일계수 다항식

3. 성질

단위 다항식(일계수 다항식)은 대수학 및 정수론에서 널리 사용되는데, 이는 많은 단순화를 가져오고 나눗셈과 분모를 피할 수 있기 때문이다.

모든 다항식은 고유한 단위 다항식과 연관된다. 특히, 다항식의 고유 인수분해는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 모든 다항식은 최고차 계수와 단위 기약 다항식의 곱으로 고유하게 인수분해될 수 있다.

비에타 공식은 단위 다항식의 경우 더 간단하다. ''n''차 단위 다항식의 근의 i번째 기본 대칭 함수는 $(-1)^ic\_\{n-i\}$와 같으며, 여기서 $c\_\{n-i\}$는 미지수의 (n−i)차항의 계수이다.

단위 다항식으로 다항식을 유클리드 나눗셈하면 계수의 나눗셈이 발생하지 않는다. 따라서 가환환의 계수를 가진 다항식에 대해 정의된다.

대수적 정수는 정수 계수를 가진 단위 다항식의 근으로 정의된다.

영이 아닌 일변수 다항식(변수가 하나인 다항식)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$c\_nx^n\; +\; c\_\{n-1\}x^\{n-1\}+\; \backslash cdots\; c\_1x\; +c\_0,$

여기서 $c\_n,\backslash ldots,c\_0$는 다항식의 계수이고, 최고차항의 계수 $c\_n$은 0이 아니다. 정의에 따라, 이러한 다항식은 $c\_n=1$일 때 ''모닉''이다.

두 단위 다항식이 상사원인 것은 그들이 같을 때뿐이다. 왜냐하면 영이 아닌 상수로 다항식을 곱하면 이 상수를 최고차항의 계수로 갖는 다항식이 생성되기 때문이다.

3. 1. 곱셈에 대한 닫힘

4. 다항식 방정식

$P(x)$를 차수가 $n$인 일변수 다항식 $P$를 포함하는 다항식 방정식이라고 하자. $P$의 모든 계수를 최고차 계수 $c\_n$으로 나누면 동일한 해를 가지는 일계수 다항식(모닉 다항식)을 얻는 새로운 다항식 방정식을 얻는다.

예를 들어, 방정식

:$2x^2+3x+1\; =\; 0$

는 일계수 방정식(모닉 방정식)

:$x^2+\backslash frac\{3\}\{2\}x+\backslash frac\{1\}\{2\}=0.$

과 동등하다.

계수가 지정되지 않거나, 나눗셈으로 분수가 발생하지 않는 체(예: $\backslash R,\; \backslash Complex,$ 또는 유한체)에 속하는 경우, 이러한 일계수 방정식으로의 환원은 단순화를 제공할 수 있다. 반면에, 이전 예에서 보듯이 계수가 명시적인 정수인 경우 관련 일계수 다항식은 일반적으로 더 복잡하다. 따라서 정수 계수를 다룰 때는 일계수 다항식 대신 원시 다항식이 자주 사용된다.

$A$가 체라면, 임의의 영이 아닌 다항식 $p$는 정확히 하나의 동반 일계수 다항식 $q$를 가진다(분명히 $q$는 $p$를 최고차 계수로 나눈 것이다). 따라서 이 경우 임의의 자명하지 않은 다항식 방정식 $p(x)\; =\; 0$는 그것과 동치인 일계수 방정식 $q(x)\; =\; 0$으로 대체할 수 있다. 예를 들어, 실수 이차 방정식의 일반형 $ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0\; (a\; \ne \; 0)$는 $$x^2+sx+t\; =\; 0\backslash quad\; (s\; :=\; b/a,\backslash \; t\; :=\; c/a)$$로 대체할 수 있다. 이것에 의해 이차 방정식의 일반 해를 $$x\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\; -s\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{s^2\; -\; 4t\}\backslash right)$$와 같은 다소 간소한 형태로 쓸 수 있다.

한편, 계수환이 체가 아닌 경우에는 큰 차이가 생긴다. 정역 위의 일계수 방정식(정방정식)은 대수적 정수론에서 중요하다.

5. 정수적 원소

체 F의 원소 a가 F의 부분환 R에 대해 ''정수적''이라는 것은 a가 R의 계수를 갖는 일계수 다항식의 근이 된다는 것을 의미한다.

정수에 대해 정수적인 복소수는 대수적 정수라고 한다. 이 용어는 정수가 또한 대수적 정수인 정확한 유리수라는 사실에서 비롯되었다. 이는 유리근 정리의 결과이며, 유리수 $\backslash frac\; pq$가 정수 계수를 갖는 다항식의 근이면, q가 최고차항 계수의 약수임을 주장한다. 따라서 다항식이 일계수이면 $q=\backslash pm\; 1,$이고 이 수는 정수이다. 반대로, 정수 p는 일계수 다항식 $x-a.$의 근이다.

체 F의 두 원소가 F의 부분환 R에 대해 정수적이면, 이 원소들의 합과 곱 또한 R에 대해 정수적임을 증명할 수 있다. 이는 F에서 R에 대해 정수적인 F의 원소들이 정수적 폐포라고 불리는 환을 형성한다는 것을 따른다. 자체 분수체에서 정수적 폐포와 같은 정역을 정수적으로 닫힌 정역이라고 한다.

정수 계수 일계수 방정식은 정수 해 이외의 유리수 해를 갖지 않는다. 정수 계수 일계수 다항식의 근은 대수적 정수라고 불린다.

6. 다변수 다항식

일반적으로 "모닉"이라는 용어는 여러 변수의 다항식에 사용되지 않는다. 그러나 여러 변수의 다항식은 다른 변수의 다항식을 계수로 하는 한 변수의 다항식으로 간주될 수 있다. 따라서 "모닉"이 되는 것은 "주요" 변수를 무엇으로 선택하느냐에 따라 달라진다. 예를 들어, 다음과 같은 다항식을 보자.

:$p(x,y)\; =\; 2xy^2+x^2-y^2+3x+5y-8$

이 다항식은 $x$에 대한 다항식으로 간주될 때 모닉이며, 계수는 $y$에 대한 다항식이다.

:$p(x,y)\; =\; x^2\; +\; (2y^2+3)\; \backslash ,\; x\; +\; (-y^2+5y-8);$

하지만 $y$에 대한 다항식으로 간주될 때는 모닉이 아니며, 계수는 $x$에 대한 다항식이다.

:$p(x,y)=(2x-1)\backslash ,y^2+5y\; +(x^2+3x-8).$

그뢰브너 기저의 맥락에서, 단항식 순서는 일반적으로 고정된다. 이 경우, 선두 계수가 1인 다항식은 (단항식 순서에 따라) 모닉이라고 할 수 있다.

모든 정의에 대해, 모닉 다항식의 곱은 모닉이다.