포물선

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1. 개요

포물선은 원뿔 곡선의 일종으로, 기원전 4세기 메나이크모스에 의해 처음 연구되었다. 아르키메데스는 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 계산했으며, 아폴로니오스는 포물선의 다양한 성질을 정리했다. 17세기 이후에는 고전역학, 광학 등 다양한 분야에서 응용되기 시작했으며, 특히 반사망원경, 파라볼라 안테나, 건축물의 아치 등에 활용된다. 포물선은 초점과 준선, 반사 성질 등 다양한 기하학적 성질을 가지며, 이차 함수의 그래프로도 나타낼 수 있다.

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이심률은 원뿔곡선의 형태를 결정하는 값으로, 초점과 준선으로부터의 거리 비율로 정의되며, 값에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선으로 구분되고, 타원과 쌍곡선의 경우 중심과 초점 사이의 거리와 반장축의 비율로 나타낼 수 있으며, 이심률이 같은 원뿔곡선은 서로 닮음이다.
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포물선
포물선 정보
포물선의 예시
원뿔 곡선의 평면 절단(빨간색 포물선)
정의 및 특징
정의	평면 위의 한 정점(焦點, focus)과 그 점을 지나지 않는 한 정직선(準線, directrix)이 주어졌을 때, 그 점과 직선에 이르는 거리가 같은 점들의 자취
다른 정의	원뿔을 모선과 평행한 평면으로 잘랐을 때 나타나는 단면, 이차곡선(conic section)의 한 종류
방정식 (표준형)	y² = 4ax (a > 0) x² = 4ay (a > 0)
방정식 (일반형)	Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 (단, B² − 4AC = 0)
대칭축	포물선은 하나의 대칭축을 가짐
꼭짓점	포물선이 대칭축과 만나는 점
초점	포물선을 정의하는 데 사용되는 특정 점
준선	포물선을 정의하는 데 사용되는 특정 직선
이심률	1 (포물선의 이심률은 항상 1)
응용
광학	반사 망원경의 반사경 자동차의 헤드라이트 탐조등
안테나	파라볼라 안테나
건축	현수교의 주 케이블
물리학	포물선 운동 투사체의 궤적
수학	이차함수의 그래프
관련 용어
이차 곡선	원, 타원, 쌍곡선 과 함께 이차 곡선을 이룸
포물면	포물선을 회전시켜 얻는 3차원 곡면
기타
로마자 표기	pomulseon

2. 역사

마주 보는 두 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취가 원뿔 곡선이다. 제일 왼쪽의 A가 포물선이다.

원뿔 곡선의 엄밀한 정의는 메나이크모스에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 정육면체의 부피를 두배로 늘리는 문제^[25], 즉

x^3 = 2

의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.^[26]^[27] 원뿔 곡선의 수학적 특성을 집대성한 것은 페르게의 아폴로니오스로 그는 모두 8권의 《원뿔 곡선론》을 저술하였다. 이 가운데 일곱권이 오늘날까지 전해지는데 네 권은 그리스어로 세 권은 아랍어로 된 판본이 남아있다.^[28]

아르키메데스는 실진법을 이용하여 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 그에 내접하는 삼각형의 넓이의 임을 증명하였다.^[29] 아르키메데스의 증명 과정은 다음과 같다.

# 포물선을 가로지르는 직선을 한 변으로 하는 내접 삼각형을 그린다.

# 위와 같이 하여 그린 내접 삼각형에 의해 포물선은 두 구간으로 분할되며 여기에 다시 같은 방법으로 내접 삼각형을 그릴 수 있다.

# 이렇게 계속하여 내접 삼각형을 그려나가면 아래의 그림과 같이 포물선을 가로지르는 직선에 둘러싸인 도형은 무수히 많은 삼각형으로 분할된다.

# 최초의 내접 삼각형 넓이를 1이라고 하면 전체 삼각형의 넓이는 다음의 공식에 의해 구할 수 있다.

:

\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. \;

이는 공비가 인 기하급수를 구하는 것과 같다.

원뿔곡선에 대한 가장 초기의 알려진 연구는 기원전 4세기 메나이크무스(Menaechmus)의 업적이다. 그는 포물선을 이용하여 세제곱배적 문제를 푸는 방법을 발견했다. (그러나 그 해법은 작도의 요구 조건을 충족하지 못한다.) 포물선과 선분으로 둘러싸인 영역, 소위 "포물선 부분"은 기원전 3세기 아르키메데스(Archimedes)가 그의 저서 ''포물선의 구적(The Quadrature of the Parabola)''에서 소진법(method of exhaustion)을 사용하여 계산했다. "포물선"이라는 이름은 원뿔곡선의 많은 성질을 발견한 아폴로니우스에 의한 것이다. 이는 "넓이의 적용"이라는 개념을 의미하며, 아폴로니우스가 증명했듯이 이 곡선과 관련이 있다.^[1] 포물선 및 기타 원뿔곡선의 초점-준선 성질은 파푸스의 저서에서 언급되었다.

17세기 이후 포물선은 다시 활발하게 응용되기 시작했는데, 고전역학의 등가속도운동의 계산^[30]이나 반사망원경과 같은 광학 도구의 제작에 필수적이기 때문이다.^[31] 1604년 경 갈릴레이는 탑 꼭대기에서 수평으로 발사된 물체가 단지 중력에 의해서만 영향을 받는 다면 포물선의 궤적을 그릴 것이란 것을 발견했다.^[32] 뉴턴은 포물선의 미분을 연구하다 포물선 회전체 모양의 거울에서는 모든 빛이 초점으로 모인다는 것을 증명하고 이를 바탕으로 반사망원경을 만들었다. 토목공학에서 흙댐의 침윤선을 작도할 때도 사용된다.^[33]

레오나르도 다 빈치/Leonardo da Vinci^영어가 디자인한 포물선 컴퍼스

포물면 반사경이 상을 생성할 수 있다는 아이디어는 반사 망원경의 발명 이전부터 이미 잘 알려져 있었다.^[2] 17세기 초중반에 르네 데카르트, 마랭 메르센^[3], 제임스 그레고리^[4] 등이 설계를 제안했다. 뉴턴이 1668년 최초의 반사 망원경을 만들었을 때, 그는 제작의 어려움 때문에 포물면 거울을 사용하지 않고 구면 거울을 선택했다. 포물면 거울은 대부분의 현대 반사 망원경과 위성 안테나 및 레이더 수신기에 사용된다.^[5]

2. 1. 고대 그리스

원뿔 곡선의 엄밀한 정의는 메나이크모스에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 정육면체의 부피를 두배로 늘리는 문제^[25], 즉

x^3 = 2

의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.^[26]^[27]

원뿔 곡선의 수학적 특성을 집대성한 것은 페르게의 아폴로니오스로 그는 모두 8권의 《원뿔 곡선론》을 저술하였다. 이 가운데 일곱권이 오늘날까지 전해지는데 네 권은 그리스어로 세 권은 아랍어로 된 판본이 남아있다.^[28]

아르키메데스는 실진법을 이용하여 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 그에 내접하는 삼각형의 넓이의 임을 증명하였다.^[29] 아르키메데스의 증명 과정을 간략히 소개하면 다음과 같다.

# 포물선을 가로지르는 직선을 한 변으로 하는 내접 삼각형을 그린다.

# 위와 같이 하여 그린 내접 삼각형에 의해 포물선은 두 구간으로 분할되며 여기에 다시 같은 방법으로 내접 삼각형을 그릴 수 있다.

# 이렇게 계속하여 내접 삼각형을 그려나가면 아래의 그림과 같이 포물선을 가로지르는 직선에 둘러싸인 도형은 무수히 많은 삼각형으로 분할된다.

# 최초의 내접 삼각형 넓이를 1이라고 하면 전체 삼각형의 넓이는 다음의 공식에 의해 구할 수 있다.

:

\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. \;

이는 공비가 인 기하급수를 구하는 것과 같다.

원뿔곡선에 대한 가장 초기의 알려진 연구는 기원전 4세기 메나이크무스(Menaechmus)의 업적이다. 그는 포물선을 이용하여 세제곱배적 문제를 푸는 방법을 발견했다. (그러나 그 해법은 작도의 요구 조건을 충족하지 못한다.) 포물선과 선분으로 둘러싸인 영역, 소위 "포물선 부분"은 기원전 3세기 아르키메데스(Archimedes)가 그의 저서 ''포물선의 구적(The Quadrature of the Parabola)''에서 소진법(method of exhaustion)을 사용하여 계산했다. "포물선"이라는 이름은 원뿔곡선의 많은 성질을 발견한 아폴로니우스에 의한 것이다. 이는 "넓이의 적용"이라는 개념을 의미하며, 아폴로니우스가 증명했듯이 이 곡선과 관련이 있다.^[1] 포물선 및 기타 원뿔곡선의 초점-준선 성질은 파푸스의 저서에서 언급되었다.

2. 2. 중세 및 르네상스 시대

원뿔 곡선의 엄밀한 정의는 메나이크모스에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 정육면체의 부피를 두배로 늘리는 문제^[25], 즉

x^3 = 2

의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.^[26]^[27]

원뿔 곡선의 수학적 특성을 집대성한 것은 페르게의 아폴로니오스로 그는 모두 8권의 《원뿔 곡선론》을 저술하였다. 이 가운데 일곱권이 오늘날까지 전해지는데 네 권은 그리스어로 세 권은 아랍어로 된 판본이 남아있다.^[28]

아르키메데스는 실진법을 이용하여 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 그에 내접하는 삼각형의 넓이의 4/3 임을 증명하였다.^[29]

갈릴레이는 탑 꼭대기에서 수평으로 발사된 물체가 단지 중력에 의해서만 영향을 받는 다면 포물선의 궤적을 그릴 것이란 것을 발견했다.^[32] 뉴턴은 포물선의 미분을 연구하다 포물선 회전체 모양의 거울에서는 모든 빛이 초점으로 모인다는 것을 증명하고 이를 바탕으로 반사망원경을 만들었다. 토목공학에서 흙댐의 침윤선을 작도할 때도 사용된다.^[33]

2. 3. 근대

원뿔 곡선의 엄밀한 정의는 메나이크모스에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 정육면체의 부피를 두배로 늘리는 문제^[25], 즉

x^3 = 2

의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.^[26]^[27]페르게의 아폴로니오스는 모두 8권의 《원뿔 곡선론》을 저술하여 원뿔 곡선의 수학적 특성을 집대성하였다. 이 가운데 일곱권이 오늘날까지 전해지는데 네 권은 그리스어로 세 권은 아랍어로 된 판본이 남아있다.^[28]

아르키메데스는 실진법을 이용하여 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 그에 내접하는 삼각형의 넓이의 임을 증명하였다.^[29]

17세기 이후 포물선은 다시 활발하게 응용되기 시작했는데, 고전역학의 등가속도운동의 계산^[30]이나 반사망원경과 같은 광학 도구의 제작에 필수적이기 때문이다.^[31] 1604년 경 갈릴레이는 탑 꼭대기에서 수평으로 발사된 물체가 단지 중력에 의해서만 영향을 받는 다면 포물선의 궤적을 그릴 것이란 것을 발견했다.^[32] 뉴턴은 포물선의 미분을 연구하다 포물선 회전체 모양의 거울에서는 모든 빛이 초점으로 모인다는 것을 증명하고 이를 바탕으로 반사망원경을 만들었다. 토목공학에서 흙댐의 침윤선을 작도할 때도 사용된다.^[33]

2. 4. 현대

원뿔 곡선의 엄밀한 정의는 메나이크모스에 의해 정립되었다.^[25] 메나이크모스는 정육면체의 부피를 두배로 늘리는 문제의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.^[26]^[27] 원뿔 곡선의 수학적 특성을 집대성한 것은 페르게의 아폴로니오스로 그는 모두 8권의 《원뿔 곡선론》을 저술하였다.^[28]

아르키메데스는 실진법을 이용하여 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 그에 내접하는 삼각형의 넓이의 임을 증명하였다.^[29]

17세기 이후 포물선은 다시 활발하게 응용되기 시작했는데, 고전역학의 등가속도운동의 계산^[30]이나 반사망원경과 같은 광학 도구의 제작에 필수적이기 때문이다.^[31] 1604년 경 갈릴레이는 탑 꼭대기에서 수평으로 발사된 물체가 단지 중력에 의해서만 영향을 받는 다면 포물선의 궤적을 그릴 것이란 것을 발견했다.^[32] 뉴턴은 포물선의 미분을 연구하다 포물선 회전체 모양의 거울에서는 모든 빛이 초점으로 모인다는 것을 증명하고 이를 바탕으로 반사망원경을 만들었다. 토목공학에서 흙댐의 침윤선을 작도할 때도 사용된다.^[33]

포물면 반사경이 상을 생성할 수 있다는 아이디어는 반사 망원경의 발명 이전부터 이미 잘 알려져 있었다.^[2] 17세기 초중반에 르네 데카르트, 마랭 메르센^[3], 제임스 그레고리^[4] 등이 설계를 제안했다. 뉴턴이 1668년 최초의 반사 망원경을 만들었을 때, 그는 제작의 어려움 때문에 포물면 거울을 사용하지 않고 구면 거울을 선택했다. 포물면 거울은 대부분의 현대 반사 망원경과 위성 안테나 및 레이더 수신기에 사용된다.^[5]

3. 수학적 정의 및 표현

== 수학적 정의 및 표현 ==

=== 좌표평면에서의 포물선 ===

초점의 좌표가

(a,0)

이고 준선의 방정식이

x=-a

인 포물선의 방정식은

y^2 = 4ax

이고, 초점의 좌표가

(0,a)

이고 준선의 방정식이

y=-a

인 포물선의 방정식은

x^2 = 4ay

이다. 이는 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 증명할 수 있다.

예를 들어, 초점의 좌표가

(0,a)

이고 준선의 방정식이

y=-a

인 포물선 위의 점의 좌표를

(x,y)

라고 하면, 두 점 사이의 거리 공식에 의해 점

(x,y)

에서 점

(0,a)

, 직선

y=-a

에 이르는 거리가 각각

\sqrt{ x^2 +  (y-a)^2 }

,

\left\vert y+a \right\vert

이다. 포물선의 정의에 의하여 점

(x,y)

의 자취의 방정식은

\sqrt{ x^2 +  (y-a)^2 } = \left\vert y+a \right\vert

인데, 이 식을 정리하면

y= \frac {1} {4a} x^2

이다. 따라서 초점의 좌표가

(0,a)

이고 준선의 방정식이

y=-a

인 포물선의 방정식은

y = \frac {1} {4a} x^2

이다.

직교좌표계를 도입하여

F = (0, f),\ f > 0

이고 준선의 방정식이

y = -f

라고 하면, 점

P = (x, y)

에 대해

|PF|^2 = |Pl|^2

에서 방정식

x^2 + (y - f)^2 = (y + f)^2

을 얻는다.

y

에 대해 정리하면

y = \frac{1}{4f} x^2

이다. 이 포물선은 U자 모양(위쪽으로 열림)이다.

초점을 지나는 수평현을 준선장(latus rectum)이라고 하며, 그 절반을 반준선장(semi-latus rectum)(

p

)이라고 한다. 준선장은 준선에 평행하며,

p = 2f

이다. 반준선장

p

는 초점과 준선 사이의 거리이며, 매개변수

p

를 사용하여 포물선의 방정식을

x^2 = 2py

로 쓸 수 있다.

꼭짓점이

V = (v_1, v_2)

, 초점이

F = (v_1, v_2 + f)

, 준선이

y = v_2 - f

이면, 방정식은

y = \frac{1}{4f} (x - v_1)^2 + v_2 = \frac{1}{4f} x^2 - \frac{v_1}{2f} x + \frac{v_1^2}{4f} + v_2

이다.

초점이

F = (f_1, f_2)

이고, 준선이

ax + by + c = 0

이면, 방정식

\frac{(ax + by + c)^2}{a^2 + b^2} = (x - f_1)^2 + (y - f_2)^2

을 얻는다.

포물선 위의 한 점을 P(x, y), 초점을 F(p, q), 준선의 방정식을 ax + by + c = 0이라고 하면, 포물선의 방정식은

\frac

{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{(x-p)^2 + (y-q)^2}이며, 이를 일반형이라고 한다. 포물선 위의 점을 P(x, y), 초점을 F(0, a), 준선의 방정식을 y = −a라고 하면,

x^2 = 4ay

가 되며, x와 y를 바꾼

y^2 = 4ax

도 포물선의 방정식이며, 이를 표준형이라고 한다.

=== 이차 함수와의 관계 ===

준선이 x축에 평행하고 꼭지점이 원점에 놓인 포물선의 초점을 F(0,p)라고 하면, 이 포물선의 방정식은

:

y = \frac{1}{4p}x^2

로 나타낼 수 있다. 이를 x축으로 h만큼, y축으로 k만큼 평행 이동하면

:

y - k = \frac{(x - h)^2}{4p}

가 된다.^[34]

이때 초점과 준선 역시 평행이동 되므로 초점은

(h,k+p)

, 준선은

y=k-p

가 된다.

위의 식을 풀어서 정리하면,

:

y = \frac{1}{4p}x^2 - \frac{1}{2p}mx + \frac{1}{4p}m^2 + k

의 꼴로 나타낼 수 있고,

\frac{1}{4p} = a, - \frac{1}{2p}m = b, \frac{1}{4p}m^2 + k = c

라고 하면, 포물선의 방정식은

:

y = ax^2 + bx +c

로 나타낼 수 있다. 즉, 이차 함수의 그래프는 포물선이 된다.^[34]

a > 0

인 경우 포물선은 위로 열리고,

a < 0

인 경우 아래로 열린다.

초점: $\left(0, \frac{1}{4a}\right)$
꼭짓점: $(0, 0)$
준선: 방정식 $y = -\frac{1}{4a}$

2차 함수의 일반 형태는 다음과 같다.

:

f(x) = ax^2 + bx + c

(

a, b, c

는 실수,

a \ne 0

)

완전 제곱식을 이용하면

:

f(x) = a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}

를 얻는데, 이는 다음과 같은 특징을 가진 포물선의 방정식이다.

대칭축: $x = -\frac{b}{2a}$
꼭짓점: $V = \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$
초점: $F = \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2 + 1}{4a}\right)$
준선: $y = \frac{4ac - b^2 - 1}{4a}$

=== 극좌표계에서의 포물선 ===

극좌표계에서 포물선은 다음과 같이 정의된다.

:

r = \frac{\ell}{1 + \cos\theta}

만약

p > 0

이라면, 방정식

y^2 = 2px

(오른쪽으로 열리는)을 갖는 포물선은 극좌표 표현식

:

r = 2p \frac{\cos\varphi}{\sin^2\varphi}, \quad \varphi \in \left[ -\tfrac{\pi}{2} , \tfrac{\pi}{2} \right] \setminus \{0\}

을 갖는다. 여기서

r^2 = x^2 + y^2,\ x = r\cos\varphi

이다.

그 꼭짓점은

V = (0, 0)

이고, 초점은

F = (\tfrac{p}{2}, 0)

이다.

원점을 초점으로 이동시키면, 즉

F = (0, 0)

이 되면, 다음과 같은 방정식을 얻는다.

:

r = \frac{p}{1 - \cos\varphi}, \quad \varphi \ne 2\pi k.

이 극좌표 형태를 반전시키면 포물선이 반전된 카디오이드임을 보여준다. 두 번째 극좌표 형태는 초점

F = (0, 0)

을 갖는 2차 곡선의 족의 특수한 경우이다(그림 참조).

:

r = \frac{p}{1 - e\cos\varphi}

(

e

는 이심률이다).

3. 1. 좌표평면에서의 포물선

초점의 좌표가

(a,0)

이고 준선의 방정식이

x=-a

인 포물선의 방정식은

y^2 = 4ax

이고, 초점의 좌표가

(0,a)

이고 준선의 방정식이

y=-a

인 포물선의 방정식은

x^2 = 4ay

이다. 이는 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 증명할 수 있다.

예를 들어, 초점의 좌표가

(0,a)

이고 준선의 방정식이

y=-a

인 포물선 위의 점의 좌표를

(x,y)

라고 하면, 두 점 사이의 거리 공식에 의해 점

(x,y)

에서 점

(0,a)

, 직선

y=-a

에 이르는 거리가 각각

\sqrt{ x^2 +  (y-a)^2 }

,

\left\vert y+a \right\vert

이다. 포물선의 정의에 의하여 점

(x,y)

의 자취의 방정식은

\sqrt{ x^2 +  (y-a)^2 } = \left\vert y+a \right\vert

인데, 이 식을 정리하면

y= \frac {1} {4a} x^2

이다. 따라서 초점의 좌표가

(0,a)

이고 준선의 방정식이

y=-a

인 포물선의 방정식은

y = \frac {1} {4a} x^2

이다.

직교좌표계를 도입하여

F = (0, f),\ f > 0

이고 준선의 방정식이

y = -f

라고 하면, 점

P = (x, y)

에 대해

|PF|^2 = |Pl|^2

에서 방정식

x^2 + (y - f)^2 = (y + f)^2

을 얻는다.

y

에 대해 정리하면

y = \frac{1}{4f} x^2

이다. 이 포물선은 U자 모양(위쪽으로 열림)이다.

초점을 지나는 수평현을 준선장(latus rectum)이라고 하며, 그 절반을 반준선장(semi-latus rectum)(

p

)이라고 한다. 준선장은 준선에 평행하며,

p = 2f

이다. 반준선장

p

는 초점과 준선 사이의 거리이며, 매개변수

p

를 사용하여 포물선의 방정식을

x^2 = 2py

로 쓸 수 있다.

꼭짓점이

V = (v_1, v_2)

, 초점이

F = (v_1, v_2 + f)

, 준선이

y = v_2 - f

이면, 방정식은

y = \frac{1}{4f} (x - v_1)^2 + v_2 = \frac{1}{4f} x^2 - \frac{v_1}{2f} x + \frac{v_1^2}{4f} + v_2

이다.

초점이

F = (f_1, f_2)

이고, 준선이

ax + by + c = 0

이면, 방정식

\frac{(ax + by + c)^2}{a^2 + b^2} = (x - f_1)^2 + (y - f_2)^2

을 얻는다.

포물선 위의 한 점을 P(x, y), 초점을 F(p, q), 준선의 방정식을 ax + by + c = 0이라고 하면, 포물선의 방정식은

\frac

{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{(x-p)^2 + (y-q)^2}이며, 이를 일반형이라고 한다. 포물선 위의 점을 P(x, y), 초점을 F(0, a), 준선의 방정식을 y = −a라고 하면,

x^2 = 4ay

가 되며, x와 y를 바꾼

y^2 = 4ax

도 포물선의 방정식이며, 이를 표준형이라고 한다.

3. 2. 이차 함수와의 관계

준선이 x축에 평행하고 꼭지점이 원점에 놓인 포물선의 초점을 F(0,p)라고 하면, 이 포물선의 방정식은

:

y = \frac{1}{4p}x^2

로 나타낼 수 있다. 이를 x축으로 h만큼, y축으로 k만큼 평행 이동하면

:

y - k = \frac{(x - h)^2}{4p}

가 된다.^[34]

이때 초점과 준선 역시 평행이동 되므로 초점은

(h,k+p)

, 준선은

y=k-p

가 된다.

위의 식을 풀어서 정리하면,

:

y = \frac{1}{4p}x^2 - \frac{1}{2p}mx + \frac{1}{4p}m^2 + k

의 꼴로 나타낼 수 있고,

\frac{1}{4p} = a, - \frac{1}{2p}m = b, \frac{1}{4p}m^2 + k = c

라고 하면, 포물선의 방정식은

:

y = ax^2 + bx +c

로 나타낼 수 있다. 즉, 이차 함수의 그래프는 포물선이 된다.^[34]

a > 0

인 경우 포물선은 위로 열리고,

a < 0

인 경우 아래로 열린다.

초점: $\left(0, \frac{1}{4a}\right)$
꼭짓점: $(0, 0)$
준선: 방정식 $y = -\frac{1}{4a}$

2차 함수의 일반 형태는 다음과 같다.

:

f(x) = ax^2 + bx + c

(

a, b, c

는 실수,

a \ne 0

)

완전 제곱식을 이용하면

:

f(x) = a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}

를 얻는데, 이는 다음과 같은 특징을 가진 포물선의 방정식이다.

대칭축: $x = -\frac{b}{2a}$
꼭짓점: $V = \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$
초점: $F = \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2 + 1}{4a}\right)$
준선: $y = \frac{4ac - b^2 - 1}{4a}$

3. 3. 극좌표계에서의 포물선

극좌표계에서 포물선은 다음과 같이 정의된다.

:r =

만약 p > 0 이라면, 방정식 y² = 2px (오른쪽으로 열리는)을 갖는 포물선은 극좌표 표현식

을 갖는다. 여기서 이다.

그 꼭짓점은 V = (0, 0)이고, 초점은 F = (}, 0)이다.

원점을 초점으로 이동시키면, 즉 F = (0, 0)이 되면, 다음과 같은 방정식을 얻는다.

이 극좌표 형태를 반전시키면 포물선이 반전된 카디오이드임을 보여준다. 두 번째 극좌표 형태는 초점 F = (0, 0)을 갖는 2차 곡선의 족의 특수한 경우이다(그림 참조).

} (e는 이심률이다).

4. 포물선의 성질

4. 1. 기하학적 성질

어떤 포물선에 대하여 그 포물선의 준선에 평행하고 그 초점을 지나는 직선과 그 포물선의 두 교점을 양 끝점으로 하는 선분을 그 포물선의 통경이라고 한다. 일반적인 포물선의 방정식

:

y - k = \frac{(x - h)^2}{4p}

에서 통경의 양 끝 점의 x축 성분은

y= p + k

로 놓아 구할 수 있다.

:

p + k - k = \frac{(x - h)^2}{4p}

:

4p^2 = (x-h)^2

:

x = h \pm 2p

와 같이 되어 통경의 두 끝점 좌표는

( h - 2p, p+k ), ( h + 2p, p+k)

가 되고, 선분의 길이는

4p

임을 알 수 있다. 즉 통경의 길이는 언제나 꼭지점과 초점 사이의 거리의 4배이다.^[37] 통경의 길이는 각 포물선의 방정식 마다 유일하고 통경의 길이가 같다면 두 포물선은 합동이다.^[38]

x축을 대칭축으로 하고, 한 꼭짓점이 원점 (0, 0)이며, 공통 준선 길이가

p

인 2차곡선의 펜슬은 다음 방정식으로 나타낼 수 있다.

y^2 = 2px +(e^2 - 1) x^2, \quad e \ge 0,

여기서

e

는 이심률이다.

$e = 0$ 이면 2차곡선은 원(이 펜슬의 접촉원)이다.
$0 < e < 1$ 이면 타원이다.
$e = 1$ 이면 방정식 $y^2 = 2px$ 를 갖는 '''포물선'''이다.
$e > 1$ 이면 쌍곡선이다 (그림 참조).

이 그림은 꼭짓점 A를 가지는 원뿔과 그 축 를 나타낸다. 원뿔의 경사 단면(분홍색으로 표시)은 원뿔의 옆면과 같은 각도 로 축에 기울어져 있다. 원뿔곡선으로서의 포물선의 정의에 따르면, 이 분홍색 단면 EPD의 경계는 포물선이다.

원뿔의 축에 수직인 단면이 포물선의 꼭짓점 P를 통과하며 원형이지만, 비스듬히 보면 타원형으로 보인다. 중심은 V이고, 는 지름이며, 반지름을 이라고 한다.

원뿔의 축에 수직인 또 다른 원형 단면은 방금 설명한 단면보다 꼭짓점 A에서 더 멀리 있으며, 포물선이 원과 교차하는 점들을 연결하는 현 를 가지고 있다. 또 다른 현 는 의 수직 이등분선이며, 따라서 원의 지름이다. 이 두 현과 포물선의 대칭축 은 모두 점 M에서 만난다.

D와 E를 제외한 모든 표시된 점들은 동일평면상의이며, 전체 그림의 대칭면에 있다.

과 의 길이를 , 의 길이를 라고 한다.

단델랭 구를 이용하면, 계산 없이 기본적인 기하학적 고찰만으로 포물선의 성질을 증명할 수 있다.

수직선으로부터의 기울기가 원뿔의 모선(꼭짓점과 원뿔 표면의 한 점을 포함하는 직선)

m_0

과 같은 평면

\pi

에 의한 직원뿔의 교선은 포물선이다(도표의 빨간색 곡선).

이 모선

m_0

은 평면

\pi

에 평행한 원뿔의 유일한 모선이다. 그렇지 않고, 교차 평면에 평행한 두 개의 모선이 있다면, 교선은 쌍곡선(두 모선이 교차 평면에 있을 경우 퇴화된 쌍곡선)이 된다. 교차 평면에 평행한 모선이 없다면, 교선은 타원이나 원(또는 한 점)이 된다.

평면

\sigma

는 원뿔의 수직축과 직선

m_0

을 포함하는 평면이라고 하자. 평면

\pi

의 수직선으로부터의 기울기가 직선

m_0

과 같다는 것은 측면에서 볼 때(즉, 평면

\pi

가 평면

\sigma

에 수직일 때),

m_0 \parallel \pi

임을 의미한다.

포물선의 준선 성질을 증명하기 위해, 단델랭 구

d

를 사용하는데, 이는 원

c

를 따라 원뿔과 접하고 점

F

에서 평면

\pi

와 접하는 구이다. 원

c

를 포함하는 평면은 평면

\pi

와 직선

l

에서 교차한다. 평면

\pi

, 단델랭 구

d

및 원뿔로 구성된 시스템에는 거울 대칭이 있다(대칭면은

\sigma

이다).

원

c

를 포함하는 평면이 평면

\sigma

에 수직이고

\pi \perp \sigma

이므로, 그들의 교선

l

도 평면

\sigma

에 수직이어야 한다. 직선

m_0

이 평면

\sigma

에 있으므로,

l \perp m_0

이다.

F

는 포물선의 ''초점''이고,

l

은 포물선의 ''준선''이다.

#

P

를 교선의 임의의 점이라고 하자.

#

P

를 포함하는 원뿔의 모선은 점

A

에서 원

c

와 교차한다.

# 선분

\overline{PF}

와

\overline{PA}

는 구

d

에 접하고, 따라서 길이가 같다.

# 모선

m_0

은 점

D

에서 원

c

와 교차한다. 선분

\overline{ZD}

와

\overline{ZA}

는 구

d

에 접하고, 따라서 길이가 같다.

# 직선

q

는

m_0

에 평행하고 점

P

를 지나는 직선이라고 하자.

m_0 \parallel \pi

이고 점

P

가 평면

\pi

에 있으므로, 직선

q

는 평면

\pi

에 있어야 한다.

m_0 \perp l

이므로,

q \perp l

도 알 수 있다.

# 점

B

는 점

P

에서 직선

l

에 대한 ''수선의 발''이라고 하자. 즉,

\overline{PB}

는 직선

q

의 선분이고, 따라서

\overline{PB} \parallel \overline{ZD}

이다.

# 정지비례와

\overline{ZD} = \overline {ZA}

로부터

\overline{PA} = \overline {PB}

임을 알 수 있다.

\overline{PA} = \overline {PF}

이므로,

\overline{PF} = \overline {PB}

임을 알 수 있는데, 이는

P

에서 초점

F

까지의 거리가

P

에서 준선

l

까지의 거리와 같음을 의미한다.

200px

평면기하학에서 '''포물선'''은, '''준선'''이라 불리는 직선 L과, 그 위에 있지 않은 '''초점'''이라 불리는 한 점 F가 주어질 때, 준선 L과 초점 F를 모두 포함하는 유일한 평면 π 위의 점 P로서, P에서 초점 F까지의 거리 PF와 같은 거리 PQ를 갖는 준선 L 위의 점 Q가 존재하는 것들의 자취로 정의되는 평면곡선이다.

원뿔면을 모선에 평행한 평면으로 자르면, 단면은 포물선이 된다(원뿔곡선).

포물선은 이차곡선의 한 종류로, 이심률은 1이다.

초점이 (0, ''c'')이고, 준선이 ''y'' = −''c''일 때, 포물선의 방정식은 ''x''² = 4''cy''가 된다.
초점이 (''c'', 0)이고, 준선이 ''x'' = −''c''일 때, 포물선의 방정식은 ''y''² = 4''cx''가 된다.
이차함수 ''y'' = ''ax''² + ''bx'' + ''c'' (''a''는 0이 아님)가 그리는 그래프는 포물선이 된다.

초점에서 준선에 그은 수선은 이 포물선의 유일한 대칭축이 된다. 포물선과 그 대칭축과의 교점을 이 포물선의 꼭짓점이라고 한다. 포물선을 그 대칭축 주위로 회전시켜 만들어지는 곡면을 '''회전 포물면''' 또는 간단히 '''포물면''' (paraboloid)^영어 이라고 한다.

: 파라볼라 안테나의 모양도 포물선의 회전에 의해 얻어지는 포물면이다(파라볼라 Parabola[영]=포물선). 포물면 모양의 반사판은 평행한 광선(또는 전파, 기타 방사선)을 초점에 모으므로, 안테나나 태양로에 사용하는 오목거울의 모양으로 이용된다. 송신할 때에도, 초점에 놓인 점광원의 구면파에서 평행한 방사를 얻기 위해 이용된다.

: 많은 건축물의 아치 모양에는 사슬선과 함께 포물선이 자주 사용된다. 특히 에펠탑이나 도쿄 타워와 같은 철탑에서는 하부 아치는 물론, 탑체 측면의 곡선도 포물선으로 근사된다.

200px

직선 L과 L 위에 있지 않은 한 점 F를 고정하고, L 위에 임의의 점 P를 잡으면,

직선 PF와 직선 L이 이루는 각의 이등분선은, 직선 L을 준선, 점 F를 초점으로 하는 포물선의 포락선이 된다.

이것을 이용하여, 종이의 접힘 자국으로부터 포물선을 나타낼 수 있다.^[24]

4. 2. 반사 성질

포물선 위의 한 점 E에서 접선을 그었을 때, 포물선으로 들어오는 빛의 입사각과 초점 F로 나가는 반사각은 같다.^[31] 이러한 포물선의 반사 성질은 반사망원경, 파라볼라 안테나, 손전등 등에 응용된다.^[31] 포물선을 회전하여 만든 반사면은 빛과 같은 전자기파를 초점에 모으거나, 반대로 초점의 광원에서 나온 빛을 포물면에 반사시켜 곧게 나아가게 한다.^[31]

포물면은 포물선을 대칭축을 중심으로 회전시켜 만든 곡면이다. 파라볼라 안테나는 포물면 모양의 반사판을 이용하여 평행한 광선(또는 전파)을 초점에 모은다. 태양로에 사용되는 오목거울도 같은 원리로 작동한다. 송신 시에는 초점에 놓인 점광원의 구면파로부터 평행한 방사를 얻기 위해 포물면이 사용된다.

많은 건축물의 아치 모양에는 사슬선과 함께 포물선이 자주 사용된다. 에펠탑이나 도쿄 타워와 같은 철탑에서는 하부 아치는 물론, 탑체 측면의 곡선도 포물선으로 근사된다.

포물선의 반사 특성은 대칭축에 평행하게 들어오는 빛이 초점으로 반사된다는 것이다. 이는 기하광학에서 빛이 광선으로 이동한다는 가정하에 유도된다.

포물선 ''y'' = ''x''²을 예로 들면, 모든 포물선은 닮음이므로 이 경우가 다른 모든 경우를 나타낸다. 이 포물선에서 점 E에서 포물선의 접선 BE를 생각하면, 삼각형 FEB와 삼각형 CEB는 세 변의 길이가 같으므로 합동이다. 따라서 각 α는 서로 같으며, 이는 포물선에 대칭축과 평행하게 들어오는 광선이 선분 BE에 의해 반사되어 선분 EF를 따라 이동함을 의미한다. 즉, 빛은 포물선에 의해 초점으로 반사된다.

이러한 반사 및 접선 이등분 성질은 미적분을 이용하거나 기하학적으로 증명할 수 있다. 기하학적 증명에서, 포물선 위의 임의의 점 P와 Q에 대해, 이등분선 MP 위의 모든 점은 F와 T로부터 거리가 같지만, Q는 T보다 F에 더 가깝다. 따라서 점 P를 제외한 포물선 전체는 MP의 초점 쪽에 있으며, MP는 P에서 포물선의 접선이다.

4. 3. 기타 성질

위 증명과 첨부된 그림은 접선 가 각 ∠FEC을 이등분함을 보여준다. 다시 말해, 어떤 점에서의 포물선의 접선은 그 점을 초점과 준선의 수선에 연결하는 선 사이의 각을 이등분한다.^[8] △FBE와 △CBE 삼각형이 합동이므로, 는 접선 에 수직이다. B가 꼭짓점에서 포물선에 접하는 x축 위에 있으므로, 포물선의 임의의 접선과 그 접선에 대한 초점에서의 수선의 교점은 꼭짓점에서 포물선에 접하는 직선 위에 있다.^[8] 페달 곡선 참조.

포물선은 무한원선

g_\infty

위의 한 점

Y_\infty

를 가지는 비퇴화 사영 원추곡선의 아핀 부분으로 간주될 수 있으며, 이 점은

Y_\infty

에서의 접선이다. 파스칼의 정리의 5점, 4점 및 3점 퇴화는 적어도 하나의 접선을 다루는 원추곡선의 성질이다. 이 접선을 무한원선으로, 접점을 y축의 무한원점으로 간주하면 포물선에 대한 세 가지 명제를 얻을 수 있다.

다음 포물선의 성질들은 "연결하다", "교차하다", "평행하다"라는 용어만을 다루는데, 이들은 닮음 변환의 불변량이다. 따라서 방정식

y = x^2

를 갖는 "단위 포물선"에 대해 어떤 성질을 증명하는 것으로 충분하다.

적절한 좌표계에서 임의의 포물선은 방정식

y = ax^2

로 나타낼 수 있다. 포물선

y = ax^2

의 네 점을

P_1 = (x_1, y_1),\ P_2 = (x_2, y_2),\ P_3 = (x_3, y_3),\ P_4 = (x_4, y_4)

라 하고,

Q_2

를 할선

P_1 P_4

와 직선

x = x_2

의 교점,

Q_1

을 할선

P_2 P_3

와 직선

x = x_1

의 교점이라고 하면, 할선

P_3 P_4

는 직선

Q_1 Q_2

와 평행하다. 포물선의 4점 성질은

P_1, P_2, P_3

와

Q_2

가 주어졌을 때 점

P_4

를 작도하는 데 사용될 수 있다. 이는 파스칼 정리의 5점 축퇴의 아핀 버전이다.

포물선 방정식이

y = ax^2

인 포물선 위의 세 점을

P_0=(x_0,y_0),P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2)

라 하고,

Q_2

를 할선

P_0P_1

과 직선

x = x_2

의 교점,

Q_1

을 할선

P_0P_2

과 직선

x = x_1

의 교점이라고 하면, 점

P_0

에서의 접선은 직선

Q_1 Q_2

와 평행하다. 포물선의 3점-1접선 성질은

P_1,P_2,P_0

가 주어졌을 때 점

P_0

에서의 접선을 작도하는 데 사용될 수 있다. 이는 파스칼 정리의 4점 퇴화의 아핀 버전이다.

방정식

y = ax^2

를 갖는 포물선 위의 두 점을

P_1 = (x_1, y_1),\ P_2 = (x_2, y_2)

라 하고, 점

P_1

에서의 접선과 직선

x = x_2

의 교점을

Q_2

, 점

P_2

에서의 접선과 직선

x = x_1

의 교점을

Q_1

이라 하면, 할선

P_1 P_2

는 직선

Q_1 Q_2

와 평행하다. 2점-2접선 성질은 점

P_1, P_2

와

P_1

에서의 접선이 주어졌을 때, 포물선의 점

P_2

에서의 접선을 작도하는 데 사용될 수 있다. 이는 파스칼 정리의 3점 퇴화의 아핀 버전이다.

P_1 = (x_1, y_1),\ P_2 = (x_2, y_2)

를 포물선

y = ax^2

의 두 점이라고 하고,

t_1, t_2

를 각각의 접선이라고 하자.

Q_1

을 접선

t_1, t_2

의 교점이라고 하고,

Q_2

를

P_2

를 지나고

t_1

에 평행한 직선과

P_1

을 지나고

t_2

에 평행한 직선의 교점이라고 하면, 직선

Q_1 Q_2

는 포물선의 축과 평행하며 방정식

x = (x_1 + x_2) / 2

를 갖는다. 이 성질은 두 점과 그 접선이 주어졌을 때 포물선의 축의 방향을 결정하는 데 사용할 수 있다.

대칭축이 포물선과 만나는 점을 Q라고 하고, 초점을 F라고 하며, 점 Q와 초점 F 사이의 거리를 f라고 하자. 초점을 지나 대칭축에 수직인 직선이 포물선과 만나는 점을 T라고 하면, F에서 T까지의 거리는 2f이고, 점 T에서 포물선에 그은 접선은 대칭축과 45° 각도로 만난다.^[13]

포물선의 두 접선이 서로 수직이면, 두 접선은 정직선 위에서 만난다. 반대로, 정직선 위에서 만나는 두 접선은 수직이다. 다시 말해, 정직선의 임의의 점에서 전체 포물선은 직각을 이룬다.

포물선에 접하는 세 접선이 삼각형을 이룬다면, '''람베르트(Johann Heinrich Lambert)의 정리'''는 포물선의 초점이 그 삼각형의 외접원 위에 있다는 것을 말한다.^[14]^[8] 츠케르만(Tsukerman)의 람베르트 정리의 역은, 삼각형을 둘러싸는 세 직선이 주어졌을 때, 두 직선이 초점이 삼각형의 외접원 위에 있는 포물선에 접한다면, 세 번째 직선도 그 포물선에 접한다는 것이다.^[15]

포물선에 여러 개의 평행한 현이 있다면, 그 현들의 중점들은 모두 대칭축에 평행한 직선 위에 놓인다. 만약 이 현들의 양 끝점을 지나는 포물선의 접선을 그린다면, 두 접선은 대칭축에 평행한 같은 직선 위에서 만난다.

thumb(녹색선)과 포물선(적색선)의 비교]]

현수선은 모양이 포물선과 비슷하여 혼동되는 경우가 있지만, 완전히 다른 것이다. 공통된 성질로는 유일한 최소의 극값을 가지고, 아래로 볼록하며, 꼭짓점을 지나는 직선을 대칭축으로 하여 선대칭이다.

5. 다양한 분야에서의 응용

자연에서는 다양한 상황에서 포물선과 포물면의 근사값이 발견된다. 물리학 역사상 가장 잘 알려진 포물선의 예는 공기 저항이 없는 균일한 중력장의 영향 아래 운동하는 입자 또는 물체의 궤적이다(예: 공기 마찰을 무시한 채 공중을 나는 공).^[19] 발사체의 포물선 궤적은 17세기 초 갈릴레오 갈릴레이가 경사면에서 구슬을 굴리는 실험을 통해 실험적으로 발견되었다. 그는 나중에 그의 저서 ''두 가지 새로운 과학에 관한 대화''에서 수학적으로 이를 증명했다.^[19] 공간적으로 넓게 퍼져있는 물체(예: 다이빙대에서 뛰어내리는 다이버)의 경우, 물체 자체는 회전하면서 복잡한 운동을 하지만, 물체의 질량 중심은 포물선을 따라 움직인다. 물리적 세계의 모든 경우와 마찬가지로, 궤적은 항상 포물선의 근사값이다. 예를 들어, 공기 저항의 존재는 항상 모양을 왜곡하지만, 저속에서는 모양이 포물선의 좋은 근사값이다. 탄도학에서와 같이 고속에서는 모양이 크게 왜곡되어 포물선과 유사하지 않다.

17세기와 18세기에 아이작 뉴턴이 기술한 물리학 이론에 따르면 포물선이 나타날 수 있는 또 다른 가상적인 상황은 이중체 궤도, 예를 들어 태양의 중력의 영향을 받는 작은 소행성이나 다른 물체의 경로이다. 포물선 궤도는 자연계에 존재하지 않는다. 간단한 궤도는 대부분 쌍곡선이나 타원과 유사하다. 포물선 궤도는 이 두 가지 유형의 이상적인 궤도 사이의 축퇴된 중간 경우이다. 포물선 궤도를 따르는 물체는 자신이 공전하는 물체의 정확한 탈출 속도로 이동한다. 타원 궤도 또는 쌍곡선 궤도의 물체는 각각 탈출 속도보다 작거나 큰 속도로 이동한다. 장주기 혜성은 내태양계를 통과하는 동안 태양의 탈출 속도에 가깝게 이동하므로, 그 경로는 거의 포물선이다.

포물선의 근사값은 간단한 현수교의 주 케이블 모양에서도 발견된다. 현수교 체인의 곡선은 항상 포물선과 사슬선 사이의 중간 곡선이지만, 실제로는 하중(즉, 도로)의 무게가 케이블 자체보다 훨씬 크기 때문에 곡선은 일반적으로 포물선에 더 가깝고, 계산에서는 포물선의 2차 다항식 공식이 사용된다.^[20]^[21] 균일한 하중(예: 수평으로 매달린 데크)의 영향을 받으면, 원래 사슬선 모양의 케이블은 포물선으로 변형된다. 비탄성 사슬과 달리, 응력이 없는 자유롭게 매달린 스프링은 포물선 모양을 취한다. 현수교 케이블은 이상적으로 순수하게 장력 상태에 있으며, 다른 힘(예: 굽힘)을 받을 필요가 없다. 마찬가지로, 포물선 아치 구조는 순수하게 압축 상태이다.

포물면도 여러 물리적 상황에서 나타난다. 가장 잘 알려진 예는 포물면 반사경으로, 빛이나 다른 형태의 전자기파를 공통 초점에 집중시키거나, 반대로 초점에 있는 점광원의 빛을 평행 광선으로 콜리메이트하는 거울이나 유사한 반사 장치이다. 포물면 반사경의 원리는 기원전 3세기에 기하학자 아르키메데스에 의해 발견되었을 가능성이 있는데, 의심스러운 전설^[22]에 따르면 그는 시라쿠사를 로마 함대에 대항하여 방어하기 위해 포물면 거울을 만들어 태양 광선을 집중시켜 로마 배의 갑판에 불을 질렀다고 한다. 이 원리는 17세기에 망원경에 적용되었다. 오늘날 포물면 반사경은 전 세계에서 마이크로파와 위성 접시 수신 및 송신 안테나에서 흔히 볼 수 있다.

포물선 마이크로폰에서는 포물면 반사경을 사용하여 소리를 마이크로폰에 집중시켜 매우 지향적인 성능을 제공한다.

포물면은 용기에 담겨 중심축을 중심으로 회전하는 액체의 표면에서도 관찰된다. 이 경우 원심력으로 인해 액체가 용기 벽을 타고 올라가 포물선 표면을 형성한다. 이것이 액체 거울 망원경의 원리이다.

무중력 상태를 실험 목적으로 만들기 위해 사용되는 항공기(예: NASA의 "토사물 혜성")는 대부분의 목적으로 무중력과 같은 효과를 내는 자유낙하 상태에 있는 물체의 경로를 추적하기 위해 짧은 기간 동안 수직 포물선 궤적을 따른다.

자유 전자의 띠 구조는 포물선이 된다. 또한, 자유 전자의 상태 밀도(3차원)도 포물선이 된다.

5. 1. 물리

자연에서는 다양한 상황에서 포물선과 포물면의 근사값이 발견된다. 물리학 역사상 가장 잘 알려진 포물선의 예는 공기 저항이 없는 균일한 중력장의 영향 아래 운동하는 입자 또는 물체의 궤적이다(예: 공기 마찰을 무시한 채 공중을 나는 공).^[19] 발사체의 포물선 궤적은 17세기 초 갈릴레오 갈릴레이가 경사면에서 구슬을 굴리는 실험을 통해 실험적으로 발견되었다. 그는 나중에 그의 저서 ''두 가지 새로운 과학에 관한 대화''에서 수학적으로 이를 증명했다.^[19] 공간적으로 넓게 퍼져있는 물체의 경우, 물체 자체는 회전하면서 복잡한 운동을 하지만, 물체의 질량 중심은 포물선을 따라 움직인다.

17세기와 18세기에 아이작 뉴턴이 기술한 물리학 이론에 따르면 포물선이 나타날 수 있는 또 다른 가상적인 상황은 이중체 궤도, 예를 들어 태양의 중력의 영향을 받는 작은 소행성이나 다른 물체의 경로이다. 포물선 궤도는 자연계에 존재하지 않는다. 간단한 궤도는 대부분 쌍곡선이나 타원과 유사하다. 포물선 궤도는 이 두 가지 유형의 이상적인 궤도 사이의 축퇴된 중간 경우이다. 포물선 궤도를 따르는 물체는 자신이 공전하는 물체의 정확한 탈출 속도로 이동한다. 장주기 혜성은 내태양계를 통과하는 동안 태양의 탈출 속도에 가깝게 이동하므로, 그 경로는 거의 포물선이다.

포물선의 근사값은 간단한 현수교의 주 케이블 모양에서도 발견된다. 현수교 체인의 곡선은 항상 포물선과 사슬선 사이의 중간 곡선이지만, 실제로는 하중(즉, 도로)의 무게가 케이블 자체보다 훨씬 크기 때문에 곡선은 일반적으로 포물선에 더 가깝고, 계산에서는 포물선의 2차 다항식 공식이 사용된다.^[20]^[21]

포물면도 여러 물리적 상황에서 나타난다. 가장 잘 알려진 예는 포물면 반사경으로, 빛이나 다른 형태의 전자기파를 공통 초점에 집중시키거나, 반대로 초점에 있는 점광원의 빛을 평행 광선으로 콜리메이트하는 거울이나 유사한 반사 장치이다. 포물면 반사경의 원리는 기원전 3세기에 기하학자 아르키메데스에 의해 발견되었을 가능성이 있다.^[22] 오늘날 포물면 반사경은 전 세계에서 마이크로파와 위성 접시 수신 및 송신 안테나에서 흔히 볼 수 있다. 포물선 마이크로폰에서는 포물면 반사경을 사용하여 소리를 마이크로폰에 집중시켜 매우 지향적인 성능을 제공한다. 포물면은 용기에 담겨 중심축을 중심으로 회전하는 액체의 표면에서도 관찰된다.

무중력 상태를 실험 목적으로 만들기 위해 사용되는 항공기는 짧은 기간 동안 수직 포물선 궤적을 따른다.

질량 의 물체를 비스듬히 발사할 때, 공기 저항이 없는 이상적인 상황에서는 발사 후 물체에 작용하는 힘은 아래 방향으로 작용하는 중력 뿐이다 (는 중력 가속도). 따라서, 운동 방정식 에서 물체의 가속도는

:

\boldsymbol{a} = \frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2} = \frac{d^2}{dt^2} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -g \end{bmatrix}

이 된다. 초속이

\boldsymbol{v}_{0}=(v_{x}(0),v_{y}(0))^{T}=v_{0}(\cos\theta,\sin\theta)^{T}(v=|\boldsymbol{v}|)

이라면, 적분하여

:

\boldsymbol{v} = \frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = \boldsymbol{v}(0) + \int_0^t \boldsymbol{a} \, dt = \begin{bmatrix} v_0 \cos\theta \\ v_0\sin\theta - gt \end{bmatrix}

이 되고, 초기 위치를 '''''r'''''₀ = (0, ''y''₀)로 하면, 다시 적분하여

:

\boldsymbol{r} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \boldsymbol{r}_0 + \int_0^t \boldsymbol{v} \, dt = \begin{bmatrix} v_0 t \cos\theta \\ y_0 + v_0 t \sin\theta - gt^2/2 \end{bmatrix}

가 시간 에서 물체의 위치이다. 를 소거하면, 적절한 상수 에 의해

:

y = ax^2 + bx + c

의 형태로 쓸 수 있다.

5. 2. 광학

포물선은 빛과 같은 전자기파를 초점으로 모으거나, 초점의 광원에서 나온 빛을 포물면에 반사시켜 곧게 나아가게 하는 성질을 가지고 있다.^[31] 이러한 성질은 반사망원경, 파라볼라 안테나, 손전등 등에 사용된다.^[31]

자연에서는 여러 현상에서 포물선과 포물면의 근사값을 관찰할수 있다. 공기 저항이 없는 균일한 중력장에서 운동하는 물체의 궤적은 포물선의 대표적인 예시이다.^[19] 갈릴레오 갈릴레이는 실험을 통해 이를 발견하고, 저서 ''두 가지 새로운 과학에 관한 대화''에서 수학적으로 증명했다.^[19]

포물선은 이중체 궤도에서도 나타날 수 있는데, 이는 태양의 중력에 영향을 받는 소행성의 경로와 같은 경우다. 하지만 포물선 궤도는 실제로 존재하지 않으며, 대부분 쌍곡선이나 타원 궤도와 유사하다. 포물선 궤도는 이 두 궤도 사이의 중간 형태로, 물체가 탈출 속도로 움직일 때 나타난다. 장주기 혜성은 태양의 탈출 속도에 가깝게 이동하므로 경로가 거의 포물선에 가깝다.

현수교의 주 케이블 모양도 포물선의 근사값으로 볼 수 있다. 현수교 체인의 곡선은 포물선과 현수선 사이의 중간 곡선이지만, 도로의 무게가 케이블 자체보다 훨씬 크기 때문에 포물선에 더 가깝다.^[20]^[21]

포물면은 빛이나 전자기파를 반사시켜 초점에 모으는 포물면 반사경에 활용된다. 포물면 반사경의 원리는 기원전 3세기에 아르키메데스에 의해 발견되었을 가능성이 있다.^[22] 이 원리는 17세기에 망원경에 적용되었고, 현재는 마이크로파 및 위성 접시 안테나 등에 사용된다. 포물면은 액체가 담긴 용기를 회전시킬 때 액체 표면에서도 관찰된다. 원심력으로 인해 액체가 벽을 타고 올라가 포물면을 형성하는데, 이는 액체 거울 망원경의 원리이다.

무중력 상태를 만들기 위해 사용되는 항공기는 짧은 기간 동안 수직 포물선 궤적을 따라 비행하여 자유낙하 상태와 유사한 환경을 조성한다.

5. 3. 건축 및 토목

자연에서는 다양한 상황에서 포물선과 포물면의 근사값이 발견된다. 물리학에서 포물선의 가장 잘 알려진 예는 공기 저항이 없는 균일한 중력장 아래에서 움직이는 물체의 궤적이다. 예를 들어 공기 마찰을 무시하고 공중으로 던진 공의 궤적이 그렇다.^[19] 발사체의 포물선 궤적은 17세기 초 갈릴레오 갈릴레이가 경사면에서 구슬을 굴리는 실험을 통해 발견했다. 그는 나중에 그의 저서 ''두 가지 새로운 과학에 관한 대화''에서 이를 수학적으로 증명했다.^[19]

17세기와 18세기에 아이작 뉴턴이 기술한 물리학 이론에 따르면, 포물선은 이중체 궤도, 예를 들어 태양의 중력의 영향을 받는 작은 소행성 등의 경로에서 나타날 수 있다. 하지만 포물선 궤도는 자연계에 존재하지 않으며, 대부분 쌍곡선이나 타원과 유사하다. 포물선 궤도는 이 두 가지 유형의 궤도 사이의 중간 경우이다. 장주기 혜성은 내태양계를 통과하는 동안 태양의 탈출 속도에 가깝게 이동하므로, 그 경로는 거의 포물선이다.

간단한 현수교의 주 케이블 모양에서도 포물선의 근사값을 찾을 수 있다. 현수교 체인의 곡선은 항상 포물선과 현수선 사이의 중간 곡선이지만, 실제로는 하중(도로)의 무게가 케이블 자체보다 훨씬 크기 때문에 곡선은 일반적으로 포물선에 더 가깝다.^[20]^[21] 균일한 하중의 영향을 받으면, 원래 현수선 모양의 케이블은 포물선으로 변형된다. 현수교 케이블은 이상적으로 순수하게 장력 상태에 있으며, 포물선 아치 구조는 순수하게 압축 상태이다.

포물면은 여러 물리적 상황에서 나타난다. 가장 잘 알려진 예는 포물면 반사경으로, 빛이나 다른 형태의 전자기파를 공통 초점에 집중시키거나, 반대로 초점에 있는 점광원의 빛을 평행 광선으로 만든다. 포물면 반사경의 원리는 기원전 3세기에 기하학자 아르키메데스에 의해 발견되었을 가능성이 있다.^[22] 오늘날 포물면 반사경은 마이크로파와 위성 접시 수신 및 송신 안테나에서 흔히 볼 수 있다. 포물선 마이크로폰은 포물면 반사경을 사용하여 소리를 마이크로폰에 집중시켜 지향적인 성능을 제공한다. 포물면은 용기에 담겨 중심축을 중심으로 회전하는 액체의 표면에서도 관찰된다. 무중력 상태를 실험하기 위해 사용되는 항공기는 짧은 기간 동안 수직 포물선 궤적을 따른다.

5. 4. 기타

자연에서는 다양한 상황에서 포물선과 포물면의 근사값이 발견된다. 물리학 역사상 가장 잘 알려진 포물선의 예는 공기 저항이 없는 균일한 중력장의 영향 아래 운동하는 입자 또는 물체의 궤적이다(예: 공기 마찰을 무시한 채 공중을 나는 공). 발사체의 포물선 궤적은 17세기 초 갈릴레오 갈릴레이가 경사면에서 구슬을 굴리는 실험을 통해 실험적으로 발견되었다. 그는 나중에 그의 저서 ''두 가지 새로운 과학에 관한 대화''에서 수학적으로 이를 증명했다.^[19] 공간적으로 넓게 퍼져있는 물체의 경우, 물체 자체는 회전하면서 복잡한 운동을 하지만, 물체의 질량 중심은 포물선을 따라 움직인다. 물리적 세계의 모든 경우와 마찬가지로, 궤적은 항상 포물선의 근사값이다. 예를 들어, 공기 저항의 존재는 항상 모양을 왜곡하지만, 저속에서는 모양이 포물선의 좋은 근사값이다. 탄도학에서와 같이 고속에서는 모양이 크게 왜곡되어 포물선과 유사하지 않다.

17세기와 18세기에 아이작 뉴턴이 기술한 물리학 이론에 따르면 포물선이 나타날 수 있는 또 다른 가상적인 상황은 이중체 궤도, 예를 들어 태양의 중력의 영향을 받는 작은 소행성이나 다른 물체의 경로이다. 포물선 궤도는 자연계에 존재하지 않는다. 간단한 궤도는 대부분 쌍곡선이나 타원과 유사하다. 포물선 궤도는 이 두 가지 유형의 이상적인 궤도 사이의 축퇴된 중간 경우이다. 포물선 궤도를 따르는 물체는 자신이 공전하는 물체의 정확한 탈출 속도로 이동한다. 타원 궤도 또는 쌍곡선 궤도의 물체는 각각 탈출 속도보다 작거나 큰 속도로 이동한다. 장주기 혜성은 내태양계를 통과하는 동안 태양의 탈출 속도에 가깝게 이동하므로, 그 경로는 거의 포물선이다.

포물선의 근사값은 간단한 현수교의 주 케이블 모양에서도 발견된다. 현수교 체인의 곡선은 항상 포물선과 사슬선 사이의 중간 곡선이지만, 실제로는 하중(즉, 도로)의 무게가 케이블 자체보다 훨씬 크기 때문에 곡선은 일반적으로 포물선에 더 가깝고, 계산에서는 포물선의 2차 다항식 공식이 사용된다.^[20]^[21]

포물면도 여러 물리적 상황에서 나타난다. 가장 잘 알려진 예는 포물면 반사경으로, 빛이나 다른 형태의 전자기파를 공통 초점에 집중시키거나, 반대로 초점에 있는 점광원의 빛을 평행 광선으로 콜리메이트하는 거울이나 유사한 반사 장치이다. 이 원리는 17세기에 망원경에 적용되었다. 오늘날 포물면 반사경은 전 세계에서 마이크로파와 위성 접시 수신 및 송신 안테나에서 흔히 볼 수 있다.

포물선 마이크로폰에서는 포물면 반사경을 사용하여 소리를 마이크로폰에 집중시켜 매우 지향적인 성능을 제공한다. 포물면은 용기에 담겨 중심축을 중심으로 회전하는 액체의 표면에서도 관찰된다. 이것이 액체 거울 망원경의 원리이다.

무중력 상태를 실험 목적으로 만들기 위해 사용되는 항공기(예: NASA의 "토사물 혜성")는 대부분의 목적으로 무중력과 같은 효과를 내는 자유낙하 상태에 있는 물체의 경로를 추적하기 위해 짧은 기간 동안 수직 포물선 궤적을 따른다.

자유 전자의 띠 구조는 포물선이 된다. 또한, 자유 전자의 상태 밀도(3차원)도 포물선이 된다.

6. 한국 사회와 포물선

7. 같이 보기

참조

_[1] 웹사이트 Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? – Deriving the Symptom of the Parabola – Mathematical Association of America http://www.maa.org/p[...] 2016-09-30
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_[3] 서적 Stargazer https://books.google[...]
_[4] 서적 Stargazer https://books.google[...]
_[5] 웹사이트 Spherical Mirrors http://farside.ph.ut[...] 2011-10-05
_[6] 논문 Do similar figures always have the same shape?
_[7] 논문 Similarity of Parabolas – A Geometrical Perspective
_[8] 논문 On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas http://forumgeom.fau[...] 2013
_[9] 서적 Mathematische Oeffeningen Leyden
_[10] 문서 Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski-planes http://www.mathemati[...]
_[11] 문서 Lecture Note ''Planar Circle Geometries'', an Introduction to Möbius-, Laguerre- and Minkowski Planes http://www.mathemati[...]
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_[13] 서적 Practical Conic Sections Dover Publishing 2003
_[14] 논문 The parbelos, a parabolic analog of the arbelos 2013
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_[23] 문서 당용한자 이전의 拋物線 표기법
_[24] 문서 종이접기로 만든 이차곡선 http://math-info.cri[...]
_[25] 서적 수학사 경문사
_[26] 서적 과학의 언어 수 지식의숲
_[27] 서적 문제해결로 살펴본 수학사 경문사
_[28] 서적 수학사 경문사
_[29] 서적 아르키메데스 경문사
_[30] 서적 수학으로 풀어보는 물리의 법칙 이지북
_[31] 서적 미적분학과 해석기하 경문사
_[32] 서적 문제해결로 살펴본 수학사 경문사
_[33] 서적 토질역학 구미서관
_[34] 서적 문제해결로 살펴본 수학사 경문사
_[35] 서적 문과 학생을 위한 미적분 아카데미
_[36] 웹사이트 Methods to solve Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 https://www.alpertro[...]
_[37] 웹사이트 latus rectum http://mathworld.wol[...]
_[38] 웹인용 Lesson 34: Are All Parabolas Congruent? http://greatminds.ne[...] 2016-04-24

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