정삼각형

1. 개요

정삼각형은 세 변의 길이가 같고 세 내각의 크기가 60°로 동일한 도형이다. 넓이, 둘레, 내·외접원 반지름 등 다양한 기하학적 성질을 가지며, 피타고라스의 정리를 통해 유도될 수 있다. 정삼각형은 이등변삼각형의 특수한 경우이자 정다각형이며, 대칭성, 작도, 좌표 표현 등의 특징을 갖는다. 평면 채우기, 정다면체의 면, 건축 및 디자인, 교통 표지판 등 다양한 분야에서 활용된다.

2. 성질

정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같고, 세 내각의 크기가 모두 60°인 정다각형이다. 이등변삼각형의 특수한 경우로, 현대적 정의에서는 정삼각형의 세 변 중 하나를 밑변으로 간주할 수 있다.

어떤 정삼각형의 한 변의 길이를 $a$라고 하면 다음과 같은 성질을 갖는다. 이 값들은 모두 피타고라스 정리를 이용하여 얻어낼 수 있다.

2.1. 좌표

복소 평면 상에서 정삼각형의 무게중심을 0, 한 꼭짓점을 1로 하면, 나머지 두 꼭짓점은 1의 허수 세제곱근 ω 및 ω²이다.

변의 길이를 a라고 할때, 삼각형의 꼭짓점을 $A\backslash left(\backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{3\}\},0\backslash right),\; B\backslash left(-\backslash frac\{a\}\{2\backslash sqrt\{3\}\},\backslash frac\{a\}\{2\}\backslash right),\; C\backslash left(-\backslash frac\{a\}\{2\backslash sqrt\{3\}\},-\backslash frac\{a\}\{2\}\backslash right)$ 로 하면 정삼각형이 된다.

$x\backslash ge\; -\backslash frac\{a\}\{2\backslash sqrt\{3\}\},\; y\backslash ge\; \backslash frac\{x\}\{\backslash sqrt\{3\}\}-\backslash frac\{a\}\{3\},\; y\backslash le\; -\backslash frac\{x\}\{\backslash sqrt\{3\}\}+\backslash frac\{a\}\{3\}$ 로 둘러싸인 영역은 변의 길이가 a인 정삼각형이 된다.

2.2. 대칭성

정삼각형은 선대칭 도형이며, 대칭축은 각 꼭짓점에서 마주보는 변에 내린 수선으로 3개이다. 삼각형 중에서는 대칭축이 가장 많다. 점대칭 도형은 아니지만, 무게중심을 중심으로 120° 회전대칭이다.

내심, 삼각형#외심, 삼각형#수심, 무게중심이 모두 일치하는 유일한 삼각형이다. 내심과 외심이 일치하므로 각의 이등분선과 대변의 수직이등분선이 일치하며, 이 선으로 정삼각형을 나누면 직각삼각형이 된다. 이 직각삼각형은 삼각자의 하나로 사용된다.

3. 작도

# 한 직선 위 어떤 점을 중심으로 하는 일정 반지름의 원을 그린다.
# 원과 직선의 두 교점을 A, B라 할 때, 점 A를 중심으로 하는 반지름이 같은 원을 하나 더 그린다.
# 두 원의 교점과 점 B를 잇는다.

위 작도법은 다른 방법으로, 이등변삼각형의 성질을 이용하여 원에 내접하는 정삼각형을 작도할 수도 있다.

유클리드의 원론 제1권의 첫 번째 명제에서 정삼각형을 작도하는 방법을 제시하였다. 먼저 특정 반지름을 가진 원을 그리고, 컴퍼스의 점을 원 위에 놓고, 같은 반지름을 가진 다른 원을 그린다. 두 원은 두 점에서 교차하는데, 두 원의 중심과 교차점을 연결하여 정삼각형을 작도할 수 있다.

서로 합동인 직각 이등변삼각형을 여러 개 배치하여 정삼각형을 작도할 수도 있다.

4. 활용

5. 기타

모리 각의 삼등분선 정리에 따르면, 모든 삼각형에서 인접한 각의 삼등분선의 세 교점은 정삼각형을 이룬다.

비비아니 정리는 정삼각형 내부의 임의의 점 $P$에서 변까지의 거리 $d$, $e$, $f$와 높이 $h$에 대해 다음이 성립한다고 말한다.
$$d+e+f\; =\; h,$$
이는 $P$의 위치와 무관하다.