비열비

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1. 개요
2. 이상 기체와 실제 기체의 열용량비
- 2.1. 이상 기체의 열용량비
- 2.2. 실제 기체의 열용량비
  - 2.2.1. 열역학적 표현식
3. 사고 실험을 통한 열용량비 이해
4. 단열 과정과 열용량비
5. 추가 설명
참조

1. 개요

비열비는 이상 기체와 실제 기체의 열용량 간의 관계를 나타내는 값이다. 이상 기체의 경우, 몰 비열은 온도의 함수이며, 비열비는 기체의 자유도와 관련된다. 단원자, 이원자, 삼원자 기체의 경우 비열비가 다르게 나타난다. 실제 기체에서는 온도 증가에 따라 비열비가 감소하며, 열역학적 표현식을 사용하여 두 비열 간의 관계를 설명할 수 있다. 비열비는 단열 과정에서 기체의 압력, 부피, 온도 간의 관계를 나타내며, 사고 실험을 통해 정압 열용량과 정적 열용량의 차이를 이해할 수 있다.

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비열비
일반 정보
이름	비열비
다른 이름	단열 지수, 가역 단열 지수, 폴리트로픽 지수
정의	정압 비열과 정적 비열의 비율
기호	γ, κ
정의
공식	γ = c / c
설명	c: 정압 비열 c: 정적 비열
이상 기체	γ = 1 + 2/f (f: 자유도)
활용
적용 분야	기체, 특히 이상 기체
중요성	기체의 단열 변화 과정 해석 음속 계산
값
공기 (일반적인 조건)	약 1.4
단원자 이상 기체	5/3 ≈ 1.66
이원자 이상 기체	7/5 = 1.4
참고 자료
추가 정보	비열 단열 과정 푸아송 방정식

2. 이상 기체와 실제 기체의 열용량비

이상 기체의 경우, 몰 비열은 최대 온도의 함수이다. 왜냐하면 내부 에너지는 폐쇄계의 온도에만 의존하기 때문이다. 열역학적 용어로, 이것은 이상 기체의 내부 압력이 0이 된다는 사실의 결과이다.

마이어 관계를 사용하면 더 쉽게 측정할 수 있고 더 일반적으로 표로 만들어진 ''C_P'' 값을 통해 ''C_V'' 값을 추론할 수 있다.

: $C_V = C_P - n R.$

이 관계를 사용하여 비열을 비열비 (γ) 및 기체 상수 (''R'')로 표현할 수 있다.

: $C_P = \frac{\gamma n R}{\gamma - 1} \quad \text{and} \quad C_V = \frac{n R}{\gamma - 1},$

실제 기체에서는 온도가 증가함에 따라 분자 기체가 더 높은 에너지의 진동 상태를 사용할 수 있게 되어 자유도의 수가 증가하고 γ (비열비)가 감소한다. 반대로 온도가 낮아지면 회전 자유도도 불균등하게 분할될 수 있다. 결과적으로 ''C_P'' (등압 열용량)와 ''C_V'' (등적 열용량)는 모두 온도 증가에 따라 증가한다.

밀도가 상당히 낮고 분자간 상호작용이 무시할 수 있다면 두 비열은 고정된 상수만큼 서로 다를 수 있으며(''C_P'' = ''C_V'' + nR), 이는 등압 조건과 등적 조건에서 팽창 동안 수행되는 일의 상대적으로 일정한 PV 차이를 반영한다. 따라서 두 값의 비율인 γ는 온도 증가에 따라 감소한다.

그러나 기체 밀도가 충분히 높고 분자간 상호작용이 중요한 경우, 열역학적 표현식을 사용하여 두 비열 간의 관계를 정확하게 설명할 수 있다. 온도가 분자가 해리되거나 다른 화학 반응을 수행하기에 충분히 높으면 상황이 복잡해질 수 있으며, 이 경우 간단한 상태 방정식에서 발생하는 열역학적 표현식으로는 충분하지 않을 수 있다.^[1]

2. 1. 이상 기체의 열용량비

이상 기체의 경우, 몰 비열은 최대 온도의 함수이다. 왜냐하면 내부 에너지는 폐쇄계의 온도에만 의존하기 때문이다. 열역학적 용어로, 이것은 이상 기체의 내부 압력이 0이 된다는 사실의 결과이다.

마이어 관계를 사용하면 더 쉽게 측정할 수 있고 더 일반적으로 표로 만들어진 ''C_P'' 값을 통해 ''C_V'' 값을 추론할 수 있다.

:''C_V'' = ''C_P'' - nR.

이 관계를 사용하여 비열을 비열비 (γ) 및 기체 상수 (''R'')로 표현할 수 있다.

:''C_P'' =

\frac{\gamma nR}{\gamma - 1}

and ''C_V'' =

\frac{nR}{\gamma - 1}

고전적인 에너지 등분배 정리는 이상 기체의 비열비( γ )가 분자의 열적으로 접근 가능한 자유도 (''f'')와 관련될 수 있다고 예측한다.

:

\gamma = 1 + \frac{2}{f}

, or ''f'' =

\frac{2}{\gamma - 1}

.

단원자, 이원자, 삼원자 분자의 경우에 대해서는 하위 섹션을 참조하라.

2. 1. 1. 단원자 기체

에너지 등분배 정리에 따르면 이상 기체의 비열비(

\gamma

)는 분자의 열적으로 접근 가능한 자유도 (

f

)와 다음과 같은 관계를 가진다.

:

\gamma = 1 + \frac{2}{f}

단원자 기체는 원자당 3개의 병진 자유도를 가지므로, 비열비는 다음과 같다.

:

\gamma = \frac{5}{3} = 1.6666\ldots

273K (0°C)에서 비활성 기체인 He, Ne, Ar은 모두 1.664와 같은 거의 동일한

\gamma

값을 갖는다.^[1]

2. 1. 2. 이원자 기체

이원자 기체는 각 분자가 3개의 병진 자유도와 2개의 회전 자유도를 가지며, 단일 진동 자유도는 양자 통계 역학에 의해 예측된 대로 고온을 제외하고는 열적으로 활성화되지 않기 때문에 실온에서 5개의 자유도가 기여한다고 가정한다. 따라서

:

이다.^[1]

예를 들어, 지상 대기는 주로 이원자 기체(약 78% 질소, N₂ 및 21% 산소, O₂)로 구성되어 있으며, 표준 조건에서 이상 기체로 간주할 수 있다. 위의 1.4 값은 0–200 °C의 온도 범위 내에서 건조 공기의 측정된 단열 지수와 매우 일치하며, 단 0.2%의 편차를 보인다.^[1]

2. 1. 3. 삼원자 분자

이산화탄소()와 같은 선형 삼원자 분자의 경우, 진동 모드가 여기되지 않는다고 가정하면 5개의 자유도(3개의 병진 자유도 및 2개의 회전 자유도)만 가진다. 그러나 질량이 증가하고 진동 모드의 주파수가 감소함에 따라, 진동 자유도는 이원자 분자의 경우보다 훨씬 낮은 온도에서 방정식에 포함되기 시작한다. 예를 들어, 진동의 한 양자가 비교적 많은 양의 에너지를 갖는 H2|H2^영어의 단일 진동 모드를 여기시키는 데는 이산화탄소의 굽힘 또는 신축 진동을 여기시키는 것보다 훨씬 더 높은 온도가 필요하다.^[1]

물() 증기와 같이 3개의 병진 자유도 및 3개의 회전 자유도를 갖는 비선형 삼원자 분자의 경우, 이 모델은 다음을 예측한다.^[1]

:

\gamma = \frac{8}{6} = 1.3333\ldots.

2. 2. 실제 기체의 열용량비

실제 기체에서는 온도가 증가함에 따라 분자 기체가 더 높은 에너지의 진동 상태를 사용할 수 있게 되어 자유도의 수가 증가하고 $\gamma$ (비열비)가 감소한다. 반대로 온도가 낮아지면 회전 자유도도 불균등하게 분할될 수 있다. 결과적으로 $C_P$ (등압 열용량)와 $C_V$ (등적 열용량)는 모두 온도 증가에 따라 증가한다.

밀도가 상당히 낮고 분자간 상호작용이 무시할 수 있다면 두 비열은 고정된 상수만큼 서로 다를 수 있으며($C_P = C_V + nR$), 이는 등압 조건과 등적 조건에서 팽창 동안 수행되는 일의 상대적으로 일정한 $PV$ 차이를 반영한다. 따라서 두 값의 비율인 $\gamma$는 온도 증가에 따라 감소한다.

그러나 기체 밀도가 충분히 높고 분자간 상호작용이 중요한 경우, 열역학적 표현식을 사용하여 두 비열 간의 관계를 정확하게 설명할 수 있다. 온도가 분자가 해리되거나 다른 화학 반응을 수행하기에 충분히 높으면 상황이 복잡해질 수 있으며, 이 경우 간단한 상태 방정식에서 발생하는 열역학적 표현식으로는 충분하지 않을 수 있다.^[1]

2. 2. 1. 열역학적 표현식

실제 엔지니어링 계산에는 근삿값보다 실험값을 사용하는 것이 더 정확하다. 열용량비의 엄밀한 값은 잔류 특성에서 $$를 결정하여 계산할 수 있다:^[1]

:$C_P - C_V = -T \frac{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P^2}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T} = -T \frac{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V^2}{\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T}$

3. 사고 실험을 통한 열용량비 이해

밀폐된 공압 실린더에 공기가 들어 있는 사고 실험을 통해 열용량비를 이해할 수 있다. 우선 피스톤이 잠긴 상태를 가정한다. 내부 압력은 대기압과 같고, 이 실린더를 특정 목표 온도까지 가열한다. 피스톤이 고정되어 부피는 일정하므로 온도와 압력이 상승한다. 목표 온도에 도달하면 가열을 중지한다. 이때 가해진 에너지의 양은 ''C_V'' ''Δ''T''와 같다. 여기서 ''Δ''T''는 온도 변화를 나타낸다.^[1]

이제 피스톤을 풀어주면, 실린더 내부 압력이 대기압과 같아질 때까지 피스톤이 바깥쪽으로 움직인다. 이 팽창은 열 교환 없이 일어난다고 가정한다(단열 팽창). 이 과정에서 일이 발생하여 실린더 내부 공기는 목표 온도 이하로 냉각된다.^[1]

피스톤이 자유로운 상태에서 목표 온도로 되돌리기 위해 공기를 다시 가열하면, 기체가 재가열되면서 피스톤이 자유롭게 움직이므로 부피는 일정하지 않다. 이때 추가되는 열은 이전에 더해진 양보다 약 40% 더 많다. 즉, 잠긴 피스톤으로 추가된 열의 양은 ''C_V''에 비례하고, 추가된 총 열의 양은 ''C_P''에 비례한다. 따라서 이 예시에서 열용량비는 1.4이다.^[1]

''C_P''와 ''C_V''의 차이는 다음과 같이 이해할 수 있다. ''C_P''는 부피 변화를 일으키는 시스템에 대한 작업(예: 피스톤을 움직여 실린더 내용물을 압축)이 수행되거나, 시스템에 의한 작업이 수행되어 온도 변화(예: 실린더 내 가열로 피스톤이 움직임)가 발생할 때 적용된다. 반면 ''C_V''는 어떠한 일도 수행되지 않는 경우에만 적용된다.^[1]

잠긴 피스톤으로 가스에 열을 가하는 경우와 피스톤이 자유롭게 움직여 압력이 일정하게 유지되는 경우를 비교해 보자. 두 번째 경우, 가스는 열을 받아 팽창하면서 피스톤이 대기 중에서 기계적 일을 한다. 이때 가스에 추가되는 열은 부분적으로 가열에 사용되고 나머지는 피스톤이 수행하는 기계적 일로 변환된다. 첫 번째, 일정 부피의 경우(잠긴 피스톤)에는 외부 움직임이 없어 기계적 일이 수행되지 않으므로 ''C_V''가 사용된다. 두 번째 경우, 부피가 변하면서 추가적인 일이 수행되므로 가스 온도를 높이는 데 필요한 열(비열 용량)은 이 정압에서 더 크다.^[1]

4. 단열 과정과 열용량비

열용량비는 이상 기체의 등엔트로피(준정적, 가역, 단열 과정) 과정에 대한 중요한 관계를 제공한다.

: $PV^\gamma$ 는 일정하다.

이상 기체 법칙 $PV = nRT$ 를 사용하면 다음과 같다.

: $P^{1-\gamma} T^\gamma$ 는 일정하다.

: $TV^{\gamma-1}$ 는 일정하다.

여기서 P는 기체의 압력, V는 부피, T는 열역학적 온도이다.

기체 역학에서 고정된 양의 기체를 고려하는 대신 압력, 밀도 및 온도의 국소적 관계에 관심이 있다. 밀도 $\rho = M/V$ 를 단위 질량에 대한 부피의 역수로 간주함으로써, 이러한 관계에서 $\rho = 1/V$ 를 취할 수 있다. 일정 엔트로피 $S$ 에 대해 $P \propto \rho^\gamma$ 또는 $\ln P = \gamma \ln \rho + \mathrm{constant}$ 가 있으므로, 다음이 성립한다.

: $\gamma = \left.\frac{\partial \ln P}{\partial \ln \rho}\right|_{S}.$

불완전 기체 또는 비이상 기체의 경우, 찬드라세카르^[4]는 단열 관계가 위와 동일한 형태로 작성될 수 있도록 세 가지 다른 단열 지수를 정의했으며, 이들은 별 구조 이론에 사용된다.

: $\begin{align}\Gamma_1 &= \left.\frac{\partial \ln P}{\partial \ln \rho}\right|_{S}, \\[2pt]\frac{\Gamma_2 - 1}{\Gamma_2} &= \left.\frac{\partial \ln T}{\partial \ln P}\right|_{S}, \\[2pt]\Gamma_3 - 1 &= \left.\frac{\partial \ln T}{\partial \ln \rho}\right|_{S}.\end{align}$

이들은 모두 이상 기체의 경우 $\gamma$ 와 같다.

5. 추가 설명

수브라마니안 찬드라세카르^[4]는 불완전 기체 또는 비이상 기체의 경우, 단열 관계를 동일한 형태로 작성하기 위해 세 가지 다른 단열 지수를 정의했다. 이는 별 구조 이론에 사용된다.

$\begin{align}\Gamma_1 &= \left.\frac{\partial \ln P}{\partial \ln \rho}\right|_{S}, \\[2pt]\frac{\Gamma_2 - 1}{\Gamma_2} &= \left.\frac{\partial \ln T}{\partial \ln P}\right|_{S}, \\[2pt]\Gamma_3 - 1 &= \left.\frac{\partial \ln T}{\partial \ln \rho}\right|_{S}.\end{align}$

이들은 모두 이상 기체의 경우 $\gamma$ 와 같다.

참조

_[1] 서적 Fluid Mechanics McGraw Hill 1998-10-01
_[2] 서적 Lange's Handbook of Chemistry McGraw Hill
_[3] 서적 History of Shock Waves, Explosions and Impact: A Chronological and Biographical Reference https://books.google[...] Springer Verlag 2009
_[4] 서적 An Introduction to the Study of Stellar Structure University of Chicago Press
_[5] 문서 단원자 분자에서 3, 이원자 분자에서 5, 3 이상의 다원자 분자에서 6
_[6] 서적 熱力学丸善

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