미정계수법

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1. 개요
2. 정의
3. 미정계수법의 풀이 방법
- 3.1. 제차 방정식의 일반해 구하기
- 3.2. 특수해 추측
4. 미정계수법의 선택 규칙
5. 항등식의 미정계수법
6. 예제
참조

1. 개요

미정계수법은 선형 비동차 상미분 방정식의 해를 구하는 방법 중 하나로, 계수가 상수이고 우변의 함수가 특정 형태(상수, 다항 함수, 지수 함수, 삼각 함수 또는 이들의 유한한 합과 곱)를 가질 때 적용할 수 있다. 이 방법은 먼저 동차 해를 구하고, 우변 함수에 기초한 특수 해를 추정하여 일반 해를 얻는 방식으로 진행된다. 미정계수법은 우변 함수의 형태에 따라 특수해의 형태를 추측하고, 미정 계수를 결정하는 과정을 거친다. 하지만, 우변 함수가 특정 형태가 아니거나 복잡한 경우에는 적용이 어렵고, 매개변수 변환법과 같은 다른 방법을 사용해야 한다.

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미정계수법
개요
분야	미분 방정식
난이도	학부 수준
상세 정보
목적	비동차 상미분 방정식의 특수해를 찾는 방법
설명	비동차 상미분 방정식의 해를 구하는 데 사용되는 방법 우변의 함수 형태에 따라 해의 형태를 가정하고, 미정계수를 결정
관련 개념
관련 항목	상미분 방정식 선형 미분 방정식 특성 방정식 라플라스 변환

2. 정의

미정계수법은 특정 형태의 비제차 선형 상미분 방정식의 해를 구하는 방법이다. 다음과 같은 형태의 방정식을 생각해보자.

: $\sum_{i=0}^n c_i y^{(i)} + y^{(n+1)} = g(x)$

여기서 $y^{(i)}$ 는 $y$ 의 i번째 도함수를 나타내고, $c_i$ 는 상수를 의미한다.

이 방법은 다음 두 가지 조건이 만족될 때 사용할 수 있다.^[2]

$c_i$ 는 상수이다.
$g(x)$ 는 상수, 다항 함수, 지수 함수( $e^{\alpha x}$ ), 사인/코사인 함수( $\sin{\beta x}$ 또는 $\cos{\beta x}$ ), 또는 이들의 유한한 합과 곱의 형태이다. ( $\alpha$ , $\beta$ 는 상수)

이러한 조건을 만족하는 비제차 선형 상미분 방정식은 일반해를 가지며, 일반해는 동차해(

y_c

)와 특수해(

y_p

)의 합으로 표현된다.

:

y = y_c + y_p.

미정계수법은 이 중 특수해(

y_p

)를 구하는 데 사용된다.

2. 1. 비제차 선형 상미분 방정식

비제차 선형 상미분 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

y^{\left( n \right)}+a_{n-1}y^{\left( n-1 \right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left( x \right)

위 식에서

y

는 종속 변수,

x

는 독립 변수,

a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}

는

x

에 대한 계수 함수,

r(x)

는

x

에 대한 함수이다.

위의 식은

:

y\left( x \right)=y_{h}\left( x \right)+y_{p}\left( x \right)

와 같은 일반해를 갖게 되는데, 미정계수법은

y_{p}\left( x \right)

를 구하는 방법이다.^[2]

여기서

y_h(x)

는 동차해(homogeneous solution),

y_p(x)

는 특수해(particular solution)를 나타낸다.

풀이 방법은 다음과 같다.

# 비제차 상미분 방정식의

r\left( x \right)

를 배제하고, 제차방정식이라 생각하고 그 식의 일반해

y_{h}\left( x \right)

를 구한다.

# 우항의

r\left( x \right)

를 미정계수법 표에서 찾아 적당한 것을 택해

y_{p}\left( x \right)

를 구한다.

r(x)의 항	y_p(x)에 대한 선택

미정계수법에 대한 선택 규칙은 다음과 같다.

'''(a) 기본규칙'''

$r\left( x \right)$ 를 위에서 찾고, 그에 해당되는 $y_{p}\left( x \right)$ 를 선택하고, 그 도함수를 비제차 방정식에 대입하여 미정계수를 구한다.

'''(b) 변형규칙'''

'''(b-1) 이계 비제차 선형 상미분 방정식인 경우'''

만약 $y_{p}\left( x \right)$ 가 제차 상미분 방정식의 해가 된다면, 선택된 $y_{p}$ 에 $x$ 혹은 $x^{2}$ 를 곱한다.

'''(b-2) 고계 비제차 선형 상미분 방정식인 경우'''

만약 $y_{p}\left( x \right)$ 로 선택한 항이 제차 상미분 방정식의 해라면, $y_{p}\left( x \right)$ 에 $x^{k}$ 를 곱하는데, 여기서 $k$ 는 $x^{k}y_{p}\left( x \right)$ 가 제차 방정식의 해가 아닌 가장 작은 양의 정수이다.

'''(c) 합규칙'''

만약 $r\left( x \right)$ 가 여러 항의 합일 때는 각각에 대응하는 함수들의 합으로 $y_{p}$ 를 선택한다.

다음과 같은 형태의 선형 비동차 상미분 방정식을 고려해 보자.

: $\sum_{i=0}^n c_i y^{(i)} + y^{(n+1)} = g(x)$

여기서 $y^{(i)}$ 는 $y$ 의 i번째 도함수를 나타내고, $c_i$ 는 $x$ 의 함수를 나타낸다.

미정계수법은 다음 두 가지 기준이 충족될 때 이 상미분 방정식의 해를 구하는 간단한 방법을 제공한다.^[2]

# $c_i$ 는 상수이다.

# ''g''(''x'')는 상수, 다항 함수, 지수 함수 $e^{\alpha x}$ , 사인 또는 코사인 함수 $\sin{\beta x}$ 또는 $\cos{\beta x}$ , 또는 이러한 함수들의 유한한 합과 곱( ${\alpha}$ , ${\beta}$ 는 상수)이다.

2. 2. 일반해와 특수해

비제차 선형 상미분 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

y^{\left( n \right)}+a_{n-1}y^{\left( n-1 \right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left( x \right)

위의 식은

:

y\left( x \right)=y_{h}\left( x \right)+y_{p}\left( x \right)

와 같은 일반해를 갖게 되는데, 미정계수법은

y_{p}\left( x \right)

를 구하는 방법이다. 여기서

y_{h}\left( x \right)

는 동차해(homogeneous solution),

y_{p}\left( x \right)

는 특수해(particular solution)를 의미한다.

만약

g(x)

가 두 함수

h(x) + w(x)

의 합으로 구성되고,

y_{p_1}

이

h(x)

에 기반한 해이고,

y_{p_2}

가

w(x)

에 기반한 해라고 하면, 중첩의 원리를 사용하여 특수 적분

y_p

는 다음과 같다.^[3]

:

y_p = y_{p_1} + y_{p_2}.

풀이방법은 다음과 같다.

1. 비제차 상미분 방정식의

r\left( x \right)

를 배제하고, 제차방정식이라 생각하고 그 식의 일반해

y_{h}\left( x \right)

를 구한다.

2. 우항의

r\left( x \right)

를 미정계수법 표에서 찾아 적당한 것을 택해

y_{p}\left( x \right)

를 구한다.

r(x)의 항	y_p(x)에 대한 선택
$ke^{rx}$	$Ce^{rx}$
$kx^{n}\left( n=0,1,\cdots \right)$	$K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots +K_{1}x+K_{0}$
$k\cos \omega x$ $k\sin \omega x$	$K\cos \omega x+M\sin \omega x$
$ke^{ax}\cos \omega x$ $ke^{ax}\sin \omega x$	$e^{ax}\left( K\cos \omega x+M\sin \omega x \right)$

미정계수법에 대한 선택 규칙은 다음과 같다.

'''(a) 기본규칙'''

$r\left( x \right)$ 를 위에서 찾고, 그에 해당되는 $y_{p}\left( x \right)$ 를 선택하고, 그 도함수를 비제차 방정식에 대입하여 미정계수를 구한다.

'''(b) 변형규칙'''

'''(b-1) 이계 비제차 선형 상미분 방정식인 경우:''' 만약 $y_{p}\left( x \right)$ 가 제차 상미분 방정식의 해가 된다면, 선택된 $y_{p}$ 에 $x$ 혹은 $x^{2}$ 를 곱한다.

'''(b-2) 고계 비제차 선형 상미분 방정식인 경우:''' 만약 $y_{p}\left( x \right)$ 로 선택한 항이 제차 상미분 방정식의 해라면, $y_{p}\left( x \right)$ 에 $x^{k}$ 를 곱하는데, 여기서 $k$ 는 $x^{k}y_{p}\left( x \right)$ 가 제차 방정식의 해가 아닌 가장 작은 양의 정수이다.

'''(c) 합규칙'''

만약

r\left( x \right)

가 여러가지의 합일 때는 각각에 대응하는 함수들의 합으로

y_{p}

를 선택한다.

2. 3. 미정계수법의 적용 조건

미정계수법은 다음 두 가지 조건이 충족될 때 비제차 선형 상미분 방정식의 해를 구하는 데 사용될 수 있다.^[2]

# 계수

c_i

들이 상수이다.

# ''g''(''x'')가 상수, 다항 함수, 지수 함수

e^{\alpha x}

, 사인 또는 코사인 함수

\sin{\beta x}

또는

\cos{\beta x}

, 또는 이러한 함수들의 유한한 합과 곱(

{\alpha}

,

{\beta}

는 상수)이다.

즉, ''r''(''x'') (또는 ''g''(''x''))는 다음 형태의 함수들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다.

r(x)의 항	y_p(x)에 대한 선택
$ke^{rx}$	$Ce^{rx}$
$kx^{n}$ ( $n=0,1,\cdots$ )	$K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots +K_{1}x+K_{0}$
$k\cos \omega x$ 또는 $k\sin \omega x$	$K\cos \omega x+M\sin \omega x$
$ke^{ax}\cos \omega x$ 또는 $ke^{ax}\sin \omega x$	$e^{ax}\left( K\cos \omega x+M\sin \omega x \right)$
$\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \cos(b x)$ 또는 $\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \sin(b x)$	$\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)$
$\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \cos(b x)$ 또는 $\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \sin(b x)$	$e^{a x} \left(\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)\right)$

만약 $y_{p}\left( x \right)$ 로 선택한 항이 제차 상미분 방정식의 해라면, $y_{p}\left( x \right)$ 에 $x^{k}$ 를 곱한다. 여기서 $k$ 는 $x^{k}y_{p}\left( x \right)$ 가 제차 방정식의 해가 아닌 가장 작은 양의 정수이다.^[1]

3. 미정계수법의 풀이 방법

미정계수법은 비제차 선형 상미분 방정식의 특수해 $y_{p}\left( x \right)$ 를 구하는 방법 중 하나이다. 미정계수법의 풀이 순서는 다음과 같다.

# 비제차 상미분 방정식의 $r\left( x \right)$ 를 0으로 두고, 제차방정식으로 만든 후 그 일반해 $y_{h}\left( x \right)$ 를 구한다. (자세한 내용은 #제차 방정식의 일반해 구하기 참고)

# 우변항 $r\left( x \right)$ 의 형태에 따라 아래 표에서 적당한 $y_{p}\left( x \right)$ 를 선택한다. (자세한 내용은 #특수해 추측 참고)

r(x)의 항	y_p(x)에 대한 선택
$ke^{rx}$	$Ce^{rx}$
$kx^{n}\left( n=0,1,\cdots \right)$	$K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots +K_{1}x+K_{0}$
$k\cos \omega x$ 또는 $k\sin \omega x$	$K\cos \omega x+M\sin \omega x$
$ke^{ax}\cos \omega x$ 또는 $ke^{ax}\sin \omega x$	$e^{ax}\left( K\cos \omega x+M\sin \omega x \right)$

미정계수법을 적용할 때는 다음 규칙들을 고려해야 한다.

기본 규칙: 위 표에서 $r\left( x \right)$ 에 해당하는 $y_{p}\left( x \right)$ 를 선택하고, 그 도함수를 비제차 방정식에 대입하여 미정계수를 구한다.

변형 규칙:
이계 비제차 선형 상미분 방정식: 만약 $y_{p}\left( x \right)$ 가 제차 방정식의 해와 같다면, 선택된 $y_{p}$ 에 $x$ 또는 $x^{2}$ 를 곱한다.
고계 비제차 선형 상미분 방정식: 만약 $y_{p}\left( x \right)$ 로 선택한 항이 제차 방정식의 해라면, $y_{p}\left( x \right)$ 에 $x^{k}$ 를 곱한다. 여기서 $k$ 는 $x^{k}y_{p}\left( x \right)$ 가 제차 방정식의 해가 아닌 가장 작은 양의 정수이다.

합 규칙: 만약 $r\left( x \right)$ 가 여러 함수들의 합으로 표현된다면, 각각에 대응하는 함수들의 합으로 $y_{p}$ 를 선택한다.

3. 1. 제차 방정식의 일반해 구하기

비제차 선형 상미분 방정식에서 우변항

r(x)

를 0으로 두고, 제차 방정식으로 만든 후 그 일반해

y_h(x)

를 구한다.

3. 2. 특수해 추측

우변항의 형태에 따라 특수해를 추측하는 방법은 다음과 같다.

r(x)의 항	y_p(x)에 대한 선택
$ke^{rx}$	$Ce^{rx}$
$kx^{n}\left( n=0,1,\cdots \right)$	$K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots +K_{1}x+K_{0}$
$k\cos \omega x$ 또는 $k\sin \omega x$	$K\cos \omega x+M\sin \omega x$
$ke^{ax}\cos \omega x$ 또는 $ke^{ax}\sin \omega x$	$e^{ax}\left( K\cos \omega x+M\sin \omega x \right)$

위 표는 일반적인 함수와 그에 따른 특수해의 형태를 보여준다. 예를 들어, $r(x) = ke^{rx}$ 형태라면 특수해 $y_p(x) = Ce^{rx}$ 를 추측할 수 있다.

더 자세한 내용은 아래 표를 참고할 수 있다.^[1]

x의 함수	y의 형태
$k e^{a x}$	$C e^{a x}$
$k x^n,\; n = 0, 1, 2,\ldots$	$\sum_{i=0}^n K_i x^i$
$k \cos(a x)$ 또는 $k \sin(a x)$	$K \cos(a x) + M \sin(a x)$
$k e^{a x} \cos(b x)$ 또는 $ke^{a x} \sin(b x)$	$e^{a x} (K \cos(b x) + M \sin(b x))$
$\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \cos(b x)$ 또는 $\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \sin(b x)$	$\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)$
$\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \cos(b x)$ 또는 $\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \sin(b x)$	$e^{a x} \left(\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)\right)$

만약 특수해의 항이 동차 해에 나타나는 경우, 해를 독립적으로 만들기 위해 ''x''의 충분히 큰 거듭제곱을 곱해야 한다. ''x''의 함수가 위 표에 있는 항들의 합이면, ''y''에 대한 해당 항들의 합을 사용하여 특수해를 추측할 수 있다.^[1]

4. 미정계수법의 선택 규칙

미정계수법은 비제차 선형 상미분 방정식의 특수해 $y_{p}(x)$ 를 구하는 방법이다. 특수해를 구할 때는 그 형태를 추측해야 하며, 몇몇 계수들은 풀이할 변수로 남겨둔다. 이때 고려해야 할 규칙은 다음과 같다.^[1]

기본 규칙: 주어진 $r(x)$ 에 따라 특수해 $y_p(x)$ 를 선택한다.
변형 규칙: $y_p(x)$ 가 제차 방정식의 해와 겹치는 경우, 독립적인 해를 만들기 위해 $x$ 의 거듭제곱을 곱한다.
합 규칙: $r(x)$ 가 여러 함수의 합이라면, 각 함수에 해당하는 특수해를 더하여 전체 특수해를 구한다.

4. 1. 기본 규칙

r(x)

를 아래 제시된 표에서 찾고, 그에 해당되는

y_p(x)

를 선택한다. 그리고 그 도함수를 비제차 방정식에 대입하여 미정계수를 구한다.^[1]

r(x)의 항	y_p(x)에 대한 선택

x의 함수	y의 형태
$k e^{ax}$	$C e^{ax}$
$k x^n$ ( $n = 0, 1, 2, \ldots$ )	$\sum_{i=0}^n K_i x^i$
$k \cos(ax)$ 또는 $k \sin(ax)$	$K \cos(ax) + M \sin(ax)$
$k e^{ax} \cos(bx)$ 또는 $k e^{ax} \sin(bx)$	$e^{ax} (K \cos(bx) + M \sin(bx))$
$\left( \sum_{i=0}^n k_i x^i \right) \cos(bx)$ 또는 $\left( \sum_{i=0}^n k_i x^i \right) \sin(bx)$	$\left( \sum_{i=0}^n Q_i x^i \right) \cos(bx) + \left( \sum_{i=0}^n R_i x^i \right) \sin(bx)$
$\left( \sum_{i=0}^n k_i x^i \right) e^{ax} \cos(bx)$ 또는 $\left( \sum_{i=0}^n k_i x^i \right) e^{ax} \sin(bx)$	$e^{ax} \left( \left( \sum_{i=0}^n Q_i x^i \right) \cos(bx) + \left( \sum_{i=0}^n R_i x^i \right) \sin(bx) \right)$

4. 2. 변형 규칙

만약 특수해

y_{p}(x)

가 제차 상미분 방정식의 해가 된다면, 선택된

y_{p}

를 변형해야 한다.
(b-1) 이계 비제차 선형 상미분 방정식인 경우선택된

y_{p}

에

x

혹은

x^{2}

를 곱한다.^[1]
(b-2) 고계 비제차 선형 상미분 방정식인 경우

y_{p}(x)

로 선택한 항이 제차 상미분 방정식의 해라면,

y_{p}(x)

에

x^{k}

를 곱한다. 여기서

k

는

x^{k}y_{p}(x)

가 제차 방정식의 해가 아닌 가장 작은 양의 정수이다.^[1]

x의 함수가 다음 표에 있는 항들의 합이면, y에 대한 해당 항들의 합을 사용하여 특수해를 추측할 수 있다.^[1]

x의 함수	y의 형태
$k e^{a x}\!$	$C e^{a x}\!$
$k x^n,\; n = 0, 1, 2,\ldots\!$	$\sum_{i=0}^n K_i x^i \!$
$k \cos(a x) \text{ 또는 } k \sin(a x) \!$	$K \cos(a x) + M \sin(a x) \!$
$k e^{a x} \cos(b x) \text{ 또는 } ke^{a x} \sin(b x) \!$	$e^{a x} (K \cos(b x) + M \sin(b x)) \!$
$\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \cos(b x) \text{ 또는 }\ \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) \sin(b x) \!$	$\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)$
$\left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \cos(b x) \text{ 또는 } \left(\sum_{i=0}^n k_i x^i\right) e^{a x} \sin(b x)\!$	$e^{a x} \left(\left(\sum_{i=0}^n Q_i x^i\right) \cos(b x) + \left(\sum_{i=0}^n R_i x^i\right) \sin(b x)\right)$

4. 3. 합 규칙

만약

r(x)

가 여러 함수의 합으로 이루어진 경우, 각각에 대응하는 특수해들을 더하여

y_{p}(x)

를 선택한다.^[1] 예를 들어,

r(x) = r_1(x) + r_2(x)

와 같이 두 함수의 합이라면,

r_1(x)

에 해당하는 특수해

y_{p1}(x)

와

r_2(x)

에 해당하는 특수해

y_{p2}(x)

를 구하여 더한

y_p(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x)

를 전체 특수해로 선택한다.

5. 항등식의 미정계수법

항등식에서 미정계수법을 이용한 부분분수 분해는 다음과 같다.

: $\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x+1} - \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2)}{(x+1)(x+2)} - \frac{b(x+1)}{(x+2)(x+1)} = \frac{a(x+2) - b(x+1)}{(x+1)(x+2)}$

: $\therefore \frac{1}{\cancel{(x+1)(x+2)}} = \frac{a(x+2) - b(x+1)}{\cancel{(x+1)(x+2)}}$

: $\therefore 1 = a(x+2) - b(x+1)$

: $1 = ax + 2a - bx - b$

: $1 = (a-b)x + (2a-b)$

우변의 x차항에 대한 좌변의 x차항은 없으므로 x차항의 계수는 0, 상수항은 1이다. (미정계수법 중 계수비교법)

: $(a-b) = 0, (2a-b) = 1$

: $a-b = 0$

: $a = b$ (수치대입법)

: $(2a-a) = 1$

: $2a - a = 1$

: $a = 1$

계속해서 $a = 1, \therefore (2 \times 1 - b) = 1$

: $2 - b = 1$

: $-b = 1 - 2$

: $-b = -1$

: $b = 1$ 또는,

: $a - b = 0$

: $1 - b = 0 (\because a = 1)$

: $1 = b$

: $\therefore \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

6. 예제

미정계수법을 사용하여 다양한 형태의 비제차 상미분 방정식의 해를 구하는 방법을 예제를 통해 알아볼 수 있다. 각 예제는 특수해를 구하는 과정을 상세하게 보여준다.

6. 1. 예제 1

다음 미분방정식의 특수해를 구해보자.

:

y'' + y = t \cos t.

우변 ''t'' cos ''t''는 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

P_n e^{\alpha t} \cos{\beta t}

여기서 ''n'' = 2, ''α'' = 0, 그리고 ''β'' = 1이다.

''α'' + ''iβ'' = ''i''가 특성 방정식의 ''단순근''이므로

:

\lambda^2 + 1 = 0

다음 형태의 특수해를 시도해야 한다.

:

\begin{align}y_p &= t \left [F_1 (t) e^{\alpha t} \cos{\beta t} + G_1 (t) e^{\alpha t} \sin{\beta t} \right ] \\&= t \left [F_1 (t) \cos t + G_1 (t) \sin t \right ] \\&= t \left [ \left (A_0 t + A_1 \right ) \cos t + \left (B_0 t + B_1 \right ) \sin t \right ] \\&= \left (A_0 t^2 + A_1 t \right ) \cos t + \left (B_0 t^2 + B_1 t \right ) \sin t.\end{align}

''y''_''p''를 미분방정식에 대입하면 다음과 같은 항등식을 얻는다.

:

\begin{align}t \cos t &= y_p'' + y_p \\&= \left  [ \left(A_0 t^2 + A_1 t \right ) \cos t + \left (B_0 t^2 + B_1 t \right ) \sin t \right ]'' + \left[\left(A_0 t^2 + A_1 t \right ) \cos t + \left(B_0 t^2 + B_1 t \right ) \sin t \right ] \\&=  \left [2A_0 \cos t + 2 \left (2A_0 t + A_1 \right )(-\sin t) + \left (A_0 t^2 + A_1 t \right )(-\cos t) + 2B_0 \sin t + 2 \left (2B_0 t + B_1 \right ) \cos t + \left (B_0 t^2 + B_1 t \right )(- \sin t) \right ] \\&\qquad +\left[\left(A_0 t^2 + A_1 t \right ) \cos t + \left(B_0 t^2 + B_1 t \right ) \sin t \right ] \\&= [4B_0 t + (2A_0 + 2B_1)] \cos t + [-4A_0 t + (-2A_1 + 2B_0)] \sin t.\end{align}

양변을 비교하면 다음을 얻는다.

:

\begin{cases}1 = 4B_0\\0 = 2A_0 + 2B_1  \\0 = -4A_0 \\0 = -2A_1 + 2B_0\end{cases}

이것의 해는 다음과 같다.

:

A_0 = 0, \quad A_1 = B_0 = \frac{1}{4}, \quad  B_1 = 0.

따라서 특수해는 다음과 같다.

:

y_p = \frac {1} {4} t \cos t + \frac {1}{4} t^2 \sin t.

6. 2. 예제 2

다음 선형 비동차 미분 방정식을 고려해 보자.

:

\frac{dy}{dx} = y + e^x.

이는 첫 번째 예와 유사하지만, 비동차 부분(

e^x

)이 동차 부분의 일반 해(

c_1 e^x

)와 선형 독립적이지 ''않다''. 결과적으로, 선형 독립성을 확보하기 위해 추측에 충분히 큰 거듭제곱의 ''x''를 곱해야 한다.

여기서 추측은 다음과 같다.

:

y_p = A x e^x.

이 함수와 그 도함수를 미분 방정식에 대입하여 ''A''를 풀 수 있다.

:

\frac{d}{dx} \left( A x e^x \right) = A x e^x + A e^x

:

A x e^x + A e^x = A x e^x + e^x

:

A = 1.

따라서 이 미분 방정식의 일반 해는 다음과 같다.

:

y = c_1 e^x + xe^x.

6. 3. 예제 3

방정식

\frac{dy}{dt} = t^2 - y

의 일반해를 구하는 과정은 다음과 같다.

t^2

이 2차 다항식이므로, 특수해를 다음과 같은 형태로 가정한다.

:

y_p = A t^2 + B t + C,

이 특수해를 원래 방정식에 대입하면 다음과 같다.

:

2 A t + B = t^2 - (A t^2 + B t + C),

:

2 A t + B =(1-A)t^2 -Bt -C,

:

(A-1)t^2 + (2A+B)t + (B+C) = 0.

따라서 다음이 성립한다.

:

A-1 = 0, \quad 2A+B =0, \quad  B+C=0.

이 연립방정식을 풀면

A=1, B=-2, C=2

를 얻는다. 그러므로 특수해는 다음과 같다.

:

y_p = t^2 - 2 t + 2

일반해는 특수해와 동차해의 합으로 나타낼 수 있다. 주어진 방정식의 동차해는

y_c = c_1 e^{-t}

(여기서

c_1

은 임의의 상수)이므로, 일반해는 다음과 같다.

:

y= y_p + y_c = t^2 - 2 t + 2 + c_1 e^{-t}

참조

_[1] 서적 Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics CRC Press 2000
_[2] 서적 Advanced Engineering Mathematics Jones and Bartlett 2014
_[3] 서적 A First Course in Differential Equations https://books.google[...] Cengage Learning 2008-05-14

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