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디바이 차폐

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목차

1. 개요

디바이 차폐는 음극 주변에 형성되는 층의 개념으로, 미국 물리학자 어빙 랭뮤어가 처음 고안했다. 이 층은 양이온과 중성 원자로 구성되며, 전극에 도달하는 양이온 전류의 변화 없이 전극을 차단하고, 퍼텐셜이 아크나 전류에 영향을 미치지 않게 한다. 진공관 내 플라스마 상태에서 와이어는 전자를 흡수하고 양이온만 남는 구역을 형성하며, 이온은 음의 퍼텐셜에 의해 가속된다. 디바이 차폐의 정량적 물리학은 이온의 에너지 보존, 이온 연속성, 볼츠만 관계, 푸아송 방정식에 의해 결정되며, 이를 통해 차폐 방정식과 보옴 차폐 기준, 차일드-랭뮤어 법칙 등이 유도된다.

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디바이 차폐

2. 상세

차폐(sheath)는 플라스마 내에서 전하 분리로 인해 발생하는 경계층을 의미한다. 어빙 랭뮤어가 처음으로 이 현상을 기술했는데, 음극 주변에 양이온과 중성 원자로 이루어진 층이 형성되면서 전자가 외부로 밀려나는 현상이다. 이 층은 특정 두께를 가지며, 전극에 도달하는 양이온 전류는 변하지 않고, 전극은 양이온 차폐로 인해 방전으로부터 완전히 차단된다.[1]

랭뮤어와 알버트 헐은 열이온 밸브에서 형성된 시스에 대해 다음과 같이 더 설명했다.[2]

> 필라멘트와 플레이트 사이의 공간은 전자와 양이온이 거의 같은 수로 섞여 있는 "플라스마"로 채워져 있다. 플라스마에 있는 와이어는 플라스마와 관련하여 전위가 0인 상태에서 와이어에 부딪히는 모든 이온과 전자를 흡수한다. 전자는 이온보다 약 600배 빠르게 움직이므로 600배 더 많은 전자가 와이어에 부딪힌다. 와이어가 절연되면 동일한 수의 전자와 이온을 받도록, 즉 600개 중 1개를 제외한 모든 전자를 격퇴하는 전위를 띠게 된다.

2. 1. 어빙 랭뮤어의 초기 연구

어빙 랭뮤어는 차폐(sheath)라는 개념을 처음 고안한 미국의 물리학자이다. 1923년에 발표한 그의 논문에서는 다음과 같은 내용을 확인할 수 있다.[5]

> 양이온은 음극(negative electrode) 주변으로 끌려가는 반면, 전자는 음극으로부터 방출된다. 따라서 음극 주위에는 양이온과 중성원자들로 이루어진 층으로 차폐되며, 이는 특정한 두께를 지닌다. [..] 전자는 양이온 입자들이 전극에 이끌려 차폐공간에 도달할 동안 차폐공간의 외부로 밀려난다. [..] 따라서 전극에 도달하는 양이온 전류에는 변화가 없다. 전극은 양이온 차폐에 의한 방전으로 인해 완전하게 차단되며, 퍼텐셜은 아크 속에서 발생하는 현상이나 전극에 흐르는 전류에 영향을 주지 않게된다.

랭뮤어는 알버트 헐과의 공동 연구를 통해 진공관 내에서의 차폐 현상에 대해 더 자세히 설명했다.[6]

> 그림 1은 수은 증기로 채워진 관(tube)내의 상태를 보여준다. 양극과 음극(필라멘트) 사이의 공간은 거의 같은 수의 전자와 양이온 입자의 혼합물로 채워져 있으며 이 상태를 '''플라스마''' 상태에 있다고 한다. 상대적으로 퍼텐셜이 0인 플라스마 내의 와이어는 여기에 부딪히는 모든 이온과 전자를 흡수할 것이다. 전자들은 이온에 비해 600배나 빠른 속도로 움직이므로, 이온에 비해 와이어를 600배나 많이 부딪히게 된다. 만약 와이어가 절연되어 있다면, 같은 수의 전자와 이온을 받아들일 수 있는 음의 퍼텐셜값을 가진다고 가정해볼 수 있으며, 이때는 와이어를 향하는 전자가 600개라 하면 그 중 1개의 전자만을 외부로 방출한다.

>

> 그리드의 일부인 이 와이어가 관을 따라 흐르는 전류보다 훨씬 더 음의 퍼텐셜값으로 대전되어 있다고 가정하자. 와이어는 이제 모든 전자를 외부로 방출하고 와이어로 접근하는 모든 양이온을 흡수할 것이다. 와이어 주변에는 그림 1과 같이 전자대신 양이온만 있는 구역이 존재할 것이다. 이온은 음의 퍼텐셜값을 지닌 와이어에 가까이 갈수록 더욱 가속되며, 이 차폐 내에는 와이어와의 거리에 따른 퍼텐셜 그래디언트(벡터의 기울기)가 존재하게 된다. 따라서 퍼텐셜의 플라스마들이 같아지는 거리가 존재하게 되는데, 이 거리를 '''차폐의 경계'''(boundary of the sheath)라 정의한다. 이 거리를 넘어가면, 와이어의 퍼텐셜에 의한 효과는 사라지게 된다.

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3. 수식 유도

디바이 차폐(Debye sheath)의 정량적 물리학은 이온의 에너지 보존, 이온 연속성, 전자에 대한 볼츠만 관계, 푸아송 방정식의 네 가지 현상으로 설명된다.

하위 섹션에서 이미 해당 내용들을 자세하게 다루고 있으므로, 여기서는 각 방정식에 대한 간략한 설명만을 덧붙인다.


  • 이온의 에너지 보존: 차폐 내에서 이온의 에너지는 보존된다.
  • 이온 연속성: 정상 상태에서 이온의 플럭스는 일정하다.
  • 전자에 대한 볼츠만 관계: 전자의 밀도는 볼츠만 분포를 따른다.
  • 푸아송 방정식: 전위의 변화율은 전하 밀도와 관련되어 있다.


이 방정식들을 결합하고 무차원 변수를 도입하면 다음과 같은 차폐 방정식을 얻을 수 있다.

:\chi'' = \left( 1 + \frac{2\chi}{\mathfrak{M}^2} \right)^{-1/2} - e^{-\chi}.

3. 1. 이온의 에너지 보존

차가운 이온이 질량 mi영어와 속도 u0영어로 차폐에 들어온다고 가정하면, 전자는 이온과 반대 전하를 가지며, 차폐 전위 내에서 에너지 보존은 다음을 요구한다.

:\frac{1}{2}m_\mathrm{i}\,u(x)^2 = \frac{1}{2}m_\mathrm{i}\,u_0^2 - e\,\varphi(x)

여기서 e영어는 전자의 전하량으로 양수이며, e=1.602 x 10-19 C영어이다.

3. 2. 이온 연속성

정상 상태에서 이온은 어디에도 축적되지 않으므로 플럭스는 모든 곳에서 동일하다. 따라서 다음 식이 성립한다.

:n_0 u_0 = n_\mathrm{i}(x) u(x).

3. 3. 전자에 대한 볼츠만 관계

:n_\mathrm{e}(x) = n_0 \exp\Big(\frac{e\,\varphi(x)}{k_\mathrm{B}T_\mathrm{e}}\Big)

3. 4. 푸아송 방정식

정전기적 전위의 곡률은 순 전하 밀도와 다음과 같이 관련된다.[1]

:\frac{d^2\varphi(x)}{dx^2} = \frac{e (n_\mathrm{e}(x)-n_\mathrm{i}(x))}{\epsilon_0} .

이 방정식들을 결합하고 무차원 전위, 위치 및 이온 속도에 관해 작성하면 다음과 같다.

:\chi(\xi) = -\frac{e\varphi(\xi)}{k_\mathrm{B}T_\mathrm{e}}

:\xi = \frac{x}{\lambda_\mathrm{D}}

:\mathfrak{M} = \frac{u_\mathrm{o}}{(k_\mathrm{B}T_\mathrm{e}/m_\mathrm{i})^{1/2}}

위 식들로부터 다음의 차폐 방정식을 얻는다.[1]

:\chi'' = \left( 1 + \frac{2\chi}{\mathfrak{M}^2} \right)^{-1/2} - e^{-\chi}.

3. 5. 차폐 방정식

위의 방정식들을 결합하고 무차원 전위, 위치 및 이온 속도에 관해 작성하면 다음과 같다.

:\chi(\xi) = -\frac{e\varphi(\xi)}{k_\mathrm{B}T_\mathrm{e}}

:\xi = \frac{x}{\lambda_\mathrm{D}}

:\mathfrak{M} = \frac{u_\mathrm{o}}{(k_\mathrm{B}T_\mathrm{e}/m_\mathrm{i})^{1/2}}

다음 차폐 방정식을 얻는다.

:\chi'' = \left( 1 + \frac{2\chi}{\mathfrak{M}^2} \right)^{-1/2} - e^{-\chi}.

3. 6. 보옴 차폐 기준 (Bohm sheath criterion)

차폐 방정식은 \chi'를 곱하여 한 번 적분할 수 있다. 그 결과, 다음과 같은 부등식을 얻는다.

:\mathfrak{M}^2 \ge 1

또는

:u_0 \ge (k_\mathrm{B}T_\mathrm{e}/m_\mathrm{i})^{1/2}.

이 부등식은 발견자인 데이비드 보옴의 이름을 따서 '''보옴 차폐 기준'''으로 알려져 있다. 이온이 차폐로 너무 느리게 들어가면, 차폐 전위가 이온을 가속하기 위해 플라즈마로 "파고들" 것이다. 궁극적으로, (k_\mathrm{B}T_\mathrm{e}/2e) 정도의 전위 강하와 이온 소스의 물리적 현상(종종 플라즈마의 치수와 동일)에 의해 결정되는 척도를 가진 소위 '''전차폐'''가 형성될 것이다. 일반적으로 보옴 기준은 등식으로 유지되지만, 이온이 초음속으로 차폐에 들어가는 몇 가지 상황이 있다.

3. 7. 차일드-랭뮤어 법칙 (Child–Langmuir law)

일반적으로 차폐 방정식은 수치적으로 적분해야 하지만, e^{-\chi} 항을 무시하여 근사적인 해를 해석적으로 구할 수 있다. "부동" 표면, 즉 플라즈마에서 순 전류를 끌어오지 않는 표면의 경우, 이는 유용하지만 거친 근사이다. '''이온 포화 전류'''를 끌어오도록 강하게 음전하 바이어스된 표면의 경우, 이 근사는 매우 정확하다. 2\chi/\mathfrak{M}^2이 1보다 훨씬 크다고 가정하여 방정식을 더 단순화할 수 있다. 그러면 차폐 방정식은 다음과 같은 간단한 형태를 갖는다.

:\chi'' = \frac{\mathfrak{M}}{(2\chi)^{1/2}}.

\chi'를 곱하고 적분하면 다음을 얻는다.

:\frac{1}{2}\chi'^2 = \mathfrak{M} (2\chi)^{1/2},

또는

:\chi^{-1/4}\chi' = 2^{3/4} \mathfrak{M}^{1/2}.

이는 \xi에 대해 쉽게 적분되어 다음을 얻는다.

:\frac{4}{3}\chi_\mathrm{w}^{3/4} = 2^{3/4} \mathfrak{M}^{1/2} d,

여기서 \chi_\mathrm{w}는 벽에서의 (정규화된) 전위(차폐 가장자리에 상대적)이고, ''d''는 차폐의 두께이다. 변수 u_0과 \varphi로 다시 바꾸고 벽으로 들어가는 이온 전류가 J=e\,n_0\,u_0임을 고려하면, 다음을 얻는다.

:J = \frac{4}{9} \left(\frac{2e}{m_i}\right)^{1/2} \frac{|\varphi_w|^{3/2}}{4\pi d^2}.

이 방정식은 1911년에 처음 발표한 클레멘트 D. 차일드(1868–1933)의 이름을 딴 '''차일드의 법칙''' 또는 독립적으로 이를 발견하여 1913년에 발표한 어빙 랭뮤어(Irving Langmuir)를 기리는 '''차일드-랭뮤어 법칙'''으로 알려져 있다.[3][4] 이는 전극 간 간격이 ''d''인 진공 다이오드의 공간 전하 제한 전류를 제공하기 위해 처음 사용되었다. 또한 J=j_\mathrm{ion}^\mathrm{sat}로 설정하여 전압 강하의 함수로 드바이 차폐의 두께를 제공하기 위해 역으로 사용할 수 있다.

:

d = \frac{2}{3} \left(\frac{2e}{m_\mathrm{i}}\right)^{1/4} \frac

참조

[1] 간행물 Positive Ion Currents from the Positive Column of Mercury Arcs http://adsabs.harvar[...] Science 1923
[2] 간행물 Control of an Arc Discharge by Means of a Grid https://www.ncbi.nlm[...] Proc Natl Acad Sci USA 1929-03-15
[3] 논문 100 years of the physics of diodes https://doi.org/10.1[...] 2017
[4] 논문 Space–charge limited current in nanodiodes: Ballistic, collisional, and dynamical effects https://doi.org/10.1[...] 2021
[5] 간행물 Positive Ion Currents from the Positive Column of Mercury Arcs http://adsabs.harvar[...] Science 1923
[6] 간행물 Control of an Arc Discharge by Means of a Grid http://www.pubmedcen[...] Proc Natl Acad Sci 1929-03-15


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