오일러-라그랑주 방정식

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 증명
5. 뉴턴 역학과의 관계
- 5.1. 일반화 좌표
6. 다양한 분야로의 확장
- 6.1. 라그랑주 역학
- 6.2. 해밀턴 역학
7. 일반화
참조

1. 개요

오일러-라그랑주 방정식은 변분법을 사용하여 범함수의 정류점을 찾는 데 사용되는 편미분 방정식이다. 레온하르트 오일러와 조제프루이 라그랑주가 1750년대에 타우토크론 문제 연구를 위해 개발했다. 이 방정식은 라그랑주 역학, 해밀턴 역학, 심플렉틱 기하학, 리만 기하학 등 다양한 분야에서 활용되며, 뉴턴 역학을 일반화한 것으로 볼 수 있다. 고계 도함수, 여러 함수, 여러 변수를 포함하는 경우로 확장될 수 있으며, 장 이론에서도 중요한 역할을 한다.

2. 정의

$\mathcal C^1$ 미분 가능 다양체 $X$ 와 그 접다발 $TX$ 를 생각한다. 유한한 닫힌 구간 $[a,b]\subset\mathbb{R}$ 와, 연속미분가능 다발 사상 $L(t,x,v)\in\mathbb R$ , $t\in[a,b]$ , $x\in X$ , $v\in T_xX$ 를 생각한다. $L(t,x,v)$ 의 두 번째와 세 번째 변수를 미분하여 도함수 다발 사상 $L_x(t,x,v)\in T_x^*X$ 와 $L_v(t,x,v)\in T_x^*X$ 를 정의할 수 있다. 임의의 연속미분가능함수 $q\colon[a,b]\to X$ 를 정의역으로 하는 범함수

: $S[q]=\int_a^bL(t,q(t),q'(t))\;dt$

를 정의할 수 있다. 여기서 $q'$ 는 $q$ 의 도함수 $q'(t)\in T_{q(t)}X$ 를 뜻한다. 주어진 경계조건

: $q(a)=x_a\in X$

: $q(b)=x_b\in X$

아래 $S[q]$ 의 정류점을 찾는 변분문제를 생각할 수 있다. 이 변분문제의 해 $q_0$ 는 다음 방정식

: $L_x(t,q_0,q'_0)=\frac{d}{dt}\left(L_v(t,q_0(t),q'_0(t))\right)\in T_{q(t)}^*X$

을 만족한다. 이를 '''오일러-라그랑주 방정식'''이라고 부른다.

(X, L)을 자유도 n인 실수 역학계라 하자. 여기서 X는 배위 공간이고, L = L(t, q(t), v(t))는 매끄러운 실수값 함수인 라그랑주량이다. q(t) ∈ X이고, v(t)는 n차원 "속도 벡터"이다.

q(a) = xₐ이고 q(b) = xբ인 매끄러운 경로 q: [a, b] → X의 집합을 P(a, b, xₐ, xբ)라 하자. 작용 함수 S: P(a, b, xₐ, xբ) → ℝ은 다음과 같이 정의된다.

$S[\boldsymbol q] = \int_a^b L(t,\boldsymbol q(t),\dot{\boldsymbol q}(t))\, dt.$

경로 q ∈ P(a, b, xₐ, xբ)가 S의 정상점이 되는 것은 다음과 같은 경우이고, 그 경우에만 가능하다.

: $\frac{\partial L}{\partial q^i}(t,\boldsymbol q(t),\dot{\boldsymbol q}(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot q^i}(t,\boldsymbol q(t),\dot{\boldsymbol q}(t)) = 0,\quad i = 1, \dots, n.$

여기서 q̇(t)는 q(t)의 시간에 대한 도함수이다.

3. 역사

레온하르트 오일러와 조제프루이 라그랑주가 1750년대에 타우토크론 문제(등시강하곡선 문제)를 연구하면서 오일러-라그랑주 방정식을 개발하였다.

타우토크론 문제는 가중치가 있는 입자가 출발점에 관계없이 고정된 시간에 고정된 지점으로 낙하하는 곡선을 결정하는 문제이다.

라그랑주는 1755년에 이 문제를 해결하고 그 해결책을 오일러에게 보냈다. 두 사람은 이 방법을 더욱 발전시켜 역학에 적용했고, 이는 라그랑주 역학의 공식화로 이어졌다. 이들의 서신은 궁극적으로 1766년 오일러가 만든 변분법으로 이어졌다.^[3]

4. 증명

1차원 오일러-라그랑주 방정식의 유도는 변분법의 기본정리에 기반한다.^[4]

경계 조건 f(a) = c, f(b) = d를 만족하고, 다음 범함수 ''J''를 최대 또는 최소로 만드는 함수 ''f''를 찾는다고 가정한다.

: $J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx. \,\!$

여기서 ''F''는 연속적인 편미분값을 가진다고 가정한다.

''f''가 상대 범함수를 최대 또는 최소로 만든다면, ''f''에 매우 작은 변화를 가했을 때 ''J''의 값은 늘거나(''f''가 ''J''를 최소화할 때) 줄 수 있다(''f''가 ''J''를 최대화할 때).

''f''에 매우 작은 변화를 준 함수 ''g''_ε(''x'') = ''f''(''x'') + εη(''x'')를 도입한다. 여기서 η(''x'')는 η(''a'') = η(''b'') = 0을 만족하는 미분 가능한 함수이다. ''f'' 대신 ''g''를 넣은 ''J''는 다음과 같은 함수가 된다.

: $J(\epsilon) = \int_a^b F(x,g_\epsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx. \,\!$

''J''를 ''ε''에 대해 미분한 전미분을 구하면 다음과 같다.

: $\frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} \varepsilon} = \int_a^b \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon}(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx.$

전미분의 정의에 의해 다음 식이 유도된다.

: $\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon} = \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon}\frac{\partial g_\varepsilon}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial F}{\partial g'_\varepsilon}\frac{\partial g'_\varepsilon}{\partial \varepsilon} = \eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'}.$

따라서,

: $\frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} \epsilon} = \int_a^b \left[\eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'} \, \right]\,dx.$

''ε'' = 0 이면 ''g''_''ε'' = ''f'' 이고, ''f'' 가 ''J''를 극값으로 만드는 부분이므로, ''J'''(0) = 0 이 된다. 즉,

: $J'(0) = \int_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \,\right]\,dx = 0.$

두 번째 항에 부분적분을 적용하면 다음과 같다.

: $0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b.$

''η''에 대한 경계값 조건을 이용하면,

: $0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx. \,\!$

변분법의 기본정리를 적용하면, 오일러-라그랑주 방정식을 얻는다.

: $0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}.$

5. 뉴턴 역학과의 관계

오일러-라그랑주 방정식은 뉴턴 역학을 일반화 좌표로 확장한 것으로 볼 수 있다. 뉴턴 역학에서 라그랑지안은 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 차이로 주어지며, 오일러-라그랑주 방정식은 뉴턴의 운동 방정식과 동등하다.

3차원 데카르트 좌표계 $\boldsymbol{x}=(x,y,z)$ 에서 시간 미분 $\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{v} = (v_x, v_y, v_z)$ 는 속도를 나타낸다. 퍼텐셜이 속도에 의존하지 않는다고 가정하면, 라그랑지안 L은 운동 에너지와 퍼텐셜의 차이, 즉

$L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}, t)=\frac{m}{2}({v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2) -V(\boldsymbol{x})$

로 표현된다. 이때 라그랑주의 운동 방정식은

$m\dot{\boldsymbol{v}} = -\nabla V(\boldsymbol{x})$

가 되며, 이는 뉴턴의 운동 방정식과 일치한다.

일반화 운동량 $p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$ 을 사용하면, 오일러-라그랑주 방정식은 $\dot{p}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}$ (일반화 운동량의 미분 = 일반화 힘) 형태로 표현된다. 이는 뉴턴 방정식의 "운동량의 미분 = 힘"을 일반화한 것이다.

5. 1. 일반화 좌표

오일러-라그랑주 방정식은 데카르트 좌표계를 사용하는 뉴턴의 운동 방정식과 달리, 임의의 좌표( '''일반화 좌표''' )를 사용할 수 있다는 장점이 있다.^[4]

예를 들어 단진자의 운동을 기술할 때, 뉴턴 방정식에서는 세로축과 가로축 방향의 두 변수(데카르트 좌표)가 필요하여 식이 복잡해진다. 하지만 오일러-라그랑주 방정식을 사용하면 단진자의 각도라는 하나의 변수(일반화 좌표)만으로 운동을 기술할 수 있어 더 간단한 방정식을 얻을 수 있다. (단진자의 길이는 일정하다고 가정) 물론 뉴턴 방정식으로 식을 세운 후 극좌표로 변환하여 같은 결과를 얻을 수도 있지만, 오일러-라그랑주 방정식은 이러한 변환 없이 처음부터 각도에 대한 방정식을 직접 얻을 수 있다는 장점이 있다.^[4]

6. 다양한 분야로의 확장

오일러-라그랑주 방정식은 물리학의 여러 분야에서 중요한 작용의 최소 원리에서 유도된다. 이 원리에 따르면, 물리 현상은 라그랑지안(운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 차이)의 시간 적분인 작용을 최소화하는 방향으로 움직인다. 오일러-라그랑주 방정식은 이러한 작용의 최소 원리를 만족하는 물체의 궤적을 변분법을 통해 구하는 과정에서 유도된다.^[8]

작용의 최소 원리는 뉴턴 역학(광학의 페르마의 원리까지 거슬러 올라간다)에서 발견되었지만, 전자기학, 상대성이론 등 다른 분야에서도 적용된다.^[9] 따라서 이러한 분야에서도 오일러-라그랑주 방정식과 유사한 방정식을 만들 수 있으며, 이 방정식들은 해당 분야의 기본 방정식과 동일하다.

뉴턴 역학의 경우, 라그랑지안을 르장드르 변환하여 해밀토니안(에너지)을 얻고, 오일러-라그랑주 방정식을 해밀토니안을 사용하여 다시 쓰면 해밀턴의 정준 방정식을 얻는다. 그러나 뉴턴 역학 이외의 분야에서는 라그랑지안-해밀토니안 변환이 쉽지 않다.

새로운 물리학 분야를 연구할 때, 라그랑지안이나 해밀토니안을 정의하면, 오일러-라그랑주 방정식이나 정준 방정식에 해당하는 방정식을 공식화할 수 있어, 미지의 영역에서 기본 방정식을 유도하는 강력한 도구가 된다.

6. 1. 라그랑주 역학

오일러-라그랑주 방정식은 1750년대에 오일러와 라그랑주가 타우토크론 문제 연구와 관련하여 개발되었다. 이 문제는 가중치가 있는 입자가 출발점에 관계없이 고정된 시간에 고정된 지점으로 낙하하는 곡선을 결정하는 문제이다.^[3]

라그랑주는 1755년에 이 문제를 해결하고 그 해결책을 오일러에게 보냈다. 두 사람 모두 라그랑주의 방법을 더욱 발전시켜 역학에 적용했고, 이는 라그랑주 역학의 공식화로 이어졌다. 그들의 서신은 궁극적으로 1766년 오일러 자신이 만든 용어인 변분법으로 이어졌다.^[3]

라그랑주 역학에서 함수

u_i

는 '''일반화 좌표'''

q_i

이며, 그 변수는 시간 t이다. 일반화 좌표의 차원 f를 계의 (역학적인) 자유도라고 한다. 함수 F는 '''라그랑지안''' L이 그 역할을 한다. 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{\partial L}{\partial q_i}(q(t), \dot{q}(t), t)

\frac{d}{dt} \left(

\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}(q(t), \dot{q}(t), t)\right) =0

여기서 점은 시간에 대한 미분을 나타낸다. 이 식을 특히 '''라그랑주의 운동 방정식'''이라고 부르기도 한다.

'''일반화 운동량'''은 다음과 같이 정의된다.

:

p_i(q(t), \dot{q}(t), t)= \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}(q(t), \dot{q}(t), t)

이것을 사용하면 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\dot{p}_i =\frac{\partial L}{\partial q_i}(q(t), \dot{q}(t), t)

위 식의 우변을 '''일반화 힘'''이라고 부르면, 위 방정식은 「일반화 운동량의 미분 = 일반화 힘」을 의미한다.

뉴턴 방정식은 「운동량의 미분 = 힘」이었으므로, 오일러-라그랑주 방정식은 뉴턴 방정식을 일반화 좌표로 확장한 것이라고 볼 수 있다.

6. 2. 해밀턴 역학

라그랑지안을 르장드르 변환하면 해밀토니안(에너지에 대응하는 함수)을 얻을 수 있으며, 오일러-라그랑주 방정식은 해밀턴의 정준 방정식으로 다시 쓸 수 있다.^[8] 이 방정식들은 뉴턴 역학의 기본 방정식 중 하나이다. 오일러-라그랑주 방정식이나 정준 방정식으로 기술한 뉴턴 역학을 해석역학이라고 한다. 뉴턴 역학 이외의 분야에서는 라그랑지안에서 해밀토니안으로(혹은 그 역) 쉽게 변환할 수 있는 것은 아니다.

7. 일반화

오일러-라그랑주 방정식은 여러 변수를 갖는 함수, 여러 함수, 그리고 함수의 고계 도함수를 포함하는 경우 등 다양하게 일반화될 수 있다.
여러 함수와 여러 변수의 경우

여러 개의 함수와 여러 개의 변수가 있는 경우, 오일러-라그랑주 방정식은 각 함수에 대한 편미분 항을 포함하는 연립 방정식 형태로 확장된다.^[5]
예를 들어, m개의 함수 $f_1, \dots, f_m$과 n개의 변수 $x_1, \dots, x_n$이 있다면, 각 함수 $f_i$에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_i} - \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{i,j}}\right) = 0_i

여기서 $\mathcal{L}$은 라그랑지언이고, $f_{i,j} := \cfrac{\partial f_i}{\partial x_j}$ 이다.

7. 1. 고계 도함수를 포함하는 경우

범함수가 함수의 고계 도함수를 포함하는 경우, 오일러-라그랑주 방정식은 고계 도함수에 대한 편미분 항을 포함하는 형태로 확장된다.

함수형식

:

I[f] = \int_{x_0}^{x_1} \mathcal{L}(x, f, f', f'', \dots, f^{(k)})~\mathrm{d}x ~;~~f' := \cfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}, ~f'' := \cfrac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}, ~f^{(k)} := \cfrac{\mathrm{d}^kf}{\mathrm{d}x^k}

의 정류값은 다음의 오일러-라그랑주 방정식을 통해 얻을 수 있다.^[5]

:

\cfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial f} - \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\cfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial f'}\right) + \cfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}\left(\cfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial f''}\right) - \dots +(-1)^k \cfrac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d} x^k}\left(\cfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial f^{(k)}}\right)  = 0

단, 함수 자체뿐만 아니라 처음

k-1

개의 도함수에 대해 고정된 경계 조건이 주어져야 한다. 최고차 도함수

f^{(k)}

의 끝점 값은 유동적이다.

두 변수 '''x'''₁과 '''x'''₂에 의존하는 미지 함수 '''f'''가 하나 있으며, 함수가 '''f'''의 '''n'''차까지의 고계도함수에 의존하는 경우, 즉

:

\begin{align}I[f] & = \int_{\Omega} \mathcal{L}(x_1, x_2, f, f_{1}, f_{2}, f_{11}, f_{12}, f_{22},\dots, f_{22\dots 2})\, \mathrm{d}\mathbf{x} \\& \qquad \quadf_{i} := \cfrac{\partial f}{\partial x_i} \; , \quadf_{ij} := \cfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} \; , \;\; \dots\end{align}

이면, 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.^[5]

:

\begin{align}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f}& - \frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{1}}\right)

\frac{\partial}{\partial x_2}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{2}}\right)

+ \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{11}}\right)+ \frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_2}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{12}}\right)+ \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{22}}\right) \\& - \dots+ (-1)^n \frac{\partial^n}{\partial x_2^n}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{22\dots 2}}\right) = 0\end{align}

이는 다음과 같이 간략하게 나타낼 수 있다.

:

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f} +\sum_{j=1}^n \sum_{\mu_1 \leq \ldots \leq \mu_j} (-1)^j \frac{\partial^j}{\partial x_{\mu_{1}}\dots \partial x_{\mu_{j}}} \left( \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial f_{\mu_1\dots\mu_j}}\right)=0

여기서

\mu_1 \dots \mu_j

는 변수의 개수를 나타내는 지표이며, 이 경우 1부터 2까지의 값을 가진다.

f_{12} = f_{21}

과 같이 동일한 편도함수를 여러 번 세는 것을 방지하기 위해

\mu_1 \dots \mu_j

지표에 대한 합은

\mu_1 \leq \mu_2 \leq \ldots \leq \mu_j

에 대해서만 계산된다.

7. 2. 여러 함수와 여러 변수의 경우

여러 개의 함수와 여러 개의 변수가 있는 경우, 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 확장된다.^[5]

:

\begin{align}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_1} - \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{1,j}}\right) &= 0_1 \\\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_2} - \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{2,j}}\right) &= 0_2 \\\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots  \\\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_m} - \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{m,j}}\right) &= 0_m.\end{align}

여기서

f_{i,j} := \cfrac{\partial f_i}{\partial x_j}

이다. 이것은 각 함수

f_i

에 대한 편미분 항을 포함하는 연립 방정식 형태이다. 즉, 여러 변수

x_1, \dots, x_n

과 여러 함수

f_1, \dots, f_m

에 대해, 각 함수

f_i

에 대한 오일러-라그랑주 방정식이 시스템을 이룬다.

7. 3. 장 이론

위에서는 오일러-라그랑주 방정식의 물리학적 측면을 설명했지만, 방정식 자체는 물리학과 무관하게 정식화할 수 있으므로, 먼저 물리학적 배경에서 벗어나 방정식을 설명하고, 그 후에 방정식의 뉴턴 역학적 해석을 설명한다.

C¹급 함수

: u^영어: R|d^영어 → R|f^영어;

: x^영어 = (x|1^영어, …, x|d^영어) ↦ u^영어(x) = (u|1^영어(x), …, u|f^영어(x))

를 생각한다.

: F^영어: R|f^영어 × R|fd^영어 × R|d^영어 → R^영어;

: (v, m, x) ↦ F^영어(v,m,x)

라고 할 때, '''오일러-라그랑주 방정식'''은 u(x)^영어에 대한 다음과 같은 연립 편미분 방정식이다.

:

\right )= 0 \quad (i=1, \ldots, f)

여기서 는 x에 대한 편미분

:

을 나타낸다.

일반적으로는 기호를 간략하게 사용하여 위의 방정식을

:

과 같이 표기하는 경우가 많다. 이 표기에서는 F에 대입되는 값으로서의 u|i^영어, ∂|μ^영어u|i^영어가 F의 변수로서의 v|i^영어, m|i,μ^영어와 혼용되고 있다.

더 나아가 벡터 표기를 사용하여 f개의 식을 일괄적으로

:

\right )= 0}}

으로 나타낼 수도 있다.

참조

_[1] 서적 An introduction to the calculus of variations Courier Dover Publications
_[2] 서적 Classical Mechanics Addison Wesley
_[3] 웹아카이브 A short biography of Lagrange http://numericalmeth[...] 2007-07-14
_[4] harvnb
_[5] 서적 Methods of Mathematical Physics Interscience Publishers, Inc
_[6] 서적 Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[7] 서적 Classical Dynamics: A contemporary approach https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 2023-09-12
_[8] 문서 뉴턴의 운동 방정식, 맥스웰 방정식, 아인슈타인 방정식
_[9] 문서 라그랑지안에 대한 설명
_[10] 문서 변분학의 기본 보조정리, Fundamental lemma of calculus of variations

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