마든 정리

3. 증명

마든 정리의 증명은 복소수 연산, 평행사변형 법칙, 비에타 정리 등 다양한 수학적 도구를 활용한다.

프리츠 칼슨의 책 "Geometri"(스웨덴어, 1943)에서 이 증명을 찾아볼 수 있다.^[1] 이 증명에서는 변수의 선형 변환을 통해 일반성을 잃지 않고 문제를 단순화하여 접근한다. 임의의 $a,\; b\; \backslash in\; \backslash mathbb\; C$에 대해 $a\; \backslash neq\; 0$이고, $g(z)\; =\; f(az\; +\; b)$로 정의하면 $g\text{'}(z)\; =\; af\text{'}(az+b)$가 된다. 따라서 다음을 얻는다.

:$g^\{-1\}(0)\; =\; (f^\{-1\}(0)-b)/a$

$g\text{'}$와 $f\text{'}$에 대해서도 유사하게 적용된다. 즉, 변수의 선형 변환을 통해 $f$와 $f\text{'}$의 근에 임의의 이동, 회전 및 크기 조정을 수행할 수 있다.

따라서 일반성을 잃지 않고 스테이너 내접원의 초점을 실수축 위에 $\backslash pm\; c$로 설정하며, 여기서 $c$는 초점 거리이다. $a,\; b$를 장반경과 단반경의 길이로 설정하면 $c\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; -\; b^2\}$가 된다.

$f$의 세 근을 $z\_j\; :=\; x\_j\; +\; y\_j\; i$($j=\; 0,\; 1,\; 2$)로 둔다.

복소 평면을 수평으로 늘여 스테이너 내접원이 반지름 $b$의 원이 되도록 한다. 이렇게 하면 삼각형이 정삼각형으로 변환되며, 꼭지점은 $\backslash zeta\_j\; =\; \backslash frac\{b\}\{a\}x\_j\; +\; y\_j\; i$가 된다.

정삼각형의 기하학에 의해, $\backslash sum\_j\; \backslash zeta\_j\; =\; 0$이므로, $\backslash sum\_j\; z\_j\; =\; 0$이며, 따라서 비에타의 공식에 의해 $f(z)\; =\; z^3\; +\; z\backslash sum\_j\; z\_j\; z\_\{j+1\}\; -\; z\_0z\_1z\_2$이다(표기 편의상, 인덱스를 "반복"한다. 즉, $z\_3\; =\; z\_0$.). 이제 $3c^2\; +\; \backslash sum\_j\; z\_j\; z\_\{j+1\}\; =0$임을 보여야 한다.

$0\; =\; \backslash left(\backslash sum\_j\; z\_j\backslash right)^2\; =\; \backslash sum\_j\; z\_j^2\; +\; 2\; \backslash sum\_j\; z\_jz\_\{j+1\}$이므로, $\backslash sum\_j\; z\_j^2\; =\; 6c^2$, 즉 다음을 보여야 한다.

:$\backslash sum\_j\; x\_jy\_j\; =\; 0;\; \backslash quad\; \backslash sum\_j\; x\_j^2\; -\; y\_j^2\; =\; 6(a^2\; -\; b^2)$

정삼각형의 기하학에 의해, $\backslash sum\_j\; \backslash zeta\_j^2\; =\; 0$이고 각 $j$에 대해 $|\backslash zeta\_j|\; =\; 2b$이므로, 다음을 얻는다.

:$\backslash sum\_j\; \backslash frac\{2b\}\{a\}\; x\_jy\_j\; =\; 0;\; \backslash quad\; \backslash sum\_j\; \backslash frac\{b^2\}\{a^2\}\; x\_j^2\; -\; y\_j^2\; =\; 0;\; \backslash quad\; \backslash sum\_j\; \backslash frac\{b^2\}\{a^2\}\; x\_j^2\; +\; y\_j^2\; =\; 12b^2$

이는 원하는 등식을 도출한다.

3. 1. 증명의 핵심 아이디어 (한국어 위키백과 문서 기준)

즉, 변의 중점과 $-f,f$ 사이의 거리의 합은 변의 선택과 무관하다. 따라서 $-f,f$는 $a,b,c$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 슈타이너 내접 타원의 초점이다.

4. 추가적인 관계

가우스-루카스 정리에 따르면, 3차 다항식의 이계도함수의 근은 두 초점의 평균, 즉 타원의 중심점 및 삼각형의 무게중심과 일치한다.

삼각형이 정삼각형인 특수한 경우, 슈타이너 내접 타원은 원이 되며, 다항식의 도함수는 원의 중심에서 이중 근을 갖는다.

5. 일반화

린필드(Linfield, 1920)는 마든 정리를 세 개의 근만을 갖는 3차 이상의 다항식으로 일반화하였다. 이러한 다항식의 경우, 도함수의 근은 주어진 다항식의 중근(지수가 1보다 큰 근)과 삼각형의 접점이 변을 i : j^영어, j : k^영어, 및 k : i^영어의 비율로 나누는 타원의 초점에서 찾을 수 있다.

패리쉬(Parish, 2006)는 ''n''각형에 대한 일반화를 제시했다. 일부 ''n''각형은 각 변의 중점에서 접하는 내접 타원을 가지며, 이 경우에도 마든 정리가 성립한다. 즉, 내접 타원의 초점은 ''n''각형의 꼭짓점을 영점으로 갖는 다항식의 도함수의 영점이다.

6. 역사

이외르크 지베크(Jörg Siebeck^de)가 증명하였다. 모리스 마든( Morris Marden^영어)의 이름을 따 명명되었다.

요르크 지벡은 마든이 이 정리에 대해 글을 쓰기 81년 전에 이 정리를 발견했다. 하지만 댄 칼만은 자신의 논문인 "Marden's theorem"을 ''American Mathematical Monthly''에 게재하면서, "내가 이 정리를 마든의 정리라고 부르는 이유는, M. 마든의 훌륭한 책에서 처음 읽었기 때문이다"라고 적었다.

마든은 1945년과 1966년에 출판된 자신의 저서에서 현재 마든의 정리로 알려진 내용을 지베크(1864년)의 것으로 보고 있으며, 이 정리에 대한 버전을 포함하는 9편의 논문을 인용하고 있다. 댄 칼만은 2008년 American Mathematical Monthly에 이 정리를 설명하는 논문을 게재하여 2009년 미국 수학회의 레스터 R. 포드 상을 수상했다.

참조

_[1] 웹사이트 Carlson's proof of Marden's theorem. http://www.su.se/pol[...]
_[2] 저널 A Simple Direct Proof of Marden’s Theorem Taylor & Francis 2014