구각형

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1. 개요
2. 정구각형
3. 구각형과 관련된 도형
4. 기타 구각형 관련 내용
참조

1. 개요

구각형은 9개의 변과 9개의 꼭짓점을 가진 다각형을 의미한다. 정구각형은 각의 크기가 같고 변의 길이가 같은 구각형으로, 한 내각의 크기는 140°, 외각은 40°이며 슐래플리 기호 {9}로 나타낸다. 정구각형의 작도는 일반적인 자와 컴퍼스만으로는 불가능하지만, 뉴시스 작도나 토마호크를 이용한 각의 삼등분으로 작도할 수 있다. 구각형은 대칭성을 가지며, K9 완전 그래프나 유클리드 타일링과 관련되기도 한다. 또한, 에니어그램, 바하이 사원, 대중문화, 건축 등 다양한 분야에서 활용된다.

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구각형
개요
종류	다각형
변의 수	9
꼭짓점의 수	9
슈플리 기호	{9}
속성	볼록
정구각형
내각	140°
슈플리 기호	{9}
콕서터 다이어그램
대칭군	Dih9, 차수 18
넓이 (변의 길이 t)	A = (9/4)cot(π/9)t2 ≈ 6.18182 t2

2. 정구각형

정구각형은 아홉 개의 변과 아홉 개의 각을 가진 도형이다. 정구각형의 내각의 합은 1260도이며, 한 내각의 크기는 140도이다. 따라서 외각의 크기는 40도이다.

한 변의 길이를 ''a''라고 할 때, 정구각형의 면적을 구하는 공식은 다음과 같다.

: $A = \frac{9}{4}a^2\cot\frac{\pi}{9}\simeq6.18182\,a^2.$

2. 1. 성질

정구각형의 한 내각의 크기는 140도이며, 외각은 40도이다. 슐래플리 기호로는 {9}로 표시한다.

한 변의 길이가 ''a''인 정구각형의 면적은 다음과 같다.

:

A = \frac{9}{4}a^2\cot\frac{\pi}{9}\simeq6.18182\,a^2.

정구각형의 내접원의 반지름 ''r''은 다음과 같다.

:

r=(a/2)\cot(\pi/9)

''R''은 외접원의 반지름이며, 다음과 같다.

:

R = \sqrt{(a/2)^2 + r^2 }=r\sec(\pi/9)=(a/2)\csc(\pi/9).

\cos (2\pi/9)

를 제곱근과 세제곱근으로 나타내면 다음과 같다.^[6]

:

\cos\frac{2\pi}{9} = \frac {\sqrt[3]{-4+4\sqrt{3}i}+\sqrt[3]{-4-4\sqrt{3}i}}{4} = \frac {\sqrt[3]{-1+\sqrt{3}i}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{3}i}}{\sqrt[3]{2^4}} = \frac {\sqrt[3]{\frac {-1+\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac {-1-\sqrt{3}i}{2}}} {2} = \frac {\sqrt[3]{\omega}+\sqrt[3]{\omega^2}}{2} =  0.766044443...

정구각형은 자 와 컴퍼스 작도가 불가능한 도형이다. 60°의 삼등분이 불가능하므로 작도는 불가능하지만, 눈금 있는 자를 이용한 뉴시스 작도로는 작도가 가능하다.

정구각형의 꼭짓점을 두 개씩 건너뛰어 선으로 연결하면 정삼각형이 만들어진다.

2. 2. 작도

정구각형은 작도가 불가능하다. 60° 각의 삼등분이 불가능하기 때문이다. 그러나 눈금 있는 자를 이용한 뉴시스 작도로는 작도가 가능하다.^[2]

정구각형, 토마호크를 이용한 120° 각 삼등분법을 기반으로 한 뉴시스 작도 애니메이션 (마지막 10초 휴지)

정구각형, 아르키메데스에 따른 각 삼등분을 사용하여 육각형을 기반으로 한 뉴시스 작도법

^[3]

뉴시스 작도나 각 삼등분 도구를 사용하면 정구각형을 작도할 수 있다.

2. 3. 대칭

정구각형의 대칭. 꼭짓점은 대칭 위치에 따라 색상이 지정되어 있다. 파란색 거울은 꼭짓점을 통과하고, 보라색 거울은 변을 통과하여 그려진다. 회전 차수는 중앙에 표시되어 있다.

정구각형은 Dih₉ 대칭을 가지며, 차수는 18이다. Dih₃와 Dih₁의 2개의 부분군 이면각 대칭과 Z₉, Z₃, Z₁의 3개의 순환군 대칭이 있다.

이 6개의 대칭은 정구각형에서 6개의 뚜렷한 대칭으로 볼 수 있다. 존 콘웨이는 이를 문자와 군의 차수로 표시한다.^[4] 정규 형태의 전체 대칭은 '''r18'''이며, 대칭이 없는 경우는 '''a1'''로 표시된다. 이면각 대칭은 꼭짓점을 통과하는지('''d'''는 대각선), 변을 통과하는지('''p'''는 수직선)에 따라 나뉘며, '''i'''는 반사선이 변과 꼭짓점 모두를 통과할 때 사용된다. 중앙 열의 순환 대칭은 중심 회전 차수에 따라 '''g'''로 표시된다.

각 부분군 대칭은 불규칙한 형태에 대해 하나 이상의 자유도를 허용한다. '''g9''' 부분군만이 자유도가 없지만, 방향 모서리로 볼 수 있다.

3. 구각형과 관련된 도형

정구각형의 꼭짓점들을 모두 이으면 완전 그래프가 되며, 이 안에는 세 가지 종류의 별모양이 존재한다. 특히 셋째 별모양은 정삼각형 세 개를 겹쳐 놓은 모양이다.^[6]

정구각형은 정육각형, 이등변삼각형과 함께 사용하여 빈틈없이 평면을 채울 수 있는 타일링을 만들 수 있다.

또한, 9개의 꼭짓점과 36개의 변을 가진 8-단순체의 정사영을 완전 그래프 K₉ (

)로 나타낼 수 있으며, 이는 정구각형으로 표현된다.

8-단순체 (8D)

3. 1. 별모양

정구각형의 꼭짓점들을 모두 이으면 위와 같이 된다. 이 그림에서 별모양을 세 개 찾을 수 있다.

셋째 별모양은 정삼각형을 세 개 붙인 것이다. 정구각형의 꼭짓점을 두 개씩 건너뛰어 선으로 연결하면 정삼각형이 만들어진다.^[6]

3. 2. 타일링

정구각형은 빈 공간이 있는 유클리드 타일을 채울 수 있다. 이러한 빈 공간은 정육각형과 이등변삼각형으로 채울 수 있다. 대칭다면체 표기법에서 이 타일링은 평면에서 *632 육각형 대칭을 나타내는 H(*;3;*;[2])라고 불린다.

3. 3. 그래프

K₉ 완전 그래프는 종종 36개의 모든 변이 연결된 정구각형으로 그려진다. 이 그래프는 또한 8-단순체의 9개 꼭짓점과 36개 변의 정사영을 나타낸다.

8-단순체 (8D)

4. 기타 구각형 관련 내용

성격을 9가지로 분류한 표를 에니어그램이라고 하는데, 구각형을 그리는 방법을 에니어그램이라고 부르기도 한다. 바하이교의 사원은 구각형이다.^[2]

4. 1. 대중문화

데이 마이트 비 자이언츠는 어린이 앨범 ''히어 컴 더 123s''에 "논아곤"이라는 제목의 노래를 수록했다. 이 노래는 "파티에 있는 모든 사람이 다각형"인 파티의 참석자와 그들이 이 파티에서 추는 춤을 언급한다.^[5]
슬립낫의 로고는 아홉 개의 꼭짓점을 가진 별 모양의 구각형으로, 세 개의 삼각형으로 만들어졌으며, 밴드의 아홉 멤버를 나타낸다.
킹 기저드 앤 더 리자드 위저드는 '논아곤 인피니티'라는 앨범을 발매했으며, 앨범 표지에는 구각형 완전 그래프가 그려져 있다. 이 앨범은 아홉 곡으로 구성되어 있으며 순환적으로 반복된다.

4. 2. 건축

바하이 신앙의 사원인 바하이 예배당은 구각형으로 지어져야 한다.^[1]

U.S. 스틸 타워는 불규칙한 구각형 건물이다.^[2]

이탈리아의 팔마노바는 구각형 모양의 도시이다.^[4]

리투아니아의 가르수 가우디클레도 구각형 모양이다.^[3]

4. 3. 기타

성격을 9가지로 분류한 표를 '''에니어그램'''이라고 하는데, 구각형을 그리는 방법을 '''에니어그램'''이라고 부르기도 한다. 바하이교의 사원은 구각형이다.^[2]

참조

_[1] Mathworld Nonagon
_[2] 서적 Episodes in the Mathematics of Medieval Islam https://books.google[...] Springer-Verlag New York, Inc. 2015-12-11
_[3] 웹사이트 KLASSISCHE PROBLEME DES GRIECHISCHENALTERTUMS IM MATHEMATIKUNTERRICHT DER OBERSTUFE https://www.erziehun[...] Bund der Freien Waldorfschulen Deutschlands 2019-07-14
_[4] 서적 The Symmetries of Things
_[5] TMBW Nonagon http://tmbw.net/wiki[...]
_[6] Socratic How do you evaluate Cos((2pi)/9)? | Socratic https://socratic.org[...]
_[7] 웹사이트 特殊なツールを使った角の三等分 http://www.takayaiwa[...]

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