24개의 점에 대한 순열군인 M₂₄의 부분군이다.

3.2. 패리아 (Pariahs)

여섯 가지 예외는 J₁, J₃, J₄, O'N, Ru, Ly이며, 때로는 패리아라고도 한다.

4. 산재군 차수표 (티츠 군 포함)

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좌우로 밀어서 보기

그룹	발견자	연도	차수	최소 충실 Brauer 문자의 차수	$(a, b, ab)$	반-프레젠테이션 $\langle\langle a,b \mid o(z)\rangle\rangle$
M 또는 F₁	피셔, 그리이스	1973	8080.17억 = 2⁴⁶·3²⁰·5⁹·7⁶·11²·13³·17·19·23·29·31·41·47·59·71 ≈ 8	196883	2A, 3B, 29	$o\bigl((ab)^{4}(ab^{2})^{2}\bigr) = 50$
B 또는 F₂	피셔	1973	41.54억 = 2⁴¹·3¹³·5⁶·7²·11·13·17·19·23·31·47 ≈ 4	4371	2C, 3A, 55	$o\bigl((ab)^2 (abab^2)^2 ab^2\bigr) = 23$
Fi₂₄ 또는 F₃₊	피셔	1971	12.55억 = 2²¹·3¹⁶·5²·7³·11·13·17·23·29 ≈ 1	8671	2A, 3E, 29	$o\bigl((ab)^3 b\bigr) = 33$
Fi₂₃	피셔	1971	40.89억 = 2¹⁸·3¹³·5²·7·11·13·17·23 ≈ 4	782	2B, 3D, 28	$o\bigl(a^{bb}(ab)^{14}\bigr) = 5$
Fi₂₂	피셔	1971	645.61억 = 2¹⁷·3⁹·5²·7·11·13 ≈ 6	78	2A, 13, 11	$o\bigl((ab)^2 (abab^2)^2 ab^2\bigr) = 12$
Th 또는 F₃	톰슨	1976	907.45억 = 2¹⁵·3¹⁰·5³·7²·13·19·31 ≈ 9	248	2, 3A, 19	$o\bigl((ab)^{3}b\bigr) = 21$
Ly	리옹스	1972	517.65억 = 2⁸·3⁷·5⁶·7·11·31·37·67 ≈ 5	2480	2, 5A, 14	$o\bigl(ababab^2\bigr) = 67$
HN 또는 F₅	하라다, 노턴	1976	2730.3억 = 2¹⁴·3⁶·5⁶·7·11·19 ≈ 3	133	2A, 3B, 22	$o\bigl([a, b]\bigr) = 5$
Co₁	콘웨이	1969	41.57억 = 2²¹·3⁹·5⁴·7²·11·13·23 ≈ 4	276	2B, 3C, 40	$o\bigl(ab(abab^{2})^{2}\bigr) = 42$
Co₂	콘웨이	1969	423.05억 = 2¹⁸·3⁶·5³·7·11·23 ≈ 4	23	2A, 5A, 28	$o\bigl([a,b]\bigr) = 4$
Co₃	콘웨이	1969	4957.66억 = 2¹⁰·3⁷·5³·7·11·23 ≈ 5	23	2A, 7C, 17	$o\bigl((uvv)^{3}(uv)^{6}\bigr) = 5$
ON 또는 O'N	오난	1976	4608.15억 = 2⁹·3⁴·5·7³·11·19·31 ≈ 5	10944	2A, 4A, 11	$o\bigl(abab(b^{2}(b^{2})^{abab})^{5}\bigr) = 5$
Suz	스즈키	1969	4483.45억 = 2¹³·3⁷·5²·7·11·13 ≈ 4	143	2B, 3B, 13	$o\bigl([a, b]\bigr) = 15$
Ru	루드발리스	1972	1459.26억 = 2¹⁴·3³·5³·7·13·29 ≈ 1	378	2B, 4A, 13	$o(abab^{2}) = 29$
He 또는 F₇	헬드	1969	40.3억 = 2¹⁰·3³·5²·7³·17 ≈ 4	51	2A, 7C, 17	$o\bigl(ab^{2}abab^{2}ab^{2}\bigr) = 10$
McL	맥러플린	1969	8981.28억 = 2⁷·3⁶·5³·7·11 ≈ 9	22	2A, 5A, 11	$o\bigl((ab)^2 (abab^2)^2 ab^2\bigr) = 7$
HS	히그먼, 심스	1967	443.52억 = 2⁹·3²·5³·7·11 ≈ 4	22	2A, 5A, 11	$o(abab^{2}) = 15$
J₄	얀코	1976	867.75억 = 2²¹·3³·5·7·11³·23·29·31·37·43 ≈ 9	1333	2A, 4A, 37	$o\bigl(abab^2\bigr) = 10$
J₃ 또는 HJM	얀코	1968	502.32억 = 2⁷·3⁵·5·17·19 ≈ 5	85	2A, 3A, 19	$o\bigl([a, b]\bigr) = 9$
J₂ 또는 HJ	얀코	1968	6.04억 = 2⁷·3³·5²·7 ≈ 6	14	2B, 3B, 7	$o\bigl([a, b]\bigr) = 12$
J₁	얀코	1965	1.75억 = 2³·3·5·7·11·19 ≈ 2	56	2, 3, 7	$o\bigl(abab^2\bigr) = 19$
M₂₄	마티외	1861	2448.23억 = 2¹⁰·3³·5·7·11·23 ≈ 2	23	2B, 3A, 23	$o\bigl(ab(abab^2)^2 ab^2\bigr) = 4$
M₂₃	마티외	1861	102억 = 2⁷·3²·5·7·11·23 ≈ 1	22	2, 4, 23	$o\bigl((ab)^2 (abab^2)^2 ab^2\bigr) = 8$
M₂₂	마티외	1861	4.43억 = 2⁷·3²·5·7·11 ≈ 4	21	2A, 4A, 11	$o\bigl(abab^2\bigr) = 11$
M₁₂	마티외	1861	9500만 = 2⁶·3³·5·11 ≈ 1	11	2B, 3B, 11	$o\bigl([a,b]\bigr) = o\bigl(ababab^{2}\bigr) = 6$
M₁₁	마티외	1861	79.2억 = 2⁴·3²·5·11 ≈ 8	10	2, 4, 11	$o\bigl((ab)^2 (abab^2)^2 ab^2\bigr) = 4$
T 또는	티츠	1964	179.71억 = 2¹¹·3³·5²·13 ≈ 2	104	2A, 3, 13	$o\bigl([a, b]\bigr) = 5$