비틀림

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1. 개요
2. 비틀림 상수
3. 비틀림 변형 에너지
4. 전단 응력
5. 비틀림 각
6. 파손 모드
- 6.1. 취성 재료
- 6.2. 얇은 중공 샤프트
7. 응용: 터보세트 샤프트 설계 (한국 원자력 발전소)
참조

1. 개요

비틀림은 물체에 가해지는 토크에 의해 발생하는 변형으로, 비틀림 상수, 비틀림 변형 에너지, 전단 응력, 비틀림 각과 같은 개념을 포함한다. 비틀림 상수는 단면 형상에 따라 다르게 정의되며, 비틀림 각은 비틀림 하중과 재료의 특성에 따라 결정된다. 비틀림은 또한 파손 모드를 가지며, 취성 재료의 경우 45도 각도의 나선형으로 파단될 수 있고, 얇은 중공 샤프트의 경우 비틀림 좌굴이 발생할 수 있다. 터보세트 샤프트 설계와 같은 공학적 응용 분야에서 비틀림의 개념이 활용된다.

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비틀림
개요
유형	역학적 현상
설명	물체가 꼬이는 현상
관련 항목	전단응력 전단탄성률 후크의 법칙 응력 변형률
상세 내용
원인	비틀림 모멘트 또는 비틀림 힘의 작용
결과	물체의 각 변형 및 내부 응력 발생
관련 개념	비틀림 강성 비틀림 진동 비틀림 스프링
응용 분야	차축 드라이브 샤프트 스크류 드라이버 토크 렌치

2. 비틀림 상수

비틀림 각은 비틀림 상수 $J$ 를 도입하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

: $\phi_{} = {T L \over G J}$

여기서 T는 작용하는 비틀림 모멘트, L은 부재의 길이, G는 재료의 전단 탄성 계수이다.

비틀림 상수는 단면의 모양에 따라 달라지며, 중실원형단면, 중공원환단면, 얇은 두께의 관에 대한 내용은 각 하위 섹션을 참조하면 된다.

2. 1. 중실원형단면

중실원형단면의 비틀림 상수

J

는 다음과 같이 주어진다.^[1]

지름이 $d$ 이고 반지름이 $r$ 일 때 ( $d=2r$ ):

:

J=I_p= {\pi \over 2 } r^4= {\pi \over 2 } ({d \over 2})^4 = {\pi \over 32 } d^4

2. 2. 중공원환단면

비틀림 상수

J

를 도입하여 비틀림 각을 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

\phi_{} = {T L \over G J}

중공원환단면의 바깥쪽 지름 $d_o$ , 안쪽 지름 $d_i$ 일 때, 비틀림 상수 $J$ 는 다음과 같이 주어진다.

:

J=I_p= {\pi \over 32 } \left( d_o^4 -d_i^4 \right)

2. 3. 얇은 두께의 관

비틀림 각은 비틀림 상수

J

를 도입하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

\phi_{} = {T L \over G J}

얇은 두께의 관에서 벽면 평균 중심선의 길이를

L_m

, 벽면 중심선에 연한 벽면 두께를

t

, 벽면의 평균 중심선 안쪽의 면적을

A_m

이라 할 때, 비틀림 상수

J

는 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

J = \frac{4A_m^2}{\int_0^{L_m} \frac{ds}{t}}

벽면 중심선에 연하여 두께가 일정한 경우,^[1]

:

J = \frac{4 t A_m^2}{L_m}

3. 비틀림 변형 에너지

비틀림이 부재에 저장되는 탄성 변형 에너지는 다음과 같다.

: $U = \frac{T^2 L}{ 2GJ}$

4. 전단 응력

축 내 한 점에서의 전단 응력은 다음과 같다.

:: $\tau_{\varphi_{z}}(r) = {T r \over J_\text{T}}$

최대 전단 응력은 반경이 최대인 축 표면에서 발생한다. 표면의 높은 응력은 거친 부분과 같은 응력 집중에 의해 악화될 수 있다. 따라서 높은 비틀림에 사용되는 축은 축의 최대 응력을 줄이고 수명을 늘리기 위해 표면 마감을 정밀하게 연마한다.

비틀림 각도는 다음을 사용하여 구할 수 있다.

:: $\varphi_{} = \frac{T \ell}{G J_\text{T}}.$

5. 비틀림 각

축 내 한 점에서의 전단 응력은 다음과 같다.

: $\tau_{\varphi_{z}}(r) = {T r \over J_\text{T}}$

최대 전단 응력은 반경이 최대인 축 표면에서 발생한다. 표면의 높은 응력은 거친 부분과 같은 응력 집중에 의해 악화될 수 있다. 따라서 높은 비틀림에 사용되는 축은 축의 최대 응력을 줄이고 수명을 늘리기 위해 표면 마감을 정밀하게 연마한다.

비틀림 각도는 다음을 사용하여 구할 수 있다.

: $\varphi_{} = \frac{T \ell}{G J_\text{T}}$

6. 파손 모드

샤프트에 비틀림 하중이 가해지면 모어 원을 통해 주응력으로 분해할 수 있다. 이때 주응력 중 하나는 인장 응력, 다른 하나는 압축 응력이 되며, 이들은 샤프트 주위에서 45도 나선형 각도로 정렬된다. 얇은 중공 샤프트의 경우, 과도한 비틀림은 샤프트 축에 45° 각도로 주름이 발생하는 비틀림 좌굴 모드를 유발할 수 있다.^[9]

6. 1. 취성 재료

샤프트의 전단 응력은 모어 원을 통해 주응력으로 분해될 수 있다. 샤프트에 비틀림만 가해지면 주응력 중 하나는 인장 상태가 되고 다른 하나는 압축 상태가 된다. 이러한 응력은 샤프트 주위 45도 나선형 각도로 정렬된다. 샤프트가 취성 재료로 만들어진 경우, 샤프트는 표면에서 시작하여 샤프트의 중심부까지 전파되는 균열로 인해 파손되어 45도 각도의 나선형 모양으로 파단된다. 이는 종종 손가락으로 칠판 분필 조각을 비틀어 시연된다.^[9]

6. 2. 얇은 중공 샤프트

샤프트의 전단 응력은 모어 원을 통해 주응력으로 분해될 수 있다. 샤프트에 비틀림만 가해지면 주응력 중 하나는 인장 상태가 되고 다른 하나는 압축 상태가 된다. 이러한 응력은 샤프트 주위 45도 나선형 각도로 정렬된다. 샤프트가 취성 재료로 만들어진 경우, 샤프트는 표면에서 시작하여 샤프트의 중심부까지 전파되는 균열로 인해 파손되어 45도 각도의 나선형 모양으로 파단된다. 이는 종종 손가락으로 칠판 분필 조각을 비틀어 시연된다.^[9]

얇은 중공 샤프트의 경우, 과도한 비틀림 하중으로 인해 샤프트 축에 45°로 주름이 생기는 비틀림 좌굴 모드가 발생할 수 있다.

7. 응용: 터보세트 샤프트 설계 (한국 원자력 발전소)

한국 원자력 발전소 터보세트 샤프트 설계에는 비틀림 응력을 고려한 계산이 필요하다. 증기 터빈 샤프트의 반경을 구하기 위해, 샤프트가 전달하는 동력, 강철의 항복 강도, 전기 주파수 등을 고려한다. 일반적으로 대형 원자력 발전소에서 샤프트가 전달하는 동력은 1000MW 수준이며, 사용되는 강철의 항복 강도는 250 × 10⁶ N/m² 정도이다. 각속도와 토크를 계산하고, 비틀림 상수를 대입하여 샤프트 지름을 계산할 수 있다. 안전율을 고려하면 실제 샤프트의 크기를 결정할 수 있다.

7. 1. 설계 조건 (예시)

터보세트의 증기 터빈 샤프트 반경 계산 예시는 다음과 같다.

샤프트가 전달하는 동력은 1000 MW (대형 원자력 발전소의 일반적인 값)
샤프트를 만드는 데 사용되는 강철의 항복 강도(''τ''_yield)는 250 × 10⁶ N/m²
전기의 주파수는 50 Hz (유럽의 일반적인 주파수, 북미에서는 60 Hz)

각속도 (

\omega

)는

\omega=2 \pi f

공식으로 계산한다.

샤프트가 전달하는 토크는 방정식

P=T \omega

에 의해 동력과 관련된다.

각속도는 314.16 rad/s, 토크는 이다.

최대 토크는

T_\max = \frac{ { \tau }_\max J_\text{zz} }{r}

이다.

''비틀림 상수''를 대입하면

D = \left(\frac{16 T_\max}{\pi {\tau}_\max}\right)^{1/3}

식이 나온다.

지름은 40cm이다. 안전율 5를 적용하고 최대 응력을 ''항복 강도/5''로 하면 지름은 69cm가 되며, 이는 원자력 발전소 터보세트 샤프트의 근사적인 크기이다.

7. 2. 계산 과정

터보세트의 증기 터빈 샤프트 반경 계산 과정은 다음과 같다.

'''가정:'''

샤프트가 전달하는 동력은 1000 MW이다. (대형 원자력 발전소의 일반적인 값)
샤프트를 만드는 데 사용되는 강철의 항복 강도(''τ''_yield)는 250MPa이다.
전기의 주파수는 50 Hz이다. (유럽의 일반적인 주파수, 북미에서는 60 Hz)

각속도는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있다.

:

\omega=2 \pi f

샤프트가 전달하는 토크는 다음 방정식에 의해 동력과 관련이 있다.

:

P=T \omega

따라서 각속도는 314.16 rad/s이고 토크는 이다.

최대 토크는 다음과 같다.

:

T_\max = \frac{ { \tau }_\max J_\text{zz} }{r}

''비틀림 상수''를 대입하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

:

D = \left(\frac{16 T_\max}{\pi {\tau}_\max}\right)^{1/3}

지름은 40cm이다. 안전율 5를 더하고 최대 응력을 ''항복 강도/5''와 같게 하여 반경을 다시 계산하면 결과는 69cm의 지름이 되며, 이는 원자력 발전소의 터보세트 샤프트의 근사적인 크기이다.

7. 3. 추가 고려 사항

터보세트의 증기 터빈 샤프트 반경 계산은 다음과 같은 가정을 바탕으로 한다.

샤프트가 전달하는 동력은 1000 MW이며, 이는 대형 원자력 발전소의 일반적인 값이다.
샤프트를 만드는 데 사용되는 강철의 항복 강도(''τ''_yield)는 250MPa이다.
전기의 주파수는 50 Hz이며, 이는 유럽의 일반적인 주파수이다. 북미에서는 주파수가 60 Hz이다.

각속도는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있다.

:

\omega=2 \pi f

샤프트가 전달하는 토크는 다음 방정식에 의해 동력과 관련이 있다.

:

P=T \omega

따라서 각속도는 314.16 rad/s이고 토크는 이다.

최대 토크는 다음과 같다.

:

T_\max = \frac{ { \tau }_\max J_\text{zz} }{r}

''비틀림 상수''를 대입하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

:

D = \left(\frac{16 T_\max}{\pi {\tau}_\max}\right)^{1/3}

지름은 40cm이다. 안전율 5를 더하고 최대 응력을 ''항복 강도/5''와 같게 하여 반경을 다시 계산하면 결과는 69cm의 지름이 되며, 이는 원자력 발전소의 터보세트 샤프트의 근사적인 크기이다.

참조

_[1] 서적 A dictionary of mechanical engineering Oxford University Press 2019
_[2] 서적 A Dictionary of Physics https://www.oxfordre[...] Oxford University Press 2024-11-29
_[3] 서적 Dictionary of terms used in the theory and practice of mechanical engineering. https://catalog.hath[...] Technical Press 1960
_[4] 서적 Glossary of physics https://catalog.hath[...] McGraw-Hill Book Company, Inc. 1937
_[5] 서적 Student's handbook of elementary physics https://catalog.hath[...] The Dryden press 1943
_[6] 서적 The International dictionary of physics and electronics. https://catalog.hath[...] Van Nostrand 1956
_[7] 서적 Torsional Analysis of Structural Steel Members American Institute of Steel Construction
_[8] 문서 Case and Chilver "Strength of Materials and Structures
_[9] 간행물 Room- and high-temperature torsional shear strength of solid oxide fuel/electrolysis cell sealing material 2018-10
_[10] 문서 (우리말샘)재하^속도(載荷速度)

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