베르트랑의 상자 역설

3. 역설의 해결

이 문제를 해결하는 한 가지 방법은, 같은 상자에서 또 다른 금화를 뽑을 확률을 각 경우에 대해 계산하는 것이다. (a) 금/은 상자(GS)에서 금화를 뽑은 경우, 다른 쪽은 은화이므로 확률은 0이다. (b)와 (c) 양쪽 금화 상자(GG)에서 금화를 뽑은 경우, 다른 쪽은 항상 금화이므로 확률은 1이다. 가능한 세 가지 금화 뽑기 시나리오(GS 상자의 금화, GG 상자의 첫 번째 금화, GG 상자의 두 번째 금화)는 모두 동일한 확률(1/3)을 가지므로, 첫 번째로 금화를 뽑았다는 조건 하에 두 번째도 금화를 뽑을 전체 확률은 각 시나리오의 확률을 더한 0/3 + 1/3 + 1/3 = 2/3가 된다.

이 문제는 상자를 각각 양쪽에 서랍이 하나씩 있는 것으로 묘사하여 다시 구성할 수도 있다. 각 서랍에는 동전이 들어 있다. 한 상자는 양쪽에 금화가 있고(GG), 다른 상자는 양쪽에 은화가 있으며(SS), 나머지 한 상자는 한쪽에 금화가, 다른 쪽에 은화가 있다(GS). 상자를 무작위로 선택하고, 무작위로 서랍을 열어 금화를 발견했을 때, 반대편 서랍의 동전이 금화일 확률은 얼마인가?

다음과 같은 추론은 확률이 1/2이라고 잘못된 결론을 내릴 수 있다.

• 원래, 세 상자 모두 선택될 확률은 동일했다.
• 선택된 상자는 양쪽 모두 은화인 상자(SS)일 수 없다. 금화를 발견했기 때문이다.
• 따라서 선택된 상자는 양쪽 금화 상자(GG) 또는 금/은 상자(GS)여야 한다.
• 남은 두 상자(GG, GS)가 선택될 가능성은 동일해 보인다. 따라서 상자가 GG이고 다른 동전도 금화일 확률은 1/2이라고 생각할 수 있다.

• 원래, 세 상자의 여섯 개 서랍(또는 동전) 모두 선택될 확률은 동일했다(1/6).
• 우리가 금화를 발견했으므로, 선택된 동전은 상자 GS의 은화가 있는 서랍이나 상자 SS의 두 서랍 중 하나일 수 없다.
• 따라서 우리가 발견한 금화는 상자 GS의 금화 서랍 또는 상자 GG의 두 서랍 중 하나에서 나온 것이어야 한다.
• 이 세 가지 남은 가능성(GS의 G, GG의 G1, GG의 G2)은 각각 동일한 초기 확률(1/6)을 가졌으므로, 현재 조건(금화 발견) 하에서도 여전히 동일한 상대적 확률을 가진다.
• 이 세 가지 가능한 시나리오 중 두 가지는 상자 GG에 해당한다. 따라서 우리가 연 서랍이 상자 GG에 속할 확률, 즉 다른 쪽 서랍에도 금화가 있을 확률은 2/3이다.

4. 역설의 의의 및 교육적 활용

심리학 개론 확률론 강좌를 수강하는 신입생들을 대상으로 베르트랑의 상자 역설과 유사한 '세 카드 문제'에 대한 해결 능력을 평가하는 설문 조사가 실시되었다.^[2] 세 카드 문제는 다음과 같다: 세 장의 카드가 모자에 들어있다. 한 장은 양면이 모두 빨간색, 한 장은 양면이 모두 흰색, 나머지 한 장은 한 면은 빨간색이고 다른 면은 흰색이다. 모자에서 카드 한 장을 꺼내 확인했을 때 보이는 면이 빨간색이라면, 그 카드의 다른 면도 빨간색일 확률은 2/3이다.

설문 조사에 참여한 53명의 학생들에게 다른 면이 빨간색일 확률을 질문한 결과, 35명은 1/2이라고 잘못 응답했으며, 단 3명만이 정답인 2/3을 맞혔다.^[2] 이는 많은 사람들이 조건부 확률 문제를 직관적으로 해결하는 데 어려움을 겪음을 보여주며, 이러한 유형의 문제가 확률 교육에서 중요한 사례로 활용될 수 있음을 시사한다.

5. 심리학적 관점

심리학 개론 확률론 강좌를 수강하는 신입생들을 대상으로 유사한 세 카드 문제에 대한 해결 방안을 평가하는 설문 조사가 실시되었다. 세 카드 문제에서는 세 장의 카드가 모자에 들어있다. 한 장은 양면이 모두 빨간색이고(RR), 다른 한 장은 양면이 모두 흰색이며(WW), 나머지 한 장은 한 면은 빨간색, 다른 면은 흰색이다(RW). 모자에서 꺼낸 카드의 보이는 면이 빨간색일 때, 다른 면도 빨간색일 확률은 2/3이다.

이 설문 조사에는 53명의 학생들이 참여했으며, 보이는 면이 빨간색일 때 다른 면도 빨간색일 확률을 묻는 질문을 받았다. 그 결과, 35명의 학생들은 1/2이라고 잘못 응답했으며, 단 3명만이 정답인 2/3를 맞혔다.^[2]

6. 유사 문제

확률의 다른 역설 문제들은 다음과 같다.

• 소년 또는 소녀 역설
• 몬티 홀 문제
• 세 명의 죄수 문제
• 두 개의 봉투 문제
• 잠자는 미녀 문제

참조

_[1] 웹사이트 Bertrand's box paradox https://www.oxfordre[...]
_[2] 간행물 Some teasers concerning conditional probabilities